Massimi e minimi per funzioni in più variabili: una guida essenziale

Massimi e minimi liberi e vincolati, Teoria Funzioni di più variabili

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Benvenuti nella nostra guida ai massimi e minimi per funzioni in più variabili.

Nelle applicazioni, una funzione di più variabili spesso rappresenta una grandezza fisica o una quantità che varia in relazione a dei parametri: ad esempio un’energia, una distanza, un costo, un profitto relativi a un particolare contesto. Un obiettivo fondamentale è quello di massimizzare o minimizzare queste quantità, e ciò corrisponde matematicamente a studiare le funzioni che le descrivono, in particolare determinandone massimi e minimi.

Questa dispensa è una guida che spiega i principali strumenti disponibili per effettuare questo studio:

Definizione di estremi per funzioni in più variabili;
Teorema di Fermat per funzioni in più variabili e classificazione dei punti stazionari in punti di massimo e minimo locale o di sella.
Determinazione della natura dei punti stazionari attraverso lo studio della matrice hessiana; condizioni necessarie e sufficienti nei casi in cui la matrice hessiana sia definita positiva o negativa, indefinita o semidefinita, attraverso lo studio del determinante hessiano e il criterio di Sylvester.
Strategie utili quando lo studio della matrice hessiana non consente di determinare la natura del punto stazionario in esame.

Il testo è completato dalle raccolte

con ulteriori e interessanti problemi svolti. Attraverso esempi dettagliati ed esercizi mirati, questa guida si rivela un’indispensabile risorsa didattica per chiunque desideri padroneggiare quest’area affascinante della matematica.
Buona lettura!

Sommario

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In questa dispensa vengono definiti e studiati i massimi e minimi di funzioni in più variabili. Si riassume la teoria necessaria per affrontare gli esercizi, ponendo l’attenzione al caso di due e tre variabili. Vengono esplorate anche situazioni in cui le funzioni da studiare non rispettano le ipotesi dei teoremi proposti, in cui i metodi tradizionali falliscono.

Autori e revisori

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Autori: Giulio Binosi

Revisori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi, Sara Sottile, Matteo Talluri.

Notazioni

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$\mathbb{N}$	Insieme dei numeri naturali;
$\mathbb{Z}$	Insieme dei numeri interi;
$\mathbb{R}$	Insieme dei numeri reali;
$\mathbb{R}^+$	Insieme dei numeri reali positivi;
$\mathbb{R}^-$	Insieme dei numeri reali negativi;
$\mathbb{R}^n$	Spazio euclideo $n$ -dimensionale;
$\partial A$	Frontiera dell’insieme $A$ ;
$A^\circ$	Parte interna dell’insieme $A$ ;
$\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$	Insieme delle matrici quadrate di ordine $n$ con coefficienti reali;
$\operatorname{Id}$	Matrice identità;
$\det(M)$	Determinante della matrice $M$ ;
$\dfrac{\partial f}{\partial x_i}$	Derivata parziale $i$ -esima di $f$ ;
$f_{x_ix_j},\dfrac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}$	Derivata parziale seconda rispetto alle variabili $x_i$ , $x_j$ ;
$\nabla^2f$	Matrice hessiana di $f$ ;
$\mathcal{C}^k(A)$	Spazio delle funzioni continue su $A$ , con derivate parziali di ordine $k$ continue su $A$ .

Introduzione

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Questa dispensa ha per soggetto lo studio della natura dei punti critici di funzioni di più variabili reali, capitolo fondamentale dei corsi di Analisi II per matematica, fisica ed ingegneria. La teoria sottostante agli esercizi si basa sullo studio della matrice hessiana (analogo multimensionale della derivata seconda) attraverso criteri riguardanti forme quadratiche (associate alla matrice hessiana per via della sua simmetria, [1, §6.3]). Vi è tuttavia un’evidente distinzione da sottolineare da cui dipende la difficoltà dell’esercizio e riguarda la definitezza della matrice hessiana stessa:

$\quad$

se la matrice hessiana della funzione valutata in uno dei suoi punti critici è definita o indefinita, l’esercizio può essere considerato “standard” e affrontabile con la teoria che sviluppiamo in queste note (vedi esercizio guida);

se, invece, la matrice hessiana risulta semidefinita, ma non definita, questa teoria non è efficace per concludere la natura di tale punto critico e altre tecniche devono essere utilizzate per conseguire questo obiettivo.

Purtroppo, nella seconda situazione, non vi è un approccio uniforme e devono essere utilizzati metodi da adattare caso per caso. Mostreremo con diversi esempi come affrontare queste situazioni. Esse possono consistere nel provare che il punto è di massimo, minimo o sella utilizzando esplicitamente la definizione (esempi 1.20, 1.19), oppure mediante altri metodi ad-hoc (esempio 1.34). Viene inoltre considerato il caso in cui la funzione non sia sufficientemente differenziabile (esempio 1.9).

L’ultima sezione è infine una raccolta di esercizi in cui si applica quanto espresso precedentemente.

Teoria in pillole

Introduzione.

In questa sezione fissiamo le definizioni e i concetti principali, rimandando a [1, §4] per approfondimenti.

Definizione 1.1 (punto critico). Sia $f:A\rightarrow\mathbb{R}$

una funzione, con $A\subseteq\mathbb{R}^n$

sottoinsieme aperto. Un punto $\overline{x}_0\in A$

si dice punto critico di $f$

se $f$

possiede derivate parziali in $\overline{x}_0$

e vale

$\begin{equation*} \nabla f(\overline{x}_0)\coloneqq \left(\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(\overline{x}_0),\dfrac{\partial f}{\partial x_2}(\overline{x}_0),...,\dfrac{\partial f}{\partial x_n}(\overline{x}_0)\right)=(0,...,0). \end{equation*}$

$\quad$

Esplicitamente, un punto $\overline{x}_0$ è punto critico di $f$ se è soluzione del seguente sistema ad $n$ equazioni

$\begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{\partial f}{\partial x_1}(\overline{x}_0)=0 \\ \quad \vdots \\ \dfrac{\partial f}{\partial x_n}(\overline{x}_0)=0. \end{cases} \end{equation*}$

Esempio 1.2. Sia $f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$ , definita da $f(x,y,z)\coloneqq 2xy+xz^2$ , per ogni $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ . I punti critici di $f$ soddisfano il seguente sistema di equazioni: Equations and Visualization

$\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=2y+z^2=0 \\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=2x=0\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=2xz=0. \end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} y=-\dfrac{z^2}{2} \\\\ x=0. \end{array}\right. \end{equation*}$

Dunque l’insieme dei punti critici di $f$ è la parabola $\Gamma$ in $\mathbb{R}^3$ parametrizzata da

(1) $\begin{equation*} \gamma(t)=\left(0,-\dfrac{t^2}{2},t\right) \qquad \forall t\in\mathbb{R} \end{equation*}$

e rappresentata in azzurro in figura 1.

Massimi e minimi per funzioni in più variabili

Figura 1: in azzurro la parabola $\Gamma$ , inclusa nel piano $yz$ , costituita dai punti critici della funzione $f$ dell’esempio 1.2.

$\quad$

Definizione 1.3. Sia $f:A\rightarrow\mathbb{R}$

una funzione, con $A\subseteq\mathbb{R}^n$

. Un punto $\overline{x}_0\in A$

si dice:

punto di massimo relativo se esiste un intorno aperto $\mathcal{U}_{\overline{x}_0}$ di $\overline{x}_0$ tale che $\begin{equation} f(\overline{x})\leq f(\overline{x}_0),\qquad\forall\bar{x}\in\mathcal{U}_{\overline{x}_0}\cap A; \end{equation}$
punto di minimo relativo se esiste un intorno aperto $\mathcal{U}_{\overline{x}_0}$ di $\overline{x}_0$ tale che $\begin{equation} f(\overline{x})\geq f(\overline{x}_0),\qquad\forall\bar{x}\in\mathcal{U}_{\overline{x}_0}\cap A; \end{equation}$
punto di sella se $\overline{x}_0$ è un punto critico di $f$ e per ogni intorno aperto $\mathcal{U}_{\overline{x}_0}$ di $\overline{x}_0$ , esistono $\overline{y},\overline{z}\in\mathcal{U}_{\overline{x}_0}\cap A$ tali che $\begin{equation} f(\overline{y})\leq f(\overline{x}_0)\leq f(\overline{z}), \end{equation}$ ossia se $\overline{x}_0$ non è né punto di massimo, né punto di minimo;

punto di massimo assoluto se

$\begin{equation*} f(\overline{x})\leq f(\overline{x}_0),\qquad\forall\bar{x}\in A; \end{equation*}$

punto di minimo assoluto se

$\begin{equation*} f(\overline{x})\geq f(\overline{x}_0),\qquad\forall\bar{x}\in A. \end{equation*}$

Infine, $f(\overline{x}_0)\in\mathbb{R}$ si dice massimo relativo (risp. assoluto) se $\overline{x}_0$ è un punto di massimo relativo (risp. assoluto); $f(\overline{x}_0)\in\mathbb{R}$ si dice minimo relativo (risp. assoluto) se $\overline{x}_0$ è un punto di minimo relativo (risp. assoluto);

$\quad$

Osservazione 1.4. È chiaro che se $\overline{x}_0$ è un punto di massimo (o minimo) assoluto è, in particolare, un punto di massimo (o minimo) relativo.

Esempio 1.5. Consideriamo la seguente funzione $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ , definita da

$\begin{equation*} f(x,y):=x^3-y^3-3x+12y,\qquad \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{equation*}$

Verifichiamo se $f$ ammette massimo o minimo assoluti.

Svolgimento. Condizione necessaria affinché $f$ ammetta massimo o minimo assoluti è che $f(\mathbb{R}^2)$ sia un sottoinsieme superiormente o inferiormente limitato di $\mathbb{R}$ . Tuttavia, presenteremo due direzioni lungo le quali la funzione assume valori in modulo sempre maggiori, tendenti ad infinito, contraddicendo la limitatezza di $f(\mathbb{R}^2)$ .

Consideriamo, ad esempio, la semiretta $\Gamma_+$ parametrizzata da

$\begin{equation*} \Gamma_+:=\{(t,0)\mid t\in\mathbb{R}^+\} \end{equation*}$

e rappresentata in verde in figura 2. La restrizione $f\big|_{\Gamma_+}$ di $f$ a $\Gamma_+$ risulta essere definita da

$\begin{equation*} f(t,0)=t^3-3t,\qquad \forall t \geq 0 \end{equation*}$

e allora

$\begin{equation*} \lim_{t\to+\infty}f(t,0)=+\infty. \end{equation*}$

Questo permette di concludere che $f$ non ammette massimo assoluto, poiché $f(\mathbb{R}^2)$ è superiormente illimitato.

Proviamo infine che $f$ non ammette nemmeno minimo. Consideriamo la semiretta

$\begin{equation*} \Gamma_-:=\{(t,0)\mid t\in\mathbb{R}^-\}=\{(-t,0)\mid (t,0)\in\Gamma_+\}, \end{equation*}$

rappresentata in rosso in figura 2. Dato che la restrizione di $f$ all’asse $x$ è una funzione dispari, risulta

$\begin{equation*} \lim_{t\to-\infty}f(t,0)=-\lim_{t\to-\infty}f(-t,0)=-\lim_{t\to+\infty}f(t,0)=-\infty. \end{equation*}$

Ciò prova che $f(\mathbb{R}^2)$ è inferiormente illimitato e dunque $f$ non ammette nemmeno minimo assoluto. In questo esempio viene enfatizzato separatamente che la funzione presenta cammini lungo cui è inferiormente e superiormente illimitata. Più sinteticamente, bastava osservare che la restrizione di $f$ all’asse $x$ è illimitata sia superiormente, sia inferiormente, in particolare $\sup f = + \infty$ e $\inf f=-\infty$ , cioè $f$ non ammette massimi e minimi assoluti.

$\quad$

Figura 2: le semirette $\Gamma_+$ e $\Gamma_-$ dell’esempio 1.6. La restrizione di $f$ a queste semirette è illimitata.

$\quad$

Esempio 1.6. Consideriamo la seguente funzione $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ , definita da

$\begin{equation*} f(x,y):=x^2+y^2,\qquad \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{equation*}$

Verifichiamo se $f$ ammette massimo o minimo assoluti.

Svolgimento. Osserviamo immediatamente che $f$ non è superiormente limitata, infatti, procedendo come nell’esempio precedente, consideriamo la retta $\Gamma\coloneqq\{(t,0)\mid t\in\mathbb{R}\}$ ; la restrizione di $f$ a $\Gamma$ è

$\begin{equation*} f(t,0)=t^2\qquad\forall t\in\mathbb{R}, \end{equation*}$

da cui

$\begin{equation*} \lim_{t\to\pm\infty}f(t,0)=+\infty. \end{equation*}$

Mostriamo tuttavia che $0=f(0,0)$ è minimo assoluto di $f$ . Ciò segue immediatamente dal fatto che

$\begin{equation*} f(x,y)=x^2+y^2\geq 0\qquad\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{equation*}$

Dunque $f$ ammette minimo assoluto pari a $0$ , ma non ammette massimo assoluto.

Teoremi del calcolo differenziale.

Presentiamo in questa sezione alcuni dei teoremi centrali riguardo lo studio di massimi e minimi attraverso l’analisi dei punti critici.

