Esercizi misti numeri complessi n3

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Esercizi numeri complessi

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Sommario

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Questa dispensa presenta una serie di esercizi volti ad approfondire l’algebra dei numeri complessi. Nella prima sezione, gli esercizi si concentrano sull’esplicitazione della forma algebrica di un numero complesso, evidenziando chiaramente la sua parte reale e immaginaria. La seconda sezione è dedicata al calcolo del modulo e dell’argomento principale di un numero complesso, competenze propedeutiche alla successiva trasformazione in forma esponenziale. In questa fase, gli studenti sono chiamati a calcolare il modulo e l’argomento principale per rappresentare correttamente il numero complesso in tale forma.

Successivamente, l’attenzione si sposta nuovamente sulla forma algebrica, questa volta con riferimento alle potenze di numeri complessi. In questo contesto, viene applicata la formula di De Moivre, strumento essenziale per calcolare le potenze dei numeri complessi una volta espressi in forma esponenziale. Lo stesso approccio risulta fondamentale per gli esercizi che seguono, nei quali si richiede di calcolare le radici dei numeri complessi.

La dispensa prosegue con esercizi che invitano a determinare il luogo geometrico dei punti sul piano complesso descritti da equazioni e disequazioni. Infine, l’ultima sezione è dedicata alla risoluzione di equazioni nel piano complesso, sia polinomiali che non polinomiali.

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Autori e revisori dell’articolo

Mostra autori e revisori.

Autori: Donato Ciampa.

Revisori: Valerio Brunetti, Matteo Talluri, Giulio Binosi.

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Introduzione

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Questa dispensa è dedicata a una serie di esercizi sui numeri complessi, offrendo una panoramica approfondita delle loro proprietà algebriche. Gli esercizi includono la trasformazione di un numero complesso tra la forma algebrica e quella goniometrica, il calcolo delle radici di numeri complessi e la risoluzione di equazioni che coinvolgono numeri complessi. All’inizio della dispensa, è fornito un richiamo teorico che riassume i concetti fondamentali necessari per affrontare gli esercizi con maggiore comprensione. Per coloro che desiderano un approfondimento ulteriore e una visione più dettagliata dei temi trattati, è possibile fare riferimento al file Introduzione ai numeri complessi.

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Richiami teorici

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Definizione 1.1 L’insieme dei numeri complessi è definito come

$\mathbb C := \left\{ z=x + \imath y \: : \: x,y \in \mathbb{R} \right\}.$

Diciamo inoltre che $\mathfrak{Re}(z) := x$ ed $\mathfrak{Im}(z) := y$ sono, rispettivamente, la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso $z$ .

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Definizione 1.2 Sia $z =x+\imath y \in \mathbb{C}$ . Il modulo di $z$ è la quantità reale data da

(1) $\begin{equation*} |z| := \sqrt{ x^2 + y^2 }. \end{equation*}$

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Definizione 1.3 Sia $z \neq 0$ un numero complesso. L’ argomento principale di $z$ , denotato $\arg z$ , è l’unica soluzione dell’equazione reale

$\cos \left(\arg z\right) = \frac{\mathfrak{Re}(z)}{|z|}, \quad \text{con } \arg z \in [-\pi,\pi).$

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Definizione 1.4 La forma trigonometrica di un numero complesso $z \neq 0$ è data dalla seguente scrittura

(2) $\begin{equation*} z = \rho (\cos \vartheta + \imath \sin \vartheta), \end{equation*}$

dove $\rho=|z|$ è il modulo e $\vartheta=\arg z$ l’argomento principale.

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È possibile passare agevolmente tra la rappresentazione algebrica ( $z=x+iy$ ) e la rappresentazione trigonometrica \eqref{eq.trig} utilizzando le seguenti trasformazioni:

$\begin{cases} x = \rho \cos \vartheta \\ y = \rho \sin \vartheta \end{cases} \quad \text{e} \quad \begin{cases} \rho = \sqrt{x^2+y^2} \\ \cos \vartheta = \frac{x}{\rho} \\ \sin \vartheta = \frac{y}{\rho} \end{cases}$

con la convenzione $\vartheta \in [-\pi,\pi)$ .

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Corollario 1.5 Sia $\vartheta \in \mathbb{R}$ . Allora

$\cos \vartheta = \frac{\mathrm{e}^{\imath \vartheta} + \mathrm{e}^{-\imath \vartheta}}{2} \quad \text{e} \quad \sin \vartheta = \frac{\mathrm{e}^{\imath \vartheta} - \mathrm{e}^{-\imath \vartheta}}{2\imath}.$

In particolare, dato $z \in \mathbb C$ diverso da zero abbiamo

$z = |z| \mathrm{e}^{\imath \arg z}.$

Quest’ultima è nota come forma esponenziale di un numero complesso ed è, ovviamente, equivalente a quella trigonometrica.

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Preposizione 1.6 (Formula di de Moivre). Sia $z \in \mathbb{C}$ ed $n \in \mathbb{N}$ . Allora

(3) $\begin{equation*} z^n = \rho^n ( \cos n \vartheta + \imath \sin n \vartheta), \end{equation*}$

dove $\rho = |z|$ e $\vartheta = \arg z$ .

