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Esercizi sui numeri complessi – 3

Esercizi misti Numeri Complessi

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In questa articolo proponiamo 30 esercizi completamente risolti sui numeri complessi. Essi sono particolarmente indicati per studenti dei corsi di Analisi Matematica ed appassionati che desiderano mettere in pratica le nozioni teoriche apprese su questo importante argomento, e formarsi una solida preparazione in vista dell’esame.

Segnaliamo anche il seguente materiale reperibile sul medesimo argomento:

 
 

Sommario

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Questa dispensa presenta una serie di esercizi volti ad approfondire l’algebra dei numeri complessi. Nella prima sezione, gli esercizi si concentrano sull’esplicitazione della forma algebrica di un numero complesso, evidenziando chiaramente la sua parte reale e immaginaria. La seconda sezione è dedicata al calcolo del modulo e dell’argomento principale di un numero complesso, competenze propedeutiche alla successiva trasformazione in forma esponenziale. In questa fase, gli studenti sono chiamati a calcolare il modulo e l’argomento principale per rappresentare correttamente il numero complesso in tale forma.

Successivamente, l’attenzione si sposta nuovamente sulla forma algebrica, questa volta con riferimento alle potenze di numeri complessi. In questo contesto, viene applicata la formula di De Moivre, strumento essenziale per calcolare le potenze dei numeri complessi una volta espressi in forma esponenziale. Lo stesso approccio risulta fondamentale per gli esercizi che seguono, nei quali si richiede di calcolare le radici dei numeri complessi.

La dispensa prosegue con esercizi che invitano a determinare il luogo geometrico dei punti sul piano complesso descritti da equazioni e disequazioni. Infine, l’ultima sezione è dedicata alla risoluzione di equazioni nel piano complesso, sia polinomiali che non polinomiali.


 
 

Autori e revisori

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Autori: Donato Ciampa.

Revisori: Valerio Brunetti.


 
 

Introduzione

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Questa dispensa è dedicata a una serie di esercizi sui numeri complessi, offrendo una panoramica approfondita delle loro proprietà algebriche. Gli esercizi includono la trasformazione di un numero complesso tra la forma algebrica e quella goniometrica, il calcolo delle radici di numeri complessi e la risoluzione di equazioni che coinvolgono numeri complessi. All’inizio della dispensa, è fornito un richiamo teorico che riassume i concetti fondamentali necessari per affrontare gli esercizi con maggiore comprensione. Per coloro che desiderano un approfondimento ulteriore e una visione più dettagliata dei temi trattati, è possibile fare riferimento al file Introduzione ai numeri complessi.

 

Richiami di teoria

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Definizione 1.1. L’insieme dei numeri complessi è definito come

\[\mathbb C := \left\{ z=x + \imath y \: : \: x,y \in \mathbb{R} \right\}.\]

Diciamo inoltre che \mathfrak{Re}(z) := x ed \mathfrak{Im}(z) := y sono, rispettivamente, la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso z.

Definizione 1.2 (modulo). Sia z =x+\imath y \in \mathbb{C}. Il modulo di z è la quantità reale data da

(1) \begin{equation*} |z| := \sqrt{ x^2 + y^2 }. \end{equation*}

Definizione 1.3. Sia z \neq 0 un numero complesso. L’ argomento principale di z, denotato \operatorname{Arg} \,z, è l’unica soluzione del sistema di equazioni reali

\[\cos \left( \operatorname{Arg}\, z\right) = \frac{\mathfrak{Re}(z)}{|z|}, \quad \text{con } \operatorname{Arg}\, z \in [-\pi,\pi).\]

\[\sin \left( \operatorname{Arg}\, z\right) = \frac{\mathfrak{Im}(z)}{|z|}, \quad \text{con } \operatorname{Arg}\, z \in [-\pi,\pi).\]

L’argomento di z è, invece, una funzione a più valori che si ottiene rimuovendo il vincolo nelle equazioni precedenti, ottenendo infinite soluzioni:

\[\arg z=\{\operatorname{Arg}\, z+2k\pi:k\in\mathbb{Z}\}.\]

\[\quad\]

Notiamo che valogono le seguenti relazioni1

(2) \begin{equation*} \arg(zw)=\arg(z)+\arg(w),\qquad\forall z,w\in\mathbb{C}, \end{equation*}

(3) \begin{equation*} \arg(z/w)=\arg(z)-\arg(w),\qquad\forall z,w\in\mathbb{C}. \end{equation*}

Definizione 1.4. La forma trigonometrica di un numero complesso z \neq 0 è data dalla seguente scrittura