Il seguente teorema è fondamentale nello studio di problemi di massimo e minimo. Esso fornisce una condizione necessaria affinché una funzione differenziabile assuma massimo o minimo relativo in un punto, nonché una relazione tra punti di massimo (e minimo) e punti critici.

Teorema 1.7 (Fermat). Sia $f:A\rightarrow\mathbb{R}$

, con $A\subseteq\mathbb{R}^n$

. Supponiamo che

$\quad$

$\overline{x}_0$ sia un punto di massimo (o minimo) relativo di $f$ ;

$\overline{x}_0\in A^\circ$ ;

esistono le derivate parziali di $f$ in $\overline{x}_0$ .

Allora $\overline{x}_0$ è un punto critico di $f$ , ovvero vale

$\begin{equation*} \nabla f(\overline{x}_0)=(0,...,0). \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. Vedi [1, teorema 3.17].

Questo teorema stabilisce che nella ricerca dei punti di massimo e di minimo relativi di $f$ sia sufficiente considerare solamente i suoi punti critici o i punti in cui le derivate parziali di $f$ non esistono o, infine, i punti di frontiera del dominio. Ciò significa che è possibile scartare tutti i punti $\overline{x}$ interni al dominio, in cui le derivate parziali di $f$ esistono e $\nabla f(\overline{x})\neq(0,...,0)$ .

Osservazione 1.8. Sia la condizione $\overline{x}_0\in A^\circ$ , sia l’esistenza delle derivate parziali di $f$ in $\overline{x}_0$ sono necessarie per la validità del teorema di Fermat 1.7. Possiamo infatti considerare i seguenti controesempi in una dimensione, in cui le derivate parziali sono sostituite dall’unica derivata in senso ordinario:

Punto non interno: consideriamo $A = [0,1]$ e la funzione $f \colon [0,1] \to \mathbb{R}$ , definita da

$f(x)=x,\qquad \forall x\in[0,1].$

$\overline{x}_0=1$ è un punto di massimo relativo per $f$ e $f$ è differenziabile in $\overline{x}_0$ , tuttavia $\nabla f(\overline{x}_0)=f'(1)=1\neq 0$ . Tuttavia, il teorema di Fermat 1.7 non si applica poiché $1\in\partial A=A\setminus A^\circ$ . Lo stesso vale per il punto di minimo per $f$ , $\overline{x}_1=0$ , in cui il gradiente non si annulla, ma non sono rispettate le ipotesi del teorema, essendo $\overline{x}_1$ un punto di frontiera di $A$ .

Punto di non differenziabilità: consideriamo $A = [-1,1]$

e la funzione $f \colon [-1,1] \to \mathbb{R}$

, definita da

$f(x)=|x|,\qquad \forall x\in[-1,1].$

$\overline{x}_0=0$ è un punto di minimo relativo per $f$ e $0\in A^\circ$ , tuttavia non esiste $\nabla f(\overline{x}_0)$ , in particolare, non possiamo concludere che $\nabla f(\overline{x}_0)=0$ . In questo caso il teorema di Fermat 1.7 non si applica poiché non esiste la derivata di $f$ in $\overline{x}_0$ .

In generale, non è detto che le derivate parziali di una funzione esistano in ciascun punto del suo dominio. Occorre quindi studiare la natura di tali punti utilizzando altri metodi, che richiedono informazioni particolari sulla funzione in esame. Il prossimo esempio mostra come si possa procedere in uno di questi casi.

Esempio 1.9. Studiamo i punti stazionari e i punti di massimo o minimo locale di $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ , definita da

$\begin{equation*} f(x,y):=\sqrt{4x^2+y^2}, \qquad\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{equation*}$

Svolgimento. Mostriamo che $f$ non è derivabile in $(0,0)$ . Ricordiamo che $f$ è derivabile in $(0,0)$ se e solo se esistono finite le derivate parziali in $(0,0)$ . Proviamo a calcolare la derivata di $f$ rispetto ad $x$ applicando la definizione:

$\begin{equation*} \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0):=\lim_{h\to 0^\pm}\dfrac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to0^\pm}\dfrac{\sqrt{4h^2}}{h}=\lim_{h\to0^\pm}\dfrac{2|h|}{h}=\pm1. \end{equation*}$

Poiché limite destro e limite sinistro non coincidono, non esiste la derivata parziale di $f$ rispetto ad $x$ e quindi $f$ non è derivabile in $(0,0)$ . Concludiamo anche che $(0,0)$ non è un punto critico di $f$ , poiché per definizione un punto critico è un punto di derivabilità in cui si annulla il gradiente.

Ricerchiamo esplicitamente i punti critici di $f$ , calcolando il gradiente di $f$ attraverso le derivate parziali laddove esse esistono, ovvero su $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ . Assumiamo dunque $(x,y)\neq(0,0)$ e otteniamo

$\begin{equation*} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\dfrac{8x}{2\sqrt{4x^2+y^2}}=\dfrac{4x}{\sqrt{4x^2+y^2}} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\dfrac{2y}{2\sqrt{4x^2+y^2}}=\dfrac{y}{\sqrt{4x^2+y^2}}, \end{equation*}$

da cui

(2) $\begin{equation*} \nabla f(x,y)=\left(\dfrac{4x}{\sqrt{4x^2+y^2}},\dfrac{y}{\sqrt{4x^2+y^2}}\right)\qquad \forall(x,y)\neq(0,0). \end{equation*}$

I punti critici di $f$ sono allora le coppie $(x,y)\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0\}$ che annullano il gradiente, ovvero soddisfano

$\begin{equation*} \nabla f(x,y)=\left(\dfrac{4x}{\sqrt{4x^2+y^2}},\dfrac{y}{\sqrt{4x^2+y^2}}\right)=(0,0). \end{equation*}$

Risolviamo pertanto il sistema

$\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} \dfrac{4x}{\sqrt{4x^2+y^2}}=0\\\\ \dfrac{y}{\sqrt{4x^2+y^2}}=0. \end{array}\right. \end{equation*}$

Ricordiamo che abbiamo supposto $(x,y)\neq(0,0)$ , quindi $\sqrt{4x^2+y^2}\neq0$ e possiamo moltiplicare entrambi i membri di entrambe le equazioni per la quantità non nulla $\sqrt{4x^2+y^2}$ , ottenendo in questo modo

$\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} 4x=0\\\\ y=0 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=0\\\\ y=0. \end{array}\right. \end{equation*}$

L’unica soluzione del sistema è il punto $(x,y)=(0,0)$ che tuttavia non è accettabile, poiché l’equazione (2) vale solo per $(x,y)\neq(0,0)$ . Concludiamo allora che $f$ non ha punti critici.

Il fatto che $f$ non abbia punti critici non significa necessariamente che non presenti punti di massimo o minimo locale. Infatti, possiamo applicare il teorema di Fermat 1.7 solo sull’insieme aperto $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ , su cui $f$ è differenziabile: poiché nessun punto soddisfa la condizione necessaria imposta dal teorema di Fermat, concludiamo che $(x,y)$ non è punto di massimo o di minimo locale per $f$ , qualsiasi sia $(x,y)\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ .

Rimane, tuttavia, da indagare il punto di non derivabilità $(0,0)$ , su cui il criterio di Fermat non può essere applicato. Siamo costretti ad utilizzare la definizione di punto di massimo o di minimo relativo. Osserviamo infatti che $f$ è una funzione non negativa, ovvero $f(\mathbb{R}^2)\subseteq[0,+\infty)$ . Ciò significa che

$\begin{equation*} 0=f(0,0)\leq f(x,y)\qquad\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{equation*}$

Dunque, per definizione, $(0,0)$ è un punto di minimo assoluto per $f$ e, in particolare, è anche un punto di minimo relativo per $f$ . Il grafico di $f$ in un intorno dell’origine è rappresentato in figura 3.

$\quad$

Figura 3: grafico della funzione $f$ dell’esempio 1.9. Si vede che $f$ non è differenziabile nell’origine, ma tale punto è di minimo assoluto.

$\quad$

Nei punti di regolarità, il prossimo strumento si rivelerà fondamentale.

Definizione 1.10 (matrice hessiana). Sia $A\subseteq\mathbb{R}^n$

un insieme aperto, $f:A\rightarrow\mathbb{R}$

una funzione e sia $\overline{x}\in A$

. Supponiamo che in $\overline{x}$

esistano tutte le derivate seconde parziali di $f$

, $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(\overline{x})$

, per $i,j=1,...,n$

. Si definisce matrice hessiana di $f$

in $\overline{x}$

la matrice contenente tutte le derivate parziali seconde di $f$

in $\overline{x}$

$\begin{equation*} \nabla^2f(\overline{x})\coloneqq \begin{pmatrix} \dfrac{\partial^2f}{\partial x_1^2}(\overline{x})&\dfrac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_2}(\overline{x})&\cdot\cdot\cdot&\dfrac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_n}(\overline{x})\\[5pt] \dfrac{\partial^2f}{\partial x_2\partial x_1}(\overline{x})&\dfrac{\partial^2f}{\partial x_2^2}(\overline{x})&\cdots&\dfrac{\partial^2f}{\partial x_2\partial x_n}(\overline{x})\\[5pt] \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\[5pt] \dfrac{\partial^2f}{\partial x_n\partial x_1}(\overline{x})&\dfrac{\partial^2f}{\partial x_n\partial x_2}(\overline{x})&\cdot\cdot\cdot&\dfrac{\partial^2f}{\partial x_n^2}(\overline{x}) \end{pmatrix}. \end{equation*}$

$\quad$

Il seguente teorema afferma che, sotto opportune ipotesi di regolarità, la matrice hessiana è sempre simmetrica.

Teorema 1.11 (Schwarz). Sia $A \subseteq \mathbb{R}^n$

un insieme aperto e sia $f \colon A \to \mathbb{R}$

una funzione di classe $\mathcal{C}^2(A)$

¹. Allora per ogni $i,j=1,...,n$

e per ogni $\overline{x}\in A$

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(\overline{x})=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}(\overline{x}).$

In altre parole, la matrice hessiana $\nabla^2f$ è simmetrica.

Una funzione $f$ si dice di classe $\mathcal{C}^2(A)$ su un insieme aperto $A$ se la funzione stessa e le sue derivate di primo e secondo ordine sono funzioni continue su $A$ . ↩

$\quad$

Dimostrazione. Vedi [1, teorema 3.14].

Esempio 1.12. Sia $f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$ , definita da $f(x,y,z)\coloneqq x^3+xy^2z$ , per ogni $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ . Calcoliamo la matrice hessiana di $f$ .

Svolgimento. Calcoliamo le derivate prime parziali di $f$ :

$\begin{equation*} \begin{split} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)&=3x^2+y^2z,\qquad\forall(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)&=2xyz,\qquad\forall(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\\ \dfrac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)&=xy^2,\qquad\forall(x,y,z)\in\mathbb{R}^3. \end{split} \end{equation*}$

Ora le derivate seconde: essendo $f$ un polinomio, è in particolare di classe $\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2)$ , pertanto, dal teorema di Schwarz 1.11, basterà calcolare sei derivate, anziché nove. In ogni punto $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ , si ha

$\begin{equation*} \begin{split} &\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}(x,y,z)=6x,\qquad \dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x,y,z)=2yz=\dfrac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(x,y,z),\\\\ &\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial z}(x,y,z)=y^2=\dfrac{\partial^2f}{\partial z\partial x}(x,y,z),\qquad\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}(x,y,z)=2xz,\\\\ &\dfrac{\partial^2f}{\partial y\partial z}(x,y,z)=2xy=\dfrac{\partial^2f}{\partial z\partial y}(x,y,z),\qquad\dfrac{\partial^2f}{\partial z^2}(x,y,z)=0. \end{split} \end{equation*}$

Dunque, la matrice hessiana di $f$ risulta essere

$\begin{equation*} \nabla^2f(x,y,z)=\begin{pmatrix} 6x&2yz&y^2\\\\ 2yz&2xz&2xy\\\\ y^2&2xy&0 \end{pmatrix},\qquad\forall (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \end{equation*}$

che è, appunto, simmetrica.

Dato un punto critico, esso potrebbe essere un punto di massimo relativo, un punto di minimo relativo, oppure un punto di sella. Per indagare la sua natura, richiamiamo il seguente teorema.

Teorema 1.13 (Taylor). Sia $A \subseteq \mathbb{R}^n$

un insieme aperto e sia $f \colon A \to \mathbb{R}$

una funzione di classe $\mathcal{C}^2(A)$

. Allora per ogni $\overline{x}_0\in A$

esiste un intorno aperto $\mathcal{U}_{\overline{x}_0}$

di $\overline{x}_0$

in cui vale

$\begin{equation*} f(\overline{x})=f(\overline{x}_0)+\nabla f(\overline{x}_0)\cdot (\overline{x}-\overline{x}_0)+\dfrac{1}{2}(\overline{x}-\overline{x}_0)^t\cdot\nabla^2f(\overline{x}_0)\cdot(\overline{x}-\overline{x}_0)+R(\overline{x}),\qquad\forall \overline{x}\in\mathcal{U}_{\overline{x}_0}, \end{equation*}$

dove $R(\overline{x})=o(||\overline{x}-\overline{x}_0||^2)$ , ovvero soddisfa

$\begin{equation*} \lim_{\overline{x}\to\overline{x}_0}\dfrac{R(\overline{x})}{||\overline{x}-\overline{x}_0||^2}=0. \end{equation*}$

Il polinomio

$\begin{equation*} T^2_{f,\overline{x}_0}(\overline{x}):=f(\overline{x}_0)+\nabla f(\overline{x}_0)\cdot (\overline{x}-\overline{x}_0)+\dfrac{1}{2}(\overline{x}-\overline{x}_0)^t\cdot\nabla^2f(\overline{x}_0)\cdot(\overline{x}-\overline{x}_0) \end{equation*}$

è l’unico polinomio di secondo grado che verifica le condizioni precedenti e viene detto polinomio di Taylor di grado 2 di $f$ con centro $\overline{x}_0$ .