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Preposizione 1.7 (Radice $n$ -esima). Sia $z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha) \in \mathbb{C}$ ed $n \in \mathbb{N}$ . Allora esistono $n$ numeri complessi $z_0,\dots,z_{n-1}$ , che soddisfano $z_j^n=z$ . Essi sono

(4) $\begin{equation*} z_k = |z|^{1/n} \left( \cos \frac{\alpha + 2\pi k}{n} + \imath \sin \frac{\alpha + 2\pi k}{n} \right), \quad k =0,\dots,n-1. \end{equation*}$

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Testi degli esercizi

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Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Scrivere in forma algebrica il numero complesso $(2-3i)(-2+i)$ .

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Soluzione .

$(2-3i)(-2+i)=-4+2i+6i+3=-1+8i.$

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Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Scrivere in forma algebrica il numero complesso $i^5-\frac{1}{i^3}$ .

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Soluzione .

Poichè

$i^3=i^2\cdot i=-i,\quad i^5=i^4\cdot i=1,\quad \frac{1}{i^3}=-\frac{1}{i}=-\frac{i}{-1}=i,$

segue

$i^5-\frac{1}{i^3}=i-i=0.$

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Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Scrivere in forma algebrica il numero complesso $\frac{1}{i(3+2i)^2}$ .

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Soluzione .

$\frac{1}{i(3+2i)^2}=\frac{-i(3-2i)^2}{|i(3+2i)^2|^2}=\frac{-i(9-4-12i)}{13^2}=-\frac{12}{169}-\frac{5}{169}i.$

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Esercizio 4 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Scrivere in forma algebrica il numero complesso $\frac{1+2i}{3-i}+\frac{2-i}{5i}$ .

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Soluzione .

$\frac{1+2i}{3-i}=\frac{(1+2i)(3+i)}{|3-i|^2}=\frac{3+i+6i-2}{10}=\frac{1}{10}+\frac{7}{10} i.$

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Esercizio 5 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Scrivere in forma algebrica il numero complesso $\frac{(1+i)^4}{3-4i}$ .

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Soluzione .

$\frac{(1+i)^4}{3-4i}=\frac{(1+4i-6-4i+1)(3+4i)}{|3-4i|^2}=\frac{-12-16i}{25}=-\frac{12}{25}-\frac{16}{25}i.$

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Esercizio 6 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Scrivere in forma algebrica il numero complesso $\frac{(\sqrt{3}+i\sqrt{2})^3}{\sqrt{2}-i\sqrt{3}}$ .

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Soluzione .

$\frac{(\sqrt{3}+i\sqrt{2})^3}{\sqrt{2}-i\sqrt{3}} &= \frac{(3\sqrt{3}+9\sqrt{2} i-6\sqrt{3}-2\sqrt{2}i)(\sqrt{2}+i\sqrt{3})}{|\sqrt{2}-i\sqrt{3}|^2}$

$&= \frac{(-3\sqrt{3}+7\sqrt{2} i)(\sqrt{2}+i\sqrt{3})}{5}$

$&= \frac{-3\sqrt{6}-9i+14i-7\sqrt{6}}{5}$

$&= -2\sqrt{6}+i.$

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Esercizio 7 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il modulo del numero complesso $\frac{1}{1-i}+\frac{2i}{i-1}$ .

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Soluzione .

$\left|\frac{1}{1-i}+\frac{2i}{i-1}\right|=\left|\frac{1-2i}{1-i}\right|=\frac{|1-2i|}{|1-i|}= \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}.$

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Esercizio 8 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il modulo del numero complesso $\frac{3-i}{(1+i)^2}$ .

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Soluzione .

$\left|\frac{3-i}{(1+i)^2}\right|=\frac{|3-i|}{|1+i|^2}=\frac{\sqrt{10}}{2}.$

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Esercizio 9 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il modulo del numero complesso $\left(\frac{1-3i}{1+i}-1\right)^3$ .

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Soluzione .

Poichè

$\frac{1-3i}{1+i}-1=\frac{1-3i-1-i}{1+i}=\frac{-4i}{1+i},$

segue

$\left|\left(\frac{-4i}{1+i}\right)^3\right|=\left(\left|\frac{-4i}{1+i}\right|\right)^3= \left(\frac{4}{\sqrt{2}}\right)^3=(2\sqrt{2})^3=16\sqrt{2}.$

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Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare modulo ed argomento principale del numero complesso $\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i}$ e scriverlo in forma trigonometrica.

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Soluzione .

Abbiamo

$\left|\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i}\right|=\frac{|1+i\sqrt{3}|}{|1-i|}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.$

Inoltre

$\arg\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i}=\arg(1+\sqrt{3}i)-\arg(1-i)=\frac{\pi}{6}-\frac{7\pi}{4}=-\frac{19\pi}{12}=\frac{5\pi}{12}.$

Quindi

$\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i}=\sqrt{2}\left(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}\right).$

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Esercizio 11 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare modulo ed argomento principale del numero complesso $\frac{1+i}{1-i}$ e scriverlo in forma trigonometrica.

