Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 20

Estremo superiore e inferiore

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Esercizio 20.  (\bigstar \bigstar \bigstar \largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)  Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme

    \[A=\left\{y\in\mathbb{R}\,:\, \exists \,x\in [1,+\infty)\,\,\text{per cui $y=\dfrac{\ln x}{\sqrt{1+\ln ^2 x}}$} \right\}.\]

 

Svolgimento. Per x\geq 1 la funzione y=\ln x/\sqrt{1+\ln^2 x} è ben definita, non negativa e monotona crescente, quindi 0 è un minorante ed è un elemento dell’insieme perché \ln 1=0, cioè

    \begin{equation*} \inf A=\min A=0. \end{equation*}

Per osservare che la funzione è monotona crescente basta riscrivere la funzione come segue:

    \[y=\dfrac{\ln x }{\sqrt{1+\ln^2 x}}=\sqrt{\dfrac{\ln^2 x}{1+\ln^2 x}}=\sqrt{\dfrac{\ln^2 x+1-1}{1+\ln^2 x}}=\sqrt{1-\dfrac{1}{1+\ln^2x}},\]

da cui è chiaro che f è monotona crescente. \\
Si osserva che

    \begin{equation*} 0\leq \frac{\ln x}{\sqrt{\ln^2x+1}}< \frac{\ln x}{\sqrt{\ln^2x}}=\frac{\ln x}{|\ln x|}=1\quad \text{per $x\geq 1$}. \end{equation*}

Per verificare che \sup A=1 dobbiamo dimostrare che

    \begin{equation*} \forall\,\varepsilon>0\,\exists\,x_\varepsilon\in[1,+\infty)\,:\,\frac{\ln x_\varepsilon}{\sqrt{\ln^2x_\varepsilon+1}}>1-\varepsilon. \end{equation*}

Svolgendo i conti otteniamo

    \begin{equation*} \begin{split} &\frac{\ln x_\varepsilon}{\sqrt{\ln^2x_\varepsilon+1}}>1-\varepsilon\quad \Leftrightarrow \quad \,\frac{\ln^2 x_\varepsilon}{\ln^2x_\varepsilon+1}>(1-\varepsilon)^2\quad \Leftrightarrow \quad\,1- \-\frac{1}{\ln^2x_\varepsilon+1}>1-2\varepsilon+\varepsilon^2\quad \Leftrightarrow \quad\\&\frac{1}{\ln^2x_\varepsilon+1}<2\varepsilon-\varepsilon^2\quad \Leftrightarrow \quad\ln^2x_\varepsilon+1>\frac{1}{2\varepsilon-\varepsilon^2}\quad \Leftrightarrow \quad\ln x_\varepsilon>\sqrt{\frac{1}{2\varepsilon-\varepsilon^2}-1}. \end{split} \end{equation*}

quindi per x_\varepsilon>\displaystyle \exp\left(\sqrt{\frac{1}{2\varepsilon-\varepsilon^2}-1}\right) la disuguaglianza è verificata e possiamo concludere che

    \begin{equation*} \sup A=1 \end{equation*}

e che non esiste il massimo dell’insieme A perché non è presente un valore appartenente all’insieme A tale che y=1.