$\quad$

Dimostrazione. Vedi [1, teorema 3.15].

Osservazione 1.14. Il teorema di Taylor afferma che il polinomio di Taylor di secondo grado di una funzione $f$ con centro $\overline{x}_0$ rappresenta la parabola che meglio approssima $f$ in un intorno di $\overline{x}_0$ . Infatti esso è l’unico polinomio di secondo grado che, in un intorno di $x_0$ , soddisfa

$\begin{equation*} f(\overline{x})-T^2_{f,\overline{x}_0}=o(||\overline{x}-\overline{x}_0||^2), \end{equation*}$

cioè approssima $f$ con un resto che è un infinitesimo di ordine superiore al secondo.

Il prossimo corollario applica il precedente teorema al caso in cui $\overline{x}_0$ sia un punto critico.

Corollario 1.15. Sia $A \subseteq \mathbb{R}^n$

un insieme aperto, $f \colon A \to \mathbb{R}$

una funzione di classe $\mathcal{C}^2(A)$

e $\overline{x}_0\in A$

un punto critico di $f$

. Allora, esiste un intorno di $\mathcal{U}_{\overline{x}_0}$

di $\overline{x}_0$

in cui vale

$\begin{equation*} f(\overline{x})-f(\overline{x}_0)=\dfrac{1}{2}(\overline{x}-\overline{x}_0)^t\cdot\nabla^2f(\overline{x}_0)\cdot(\overline{x}-\overline{x}_0)+o(||\overline{x}-\overline{x}_0||^2),\qquad\forall \overline{x}\in\mathcal{U}_{\overline{x}_0}. \end{equation*}$

$\quad$

A questo punto, mettiamo insieme i risultati e torniamo al problema iniziale dello studio dei massimi e minimi relativi di una funzione. Per definizione, sappiamo che $\overline{x}_0$ è un punto di massimo (minimo, rispettivamente) relativo per $f$ se esiste un intorno $\mathcal{U}_{\overline{x}_0}$ di $\overline{x}_0$ in cui vale

$\begin{equation*} f(\overline{x})-f(\overline{x}_0)\leq 0 \qquad (f(\overline{x})-f(\overline{x}_0)\geq 0 , \ \text{risp.}),\qquad\forall \overline{x}\in\mathcal{U}_{\overline{x}_0}. \end{equation*}$

Per il teorema di Fermat 1.7, i punti di massimo o minimo relativi di una funzione differenziabile vanno ricercati tra i suoi punti critici e per il corollario 1.15 il segno di $f(\overline{x})-f(\overline{x}_0)$ in un intorno di $\overline{x}_0$ dipende prevalentemente dal segno di

$(\overline{x}-\overline{x}_0)^t\cdot\nabla^2f(\overline{x}_0)\cdot(\overline{x}-\overline{x}_0),$

poiché il resto è un infinitesimo di ordine superiore. Questa osservazione sarà alla base del criterio che formuleremo per studiare la natura dei punti critici.

Forma quadratica associata alla matrice hessiana.

A questo punto è utile richiamare alcune definizioni dell’algebra lineare, riguardanti le forme quadratiche.

Definizione 1.16. Sia $M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$

una matrice simmetrica di ordine $n$

. Si definisce la forma quadratica associata a $M$

la funzione $Q_M:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$

definita da

$\begin{equation*} Q_M(v):=v^t\cdot M \cdot v,\qquad \forall v \in \mathbb{R}^n. \end{equation*}$

Una forma quadratica $Q_M$ si dice

$\quad$

definita positiva se per ogni $v\in\mathbb{R}^n\setminus\{\overline{0}\}$ vale $\textcolor{red}{Q(v)>0}$ ;

definita negativa se per ogni $v\in\mathbb{R}^n\setminus\{\overline{0}\}$ vale $\textcolor{red}{Q(v)<0}$ ;

semidefinita positiva se per ogni $v\in\mathbb{R}^n$ vale $\textcolor{red}{Q(v)\geq0}$ ;

semidefinita negativa se per ogni $v\in\mathbb{R}^n$ vale $\textcolor{red}{Q(v)\leq 0}$ ;

indefinita se esistono due vettori $v_+,v_-\in\mathbb{R}^n$ tali che $\textcolor{red}{Q(v_+)>0}$ e $\textcolor{red}{Q(v_-)<0}$ .

Infine, diremo che una matrice simmetrica è definita postiva (negativa, semindefinita o indefinita, rispettivamente) se lo è la sua forma quadratica associata.

$\quad$

Mettendo insieme la definizione precedente con il corollario, otteniamo il seguente teorema.

Teorema 1.17. Sia $f:A\subseteq\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$

una funzione di classe $\mathcal{C}^2(A)$

e sia $\overline{x}_0\in A^\circ$

un punto critico di $f$

. Allora valgono le seguenti implicazioni:

$\quad$

se $\nabla^2f(\overline{x}_0)$ è definita positiva, $\overline{x}_0$ è un punto di minimo locale di $f$ ;

se $\nabla^2f(\overline{x}_0)$ è definita negativa, $\overline{x}_0$ è un punto di massimo locale di $f$ ;

se $\nabla^2f(\overline{x}_0)$ è semidefinita positiva e non nulla, $\overline{x}_0$ è un punto di minimo locale o un punto di sella di $f$ ;

se $\nabla^2f(\overline{x}_0)$ è semidefinita negativa e non nulla, $\overline{x}_0$ è un punto di massimo locale o un punto di sella di $f$ ;

se $\nabla^2f(\overline{x}_0)$ è indefinita, $\overline{x}_0$ è un punto di sella di $f$ .

$\quad$

Dimostrazione. Dimostriamo solo il caso in cui $\nabla^2f(\overline{x}_0)$ è definita positiva o indefinita.

Supponiamo $\nabla^2f(\overline{x}_0$ definita positiva. Dal teorema di Taylor 1.13, ricordando che $\overline{x}_0$ è un punto critico di $f$ , esiste un intorno $\mathcal{U}_{\overline{x}_0}$ di $\overline{x}_0$ tale che

$\begin{equation*} \begin{split} f(\overline{x})-f(\overline{x}_0)&=\dfrac{1}{2}(\overline{x}-\overline{x}_0)^t\cdot\nabla^2f(\overline{x}_0)\cdot(\overline{x}-\overline{x}_0)+o(||\overline{x}-\overline{x}_0||^2)\\ &=\dfrac{1}{2}Q_{\nabla^2f(\overline{x}_0)}(\overline{x}-\overline{x}_0)+o(||\overline{x}-\overline{x}_0||^2)\qquad\forall\overline{x}\in\mathcal{U}_{\overline{x}_0}. \end{split} \end{equation*}$

Per ipotesi, $\nabla^2f(\overline{x}_0)$ è definita positiva e $o(||\overline{x}-\overline{x}_0||^2)$ tende a zero più velocemente di $Q_{\nabla^2f(\overline{x}_0)}(\overline{x}-\overline{x}_0)$ per $\overline{x}\to\overline{x}_0$ , si ha

$\begin{equation*} f(\overline{x})-f(\overline{x}_0)>0, \end{equation*}$

per ogni $\overline{x}$ sufficientemente vicino a $\overline{x}_0$ , ovvero $\overline{x}_0$ è un punto di minimo locale.

Supponiamo ora che $\nabla^2f(\overline{x}_0)$ sia indefinita, ovvero esistono due vettori $v,w\in\mathbb{R}^n\setminus\{\overline{0}\}$ tali che $Q_{\nabla^2f(\overline{x}_0)}(v)>0$ e $Q_{\nabla^2f(\overline{x}_0)}(w)<0$ . Applicando nuovamente il teorema di Taylor 1.13 otteniamo

$\begin{equation*} f(\overline{x}_0+tv)-f(\overline{x}_0)=\dfrac{1}{2}Q_{\nabla^2f(\overline{x}_0)}(tv)+o(||tv||^2)>0, \end{equation*}$

$\begin{equation*} f(\overline{x}_0+tw)-f(\overline{x}_0)=\dfrac{1}{2}Q_{\nabla^2f(\overline{x}_0)}(tw)+o(||tw||^2)<0, \end{equation*}$

per ogni $t\neq0$ sufficientemente piccolo. Ciò significa che in ogni intorno di $\overline{x}_0$ esistono punti $\overline{y},\overline{z}$ tali che

$\begin{equation*} f(\overline{y})<f(\overline{x}_0)<f(\overline{z}), \end{equation*}$

ovvero $\overline{x}_0$ è un punto di sella.

Osservazione 1.18. Dal teorema precedente possiamo notare che solo nel caso in cui $\nabla^2f(\overline{x}_0)$ sia definita (positivamente o negativamente) o indefinita, l’analisi della definitezza della matrice hessiana conclude lo studio del problema di determinare la natura dei punti critici.

Al contrario, se la matrice è semidefinita ma non definita tale studio porta ad una conclusione parziale e sono necessari altri strumenti per determinare la natura del punto critico.

Vediamo due esempi in cui lo studio della matrice hessiana non è conclusivo, poiché semidefinita, ma non definita. In un caso il punto critico in questione è un punto di sella, nell’altro un punto di minimo.

Esempio 1.19. Sia data la seguente funzione $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ , definita da

$\begin{equation*} f(x,y):=(x^2-y-1)(1-x^2-y^2), \qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{equation*}$

Verifichiamo che i punti $(1,0)$ , $(-1,0)$ e $(0,-1)$ sono punti critici di $f$ e studiamone la natura.

Svolgimento. Osserviamo che $f$ , essendo un polinomio è di classe almeno $\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2)$ . Calcoliamo il gradiente di $f$ attraverso le sue derivate parziali:

$\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)&=2x(1-x^2-y^2)-2x(x^2-y-1)=2x(1-x^2-y^2-x^2+y+1)\\ &=2x(2-2x^2-y^2+y)\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)&=-(1-x^2-y^2)-2y(x^2-y-1)=3y^2-2x^2y+x^2+2y-1\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2 \end{aligned}$

dunque il gradiente di $f$ vale

$\begin{equation*} \nabla f(x,y)=\left(2x(2-2x^2-y^2+y),3y^2-2x^2y+x^2+2y-1\right)\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{equation*}$

È immediato osservare che i punti $P_1=(1,0)$ , $P_2=(-1,0)$ e $P_3=(0,-1)$ annullano il gradiente e dunque sono punti critici di $f$ .

Per comprendere la natura dei punti critici è utile studiare la definitezza della matrice hessiana di $f$ valutata in essi. Calcoliamo le derivate seconde di $f$ per costruire la matrice hessiana:

$\begin{aligned} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)&=2(2-2x^2-y^2+y)-8x^2=-2(6x^2+y^2-y-2)\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2\\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)&=-4xy+2x=\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x,y)\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2\\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)&=2(3y-x^2+1)\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{aligned}$

Dunque la matrice hessiana di $f$ risulta essere

$\begin{equation*} \nabla^2f(x,y)=\begin{pmatrix} -2(6x^2+y^2-y-2)&-4xy+2x\\\\ -4xy+2x&2(3y-x^2+1) \end{pmatrix}\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{equation*}$

Valutiamo la matrice in $P_1$ , $P_2$ e $P_3$ :

$\begin{equation*} \nabla^2f(P_1)=\begin{pmatrix} -8&2\\ 2&0 \end{pmatrix},\qquad \nabla^2f(P_2)=\begin{pmatrix} -8&-2\\ -2&0 \end{pmatrix},\qquad \nabla^2f(P_3)=\begin{pmatrix} 0&0\\ 0&-4 \end{pmatrix}. \end{equation*}$

Per ciascun punto studiamo la definitezza della rispettiva matrice hessiana attraverso la forma quadratica associata.

$P_1$ ) Sia $Q_1:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ la forma quadratica associata a $\nabla^2f(P_1)$ . Per definizione, essa si definisce tramite

$\begin{equation*} \begin{split} Q_1(x,y)&=(x,y)\cdot\nabla^2f(P_1)\cdot\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}=(x,y)\cdot\begin{pmatrix} -8&2\\ 2&0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}= \\ &=(x,y)\cdot \begin{pmatrix} -8x+2y\\ 2x\end{pmatrix}=-8x^2+4xy\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{split} \end{equation*}$

Si tratta di una forma quadratica indefinita, poiché possiamo prendere $v_1=(1,0)$ e $v_2=(1,3)$ , per cui risulta

$\begin{equation*} Q_1(v_1)=-8<0,\qquad Q_1(v_2)=4>0. \end{equation*}$

Ciò significa che $\nabla^2f(P_1)$ è indefinita e pertanto $P_1$ è un punto di sella per il teorema 1.17, visibile in figura 4.

$\quad$

Figura 4: grafico della funzione $f$ in un intorno del punto $P_1$ ; si vede che tale punto è di sella per $f$ .