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Soluzione .

Abbiamo

$\left|\frac{1+i}{1-i}\right|=\frac{|1+i|}{|1-i|}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1.$

Inoltre

$\arg\frac{1+i}{1-i}=\arg(1+i)-\arg(1-i)=\frac{\pi}{4}-\frac{7\pi}{4}=-\frac{3\pi}{2}=\frac{\pi}{2}.$

Quindi

$\frac{1+i}{1-i}=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=i.$

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Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare modulo ed argomento principale del numero complesso $\frac{1+i}{\sqrt{3}+i}$ e scriverlo in forma trigonometrica.

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Soluzione .

Abbiamo

$\left|\frac{1+i}{\sqrt{3}+i}\right|=\frac{|1+i|}{|\sqrt{3}+i|}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Inoltre

$\arg\frac{1+i}{\sqrt{3}+i}=\arg(1+i)-\arg(\sqrt{3}+i)=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{12}.$

Quindi

$\frac{1+i}{\sqrt{3}+i}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right).$

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Esercizio 13 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Mettere in forma esponenziale il numero complesso $1+i$ .

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Soluzione .

Abbiamo

$\left|1+i\right|=\sqrt{2},\qquad \arg(1+i)=\frac{\pi}{4},$

da cui

$1+i=\sqrt{2}\ e^{i\pi/4}.$

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Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Mettere in forma esponenziale il numero complesso $\frac{i(i-1)}{(i+1)^2}$ .

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Soluzione .

Abbiamo

$\left|\frac{i(i-1)}{(i+1)^2}\right|=\frac{|i|\cdot|i-1|}{|i+1|^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Inoltre

$\arg\frac{i(i-1)}{(i+1)^2}=\arg i+\arg(i-1)-2\arg(i+1)=\frac{\pi}{2}+\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{4},$

e quindi

$\frac{i(i-1)}{(i+1)^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot e^{i3\pi/4}.$

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Esercizio 15 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Mettere in forma esponenziale il numero complesso $\left(1-\frac{i}{\sqrt{3}}\right)^2$ .

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Soluzione .

Abbiamo

$\left|\left(1-\frac{i}{\sqrt{3}}\right)^2\right|=\left|1-\frac{i}{\sqrt{3}}\right|^2=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}.$

Inoltre

$\arg\left(1-\frac{i}{\sqrt{3}}\right)^2=2\arg\left(1-\frac{i}{\sqrt{3}}\right)=2\cdot\frac{11\pi}{6}= \frac{11\pi}{3}=\frac{5\pi}{3},$

da cui

$\left(1-\frac{i}{\sqrt{3}}\right)^2=\frac{4}{3}\cdot e^{i5\pi/3}.$

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Esercizio 16 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dato $z=e^{-i\pi/6}+e^{-i\pi/2}$ esprimere $z$ e $z^2$ in forma algebrica.

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Soluzione .

Abbiamo

$e^{-i\pi/6}=\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2},$

$e^{-i\pi/2}=\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-i,$

e quindi

$z=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i.$

Inoltre

$z^2=e^{-i\pi/3}+e^{-i\pi}+2e^{-i2\pi/3},$

ed essendo

$e^{-i\pi/3}=\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i,$

$e^{-i\pi}=\cos\left(-\pi\right)+i\sin\left(-\pi\right)=-1,$

$e^{-i2\pi/3}=\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i,$

abbiamo

$z^2=-\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2} i.$

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Esercizio 17 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia

$z=1+ix+\frac{1}{2}(ix)^2+\frac{1}{6}(ix)^3,\qquad x\in\mathbb{R}.$

Calcolare la parte reale e la parte immaginaria di $z$ e $z^2$ .

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Soluzione .

Abbiamo

$\begin{align*} \mathfrak{Re} z &= \frac{z+\bar{z}}{2} \\ &= \frac{1}{2}\left(1+ix+\frac{1}{2}(ix)^2+\frac{1}{6}(ix)^3+1-ix+\frac{1}{2}(-ix)^2+\frac{1}{6}(-ix)^3\right) \\ &= \frac{1}{2}\left(2+(ix)^2\right) \\ &= 1-\frac{x^2}{2}, \end{align*}$

$\begin{align*} \mathfrak{Im} z &= \frac{z-\bar{z}}{2i} \\ &= \frac{1}{2i}\left(1+ix+\frac{1}{2}(ix)^2+\frac{1}{6}(ix)^3 - 1 - (-ix) - \frac{1}{2}(-ix)^2 - \frac{1}{6}(-ix)^3\right) \\ &= \frac{1}{2i}\left(2ix+\frac{1}{3}(ix)^3\right) \\ &= x - \frac{1}{6} x^3. \end{align*}$

