Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 30

Estremo superiore e inferiore

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Esercizio 30.   (\bigstar \bigstar \bigstar \largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme

    \[A=\left\{y\in\mathbb{R}\,:\text{\,$\exists\, n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ tale che $y=y_n=\ln (n-\sqrt{n^2-n}) $ }\right\}.\]

 

Svolgimento.  La radice \sqrt{n^2-n} è definita per n^2-n\geq 0, cioè n\geq 1. Il logaritmo invece è definito se

    \[n-\sqrt{n^2-n}>0\quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{n^2-n}<n\quad \Leftrightarrow \quad n^2-n<n^2\quad \Leftrightarrow \quad n>0.\]

pertanto la successione y_n=\ln (n-\sqrt{n^2-n}) è ben definita per ogni n\geq 1.
Si consideri la successione a_n=n-\sqrt{n^2-n}; osserviamo quanto segue:

    \begin{equation*} \begin{split} &a_n\geq a_{n+1}\quad \Leftrightarrow \quad n-\sqrt{n^2-n}\geq n+1-\sqrt{(n+1)^2-(n+1)}\quad \Leftrightarrow \quad\\&\quad \Leftrightarrow \quad -\sqrt{n^2-n}\geq 1-\sqrt{n^2+1+2n-n-1}\quad \Leftrightarrow \quad\sqrt{n^2-n}\leq \sqrt{n^2+n}-1. \end{split} \end{equation*}

Osservando che per n\in\mathbb{N}^+ si ha che \sqrt{n^2+n}\geq 1 si può elevare al quadrato ad ambo i membri della disequazione, ovvero

    \begin{equation*} \begin{split} &a_n\geq a_{n+1}\quad \Leftrightarrow \quad n^2-n\leq n^2+n+1-2\sqrt{n^2+n}\quad \Leftrightarrow \quad 2n+1\geq 2\sqrt{n^2+n}\quad \Leftrightarrow \quad\\&\quad \Leftrightarrow \quad 4n^2+1+4n\geq 4 \left(n^2+n\right)\quad \Leftrightarrow \quad1\geq 0 \end{split} \end{equation*}

e l’ultima disuguaglianza è verificata per ogni n\in\mathbb{N}^+; concludiamo dunque che a_n è monotona decrescente. Poiché y=\ln t è monotona crescente possiamo concludere che

    \begin{equation*} \sup A=\max A=y_1=\ln 1=0. \end{equation*}

Per determinare l’estremo inferiore, riscriviamo y_n come segue:

    \begin{equation*} \begin{split} y_n&=\ln(n-\sqrt{n^2-n})=\ln \left(\frac{(n-\sqrt{n^2-n})(n+\sqrt{n^2-n})}{n+\sqrt{n^2-n}}\right)=\\&=\ln \left(\frac{n}{n+\sqrt{n^2-n}}\right)>\ln\left(\frac{n}{n+n}\right)=\ln\left(\frac{1}{2}\right). \end{split} \end{equation*}

Vogliamo dimostrare che \inf A=\ln\left(\dfrac{1}{2}\right), quindi dobbiamo verificare se

    \begin{equation*} \forall\,\varepsilon>0\,\,\exists\,n_\varepsilon\in\mathbb{N}^+\,:\, \ln (n_\varepsilon-\sqrt{n_\varepsilon^2-n_\varepsilon})<\ln\left(\frac{1}{2}\right)+\varepsilon. \end{equation*}

Risolviamo la disequazione:

    \begin{equation*} \begin{split} &\ln (n_\varepsilon-\sqrt{n_\varepsilon^2-n_\varepsilon})<\ln\left(\frac{1}{2}\right)+\varepsilon\quad \Leftrightarrow \quad\ln \left(\frac{n_\varepsilon}{n_\varepsilon+\sqrt{n_\varepsilon^2-n_\varepsilon}}\right)<\ln\left(\frac{1}{2}\right)+\ln e^\varepsilon\quad \Leftrightarrow \quad\\&\quad \Leftrightarrow \quad \ln \left(\frac{1}{1+\sqrt{1-\frac{1}{n_\varepsilon}}}\right)<\ln\left( \frac{e^\varepsilon}{2}\right)\quad \Leftrightarrow \quad 1+\sqrt{1-\frac{1}{n_\varepsilon}}>\frac{2}{e^\varepsilon}\quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{1-\frac{1}{n_\varepsilon}}>\frac{2-e^\varepsilon}{e^\varepsilon}\quad \Leftrightarrow \quad\\&\quad \Leftrightarrow \quad1-\frac{1}{n_\varepsilon}>\frac{(2-e^\varepsilon)^2}{e^{2\varepsilon}}\quad \Leftrightarrow \quad n_\varepsilon>\frac{e^{2\varepsilon}}{4e^\varepsilon-4}. \end{split} \end{equation*}

Basta considerare n_\varepsilon=\left\lfloor\dfrac{e^{2\varepsilon}}{4e^\varepsilon-4}\right\rfloor+1 per concludere che

    \begin{equation*} \inf A=\ln\left(\frac{1}{2}\right). \end{equation*}

Inoltre l’insieme non ammette minimo; infatti non esiste n\in\mathbb{N}^+ tale che

    \begin{equation*} \ln (n-\sqrt{n^2-n})=\ln\left(\frac{1}{2}\right). \end{equation*}