$\quad$

$P_2$ ). Sia nuovamente $Q_2:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ la forma quadratica associata a $\nabla^2f(P_2)$ :

$\begin{equation*} \begin{split} Q_2(x,y)&=(x,y)\cdot\nabla^2f(P_2)\cdot\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}= (x,y)\cdot\begin{pmatrix} -8&-2\\ -2&0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}\\ &=(x,y)\cdot \begin{pmatrix} -8x-2y\\ -2x\end{pmatrix}=-8x^2-4xy\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{split} \end{equation*}$

Anche $Q_2$ è indefinita, basti prendere questa volta $v_1=(1,0)$ e $v_2=(1,-3)$ . Otteniamo quindi che anche $P_2$ è un punto di sella, ancora applicando il teorema 1.17.

$P_3$ ). Calcoliamo anche $Q_3:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ , la forma quadratica associata a $\nabla^2f(P_3)$ :

$\begin{equation*} \begin{split} Q_3(x,y)&=(x,y)\cdot\nabla^2f(P_3)\cdot\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}= (x,y)\cdot\begin{pmatrix} 0&0\\ 0&-4 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}\\ &=(x,y)\cdot \begin{pmatrix} 0\\ -4y\end{pmatrix}=-4y^2\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{split} \end{equation*}$

In questo caso $Q_3$ è semidefinita negativa, ma non definita negativa. Infatti $Q_3(v)\leq0$ , per ogni $v\in\mathbb{R}^2$ , tuttavia $Q_3(1,0)=0$ , anche se $||(1,0)||=1\neq0$ . Poiché $\nabla^2f(P_3)$ è semidefinita negativa e non nulla, lo studio della definitezza di $\nabla^2f(P_3)$ non è conclusivo. Il teorema 1.17 afferma che $P_3$ potrebbe essere sia un punto di massimo relativo che un punto di sella e per determinarne la natura sarà necessario uno studio più profondo.

Osserviamo che $f(P_3)=0$ , dunque basterà studiare il segno di $f$ su un qualsiasi intorno di $P_3$ per determinarne la natura: se il segno di $f$ rimane costante $P_3$ è un punto di massimo relativo, se invece $f$ assume valori discordi $P_3$ risulterà essere un punto di sella. Studiamo allora il segno di $f$ :

(3) $\begin{equation*} f(x,y)\geq0\iff (x^2-y-1)(1-x^2-y^2)\geq0. \end{equation*}$

Conviene studiare separatamente i due fattori, si veda anche la figura 5:

(4) $\begin{equation*} x^2-y-1\geq0\iff y\leq x^2-1; \end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} 1-x^2-y^2\geq0\iff x^2+y^2\leq 1. \end{equation*}$

$\quad$

in verde, la regione del piano descritta da (4)

in verde, la regione del piano descritta da (5)

Figura 5: le regioni in cui i fattori presenti in (3) sono positivi.

$\quad$

Da questo concludiamo che

$\begin{equation*} f(x,y)\geq 0\iff (x,y)\in A\cup B, \end{equation*}$

dove

$\begin{equation*} A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon y\leq x^2-1\wedge x^2+y^2\leq1\} \end{equation*}$

$\begin{equation*} B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon y\geq x^2-1\wedge x^2+y^2\geq1\}. \end{equation*}$

La regione $A \cup B$ è rappresentata in verde in figura 6.

Figura 6: in verde le regioni $A$ e $B$ in cui $f \geq 0$ .

Osserviamo infine che, come rappresentato in figura 7, ogni intorno aperto di $P_3$ interseca sia $A\cup B$ , dove la funzione è positiva o nulla, sia $(A\cup B)^c$ dove la funzione è negativa o nulla. Ciò significa che in ogni intorno aperto di $P_3$ la funzione $f$ cambia segno. Per quanto affermato in precedenza, anche $P_3$ è un punto di sella, come si evince anche dal grafico di figura 8.

Figura 7: in turchese il luogo dei punti in cui $f\geq0$ , mentre in rosso l’insieme in cui $f\leq0$ . Ciascun intorno di $P_3$ interseca entrambe le regioni.

Figura 8: una curva lungo cui $f$ presenta un minimo, immagine della curva a sinistra, che in un intorno di $P_3$ è nella regione verde.

Esempio 1.20. Sia data la seguente funzione $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ , definita da

$\begin{equation*} f(x,y):=x^4-xy^2+y^2,\qquad\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{equation*}$

Calcoliamo i punti critici di $f$ e studiamone la natura.

Svolgimento. Osserviamo che $f$ , essendo prodotto e somma di funzioni differenziabili è essa stessa differenziabile. Calcoliamo il gradiente di $f$ attraverso le sue derivate parziali:

(6) $\begin{equation*} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=4x^3-y^2, \quad \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-2xy+2y=2y(1-x)\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2 \end{equation*}$

dunque il gradiente di $f$ risulta essere

$\begin{equation*} \nabla f(x,y)=\left(4x^3-y^2,2y(1-x)\right)\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{equation*}$

I punti critici di $f$

sono le coppie $(x,y)\in\mathbb{R}^2$

, soluzione dell’equazione vettoriale $\nabla f(x,y)=(0,0)$

, ovvero le soluzioni del sistema

$\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=4x^3-y^2=0\\[9pt] \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y(1-x)=0. \end{array} \right. \end{equation*}$

Osserviamo che la seconda equazione si annulla solamente per $x=1$ oppure $y=0$ . Inserendo la condizione $x=1$ , la prima equazione diventa

$\begin{equation*} 4-y^2=0 \iff y^2=4 \iff y=\pm2. \end{equation*}$

Abbiamo dunque trovato i primi due punti critici di $f$ : $P_1=(1,2)$ e $P_2=(1,-2)$ , in arancio in figura 9.

Supponendo invece $y=0$ nella prima equazione essa risulta $x=0$ , trovando così l’ultimo punto critico di $f$ , $P_3=(0,0)$ , in giallo in figura 9.

Figura 9: i punti critici di $f$ .

Come al solito, calcoliamo la matrice hessiana di $f$ e valutiamola nei punti critici appena trovati per indagare la loro natura. Non è detto, però, che questo studio sia conclusivo. Calcoliamo prima le derivate seconde di $f$ :

$\begin{aligned} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=12x^2\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2,\\[4pt] & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)=-2y =\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x,y)\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2,\\[4pt] & \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=-2x+2\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{aligned}$

Dunque la matrice hessiana di $f$ risulta essere

$\begin{equation*} \nabla^2f(x,y)=\begin{pmatrix} 12x^2&-2y\\\\ -2y&-2x+2 \end{pmatrix}\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{equation*}$

Valutiamo la matrice in $P_1$ , $P_2$ e $P_3$ :

$\begin{equation*} \nabla^2f(1,2)=\begin{pmatrix} 12&-4\\ -4&0 \end{pmatrix},\qquad \nabla^2f(1,-2)=\begin{pmatrix} 12&4\\ 4&0 \end{pmatrix},\qquad\nabla^2f(0,0)=\begin{pmatrix} 0&0\\ 0&2 \end{pmatrix}. \end{equation*}$

Per ciascun punto studiamo la definitezza della rispettiva matrice hessiana attraverso la forma quadratica associata.

$P_1$ ) Sia $Q_1:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ la forma quadratica associata a $\nabla^2f(P_1)$ . Per definizione, essa si definisce tramite

$\begin{equation*} \begin{split} Q_1(x,y)&=(x,y)\cdot\nabla^2f(P_1)\cdot\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} \\ &= (x,y)\cdot\begin{pmatrix} 12&-4\\ -4&0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}\\ &=(x,y)\cdot \begin{pmatrix} 12x-4y\\ -4x\end{pmatrix} \\ &= 12x^2-8xy\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{split} \end{equation*}$

Si tratta di una forma quadratica indefinita, infatti, detti $v_1=(1,0)$ e $v_2=(1,2)$ , risulta

$\begin{equation*} Q_1(v_1)=12>0,\qquad Q_1(v_2)=-4<0. \end{equation*}$

Ciò significa che $\nabla^2f(P_1)$ è indefinita e pertanto dal teorema 1.17, $P_1$ è un punto di sella, visibile anche dal grafico in figura 10.

$\quad$

Figura 10: rappresentazione di $f$ in un intorno del punto critico $P_1$ .

$\quad$

$P_2$ ) Sia nuovamente $Q_2:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ la forma quadratica associata a $\nabla^2f(P_2)$ :

$\begin{equation*} \begin{split} Q_2(x,y)&=(x,y)\cdot\nabla^2f(P_2)\cdot\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}= (x,y)\cdot\begin{pmatrix} 12&4\\ 4&0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}\\ &=(x,y)\cdot \begin{pmatrix} 12x4y\\ 4x\end{pmatrix}=12x^2+8xy\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{split} \end{equation*}$

È possibile dimostrare l’indefinitezza di $Q_2$ , prendendo come vettori test $v_1=(1,0)$ e $v_2=(1,-2)$ . Applicando nuovamente il teorema 1.17, troviamo che $P_2$ è un punto di sella.

$P_3$ ) Infine, detta $Q_3:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ la forma quadratica associata a $\nabla^2f(P_3)$ , si ha

$\begin{equation*} \begin{split} Q_3(x,y)&=(x,y)\cdot\nabla^2f(P_3)\cdot\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}=(x,y)\cdot\begin{pmatrix} 0&0\\ 0&2 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}=(x,y)\cdot \begin{pmatrix} 0\\ 2y\end{pmatrix}=2y^2\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{split} \end{equation*}$

Abbiamo già visto essere una forma quadratica non nulla, semidefinita positiva, ma non definita positiva. Il teorema ?? implica che $P_1$ può sia essere un punto di sella, sia un punto di minimo relativo e lo studio della matrice hessiana non è in grado di fornirci informazioni più dettagliate.

Osserviamo che anche in questo caso $f(P_3)=0$ , dunque la natura di $P_3$ può essere determinata studiando il segno di $f$ su un intorno sufficientemente piccolo di $P_3$ . Dato $\mathcal{U}_{P_3}\coloneqq\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x<1\}$ , l’intorno di $P_3$ rappresentato in azzurro in figura 11, si ha

$\begin{equation*} f(x,y)=x^4+y^2(1-x)\geq x^4\geq0=f(P_3), \qquad\forall(x,y)\in\mathcal{U}_{P_3}, \end{equation*}$

poiché $(x,y)\in\mathcal{U}_{P_3}$ implica $1-x<0$ . Abbiamo dunque trovato un intorno aperto $\mathcal{U}_{P_3}$ di $P_3$ , in cui $f(x,y)\geq f(P_3)$ , $\forall (x,y)\in\mathcal{U}_{P_3}$ , verificando così, tramite definizione, che $P_3$ è un punto di minimo relativo per $f$ , come si evince anche dal grafico di $f$ riportato in figura 12.

$\quad$

Osserviamo che vale anche il viceversa del teorema 1.17, ma in forma più debole.

Proposizione 1.21. Sia $f:A\subseteq\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$

una funzione di classe $\mathcal{C}^2(A)$

e sia $\overline{x}_0\in A^\circ$

un punto critico di $f$

. Allora valgono le seguenti considerazioni:

$\quad$

se $\overline{x}_0$ è un punto di minimo locale di $f$ , allora $\nabla^2f(\overline{x}_0)$ è semidefinita positiva;

se $\overline{x}_0$ è un punto di massimo locale di $f$ , allora $\nabla^2f(\overline{x}_0)$ è semidefinita negativa;

se $\overline{x}_0$ è un punto di sella di $f$ , $\nabla^2f(\overline{x}_0)$ è indefinita o semidefinita.

$\quad$

Dimostrazione. Segue dal Teorema di Fermat 1.7 e di Taylor 1.13.

Il teorema 1.17 mostra come nello studio dei punti di massimo e minimo di una funzione sia essenziale indagare la definitezza della matrice hessiana valutata nei punti critici della funzione. I prossimi risultati forniscono degli strumenti in tal senso.

Definizione 1.22. Sia $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$

una matrice. Un autovalore di $A$

è uno scalare $\lambda\in\mathbb{R}$

per cui esiste un vettore $v\in\mathbb{R}^n\setminus\{\overline{0}\}$

tale che

$A v=\lambda v.$

Tale vettore $v$ viene definito autovettore associato all’autovalore $\lambda$ .

Proposizione 1.23. Sia $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$

una matrice. Allora i suoi autovalori sono radici del polinomio caratteristico, ovvero il polinomio di grado $n$

$\begin{equation*} p_A(\lambda):=\det(A-\lambda \operatorname{Id}). \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. Dalla definizione di autovalore si ha che esiste un vettore $v\in\mathbb{R}^n\setminus\{\overline{0}\}$ tale che

$0=Av-\lambda v=(A-\lambda \operatorname{Id})v.$

Essendo $v$ non nullo, la matrice $A-\lambda\operatorname{Id}$ è singolare o, equivalentemente $\det(A-\lambda \operatorname{Id})=0$ .

Osservazione 1.24. Se $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ è la matrice

$\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}$

il suo polinomio caratteristico è

$\begin{equation*} p_A(\lambda):=\det\begin{pmatrix} a_{11}-\lambda&a_{12}&\dots&a_{1n}\\\\ a_{21}&a_{22}-\lambda&\dots&a_{2n}\\\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}-\lambda\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}$

La prossima proposizione afferma che è possibile esprimere la definitezza di una matrice mediante i suoi autovalori. Ricordiamo che, grazie al teorema spettrale [1, §6.4], una matrice simmetrica è sempre diagonalizzabile (ovvero simile ad una matrice diagonale in cui gli elementi sulla diagonale sono proprio gli autovalori della matrice).