Essendo poi

$z^2=(\mathfrak{Re} z+i\mathfrak{Im} z)^2=[(\mathfrak{Re} z)^2-(\mathfrak{Im} z)^2]+2i(\mathfrak{Re} z)(\mathfrak{Im} z),$

segue

$\begin{align*} \mathfrak{Re} z^2 &= (\mathfrak{Re} z)^2 - (\mathfrak{Im} z)^2 \\ &= 1 - x^2 + \frac{1}{4} x^4 - x^2 + \frac{1}{3} x^4 + \frac{1}{36} x^6 \\ &= 1 - 2x^2 + \frac{7}{12} x^4 + \frac{1}{36} x^6. \end{align*}$

$\mathfrak{Im} z^2=2(\mathfrak{Re} z)(\mathfrak{Im} z)=2x-\frac{1}{3}x^3-x^3+\frac{1}{6}x^5=2x-\frac{4}{3} x^3+\frac{1}{6} x^5.$

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Esercizio 18 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Scrivere in forma algebrica il numero complesso $(1+i)^{20}$ .

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Soluzione .

Poichè

$|1+i|=\sqrt{2},\qquad \arg(1+i)=\frac{\pi}{4},$

segue

$1+i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right),$

e quindi

$(1+i)^{20}=2^{10}\left(\cos\frac{20\pi}{4}+i\sin\frac{20\pi}{4}\right)=1024(\cos(5\pi)+i\sin(5\pi))=-1024.$

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Esercizio 19 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Scrivere in forma algebrica il numero complesso $(1-i)^{11}$ .

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Soluzione .

Poichè

$|1-i|=\sqrt{2},\qquad \arg(1-i)=\frac{7\pi}{4},$

segue

$1-i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right),$

e quindi

$\begin{align*} (1-i)^{11} &= 2^{11/2}\left(\cos\frac{77\pi}{4} + i\sin\frac{77\pi}{4}\right) \\ &= 32\sqrt{2}\left(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\right) \\ &= 32\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ &= -32(1+i). \end{align*}$

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Esercizio 20 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Scrivere in forma algebrica il numero complesso $(1+i\sqrt{3})^n-(1-i\sqrt{3})^n$ .

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Soluzione .

Poichè

$|1+i\sqrt{3}|=2,\qquad \arg(1+i\sqrt{3})=\frac{\pi}{3},$

$|1-i\sqrt{3}|=2,\qquad \arg(1-i\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3},$

e quindi

$(1+i\sqrt{3})=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right),$

$(1-i\sqrt{3})=2\left(\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3}\right),$

segue

$\begin{align*} (1+i\sqrt{3})^n - (1-i\sqrt{3})^n &= 2^n\left(\cos\frac{n\pi}{3} + i\sin\frac{n\pi}{3}\right) - 2^n\left(\cos\frac{n\pi}{3} - i\sin\frac{n\pi}{3}\right) \\ &= 2^n \cdot 2i\sin\frac{n\pi}{3} \\ &= 2^{n+1} i\sin\frac{n\pi}{3}. \end{align*}$

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Esercizio 21 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare le seguenti radici:

$(1)\ \sqrt[6]{-1},\qquad (2)\ \sqrt{-2i},\qquad (3)\ \sqrt[3]{5},\qquad (4)\ \sqrt[4]{1+i}.$

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Soluzione .

$(1)$ Poichè

$-1=\cos\pi+i\sin\pi,$

segue

$z_k=\sqrt[6]{-1}=\cos\frac{\pi+2k\pi}{6}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{6},\qquad k=0,\ldots,5,$

da cui

$z_0=\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2},$

$z_1=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=i,$

$z_2=\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2},$

$z_3=\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2},$

$z_4=\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}=-i,$

$z_5=\cos\frac{11\pi}{6}+i\sin\frac{11\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}.$

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$(2)$ Essendo

$-2i=2\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right),$

segue

$z_k=\sqrt{-2i}=\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi/2+2k\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi/2+2k\pi}{2}\right),\qquad k=0,1$

da cui

$z_0=\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)=-1+i,$

$z_1=\sqrt{2}\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right)=1-i.$

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$(3)$ Essendo

$5=5(\cos 0+i\sin 0),$

segue

$z_k=\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{5}\left(\cos\frac{2k\pi}{3}+i\sin\frac{2k\pi}{3}\right),\qquad k=0,1,2,$

da cui

$z_0=\sqrt[3]{5}\left(\cos 0+i\sin 0\right)=\sqrt[3]{5},$

$z_1=\sqrt[3]{5}\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt[3]{5}}{2}(-1+i\sqrt{3}),$

$z_2=\sqrt[3]{5}\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt[3]{5}}{2}(-1-i\sqrt{3}).$

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$(4)$ Essendo

$1+i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right),$

si ha

$\begin{align*} z_k &= \sqrt[4]{1+i} = \sqrt[8]{2} \left(\cos\frac{\pi/4 + 2k\pi}{4} + i\sin\frac{\pi/4 + 2k\pi}{4}\right) \\ &= \sqrt[8]{2} \left(\cos\frac{(1 + 8k)\pi}{16} + i\sin\frac{(1 + 8k)\pi}{16}\right), \qquad k = 0, 1, 2, 3. \end{align*}$

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Esercizio 22 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare le seguenti radici:

$(1)\ \sqrt[5]{1-i},\qquad (2)\ \sqrt{-1+\sqrt{3i}},\qquad (3)\ \sqrt[4]{-2-2\sqrt{3i}}.$

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Soluzione .