(4) \begin{equation*} z = \rho (\cos \vartheta + \imath \sin \vartheta), \end{equation*}

dove \rho=|z| è il modulo e \vartheta=\operatorname{Arg} z l’argomento principale.

\[\quad\]

È possibile passare agevolmente tra la rappresentazione algebrica (z=x+iy) e la rappresentazione trigonometrica (4) utilizzando le seguenti trasformazioni:

\[ \begin{cases} x = \rho \cos \vartheta \\ y = \rho \sin \vartheta \end{cases} \quad \text{e} \quad \begin{cases} \rho = \sqrt{x^2+y^2} \\ \cos \vartheta = \frac{x}{\rho} \\ \sin \vartheta = \frac{y}{\rho} \end{cases} \]

con la convenzione \vartheta \in [-\pi,\pi).

Corollario 1.5. Sia \vartheta \in \mathbb{R}. Allora

\[\cos \vartheta = \frac{\mathrm{e}^{\imath \vartheta} + \mathrm{e}^{-\imath \vartheta}}{2} \quad \text{e} \quad \sin \vartheta = \frac{\mathrm{e}^{\imath \vartheta} - \mathrm{e}^{-\imath \vartheta}}{2\imath}.\]

In particolare, dato z \in \mathbb C diverso da zero abbiamo

\[z = |z| \mathrm{e}^{\imath \operatorname{Arg}\, z}.\]

Quest’ultima è nota come forma esponenziale di un numero complesso ed è, ovviamente, equivalente a quella trigonometrica.

Proposizione 1.6. (Formula di de Moivre). Sia z \in \mathbb{C} ed n \in \mathbb{N}. Allora

(5) \begin{equation*} z^n = \rho^n ( \cos n \vartheta + \imath \sin n \vartheta), \end{equation*}

dove \rho = |z| e \vartheta = \operatorname{Arg}\, z.

Proposizione 1.7. (Radice n-esima). Sia z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha) \in \mathbb{C}\setminus\{0\} ed n \in \mathbb{N}. Allora esistono n numeri complessi distinti z_0,\dots,z_{n-1}, che soddisfano z_j^n=z. Essi sono

(6) \begin{equation*} z_k = |z|^{1/n} \left( \cos \frac{\alpha + 2\pi k}{n} + \imath \sin \frac{\alpha + 2\pi k}{n} \right), \quad k =0,\dots,n-1. \end{equation*}

\[\quad\]

   

  1. le seguenti formule contengono somme o differenze tra insiemi, intese come A+B=\{a+b:a\in A, b\in B\} ↩

 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Scrivere in forma algebrica il numero complesso (2-3i)(-2+i).

Svolgimento.

Per scrivere in forma algebrica il numero complesso (2-3i)(-2+i) calcoliamo il prodotto usando la proprietà distributiva, come per i polinomi, e ricordando che i^2=-1:

\[ \begin{aligned} (2-3i)(-2+i) &= 2\cdot(-2) + 2\cdot i -3i\cdot(-2) -3i\cdot i \\[4pt] &= -4 + 2i + 6i -3i^2 \\[4pt] &= -4 + 2i + 6i + 3 \\[4pt] &= -4 + 8i + 3 \\[4pt] &= (-4+3) + 8i \\[4pt] &= -1 + 8i. \end{aligned} \]

Come nel terzo passaggio si è usato i^2=-1, quindi -3i^2=-3(-1)=3.


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Scrivere in forma algebrica il numero complesso i^5-\frac{1}{i^3}.

Svolgimento.

Vogliamo scrivere in forma algebrica il numero complesso

\[ i^5 - \frac{1}{i^3}. \]

Per risolvere l’esercizio ci basta ricordare la definizione di unità immaginaria, cioè

\[ i^2 = -1. \]

Da qui ricaviamo le potenze successive:

\[ i^3 = i^2\cdot i = -i,\qquad i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1,\qquad i^5 = i^4\cdot i = 1\cdot i = i. \]

Calcoliamo ora il termine con il denominatore:

\[ i^3 = -i \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{i^3} = \frac{1}{-i} = -\frac{1}{i}. \]

Per semplificare 1/i moltiplichiamo numeratore e denominatore per i:

\[ \frac{1}{i} = \frac{1}{i}\cdot\frac{i}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i, \]

e quindi

\[ \frac{1}{i^3} = -\frac{1}{i} = -(-i) = i. \]

Sostituendo i risultati trovati otteniamo

\[ i^5 - \frac{1}{i^3} = i - i = 0. \]

La forma algebrica richiesta è dunque semplicemente 0.


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Scrivere in forma algebrica il numero complesso \frac{1}{i(3+2i)^2}.

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