Proposizione 1.25. Sia $M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$

una matrice simmetrica. Allora:

$\quad$

$M$ è minimodefinita positiva se e solo se tutti i suoi autovalori sono positivi;

$M$ è definita negativa se e solo se tutti i suoi autovalori sono negativi;

$M$ è semidefinita positiva se e solo se tutti i suoi autovalori sono positivi o nulli;

$M$ è semidefinita negativa se e solo se tutti i suoi autovalori sono negativi o nulli;

$M$ è indefinita se e solo se possiede autovalori di segno discorde.

$\quad$

Dimostrazione. Vedi [1, teorema 3.20].

Solitamente, per calcolare esplicitamente gli autovalori di una matrice, occorre trovare le radici del suo polinomio caratteristico, scrivendo così la matrice in forma diagonale. Si ottiene cioè una matrice simile a quella di partenza, in cui sulla diagonale compaiono gli autovalori trovati. La diagonalizzazione è un processo talvolta lungo e tedioso, il prossimo criterio permetterà di ottenenere un risultato sufficiente per i nostri scopi, senza però calcolare esplicitamente gli autovalori della matrice.

Definizione 1.26. Sia $M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$

una matrice. Definiamo:

$\quad$

i minori nord-ovest di ordine $k$ , come i determinanti delle sottomatrici ottenute eliminando da $A$ le ultime $n-k$ righe e le ultime $n-k$ colonne;

i minori principali di ordine $k$ , come i determinanti delle sottomatrici di ordine $k$ ottenute eliminando $n-k$ righe e colonne dello stesso indice (non necessariamente le ultime).

$\quad$

Esempio 1.27. Consideriamo la matrice simmetrica $A\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ ,

$\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 0&0&1\\ 0&-1&-2\\ 1&-2&-1 \end{pmatrix}. \end{equation*}$

Mostriamo prima i suoi minori nord-ovest, ovvero i determinanti delle sottomatrici di ordine $k$ in cui vengono eliminate le ultime $3-k$ righe e colonne. Vi saranno in tutto tre sottomatrici, a cui corrispondono altrettanti minori nord-ovest:

$\quad$

la sottomatrice $A_1$ di ordine $1$ , ottenuta eliminando da $A$ le ultime $2$ righe e colonne:

la sottomatrice $A_2$ di ordine $2$ , ottenuta eliminando da $A$ l’ultima riga e colonna:

la matrice $A$ stessa

Per quanto riguarda i minori principali, invece, ne troviamo sette, corrispondenti ad altrettante sottomatrici: tre di ordine $1$ , tre di ordine $2$ e uno di ordine $3$ .

$\quad$

Quelli di ordine 1 sono

Quelli di ordine $2$ sono

Infine, l’unico minore principale di ordine $3$ è la matrice $A$ stessa

Teorema 1.28 (Criterio di Sylvester). Sia $M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$

una matrice simmetrica. Allora

$\quad$

$M$ è definita positiva se e solo se tutti i suoi minori nord-ovest sono positivi;

$M$ è definita negativa se e solo se tutti i suoi minori nord-ovest di ordine pari sono positivi, mentre quelli di ordine dispari sono negativi;

$M$ è semidefinita positiva se e solo se tutti i suoi minori principali sono positivi o nulli;

$M$ è semidefinita negativa se e solo se tutti i suoi minori principali di ordine pari sono positivi o nulli e quelli di ordine dispari sono negativi o nulli;

$M$ è indefinita se non si verifica nessuno dei casi precedenti.

$\quad$

Si veda [1, teorema 3.19] per la dimostrazione dei punti 1, 2 e 5, e questo link per i punti 3 e 4.

Esempio 1.29. Studiamo la definitezza della matrice $A$ dell’esempio precedente, alla luce del criterio appena formulato.

Analizziamo d’apprima i minori nord-ovest di $A$ . Essi sono rispettivamente

$\begin{equation*} \det(A_1)=0,\qquad\det(A_2)=0,\qquad\det(A_3)=1. \end{equation*}$

Poiché i minori non sono tutti strettamente positivi, né a segni alterni, deduciamo dal teorema 1.28 che la matrice $A$ non è definita positiva, né definita negativa. Inoltre, siccome $\det(A_3)=1>0$ , $A$ non può essere nemmeno semidefinita negativa, poiché in tal caso si avrebbe $\det(A_3)\leq0$ .

Rimangono solo due possibilità: $A$ semidefinita positiva, oppure $A$ indefinita. Indaghiamo i minori principali:

(7) $\begin{gather*} \det(0)=0,\qquad\det(-1)=-1,\qquad\det(-1)=-1; \\[4pt] \det\begin{pmatrix} 0&0\\ 0&1 \end{pmatrix}=0,\qquad\det\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&-1 \end{pmatrix}=-1,\qquad\det\begin{pmatrix} -1&-2\\ -2&-1 \end{pmatrix}=-3; \\[4pt] \det(A)=1. \end{gather*}$

Se fosse il primo caso, tutti i minori principali dovrebbero risultare positivi o nulli, tuttavia questo non accade. Infatti, abbiamo trovato quattro minori principali negativi. Pertanto, $A$ è indefinita.

Osservazione 1.30. Ovviamente, non vi è nulla di particolare nei minori nord-ovest nel criterio di Sylvester ed un criterio analogo può essere formulato mediante i minori sud-est, ovvero i determinanti delle sottomatrici ottenute eliminando le prime $n-k$ righe e le prime $n-k$ colonne. Questo segue dalla simmetria della matrice di partenza. Mostriamo, nel caso di $\mathbb{R}^2$ , come le due richieste siano analoghe.

Data una generica matrice simmetrica $A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ ,

$\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} a&b\\ b&c \end{pmatrix}, \end{equation*}$

i suoi minori nord-ovest sono $a$ e $\det(A)$ , mentre i minori sud-est corrispondono a $c$ e nuovamente $\det(A)$ . Richiedere che i minori nord-ovest siano positivi equivale al seguente sistema

$\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} a>0\\\\ ac-b^2>0, \end{array}\right.\iff c>\dfrac{b^2}{a}>0. \end{equation*}$

Si vede che, scrivendo la condizione per i minori di sud-est, si ottiene la stessa conclusione. L’equivalenza delle due può essere attribuita al fatto che sono la stessa richiesta, modulo un cambiamento di base. Da questo si intuisce che l’equivalenza sia valida in ogni dimensione.

Riformuliamo ora il teorema 1.17 alla luce del teorema 1.28.

Corollario 1.31. Sia $f:A\subseteq\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$

una funzione di classe $\mathcal{C}^2(A)$

, sia $\overline{x}_0\in A^\circ$

un punto critico di $f$

e $\nabla^2f(\overline{x}_0)$

la matrice hessiana di $f$

in $\overline{x}_0$

. Vale allora:

$\quad$

$\overline{x}_0$ è un punto di minimo locale per $f$ se $\nabla^2f(\overline{x}_0)$ è definita positiva, cioè se tutti i suoi minori nord-ovest sono positivi;

$\overline{x}_0$ è un punto di massimo locale per $f$ se $\nabla^2f(\overline{x}_0)$ è definita negativa, cioè se tutti i suoi minori nord-ovest di ordine pari sono positivi e i minori nord-ovest di ordine dispari sono negativi;

$\overline{x}_0$ è un punto di sella per $f$ se $\nabla^2f(\overline{x}_0)$ è indefinita.

$\quad$

In quanto segue, caratterizziamo le situazioni più frequenti, esplicitando lo studio di matrici hessiane di funzioni con dominio in $\mathbb{R}^2$ e in $\mathbb{R}^3$ .

Proposizione 1.32 (Criterio di Sylvester in $\mathbb{R}^2$

). Sia $\nabla^2f(x_0,y_0)\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$

la matrice hessiana di una funzione $f\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2)$

, con $(x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2$

punto critico di $f$

$\begin{equation*} \nabla^2f(x_0,y_0)=\begin{pmatrix} f_{xx}(x_0,y_0)&f_{xy}(x_0,y_0)\\\\ f_{xy}(x_0,y_0)&f_{yy}(x_0,y_0) \end{pmatrix}. \end{equation*}$

Allora $\nabla^2f(x_0,y_0)$ è:

$\quad$

definita positiva se e solo se
$\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} f_{xx}(x_0,y_0)>0\\\\ \det(\nabla^2f(x_0,y_0))>0. \end{array} \right. \end{equation*}$

In questo caso $(x_0,y_0)$ è un punto di minimo;

definita negativa se e solo se
$\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} f_{xx}(x_0,y_0)<0\\\\ \det(\nabla^2f(x_0,y_0))>0. \end{array} \right. \end{equation*}$

In questo caso $(x_0,y_0)$ è un punto di massimo;

semidefinita positiva se e solo se
$\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} f_{xx}(x_0,y_0)\geq0\\\\ f_{yy}(x_0,y_0)\geq0\\\\ \det(\nabla^2f(x_0,y_0))\geq0; \end{array} \right. \end{equation*}$

semidefinita negativa se e solo se
$\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} f_{xx}(x_0,y_0)\leq0\\\\ f_{yy}(x_0,y_0)\leq0\\\\ \det(\nabla^2f(x_0,y_0))\geq0; \end{array} \right. \end{equation*}$

indefinita se e solo se
$\begin{equation*} \det(\nabla^2f(x_0,y_0))<0. \end{equation*}$

In questo caso $(x_0,y_0)$ è un punto di sella.

Proposizione 1.33 (Criterio di Sylvester in $\mathbb{R}^3$

). Sia $\nabla^2f(x_0,y_0,z_0)\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$

la matrice hessiana di una funzione $f\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^3)$

, con $(x_0,y_0,z_0)\in\mathbb{R}^3$

punto critico di $f$

$\begin{equation*} \nabla^2f(x_0,y_0,z_0)=\begin{pmatrix} f_{xx}(x_0,y_0,z_0)&f_{xy}(x_0,y_0,z_0)&f_{xz}(x_0,y_0,z_0)\\\\ f_{xy}(x_0,y_0,z_0)&f_{yy}(x_0,y_0,z_0)&f_{yz}(x_0,y_0,z_0)\\\\ f_{xz}(x_0,y_0,z_0)&f_{yz}(x_0,y_0,z_0)&f_{zz}(x_0,y_0,z_0) \end{pmatrix}. \end{equation*}$

Allora $\nabla^2f(x_0,y_0,z_0)$ è²

$\quad$

definita positiva se e solo se
$\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} f_{xx}>0\\\\ f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2>0\\\\ \det(\nabla^2f(x_0,y_0,z_0))>0. \end{array} \right. \end{equation*}$

In questo caso $(x_0,y_0,z_0)$ è un punto di minimo;

definita negativa se e solo se
$\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} f_{xx}<0\\\\ f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2>0\\\\ \det(\nabla^2f(x_0,y_0,z_0))<0. \end{array} \right. \end{equation*}$

In questo caso $(x_0,y_0,z_0)$ è un punto di massimo;

semidefinita positiva se e solo se
$\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} f_{xx},f_{yy},f_{zz}\geq0\\\\ f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2,f_{xx}f_{zz}-f_{xz}^2,f_{yy}f_{zz}-f_{yz}^2\geq0\\\\ \det(\nabla^2f(x_0,y_0,z_0))\geq0; \end{array} \right. \end{equation*}$

semidefinita negativa se e solo se
$\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} f_{xx},f_{yy},f_{zz}\leq0\\\\ f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2,f_{xx}f_{zz}-f_{xz}^2,f_{yy}f_{zz}-f_{yz}^2\geq0\\\\ \det(\nabla^2f(x_0,y_0,z_0))\leq0; \end{array} \right. \end{equation*}$

indefinita se e solo se non si verificano i casi precedenti. In questo caso $(x_0,y_0,z_0)$ è un punto di sella.

$\quad$

Quando la matrice hessiana è semidefinita ma non definita (in questa situazione è condizione necessaria che la matrice hessiana sia singolare) la teoria fin qui sviluppata non è efficace e non vi è un metodo universale che possa applicarsi ad ogni situazione. Pertanto, si deve procedere con considerazioni specifiche. In precedenza, abbiamo mostrato come in tali casi si possa verificare esplicitamente che il punto critico soddisfa la definizione di punto di massimo o minimo o di sella. Nell’ultimo caso è utile sottolineare come vi sia un altro modo (equivalente alla definizione) per ottenere che la natura di tale punto critico è proprio un punto di sella. Esso consiste nel dimostrare che, considerando la restrizione della funzione in questione lungo due cammini distinti passanti per il punto critico, esso risulta punto di massimo da una parte e punto di minimo dall’altra, intesi per la funzione di una variabile ottenuta come restrizione. In questo modo, il punto critico è necessariamente un punto di sella. Il prossimo esempio mostra concretamente il procedimento da seguire.

Esempio 1.34. Sia data la seguente funzione $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ , definita da

$\begin{equation*} f(x,y):=x^4+y^4-2(x-y)^2\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{equation*}$

Calcoliamo i punti critici di $f$ e studiamone la natura.