$(1)$ Poichè

$1-i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right),$

si ha

$z_k=\sqrt[5]{1-i}=\sqrt[10]{2}\left(\cos\frac{3\pi/4+2k\pi}{5}+i\sin\frac{3\pi/4+2k\pi}{5}\right)=$

$=\sqrt[10]{2}\left(\cos\frac{(3+8k)\pi}{20}+i\sin\frac{(3+8k)\pi}{20}\right),\qquad k=0,1,2,3,4.$

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$(2)$ Essendo

$w_k=\sqrt{3i}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{i}=\sqrt{3}\left(\cos\frac{\pi/2+2k\pi}{2}+i\sin\frac{\pi/2+2k\pi}{2}\right),\qquad k=0,1,$

e quindi

$w_0=\sqrt{3}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{6}}{2}(1+i),$

$w_1=\sqrt{3}\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{6}}{2}(1+i),$

si devono calcolare le due radici

$\sqrt{-1+w_0}=\sqrt{-1+\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2} i},\qquad \sqrt{-1+w_1}=\sqrt{-1-\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2} i}.$

Essendo, per qualsiasi numero complesso $w$ ,

$|-1+w|^2=(-1+w)(-1+\bar{w})=1-w-\bar{w}+|w|^2=1+|w|^2-2\mathfrak{Re} w,$

si ha

$|-1+w_0|^2=1+\frac{6}{4}\cdot 2-\sqrt{6}=4-\sqrt{6}\implies |-1+w_0|=\sqrt{4-\sqrt{6}},$

$|-1+w_1|^2=1+\frac{6}{4}\cdot 2+\sqrt{6}=4+\sqrt{6}\implies |-1+w_1|=\sqrt{4+\sqrt{6}}.$

Detti poi

$\theta_k=\arg(-1+w_k)=\arctan(\sqrt{6}\pm 3),$

si ha

$\sqrt{-1+w_0}=\sqrt[4]{4-\sqrt{6}}\left(\cos\frac{\theta_0+2h\pi}{2}+i\sin\frac{\theta_0+2h\pi}{2}\right),\qquad h=0,1,$

$\sqrt{-1+w_1}=\sqrt[4]{4+\sqrt{6}}\left(\cos\frac{\theta_1+2h\pi}{2}+i\sin\frac{\theta_1+2h\pi}{2}\right),\qquad h=0,1.$

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$(3)$ Procedendo come prima si ottiene

$\sqrt[4]{-2-2w_0}=\sqrt[4]{-2-\sqrt{6}-\sqrt{6} i},\qquad \sqrt[4]{-2-2w_1}=\sqrt{-2+\sqrt{6}+\sqrt{6} i}.$

Se $w$ è un numero complesso, allora

$|-2-2w|^2=(-2-2w)(-2-2\bar{w})=4+4w+4\bar{w}+4|w|^2=4(1+|w|^2+2\mathfrak{Re} w),$

e quindi

$|-2-2w_0|^2=4(1+3+\sqrt{6})=4(4+\sqrt{6})\implies |-2-2w_0|=2\sqrt{4+\sqrt{6}},$

$|-2-2w_1|^2=4(1+3-\sqrt{6})=4(4-\sqrt{6})\implies |-2-2w_1|=2\sqrt{4-\sqrt{6}}.$

Detti poi

$\theta_k=\arg(-2-2w_k)=\arctan(\sqrt{6}\pm 3),$

si ha

$\sqrt{-2+2w_0}=2\sqrt[8]{4+\sqrt{6}}\left(\cos\frac{\theta_0+2h\pi}{4}+i\sin\frac{\theta_0+2h\pi}{4}\right),\qquad h=0,1,2,3,$

$\sqrt{-2-2w_1}=\sqrt[8]{4-\sqrt{6}}\left(\cos\frac{\theta_1+2h\pi}{4}+i\sin\frac{\theta_1+2h\pi}{4}\right),\qquad h=0,1,2,3.$

$\,$

Esercizio 23 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il luogo dei punti del piano dato dalla relazione $|z|=|z+i|$ .

$\,$

Soluzione .

Se $z=x+iy$ abbiamo $z+i=x+(1+y)i$ e quindi

$\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+1+2y+y^2}\implies x^2+y^2=x^2+1+2y+y^2,$

da cui

$1+2y=0\implies y=-\frac{1}{2}.$

Il luogo dei punti è allora la retta di equazione $y=-1/2$ (parallela all’asse delle ascisse).

$\,$

Esercizio 24 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il luogo dei punti del piano dato dalla relazione $\mathfrak{Re}(z^2)>2$ .

$\,$

Soluzione .

