Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 16

Estremo superiore e inferiore

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Esercizio 16.  (\bigstar \argewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

    \[A=\left\{x\in\mathbb{R}\,:\,\left(\frac{1}{7}\right)^{\sqrt{2x-1}}\geq \frac{1}{2}\right\}.\]

 

Svolgimento. Osservando che la quantità \log_{\frac{1}{7}}\frac{1}{2}=\approx 0.36 è positiva possiamo asserire che l’insieme A è non vuoto. Allora la disequazione è equivalente al sistema

    \begin{equation*} \begin{cases} 2x-1\geq 0\\\\2x-1\leq \left(\log_{\frac{1}{7}}\dfrac{1}{2}\right)^2 \end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases} x\geq \frac{1}{2}\\\\x\leq \dfrac{1}{2}\left(\log_{\frac{1}{7}}\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2} \end{cases}\Leftrightarrow \quad \frac{1}{2}\leq x\leq\dfrac{1}{2}\left(\log_{\frac{1}{7}}\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}. \end{equation*}

Possiamo quindi concludere che

    \begin{equation*} A=\left\{x\in\mathbb{R}\,:\,\left(\frac{1}{7}\right)^{\sqrt{2x-1}}\geq \frac{1}{2}\right\}=\left[\frac{1}{2},\dfrac{1}{2}\left(\log_{\frac{1}{7}}\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\right] \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{analisi}{ \sup A=\max A= \dfrac{1}{2}\left(\log_{\frac{1}{7}}\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\approx 0.56\quad \text{e}\quad \inf A=\min A= \frac{1}{2}.}\]