Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 15

Estremo superiore e inferiore

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Esercizio 15.   (\bigstar \argewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

    \[A=\left\{x\in\left[0;3\right):\left(\frac{5}{7}\right)^{9-2x^2}<\left(\frac{7}{5}\right)^{7x}\right\}.\]

 

Svolgimento. Gli elementi dell’insieme proposto sono tutti i numeri reali dell’intervallo \left[0;3\right) che soddisfano la disequazione

    \begin{equation*} \left(\frac{5}{7}\right)^{9-2x^2}<\left(\frac{7}{5}\right)^{7x}\quad \Leftrightarrow \quad \left(\frac{7}{5}\right)^{2x^2-9}<\left(\frac{7}{5}\right)^{7x}\quad \Leftrightarrow \quad2x^2-7x-9<0. \end{equation*}

Applicando la formula risolutiva al polinomio 2x^2-7x-9 si ha

    \begin{equation*} x_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{49+72}}{4}=\frac{7\pm\sqrt{121}}{4}=\frac{7\pm11}{4}. \end{equation*}

Facendo lo studio del segno si ottiene che le soluzioni della disequazione sono tutti i numeri reali tali che x\in \left(-1; \dfrac{9}{2}\right).
Quindi

    \begin{equation*} A=\left\{x\in\left[0;3\right)\bigg\vert\left(\frac{5}{7}\right)^{9-2x^2}<\left(\frac{7}{5}\right)^{7x}\right\}=\left[0;3\right)\cap\left(-1; \frac{9}{2}\right) =\left[0; 3\right). \end{equation*}

Possiamo concludere che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \begin{split} &\inf A=\min A=0\quad \text{e}\quad \sup A=3. \end{split}}\]