Se $z=x+iy$ allora

$z^2=(x+iy)^2=x^2+2ixy-y^2\implies \mathfrak{Re}(z^2)=x^2-y^2,$

e quindi il luogo dei punti è dato dall’equazione

$x^2-y^2>2\implies \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1,$

cioè la parte estrena all’iperbole equilatera riferita agli assi di semiassi $\sqrt{2}$ .

$\,$

Esercizio 25 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il luogo dei punti del piano dato dalla relazione $\mathfrak{Im}(z^{-1})=-1$ .

$\,$

Soluzione .

Se $z=x+iy$ allora

$\frac{1}{z}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}\implies \mathfrak{Im}(z^{-1})=-\frac{y}{x^2+y^2},$

e ne segue che il luogo dei punti cercato è determinato dall’equazione

$-\frac{y}{x^2+y^2}=-1\implies x^2+y^2-y=0,$

e quindi è la circonferenza di centro $C(0,1/2)$ e raggio $r=1/2$ .

$\,$

Esercizio 26 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere le seguenti equazioni

$(1)\ z^2+z+1=0,\qquad (2)\ z^3+2z=0,\qquad (3)\ z^4-2z^2-8=0.$

$\,$

Soluzione .

$(1)$ Possiamo scrivere

$z^2+z+1=\left(z+\frac{1}{2}\right)^2+3/4=0\implies z+\frac{1}{2}=\pm i\frac{\sqrt{3}}{2},$

e quindi le soluzioni

$z=-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}.$

$\,$

$(2)$ Abbiamo

$z^3+2z=0\implies z(z^2+2)=0\implies z=0,\ z^2=-2\implies z=0,\ z=\pm i\sqrt{2}.$

$\,$

$(3)$ Posto $t=z^2$ si ha

$t^2-2t-8=0\implies (t-1)^2-9=0\implies t-1=\pm 3\implies t_1=4,\ t_2=-2,$

da cui

$z^2=4\implies z=\pm 2,\qquad z^2=-2\implies z=\pm i\sqrt{2}.$

$\,$

Esercizio 27 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere le seguenti equazioni

$(1)\ z^6+z^3+1=0,\qquad (2)\ |z|=z+1,\qquad (3)\ z+\bar{z}=z^2.$

$\,$

Soluzione .

$(1)$ Posto $t=z^3$ , si ha

$t^2+t+1=0\implies t=-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Scritte le soluzioni per $t$ in forma trigonometrica

$t_1=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3},\qquad t_2=\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3},$

abbiamo

$z_{1,k}=\sqrt[3]{t_1}=\cos\frac{2\pi+6k\pi}{9}+i\sin\frac{2\pi+6k\pi}{9},\qquad k=0,1,2,$

$z_{2,k}=\sqrt[3]{t_2}=\cos\frac{4\pi+6k\pi}{9}+i\sin\frac{4\pi+6k\pi}{9},\qquad k=0,1,2.$

$\,$

$(2)$ Poniamo $z=\rho e^{i\theta}$ . Se $e^{i\theta}\neq 1$ , abbiamo

$\rho=\rho e^{i\theta}+1\implies \rho(1-e^{i\theta})=1\implies \rho=\frac{1}{1-e^{i\theta}}.$

Poichè $\rho\in\mathbb{R}$ , segue che anche

$\frac{1}{1-e^{i\theta}}\in\mathbb{R},$

e quindi, essendo

$\frac{1}{1-e^{i\theta}}=\frac{1}{1-\cos\theta-i\sin\theta}=\frac{(1-\cos\theta)+i\sin\theta}{(1+\cos\theta)^2+\sin^2\theta},$

deve essere

$\sin\theta=0\implies \theta=k\pi.$

Ma allora

$e^{ik\pi}=\left\{\begin{array}{lcl} 1 & & k=2n\\ & & \\ -1 & & k=2n+1 \end{array}\right.$

e quindi vanno presi solo i valori dispari di $k$ . Si ha dunque

$\rho=\frac{1}{1-e^{i(2n+1)\pi}}=\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2},$

e quindi le soluzioni

$z=\frac{1}{2} e^{i(2n+1)\pi}=-\frac{1}{2}.$

Se invece $e^{i\theta}=1$ , e quindi se $\theta=2n\pi$ , si ha

$\rho=\rho+1,$

che non ammette soluzioni.

$\,$

$(3)$ Posto $z=x+iy$ si ha

$x+iy+x-iy=x^2-y^2+2ixy\implies x^2-y^2-2x+i(2xy)=0,$

e quindi il sistema

$\left\{\begin{array}{l} x^2-y^2-2x=0\\ \\ 2xy=0. \end{array}\right.$

Dalla seconda equazione si ricava che $x=0,\ y=0$ , e quindi

$x=0\implies -y^2=0\implies y=0,$

$y=0\implies x^2-2x=0\implies x=0,\ x=2,$

e quindi le soluzioni

$z=0,\qquad z=2.$

$\,$

Esercizio 28 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere le seguenti equazioni

$(1)\ z^2+2iz-3=0,\qquad (2)\ iz^3=\bar{z},\qquad (3)\ z^2+(1-i)z-i=0.$

$\,$

Soluzione .

