Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 30

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Esercizio 30. $(\bigstar \bigstar \bigstar \largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme

$A=\left\{y\in\mathbb{R}\,:\text{\,$\exists\, n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ tale che $y=y_n=\ln (n-\sqrt{n^2-n}) $ }\right\}.$

Svolgimento. La radice $\sqrt{n^2-n}$ è definita per $n^2-n\geq 0$ , cioè $n\geq 1$ . Il logaritmo invece è definito se

$n-\sqrt{n^2-n}>0\quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{n^2-n}<n\quad \Leftrightarrow \quad n^2-n<n^2\quad \Leftrightarrow \quad n>0.$

pertanto la successione $y_n=\ln (n-\sqrt{n^2-n})$ è ben definita per ogni $n\geq 1$ .
Si consideri la successione $a_n=n-\sqrt{n^2-n}$ ; osserviamo quanto segue:

$\begin{equation*} \begin{split} &a_n\geq a_{n+1}\quad \Leftrightarrow \quad n-\sqrt{n^2-n}\geq n+1-\sqrt{(n+1)^2-(n+1)}\quad \Leftrightarrow \quad\\&\quad \Leftrightarrow \quad -\sqrt{n^2-n}\geq 1-\sqrt{n^2+1+2n-n-1}\quad \Leftrightarrow \quad\sqrt{n^2-n}\leq \sqrt{n^2+n}-1. \end{split} \end{equation*}$

Osservando che per $n\in\mathbb{N}^+$ si ha che $\sqrt{n^2+n}\geq 1$ si può elevare al quadrato ad ambo i membri della disequazione, ovvero

$\begin{equation*} \begin{split} &a_n\geq a_{n+1}\quad \Leftrightarrow \quad n^2-n\leq n^2+n+1-2\sqrt{n^2+n}\quad \Leftrightarrow \quad 2n+1\geq 2\sqrt{n^2+n}\quad \Leftrightarrow \quad\\&\quad \Leftrightarrow \quad 4n^2+1+4n\geq 4 \left(n^2+n\right)\quad \Leftrightarrow \quad1\geq 0 \end{split} \end{equation*}$

e l’ultima disuguaglianza è verificata per ogni $n\in\mathbb{N}^+$ ; concludiamo dunque che $a_n$ è monotona decrescente. Poiché $y=\ln t$ è monotona crescente possiamo concludere che

$\begin{equation*} \sup A=\max A=y_1=\ln 1=0. \end{equation*}$

Per determinare l’estremo inferiore, riscriviamo $y_n$ come segue:

$\begin{equation*} \begin{split} y_n&=\ln(n-\sqrt{n^2-n})=\ln \left(\frac{(n-\sqrt{n^2-n})(n+\sqrt{n^2-n})}{n+\sqrt{n^2-n}}\right)=\\&=\ln \left(\frac{n}{n+\sqrt{n^2-n}}\right)>\ln\left(\frac{n}{n+n}\right)=\ln\left(\frac{1}{2}\right). \end{split} \end{equation*}$

Vogliamo dimostrare che $\inf A=\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)$ , quindi dobbiamo verificare se

$\begin{equation*} \forall\,\varepsilon>0\,\,\exists\,n_\varepsilon\in\mathbb{N}^+\,:\, \ln (n_\varepsilon-\sqrt{n_\varepsilon^2-n_\varepsilon})<\ln\left(\frac{1}{2}\right)+\varepsilon. \end{equation*}$

Risolviamo la disequazione:

$\begin{equation*} \begin{split} &\ln (n_\varepsilon-\sqrt{n_\varepsilon^2-n_\varepsilon})<\ln\left(\frac{1}{2}\right)+\varepsilon\quad \Leftrightarrow \quad\ln \left(\frac{n_\varepsilon}{n_\varepsilon+\sqrt{n_\varepsilon^2-n_\varepsilon}}\right)<\ln\left(\frac{1}{2}\right)+\ln e^\varepsilon\quad \Leftrightarrow \quad\\&\quad \Leftrightarrow \quad \ln \left(\frac{1}{1+\sqrt{1-\frac{1}{n_\varepsilon}}}\right)<\ln\left( \frac{e^\varepsilon}{2}\right)\quad \Leftrightarrow \quad 1+\sqrt{1-\frac{1}{n_\varepsilon}}>\frac{2}{e^\varepsilon}\quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{1-\frac{1}{n_\varepsilon}}>\frac{2-e^\varepsilon}{e^\varepsilon}\quad \Leftrightarrow \quad\\&\quad \Leftrightarrow \quad1-\frac{1}{n_\varepsilon}>\frac{(2-e^\varepsilon)^2}{e^{2\varepsilon}}\quad \Leftrightarrow \quad n_\varepsilon>\frac{e^{2\varepsilon}}{4e^\varepsilon-4}. \end{split} \end{equation*}$

Basta considerare $n_\varepsilon=\left\lfloor\dfrac{e^{2\varepsilon}}{4e^\varepsilon-4}\right\rfloor+1$ per concludere che

$\begin{equation*} \inf A=\ln\left(\frac{1}{2}\right). \end{equation*}$

Inoltre l’insieme non ammette minimo; infatti non esiste $n\in\mathbb{N}^+$ tale che

$\begin{equation*} \ln (n-\sqrt{n^2-n})=\ln\left(\frac{1}{2}\right). \end{equation*}$