Esercizio su limite di integrali impropri

Calcolo di un integrale improprio

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Esercizio 1  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Si calcoli il limite

(1)   \begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \int_0^{+\infty} e^{nx} \big(2+ \sin (2x) \big)^2 \,\mathrm{d}x. \end{equation*}

 
Prima di presentare la soluzione, ricordiamo brevemente alcuni concetti teorici che utilizzeremo. Il lettore può utilizzare tali richiami come suggerimento, nel caso desiderasse sapere quali strumenti usare nello svolgimento.

Richiami teorici

In questo esercizio useremo il concetto di integrale improprio di una funzione su una semiretta.

Definizione 1 (integrale improprio). Sia f \colon [0,+\infty) \to \mathbb{R} una funzione che sia integrabile secondo Riemann su ogni insieme del tipo [0,R] con R >0. Si definisce integrale improprio di f nell’intervallo [0,+\infty) il limite (se esiste)

(2)   \begin{equation*} \int_0^{+\infty} f(x) \,\mathrm{d}x = \lim_{R \to +\infty}\int_0^R f(x) \,\mathrm{d}x. \end{equation*}

In altre parole, poiché non è sempre sensato calcolare le somme di Riemann di una funzione su insiemi illimitati, per definire l’integrale di f sull’insieme [0,+\infty) si calcolano gli integrali di f sugli insiemi [0,R] e poi se ne calcola il limite per R \to +\infty.

Ricordiamo inoltre il seguente principio di monotonia degli integrali.

Proposizione 2 (monotonia degli integrali). Siano f,g \colon [0,+\infty) \to \mathbb{R} delle funzioni tali che f(x) \geq g(x) per ogni x \in [0,+\infty). Allora si ha

(3)   \begin{equation*} \int_0^R f(x)\,\mathrm{d}x \geq \int_0^R g(x)\,\mathrm{d}x \qquad \forall R \geq 0. \end{equation*}

Passando al limite per R \to +\infty la disuguaglianza in (3), si ottiene che essa rimane valida anche per gli integrali impropri di f e g nell’intervallo [0,+\infty).

Possiamo ora presentare la soluzione dell’esercizio.

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Svolgimento dell’esercizio 1.

Fissiamo n \in \mathbb{N} e osserviamo che e^{nx} \geq 1 e 2+ \sin (2x) \geq 1 per ogni x \in [0,+\infty). Pertanto la funzione integranda soddisfa la disuguaglianza

(4)   \begin{equation*} e^{nx} \big(2+ \sin (2x) \big)^2 \geq 1 \qquad \forall x \in [0,+\infty). \end{equation*}

Si ha dunque

(5)   \begin{equation*} \int_0^{+\infty} e^{nx} \big(2+ \sin (2x) \big)^2 \,\mathrm{d}x = \lim_{R \to +\infty} \int_0^{R} e^{nx} \big(2+ \sin (2x) \big)^2 \,\mathrm{d}x \geq  \lim_{R \to +\infty} \int_0^{R} 1 \,\mathrm{d}x = \lim_{R \to +\infty} R = +\infty, \end{equation*}

dove la prima uguaglianza deriva dalla definizione di integrale improprio, mentre la disuguaglianza deriva da (4). Si evince che ogni termine della successione è infinito e quindi

(6)   \begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \int_0^{+\infty} e^{nx} \big(2+ \sin (2x) \big)^2 \,\mathrm{d}x = +\infty. \end{equation*}