$(1)$ Abbiamo

$z^2+2iz-3=(z+i)^2-2=0\implies z+i=\pm\sqrt{2}\implies z=\pm\sqrt{2}-i.$

$\,$

$(2)$ Posto $z=\rho e^{i\theta}$ si ha

$i\rho^3 e^{i3\theta}=\rho e^{-i\theta}\implies \rho\left(i\rho^2 e^{i4\theta}-1\right)=0,$

da cui

$\rho=0,\qquad i\rho^2 e^{i4\theta}-1=0.$

Dalla prima si ricava la soluzione $z=0$ . La seconda si può scrivere come

$i\rho^2=e^{-i4\theta}\implies \rho^2=-i e^{-i4\theta}\in\mathbb{R},$

e quindi, essendo

$-i e^{-i4\theta}=-i[\cos(4\theta)-i\sin(4\theta)]=-\sin(4\theta)-i\cos(4\theta),$

deve essere

$\cos(4\theta)=0\implies 4\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi\implies \theta=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{4},$

con $k=0,\ldots 7$ . Ma allora

$-i e^{-i4\theta}=-i e^{-i(\pi/2+k\pi)}=-\sin\frac{\pi+2k\pi}{2}=\left\{\begin{array}{lcl} -1 & & k=2n\\ & & \\ 1 & & k=2n+1 \end{array}\right.$

Dovendo essere pure $-i e^{-i4\theta}>0$ (ricordando che $-i e^{-i4\theta}\in\mathbb{R}$ ), segue che dobbiamo scegliere solo i valori di $k$ dispari e si ha in tal caso

$\rho^2=1\implies \rho=1,$

e quindi le soluzioni

$z=e^{i(\pi/8+(2n+1)\pi/4)}=$

$\cos\frac{\pi(3+4n)}{8}+i\sin\frac{\pi(3+4n)}{8},\qquad n=0,1,2,3.$

$\,$

$(3)$ Moltiplicando per $-i$ si trova

$z^2+(1-i)z-i=0\implies (z+1-i)^2-(1-i)^2-i=0\implies (z+1-i)^2=-i,$

da cui, essendo

$\begin{align*} \sqrt{-i} &= \sqrt{\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}} \\ &= \cos\frac{3\pi + 4k\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi + 4k\pi}{4} \\ &= w_k, \qquad k = 0, 1. \end{align*}$

e quindi

$w_0=\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+i),\qquad w_1=\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i),$

da cui

$z_0=w_0-1+i=\frac{\sqrt{2}+2}{2}(-1+i),$

$z_1=w_1-1+i=\frac{\sqrt{2}-2}{2}(1-i).$

$\,$

Esercizio 29 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere le seguenti equazioni

$(1)\ i\mathfrak{Re} z+z^2=|z|^2+1,\qquad (2)\ (\bar{z})^4=|z|,\qquad (3)\ z+3i+(\mathfrak{Re} z)(i+(\mathfrak{Im} z)^2)=0.$

$\,$

Soluzione .

$(1)$ Posto $z=x+iy$ si ha

$ix+x^2-y^2+2ixy=x^2+y^2+1\implies 2y^2+1-i(1+2y)x=0,$

la quale porta alle condizioni

$2y^2+1=0,\qquad (1+2y)x=0,$

la prima delle quali non è soddisfatta da nessun numero reale. L’equazione non ammette, pertanto, soluzioni.

$\,$

$(2)$ Poniamo $z=\rho e^{i\theta}$ . Allora

$\rho^4 e^{-i4\theta}=\rho\implies \rho(\rho^3-e^{i4\theta})=0,$

da cui, o $\rho=0$ che porta alla soluzione $z=0$ , oppure

$\rho^3=e^{i4\theta}\in\mathbb{R}.$

Ma allora

$e^{i4\theta}=\cos(4\theta)+i\sin(4\theta)\in\mathbb{R}\implies \sin(4\theta)=0,$

e quindi

$4\theta=k\pi\implies \theta=\frac{k\pi}{4},\qquad k=0,\ldots,7.$

Essendo poi

$e^{i4\theta}=e^{i k\pi}=\cos(k\pi)=(-1)^k,$

segue che andranno scelti solo i valori di $k$ pari. Si hanno allora le soluzioni

$z_n=e^{i n\pi/2}=\cos\frac{n\pi}{2}+i\sin\frac{n\pi}{2},\qquad n=0,1,2,3,$

da cui

$z_0=1,\quad z_1=i,\quad z_2=-1,\quad z_3=-i.$

$\,$

$(3)$ Posto $z=x+iy$ si ha

$x+iy+3i+x(i+y^2)=0\implies x+xy^2+i(y+3+x)=0,$

da cui il sistema

$\left\{\begin{array}{l} x(1+y^2)=0\\ \\ x+y+3=0. \end{array}\right.$

La prima equazione ha soluzione solo se $x=0$ , per cui dalla seconda si ricava $y+3=0$ e quindi $y=-3$ . La soluzione dell’equazione è allora $z=-3i$ .