Svolgimento. $f$ è un polinomio, dunque è possibile derivare inifinite volte $f$ con continuità. Iniziamo con le derivate parziali per trovare gradiente e punti critici di $f$ :

$\begin{aligned} &\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=4x^3-4(x-y)\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2\\\\ &\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=4y^3+4(x-y)\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2, \end{aligned}$

da cui

$\begin{equation*} \nabla f(x,y)=4(x^3-(x-y),y^3+(x-y))\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{equation*}$

I punti critici di $f$ , ovvero i punti $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ che annullano il gradiente, sono le soluzioni del seguente sistema

$\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x^3-(x-y)=0\\\\ y^3+(x-y)=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x^3=x-y\\\\ -y^3=x-y \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x^3=-y^3\\\\ y^3=y-x. \end{array} \right. \end{equation*}$

La prima equazione induce il vincolo $x=-y$ , che inserito nella seconda produce $y^3=2y$ , che ha come soluzioni

$\begin{equation*} y=0\lor y=\pm\sqrt{2}. \end{equation*}$

Dalla relazione $x=-y$ , troviamo i tre punti critici di $f$ , rappresentati in rosso in figura 13.

$\begin{equation*} P_1=(0,0)\qquad P_2=(\sqrt{2},-\sqrt{2}),\qquad P_3=(-\sqrt{2},\sqrt{2}). \end{equation*}$

$\quad$

Figura 13: la retta $x=-y$ e, in rosso, i tre punti critici di $f$ .

$\quad$

Calcoliamo ora le derivate seconde di $f$ per studiare la natura di questi critici attraverso la definitezza della matrice hessiana:

$\begin{aligned} &\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=12x^2-4\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2,\\[4pt] &\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)=4=\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x,y)\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2,\\[4pt] &\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=12y^2-4\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2, \end{aligned}$

da cui

$\begin{equation*} \nabla^2f(x,y)=\begin{pmatrix} 12x^2-4&4\\\\ 4&12x^2-4 \end{pmatrix}\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{equation*}$

Valutiamo ora la matrice hessiana su ciascuno dei punti critici:

$\begin{equation*} \nabla^2f(P_1)=\begin{pmatrix} -4&4\\\\ 4&-4 \end{pmatrix},\qquad\nabla^2f(P_2)=\nabla^2f(P_3)=\begin{pmatrix} 20&4\\\\ 4&20 \end{pmatrix} \end{equation*}$

Osserviamo immediatamente che $\nabla^2f(P_i)$ è definita positiva per $i=2,3$ , infatti vale

(8) $\begin{equation*} f_{xx}(P_i)>0, \qquad \det(\nabla^2f(P_i))>0 \end{equation*}$

e la conclusione segue dal criterio di Sylvester in $\mathbb{R}^2$ (proposizione 1.32). Ciò significa che $P_2$ e $P_3$ sono entrambi punti di minimo relativo per $f$ , come si evince dal grafico di $f$ rappresentato in figura 14.

$\quad$

Concentriamoci ora su $P_1$ . Notando che $\det(\nabla^2f(P_1))=0$ , ovvero la matrice hessiana relativa a $P_1$ è singolare ed essendo in $\mathbb{R}^2$ , concludiamo che essa non è definita, ma solo semidefinita³ e non possiamo determinare la natura di $P_1$ mediante lo studio di $\nabla^2f(P_1)$ .

Proviamo allora a dimostrare che $P_1$ è un punto di sella, esibendo due cammini distinti $\Gamma_1$ e $\Gamma_2$ passanti per $P_1$ , per cui $P_1$ risulterà rispettivamente punto di massimo e punto di minimo per le restrizioni di $f$ , $f|_{\Gamma_1}$ e $f|_{\Gamma_2}$ , come si vede anche in figura 15. Più precisamente, se $\gamma_1$ e $\gamma_2$ sono le parametrizzazioni di $\Gamma_1$ e $\Gamma_2$ , con $P_1=\gamma_1(0)=\gamma_2(0)$ , dobbiamo mostrare che $0$ sia punto di massimo e punto di minimo di $f\circ\gamma_i$ , $i=1,2$ . Siano $\Gamma_1$ e $\Gamma_2$ le rette date dalle equazioni

$\begin{aligned} \Gamma_1\coloneqq&\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y=0\},\\ \Gamma_2\coloneqq&\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x=y\}, \end{aligned}$

rispettivamente di parametrizzazioni

$\begin{equation*} \gamma_1:\mathbb{R}\ni t\mapsto (t,0)\in\mathbb{R}^2,\qquad \gamma_2:\mathbb{R}\ni t\mapsto (t,t)\in\mathbb{R}^2, \end{equation*}$

rappresentate in rosso e in nero in figura 15. Notiamo che $P_1=\gamma_1(0)=\gamma_2(0)$ . Si ha dunque

$\begin{equation*} (f\circ\gamma_1)(t)=f(t,0)=t^4-2t^2,\qquad\forall t\in\mathbb{R}, \end{equation*}$

da cui

$\begin{equation*} f'(0)=0,\quad f''(0)=-4<0, \end{equation*}$

dunque $0$ è un punto di massimo per $f\circ\gamma_1$ , mentre

$\begin{equation*} (f\circ\gamma_2)(t)=f(t,t)=2t^4\qquad\forall t\in\mathbb{R} \end{equation*}$

che ha minimo in $0$ .

Dunque abbiamo provato che $P_1$ rappresenta sia un punto di minimo, sia un punto di massimo per $f$ se ristretta su opportuni cammini. Questo comportamento è possibile solo se $P_1$ è un punto di sella.

per alleggerire la notazione scriveremo $f_{ij}$ per indicare $f_{ij}(x_0,y_0,z_0)$ ↩

In $\mathbb{R}^n$ , con $n\geq3$ , la singolarità della matrice hessiana non equivale alla semidefinitezza della matrice. Infatti, la matrice potrebbe avere comunque un autovalore nullo e due atovalori di segno opposto e in tal caso la matrice risulta indefinita e il punto critico di sella. In dimensione 2, questo non è possibile ↩

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Esercizio guida

$\quad$

Esercizio 2.1 (esercizio guida). Sia $f:A\subseteq\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$

una funzione di classe $\mathcal{C}^2(A)$

. Studiare la natura dei punti critici di $f$

su $A$

Svolgimento.

La prima cosa da fare è trovare i punti critici di $f$ , ovvero i punti $(x_1,...,x_n)\in A$ che verificano
$\nabla f(x_1,...,x_n)=(0,...,0).$

Essi saranno le soluzioni del sistema

$\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} \dfrac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,...,x_n)=0 \\\\ \dfrac{\partial f}{\partial x_2}(x_1,...,x_n)=0\\ ...\\ ...\\ ...\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial x_n}(x_1,...,x_n)=0. \end{array}\right. \end{equation*}$

Siano $P_1,...,P_k\in A$ i punti critici di $f$ su $A$ trovati risolvendo il precedente sistema.

Calcoliamo tutte le derivate seconde di $f$ . Grazie al teorema di Schwarz (teorema 1.11), $\dfrac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}=\dfrac{\partial^2f}{\partial x_j\partial x_i}$ per $i,j=1,...,n$ , dunque basterà calcolare $\dfrac{n\cdot(n+1)}{2}$ derivate seconde, anziché $n^2$ . Questo permetterà di calcolare la matrice hessiana di $f$ in un generico punto $\overline{x}=(x_1,...,x_n)$
$\begin{equation*} \nabla^2f(\overline{x}) \coloneqq \begin{pmatrix} \dfrac{\partial^2f}{\partial x_1^2}(\overline{x})&\dfrac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_2}(\overline{x})&\cdot\cdot\cdot&\dfrac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_n}(\overline{x})\\\\ \dfrac{\partial^2f}{\partial x_2\partial x_1}(\overline{x})&\dfrac{\partial^2f}{\partial x_2^2}(\overline{x})&\cdots&\dfrac{\partial^2f}{\partial x_2\partial x_n}(\overline{x})\\\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\\ \dfrac{\partial^2f}{\partial x_n\partial x_1}(\overline{x})&\dfrac{\partial^2f}{\partial x_n\partial x_2}(\overline{x})&\cdot\cdot\cdot&\dfrac{\partial^2f}{\partial x_n^2}(\overline{x}) \end{pmatrix}. \end{equation*}$

Valutare la matrice hessiana nei punti critici $P_1,...,P_k$
$\begin{equation*} \nabla^2f(P_j) \coloneqq \begin{pmatrix} \dfrac{\partial^2f}{\partial x_1^2}(P_j)&\cdot\cdot\cdot&\dfrac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_n}(P_j)\\\\ \dfrac{\partial^2f}{\partial x_2\partial x_1}(P_j)&\cdots&\dfrac{\partial^2f}{\partial x_2\partial x_n}(P_j)\\\\ \vdots&\ddots&\vdots\\\\ \dfrac{\partial^2f}{\partial x_n\partial x_1}(P_j)&\cdot\cdot\cdot&\dfrac{\partial^2f}{\partial x_n^2}(P_j) \end{pmatrix} \quad \quad \forall j=1,...,k. \end{equation*}$

Per ciascuno dei punti critici $P_1,...,P_k$ , studiare la definitezza della matrice hessiana valutata in tale punto, per applicare il teorema 1.17 e stabilire la natura dei punti critici. È possibile sia calcolare esplicitamente i suoi autovalori, sia procedere con il criterio di Sylvester 1.28.

Nel caso una matrice hessiana fosse semidefinita, ma non definita (positivamente o negativamente) non è possibile dedurre la natura di tale punto critico utilizzando il teorema 1.17, pertanto bisogna analizzare il problema diversamente.

Esercizi

$\quad$

Esercizio 3.1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Sia data la seguente funzione $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$

, definita da

$\begin{equation*} f(x,y)=\sin(x)+\sin(y)\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{equation*}$

Calcolare i punti critici di $f$ e studiarne la natura.

Svolgimento 1.

Proponiamo inizialmente uno svolgimento che permette di risolvere l’esercizio in maniera immediata. Poiché $-1\leq\sin(t)\leq 1$

, per ogni $t\in\mathbb{R}$

, risulta

$\begin{equation*} -2\leq f(x,y)\leq 2\qquad\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{equation*}$

Osserviamo che $f$ è di classe $\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^2)$ , dunque esistono e sono continue le sue derivate parziali. Troviamo i punti critici di $f$ in $\mathbb{R}^2$ .

$\begin{equation*} (0,0)=\nabla f(x,y)=(\cos(x),\sin(y))\iff (x,y)=\left(\dfrac{\pi}{2}+j\pi,\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right),\qquad\forall j,k\in\mathbb{Z}. \end{equation*}$

Supponiamo $j,k\in2\mathbb{Z}$ , allora

$\begin{equation*} f\left(\dfrac{\pi}{2}+j\pi,\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right)=f\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)=1+1=2, \end{equation*}$

dunque $\left(\dfrac{\pi}{2}+j\pi,\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right)$ sono punti di massimo assoluto per $f$ se $j,k\in2\mathbb{Z}$ . Supponiamo invece $j,k\in2\mathbb{Z}+1$ , allora

$\begin{equation*} f\left(\dfrac{\pi}{2}+j\pi,\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right)=f\left(\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right)=-1-1=-2, \end{equation*}$

dunque $\left(\dfrac{\pi}{2}+j\pi,\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right)$ sono punti di minimo assoluto per $f$ se $j,k\in2\mathbb{Z}+1$ . Infine, se $j\in2\mathbb{Z}$ e $k\in2\mathbb{Z}+1$ (o viceversa) $\sin(x)$ assume il proprio massimo in $\dfrac{\pi}{2}+j\pi$ , mentre $\sin(y)$ il proprio minimo in $\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ (o viceversa, rispettivamente). Ciò implica necessariamente che i punti $(x,y)=\left(\dfrac{\pi}{2}+j\pi,\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right)$ sono di sella se $j\in2\mathbb{Z}$ e $k\in2\mathbb{Z}+1$ o se $j\in2\mathbb{Z}+1$ e $k\in2\mathbb{Z}$ .

Svolgimento 2.

Per scopi didattici, mostriamo come giungere alla soluzione anche utilizzando lo studio della segnatura della matrice hessiana nei punti critici. Osserviamo che $f$

è somma di funzioni di classi $\mathcal{C}^2$

, insieme chiuso rispetto a tali operazioni, dunque è essa stessa di classe $\mathcal{C}^2$

. Inoltre, per semplificare l’esercizio, è utile sottolineare che la funzione presenta una periodicità in entrambe le variabili. Vale, infatti

$\begin{equation*} f(x+2j\pi,y+2k\pi)=f(x,y)\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2,\qquad\forall j,k\in\mathbb{Z}. \end{equation*}$

Questo fatto permette di concentrare lo studio di $f$ nella regione $A\coloneqq[0,2\pi]\times[0,2\pi]\subset\mathbb{R}^2$ , poiché per periodicità possiamo estendere ogni considerazione a tutto il dominio di $f$ . Restringiamo, allora, il problema di studiare i punti critici di $f$ alla regione $A$ . Per trovare i punti critici di $f$ , calcoliamone le derivate parziali:

$\begin{equation*} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\cos(x)\qquad\forall(x,y)\in A \end{equation*}$

$\begin{equation*} \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\cos(y)\qquad\forall(x,y)\in A, \end{equation*}$

da cui

$\begin{equation*} \nabla f(x,y)=(\cos(x),\cos(y))\qquad\forall(x,y)\in A. \end{equation*}$

I punti critici di $f$ in $A$ saranno le soluzioni $(x,y)\in A$ dell’equazione $\nabla f(x,y)=(0,0)$ , ovvero i punti che soddisfano il seguente sistema:

$\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\cos(x)=0\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\cos(y)=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{2}+j\pi,\qquad j=0,1\\\\ y=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k=0,1 \end{array} \right. \end{equation*}$

Abbiamo dunque trovato quattro punti critici di $f$ su $A$ :

$\begin{equation*} P_{0,0}=\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right),\qquad P_{1,0}=\left(\dfrac{3}{2}\pi,\dfrac{\pi}{2}\right),\qquad P_{0,1}=\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3}{2}\pi\right),\qquad P_{1,1}=\left(\dfrac{3}{2}\pi,\dfrac{3}{2}\pi\right). \end{equation*}$

Se volessimo considerare tutti i punti critici di $f$ su $\mathbb{R}^2$ basta estendere per periodicità i punti critici trovati in $A$ , ottenendo la famiglia di punti critici

$\left\{P_{j,k}\right\}_{j,k\in\mathbb{Z}}:=\left(\dfrac{\pi}{2}+j\pi,\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right),$

parametrizzata da due parametri $j,k\in\mathbb{Z}$ , rappresentata in figura 16.

