Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 17

Estremo superiore e inferiore

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Esercizio 17.  (\bigstar \bigstar \largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

    \[A=\left\{x\in\mathbb{R}\,:\,\log_5(3|x|-2)\geq 1\right\}.\]

 

Svolgimento.  Gli elementi dell’insieme sono tutti i numeri reali che soddisfano la disequazione

    \[\log_5(3|x|-2)\geq 1\]

che è equivalente al sistema

    \begin{equation*} \begin{split} &\begin{cases} 3|x|-2>0\\\\\log_5(3|x|-2)\geq 1 \end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases} |x|>\dfrac{2}{3}\\\\\log_5(3|x|-2)\geq \log_55 \end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases} x<-\dfrac{2}{3}\quad\vee\quad x>\dfrac{2}{3}\\\\3|x|-2\geq 5 \end{cases}\Leftrightarrow \quad \\\\& \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x<-\dfrac{2}{3}\vee x>\dfrac{2}{3}\\\\|x|\geq \dfrac{7}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x<-\dfrac{2}{3}\vee x>\dfrac{2}{3}\\\\x\leq -\dfrac{7}{3}\vee x\geq \dfrac{7}{3} \end{cases} \end{split} \end{equation*}

da cui

    \begin{equation*} A=\left\{x\in\mathbb{R}\,:\,\log_5(3|x|-2)\geq 1\right\}=\left(-\infty;-\frac{7}{3}\right]\cup\left[\frac{7}{3};+\infty\right). \end{equation*}

e quindi

    \[\inf A=-\infty\qquad\sup A=+\infty.\]

Si osservi che non esistono il massimo e il minimo.