$\,$

Esercizio 30 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere le seguenti equazioni

$(1)\ 2|z|^2=z^3,\qquad (2)\ z-\frac{z}{|z|}+1=0,\qquad (3)\ z^4+2i|z|=0.$

$\,$

Soluzione .

$(1)$ Posto $z=\rho e^{i\theta}$ si ha

$2\rho^2=\rho^3 e^{i3\theta}\implies \rho^2(2-\rho e^{i3\theta})=0.$

Da $\rho=0$ si ricava la soluzione $z=0$ . Dall’altra si ha

$\rho=2 e^{-i3\theta}\in\mathbb{R},$

per cui

$2 e^{-i3\theta}=2[\cos(3\theta)-i\sin(3\theta)]\in\mathbb{R}\implies \sin(3\theta)=0,$

da cui

$3\theta=k\pi\implies \theta=\frac{k\pi}{3},\qquad k=0,\ldots,5.$

Avendosi poi

$2 e^{-i k\pi}=2\cos(k\pi)=2\cdot(-1)^k,$

dovremo scegliere solo i valori di $k$ pari. Segue che $\rho=2$ e le soluzioni

$z_n=2 e^{i 2n\pi/3}=2\left(\cos\frac{2n\pi}{3}+i\sin\frac{2n\pi}{3}\right),\qquad n=0,1,2.$

Si ha allora

$z_0=2,\quad z_1=-1+i\sqrt{3},\quad z_2=-1-i\sqrt{3}.$

$\,$

$(2)$ Posto $z=\rho e^{i\theta}$ si ha

$\rho e^{i\theta}-e^{i\theta}+1=0\implies \rho=1-e^{-i\theta}\mathbb{R},$

da cui

$1-e^{-i\theta}=1-\cos\theta+i\sin\theta\in\mathbb{R}\implies \sin\theta=0,$

e quindi

$\theta=0,\qquad \theta=\pi.$

Poichè

$\rho=1-e^{0}=0,\qquad \rho=1-e^{-i\pi}=2,$

e il primo valore del modulo va scartato, si ha la soluzione

$z=2e^{i\pi}=-2.$

$\,$

$(3)$ Posto $z=\rho e^{i\theta}$ si ha

$\rho^4 e^{i4\theta}+2i\rho=0\implies \rho(\rho^3 e^{i4\theta}+2i)=0,$

da cui, o $\rho=0$ e quindi la soluzione $z=0$ , oppure

$\rho^3=-2i e^{-i4\theta}\in\mathbb{R}.$

Essendo

$-2i e^{-i4\theta}=-2i[\cos(4\theta)-i\sin(4\theta)]=-2i\cos(4\theta)-2\sin(4\theta)\in\mathbb{R},$

deve essere

$\cos(4\theta)=0\implies 4\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi\implies \theta=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{4},\qquad k=0,\ldots,7.$

Avendosi pure

$\rho^3=-2i e^{-i(\pi/2+k\pi)}=-2\sin\frac{\pi(2k+1)}{2}=-2\cdot(-1)^k,$

dovremo scegliere solo i valori dispari di $k$ , e si ha $\rho^3=2\implies \rho=\sqrt[3]{2}$ . Ne segue che

$z_n=\sqrt[3]{2} e^{i(\pi/8+(2n+1)\pi/4)}=$

$=\sqrt[3]{2}\left(\cos\frac{\pi(3+4n)}{8}+i\sin\frac{\pi(3+4n)}{8}\right),\qquad n=0,1,2,3,$

$\,$

Riferimenti bibliografici

[1] Abate, M., Geometria, McGraw-Hill (1996).
[2] Pallino, P., Titolo del libro, Editore (1900).
[3] Rossi, M. & Verdi, G., Titolo del libro, Editore (1900).
[4] Qui Si Risolve, Funzioni elementari – Volume 1

$\,$

Tutta la teoria di analisi matematica

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Tutte le cartelle di Analisi Matematica

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Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

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Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
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MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

Document

Alessio Fulvi

2024-07-17

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Diego Aracri

2024-07-09

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Alessandro Morra

2024-06-20

Grazie, molto rigoroso e chiaro

martina toro

2024-06-13

Sito meraviglioso! Ho scoperto per caso questo sito perché cercavo le soluzioni degli esercizi di Fisica del libro "Elementi di Fisica. Elettromagnetismo e Onde" del Mazzoldi. Riescono a spiegare in modo chiaro ed esaustivo come si svolgono i problemi. Sono un'ottima risorsa per chi sta affrontando per la prima volta gli esercizi, ma anche per chi ha già una preparazione e vuole chiarire alcuni dubbi. Inoltre sono molto gentili e disponibili. Veramente un'ottima scoperta, consiglio a tutti.

Ugo Cozzi

2024-06-02

Uno dei più bei siti online di matematica e fisica. Dispense ben fatte. Impaginazione perfetta con Latex

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Sito ben fatto e con tanto materiale consultabile, sono cinquantenne autodidatta, ed ho trovato un valido aiuto

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