$\quad$

Calcoliamo la matrice hessiana e valutiamola nei quattro punti per studiarne la natura. Prima, calcoliamo le derivate seconde di $f$ :

$\begin{equation*} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=-\sin(x)\qquad\forall(x,y)\in A, \end{equation*}$

$\begin{equation*} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y)=0\qquad\forall(x,y)\in A, \end{equation*}$

$\begin{equation*} \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=-\sin(y)\qquad\forall(x,y)\in A, \end{equation*}$

dunque

$\begin{equation*} \nabla^2f(x,y)=\begin{pmatrix} -\sin(x)&0\\ 0&-\sin(y) \end{pmatrix}\qquad\forall(x,y)\in A. \end{equation*}$

Studiamo quindi $\nabla^2f(P_{j,k})$ , per $j,k=0,1$ .

$\quad$

$P_{0,0}$ . Si ha
$\begin{equation*} \nabla^2f(P_{0,0})=\nabla^2f\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)=\begin{pmatrix} -1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}. \end{equation*}$

La matrice Hessiana è già in forma diagonale, per cui presenta già i suoi autovalori: $\lambda_1=\lambda_2=-1$ . Avendo entrambi gli autovalori negativi, dalla proposizione 1.25, $\nabla^2f(P_{0,0})$ è definita negativa, per cui $P_{0,0}=\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$ è un punto di massimo relativo per $f$ . Il grafico di $f$ in un intorno di $P_{0,0}$ è rappresentato in figura 18.

$\quad$

$\quad$

Figura 18: grafico di $f$ in un intorno di $P_{0,0}$

$\quad$

$\quad$

$P_{1,0}$ . Vale
$\begin{equation*} \nabla^2f(P_{1,0})=\nabla^2f\left(\dfrac{3}{2}\pi,\dfrac{\pi}{2}\right)=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}. \end{equation*}$

La matrice Hessiana è di nuovo in forma diagonale, i suoi autovalori sono $\lambda_1=1$ , $\lambda_2=-1$ . Questa volta gli autovalori hanno segno opposto, per cui dalla proposizione 1.25, segue che $\nabla^2f(P_{1,0})$ è indefinita, dunque $P_{1,0}=\left(\dfrac{3}{2}\pi,\dfrac{\pi}{2}\right)$ è un punto di sella per $f$ , rappresentato in figura 19a.

$P_{0,1}$ . Abbiamo
$\begin{equation*} \nabla^2f(P_{0,1})=\nabla^2f\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3}{2}\pi\right)=\begin{pmatrix} -1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}. \end{equation*}$

i due autovalori hanno nuovamente segno opposto, dunque procedendo come per $P_{1,0}$ , anche anche $P_{0,1}=\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3}{2}\pi\right)$ è un punto di sella, rappresentato in figura 19a.

$\quad$

$\quad$

Figura 19: grafici di $f$ in intorni di alcuni dei punti studiati.

$\quad$

$\quad$

$P_{1,1}$ . La matrice hessiana soddisfa
$\begin{equation*} \nabla^2f(P_{1,1})=\nabla^2f\left(\dfrac{3}{2}\pi,\dfrac{3}{2}\pi\right)=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}. \end{equation*}$

I due autovalori sono entrambi positivi, dunque $\nabla^2f(P_{1,1})$ è definita positiva e ciò significa che $P_{1,1}=\left(\dfrac{3}{2}\pi,\dfrac{3}{2}\pi\right)$ è un punto di minimo relativo per $f$ , rappresentato in figura 19b.

Abbiamo dunque trovato che i punti $P_{j,k}$ sono rispettivamente:

$\quad$

di massimo relativo se $j,k$ sono entrambi pari, rappresentati in verde in figura 20;

di minimo relativo se $j,k$ sono entrambi dispari, rappresentati in rosso in figura 20;

di sella se $j$ è pari e $k$ dispari o viceversa, rappresentati in arancio in figura 20.

$\quad$

Figura 20: in verde sono rappresentati i punti di massimo di $f$ , in rosso quelli di minimo e in arancione i punti di sella.

$\quad$

Osservazione. Notiamo che nel primo svolgimento l’unica regolarità richiesta per $f$ è l’esistenza delle derivate parziali per determinare i punti critici, mentre nel secondo svolgimento è richiesta la regolarità $\mathcal{C}^2$ di $f$ per applicare i risultati sulla definitezza della matrice hessiana.

Inoltre, il primo svolgimento permette di dedurre che i punti di massimo e relativo sono anche rispettivamente di massimo e minimo assoluto, mentre tale conclusione non è immediatamente intuibile dal secondo svolgimento. Per ottenerla, occorrerebbe preliminarmente mostrare che punti di massimo e minimo assoluto esistono, ad esempio usando la periodicità di $f$ e il teorema di Weierstrass, e successivamente confrontare i valori di $f$ nei vari punti di massimo e minimo relativo per stabilire quale di essi è di massimo o minimo assoluto per $f$ .

Esercizio 3.2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Sia data la seguente funzione $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$

, definita da

$\begin{equation*} f(x,y):=(x-y)^4-8(x-y)^2\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{equation*}$

Calcolare i punti critici di $f$ e studiarne la natura.

Svolgimento 1.

Proponiamo una maniera rapida per risolvere l’esercizio che si applica per la natura della funzione da studiare. Osserviamo che $f$

può essere espressa come funzione della sola variabile $t\coloneqq x-y$

, dunque si possono studiare i punti critici della funzione $g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

definita da

$g(t)= t^4 - 8t^2\qquad\forall t\in\mathbb{R}.$

Vale infatti

$f(x,y)=g(x-y),\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2,$

dunque

$\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=g'(x-y),\qquad \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-g'(x-y)$

e quindi vale

$\nabla f(x,y)=(1,-1)g'(x-y)=0\iff g'(x-y)=0.$

Studiamo allora i punti critici di $g$ :

$g'(t)=4t^3-16t=4t(t+2)(t-2)=0\iff t=0\lor t=\pm2.$

I valori $t=0$ e $t=\pm2$ corrispondono alle rette $y=x$ e $y=x\pm2$ . La natura di queste rette critiche dipende ancora da quella dei punti critici di $g$ : studiamo il segno di $g''$ nei punti critici.

$g''(t)=12t^2-16,$

da cui

$g''(0)=-16<0,\qquad g''(2)=g''(-2)=32>0,$

dunque $t=0$ è un punto di massimo relativo per $g$ , mentre $t=\pm2$ sono punti di minimo relativo. Ciò implica che la retta $y=x$ sia costituita da punti di massimo relativo per $f$ , mentre le rette $y=x\pm2$ da punti di minimo relativo.

Svolgimento 2.

Osserviamo che $f$

è somma e prodotto di funzioni di classe $\mathcal{C}^2$

, insieme chiuso rispetto a queste operazioni, pertanto $f$

è essa stessa di classe $\mathcal{C}^2$

su $\mathbb{R}^2.$

Calcoliamo le derivate parziali di $f$

rispetto alle variabili $x$

ed $y$

$\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)&=4(x-y)^3-16(x-y)=4(x-y)((x-y)^2-4)\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2;\\[4pt] \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)&=-4(x-y)^3+16(x-y)=-4(x-y)((x-y)^2-4)\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{aligned}$

Dunque il gradiente di $f$ risulta essere

$\begin{aligned} \nabla f(x,y)&=(4(x-y)((x-y)^2-4),-4(x-y)((x-y)^2-4))\\ &=[4(x-y)((x-y)^2-4)](1,-1)\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{aligned}$

I punti critici di $f$ sono le coppie $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ che annullano $\nabla f$ , ovvero che risolvono l’equazione vettoriale

$\begin{aligned} 0=\nabla f(x,y)=[4(x-y)((x-y)^2-4)](1,-1) \iff & 4(x-y)((x-y)^2-4)=0 \\ \iff & x=y\ \lor \ y=x\pm 2. \end{aligned}$

$\quad$

Figura 21: punti critici di $f$ , rappresentati dalle rette parallele $r_k$ per $k=-2,0,2$ .

$\quad$

Abbiamo dunque trovato che il luogo geometrico dei punti critici di $f$ corrisponde all’unione di tre rette parallele $r_{-2},r_0$ e $r_2$ , di equazione rispettivamente $y=x-2$ , $y=x$ e $y=x+2$ .

Studiamo la natura di questi punti critici attraverso lo studio della matrice hessiana ristretta a queste rette. Possiamo già anticipare che la matrice hessiana sarà necessariamente semidefinita, in quanto $f$ è costante nella direzione $(1,1)$ , quindi tale vettore annulla necessariamente la forma quadratica associata (teorema 1.13). Calcoliamo, per prima cosa, le derivate seconde di $f$ :

$\begin{aligned} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)&=4((x-y)^2-4)+8(x-y)^2=4(3(x-y)^2-4)\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2;\\[4pt] \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)&=-4(3(x-y)^2-4)=-\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2;\\[4pt] \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)&=4(3(x-y)^2-4)=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{aligned}$

La matrice hessiana di $f$ sarà dunque

(9) $\begin{equation*} \nabla^2f(x,y) =\begin{pmatrix} 4(3(x-y)^2-4)&-4(3(x-y)^2-4)\\[5pt] -4(3(x-y)^2-4)&4(3(x-y)^2-4) \end{pmatrix} =4(3(x-y)^2-4)\begin{pmatrix} 1&-1\\ -1&1 \end{pmatrix} \qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{equation*}$

Osserviamo immediatamente che la matrice hessiana di $f$ è singolare in ogni punto. Infatti si ha

$\begin{equation*} \det\nabla^2f(x,y)=[4(3(x-y)^2-4)]^2\det\begin{pmatrix} 1&-1\\ -1&1 \end{pmatrix}=0\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{equation*}$

A causa della singolarità della matrice hessiana, per il teorema 1.17, essa non è conclusiva nel determinare la natura dei punti critici. Siamo, dunque, costretti ad affrontare il problema tramite altre vie.

Osserviamo che $f$ è costante sulle rette $r_k:y=x+k$ , con $k=-2,0,2$ , infatti per ogni $x\in\mathbb{R}$

Mostriamo ora che

(10) $\begin{equation*} \operatorname{Im}(f) \subseteq [-16,+\infty), \end{equation*}$

e quindi che le rette $r_{\pm2}$ di equazione $y=x\pm2$ sono costituite da punti di minimo assoluto (in particolare punti di minimo relativo) per $f$ . Infatti è possibile esprimere $f$ come differenza di due quadrati:

$\begin{aligned} f(x,y) &=(x-y)^4-8(x-y)^2 \\ &=(x-y)^4-8(x-y)^2+16-16 \\ &=[(x-y)^2+4]^2-16 \\ &\geq-16\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{aligned}$

Dunque tutti i punti della forma $\{(x,x\pm 2)\mid x\in\mathbb{R}\}$ , appartenti cioè ad $r_{\pm2}$ sono punti di minimo assoluto per $f$ .

Figura 22: la funzione $f$ rappresentata in un intorno di $r_{2}$ . La situazione in $r_{-2}$ è analoga.

Per quanto riguarda la retta $r_0$ , di equazione $y=x$ , consideriamo l’intorno tubolare di $r_0$ di raggio $1$ , rappresentato in verde in figura 23 e definito da

(11) $\begin{equation*} \mathcal{U}_{r_0}:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid |x-y|<1\}. \end{equation*}$

$\quad$

Studiamo $f$ in tale intorno:

$\begin{equation*} f|_{\mathcal{U}_{r_0}}(x,y)=(x-y)^4-8(x-y)^2=(x-y)^2[(x-y)^2-8]\leq 0,\qquad\forall(x,y)\in\mathcal{U}_{r_0} \end{equation*}$

poiché in $\mathcal{U}_{r_0}$ , $|x-y|<1$ . Considerando il fatto, già esplicitato, che $f$ si annulla sulla retta $r_0$ , possiamo affermare che i punti critici appartenenti alla retta $r_0$ sono punti di massimo relativo, come visibile anche dal grafico di $f$ in figura 24.

Esercizio 3.3 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Determinare i punti critici su $\mathbb{R}^2$

delle funzioni $f_k \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$

definite da

$\begin{equation*} f_k(x,y):=x^2+2kxy+y^2, \qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2, \end{equation*}$

al variare del parametro $k\in\mathbb{R}$ e stabilire se essi sono di massimo, minimo o sella.

Svolgimento.

Osserviamo che $f_k$

è di classe $\mathcal{C}^2$

su $\mathbb{R}^2$

per ogni $k\in\mathbb{R}$

. Troviamo allora i punti critici di $f_k$

, calcolando le sue derivate prime

$\begin{equation*} \dfrac{\partial f_k}{\partial x}(x,y)=2x+2ky,\qquad \dfrac{\partial f_k}{\partial y}(x,y)=2kx+2y,\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{equation*}$

Determiniamo i punti critici, ovvero le soluzioni del sistema

$\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} \dfrac{\partial f_k}{\partial x}(x,y)=2x+2ky=0 \\\\ \dfrac{\partial f_k}{\partial y}(x,y)=2kx+2y=0 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=-ky \\\\ y+kx=0 \end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x=-ky \\\\ y(1-k^2)=0. \end{array}\right. \end{equation*}$

Se $k\neq\pm1$ , la seconda equazione ha soluzione solo se $y=0$ , che implica $x=0$ , trovando come unico punto critico di $f_k$ il punto $P_1=(0,0)$ .

Supponiamo invece $k=\pm1$ , per cui la seconda equazione è automaticamente soddisfatta. In entrambi i casi avremo una retta interamente composta da punti critici: i punti critici di $f_1$ sono sulla retta $y=-x$ , mentre quelli di $f_{-1}$ sulla retta $y=x$ .

$\quad$

Per quanto riguarda lo studio della natura dei punti critici proponiamo due diversi procedimenti.

Procedimento 1. Consideriamo separatamente i casi $|k|<1$ , $|k|>1$ e $|k|=1$ .

$\quad$

$|k|<1$ . Sviluppando i quadrati $(x+y)^2$ e $(x-y)^2$ , si ottiene la disuguaglianza $x^2+y^2 \geq 2|x||y|$ con l’uguaglianza che vale se e solo se $|x|=|y|$ , da cui segue
(12) $\begin{equation*} f_k(x,y) = x^2 + 2k xy + y^2 = x^2 + y^2 - 2|x||y| + (2|x||y| + 2kxy) > 0 \qquad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0\}). \end{equation*}$

Ciò, insieme al fatto che $f(0,0)=0$ , implica che $(0,0)$ è un punto di minimo assoluto per $f_k$ .

$|k|>1$ . Considerando le restrizioni di $f_k$ alle rette di equazioni $x=y$ e $x=-y$ si ottiene
(13) $\begin{equation*} \begin{gathered} f_k(x,x)= 2(k+1)x^2 \begin{cases} >0 & \forall x \neq 0, \text{ se } k>0\\ <0 & \forall x \neq 0, \text{ se } k<0, \end{cases} \\[4pt] f_k(x,-x)= 2(-k+1)x^2 \begin{cases} <0 & \forall x \neq 0, \text{ se } k>0\\ >0 & \forall x \neq 0, \text{ se } k<0. \end{cases} \end{gathered} \end{equation*}$

Da ciò si evince che $f_k$ assume valori di segno opposto in ogni intorno di $(0,0)$ , che risulta quindi un punto di sella per $f_k$ .

. Se , si ha
(14) $\begin{equation*} f_k(x,y)= x^2 \pm 2 xy + y^2 = (x \pm y)^2 \geq 0 \qquad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \end{equation*}$

con l’uguaglianza valida sulle rette $x = \mp y$ , che risultano quindi costituite da punti di minimo assoluto per $f_k$ .

Procedimento 2. Calcoliamo le derivate seconde di $f_k$ per costruire la sua matrice hessiana:

$\begin{equation*} \dfrac{\partial^2f_k}{\partial x^2}(x,y)=2,\qquad\dfrac{\partial^2f_k}{\partial x\partial y}(x,y)=2k,\qquad\dfrac{\partial^2f_k}{\partial y^2}(x,y)=2, \end{equation*}$

dunque la matrice hessiana di $f_k$ risulta essere

$\begin{equation*} \nabla^2f_k(x,y)=\begin{pmatrix} 2&2k\\ 2k&2 \end{pmatrix}\qquad\forall k \in \mathbb{R}, \,\, \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2. \end{equation*}$

Notando che $\nabla^2f_k$ è costante, le considerazioni future saranno valide per ogni punto critico. Per determinarne la segnatura possiamo sia calcolare esplicitamente i suoi autovalori, sia sfruttare il criterio di Sylvester 1.28.

$\quad$
1. Iniziamo con il primo metodo. Gli autovalori sono radici del polinomio caratteristico , che indicheremo con :
  $\begin{equation*} p_{\nabla^2f_k}(\lambda)=\det\begin{pmatrix} 2-\lambda&2k\\ 2k&2-\lambda \end{pmatrix}=(2-\lambda)^2-4k^2=(2-\lambda+2k)(2-\lambda-2k), \end{equation*}$
  
  le cui soluzioni sono
  
  $\begin{equation*} \lambda_{1,2}=2\pm2k. \end{equation*}$
  
  Ricordiamo che la definitezza della matrice dipende dal segno dei suoi autovalori. Studiamo quindi il segno di $\lambda_1$ e $\lambda_2$ al variare di $k\in\mathbb{R}$ .
  
  $\begin{equation*} \begin{array}{l} \lambda_1>0\iff k>-1 \\\\ \lambda_2>0\iff k<1 \end{array} \end{equation*}$
  
  Ciò significa che
  
  $\quad$
  - $\lambda_1,\lambda_2>0$ per $k \in (-1,1)$ , $\implies$ $\nabla^2f_k$ definita positiva;
  - $\lambda_1$ e $\lambda_2$ hanno segno opposto per $k\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$ , $\implies$ $\nabla^2f_k$ indefinita;
  - $\lambda_1=0$ o $\lambda_2=0$ per $k=\pm1$ , $\implies$ $\nabla^2f_k$ semidefinita positiva, ma non definita positiva.
  La situazione è rappresentata in figura 28.
  
  $\quad$
  
  $\quad$
  
  Figura 28: segnatura della matrice hessiana $\nabla^2 f_k$ al variare di $k \in \mathbb{R}$ ; in verde l’intervallo in cui $\nabla^2 f_k$ è definita positiva, in blu gli intervalli per cui $\nabla^2 f_k$ è indefinita, in rosso valori di $k$ per cui $\nabla^2 f_k$ è semidefinita positiva, ma non definita.
  
  $\quad$
  
  $\quad$
2. Procediamo ora con il criterio di Sylvester 1.28, il quale consiste nello studio del segno dei minori nord-ovest e di quelli principali per determinare la definitezza della matrice. Calcoliamo i minori nord-ovest:
  $\begin{equation*} d_1=\det(2)=2>0,\qquad d_2=\det\begin{pmatrix} 2&2k\\ 2k&2 \end{pmatrix}=4-4k^2. \end{equation*}$
  
  Il primo minore non dipende da $k$ ed è sempre positivo, dunque possiamo escludere che la matrice sia semidefinita negativa e tantomeno definita negativa. Studiamo il segno del secondo determinante: possiamo distinguere nuovamente tre casi:
  
  $\quad$
  - $d_2>0$ per $-1<k<1$ , $\implies$ $\nabla^2f_k$ definita positiva;
  - $d_2<0$ per $k\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$ , $\implies$ $\nabla^2f_k$ indefinita;
  - $d_2=0$ per $k=\pm1$ , $\implies$ $\nabla^2f_k$ semidefinita positiva, ma non definita positiva.
  Ovviamente, entrambi i metodi portano alla stessa conclusione. Sfruttiamo quindi lo studio della matrice hessiana per determinare la natura dei punti critici. Per $k\neq\pm1$ avevamo trovato il solo punto critico $P_1=(0,0)$ . Dallo studio precedente, applicando il teorema 1.17, risulta che
  
  – se $-1<k<1$ , $\nabla^2f_k(P_1)$ sia definita positiva $\implies$ $P_1$ è un punto di minimo relativo per $f_k$ , come rappresentato in figura 29.
3. Se $k=\pm1$ , abbiamo la retta di punti critici $y=\mp x$ per $f_{\pm1}$ . Tuttavia, in tutti questi punti la matrice hessiana risulta semidefinita positiva, ma non definita positiva. Ancora dal teorema 1.17 deduciamo che i punti della retta possono essere punti di minimo relativi o punti di sella.
  Occorre quindi determinare in altro modo la natura dei punti critici della retta $y=x$ per $f_{-1}$ e quella di $y=-x$ per $f_1$ . Osserviamo che
  
  $\begin{equation*} f_{-1}(x,y)=x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{equation*}$
  
  Ne deduciamo che $f_{-1}\geq0$ su $\mathbb{R}^2$ e i punti sulla retta $y=x$ soddisfano $f_{-1}(x,y)=0$ , dunque per definizione la retta $y=x$ è un luogo di punti di minimo relativo (anche assoluto) per $f_{-1}$ , come si vede nella figura 31.
  
  $\quad$
  
  $\quad$
  
  $\quad$
  
  Considerazioni analoghe valgono per i punti sulla retta $y=-x$ per $f_1$ , infatti
  
  $\begin{equation*} f_{1}(x,y)=x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\geq0\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2 \end{equation*}$
  
  e se $y=-x$ , $f(x,y)=0.$ Dunque anche i punti della retta $y=-x$ sono punti di minimo relativo (anche assoluto) per $f_1$ , come evidente dalla figura 32.

Esercizio 3.4 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Determinare i punti critici su $\mathbb{R}^3$

della funzione $f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$

, definita da

$\begin{equation*} f(x,y,z):=(x^2+y^2)^2-xy+z^2,\qquad\forall(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \end{equation*}$

e stabilire se essi sono di massimo, minimo o sella.

Svolgimento.

Osserviamo che $f$

è di classe $\mathcal{C}^2$

su $\mathbb{R}^3$

. Andiamo alla ricerca dei punti critici di $f$

, calcolando le sue derivate prime. Per ogni $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$

si ha

$\begin{equation*} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=4x(x^2+y^2)-y,\qquad \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=4y(x^2+y^2)-x,\qquad \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=2z \end{equation*}$

e determiniamo i punti critici, ovvero le soluzioni del sistema

$\begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=4x(x^2+y^2)-y=0 \\[8pt] \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=4y(x^2+y^2)-x=0 \\[8pt] \dfrac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=2z=0 \end{cases} \iff \begin{cases} y=4x(x^2+y^2) \\[4pt] x=4y(x^2+y^2)\\[4pt] z=0. \end{cases} \end{equation*}$

Per studiare le prime due equazioni del sistema, sarebbe opportuno moltiplicare le equazioni per $x$ e per $y$ rispettivamente. Per farlo, tuttavia, dovremo supporre $x,y\neq0$ . Pertanto, prima di procedere, dobbiamo controllare che le condizioni $x=0$ e $y=0$ non portino soluzioni al sistema. Si vede immediatamente che supponendo $x=0$ risulta $y=0$ e viceversa. Pertanto $P_1:=(0,0,0)$ è il primo punto critico di $f$ e l’unico per il quale $x=0$ o $y=0$ .

Ora è del tutto lecito supporre $x,y\neq0$ e continuiamo a risolvere il sistema moltiplicando la prima equazione per $x$ e la seconda per $y$ :

$\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} xy=4x^2(x^2+y^2) \\[4pt] xy=4y^2(x^2+y^2)\\[4pt] z=0 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 4y^2(x^2+y^2)=4x^2(x^2+y^2) \\[4pt] xy=4y^2(x^2+y^2)\\[4pt] z=0. \end{array}\right. \end{equation*}$

Nella prima equazione, il termine $x^2+y^2$ è sicuramente positivo nelle nostre ipotesi, pertanto semplificabile. Lo stesso vale per $y$ nella seconda equazione. Il sistema si riduce quindi a

$\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} y^2=x^2 \\[4pt] x=4y(x^2+y^2)\\[4pt] z=0 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} y=\pm x \\[4pt] x=4y(x^2+y^2)\\[4pt] z=0. \end{array}\right. \end{equation*}$

Inseriamo la prima equazione nella seconda, ottenendo

$\begin{equation*} x=\pm8x^3\iff x^2=\pm\dfrac{1}{8}. \end{equation*}$

L’equazione $x^2=-\dfrac{1}{8}$ non ha chiaramente soluzione, dunque la condizione $y=-x$ non comporta alcun punto critico. Invece, per $y=x$ l’equazione risulta

$\begin{equation*} x^2=\dfrac{1}{8}\iff x=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{4}, \end{equation*}$

da cui

$\begin{equation*} y=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{4}. \end{equation*}$

Abbiamo dunque trovato altri due punti critici di $f$ :

$\begin{equation*} P_2=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{4},\dfrac{\sqrt{2}}{4},0\right),\qquad P_3=\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{4},-\dfrac{\sqrt{2}}{4},0\right). \end{equation*}$

I punti $P_1$ , $P_2$ e $P_3$ sono rappresentati in figura 33.

$\quad$

Figura 33: i punti critici di $f$ appartengono al piano $z=0$ .

$\quad$

Calcoliamo le derivate seconde di $f$ per costruire la matrice hessiana di $f$ :

$\begin{equation*} \begin{array}{lll} &\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}(x,y,z)=4(x^2+y^2)+8x^2=4(3x^2+y^2)\qquad\forall(x,y,z)\in\mathbb{R}^3,\\[8pt] &\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x,y,z)=8xy-1\qquad\forall(x,y,z)\in\mathbb{R}^3,\\[8pt] &\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial z}(x,y,z)=0\qquad\forall(x,y,z)\in\mathbb{R}^3,\\[8pt] &\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}(x,y)=4(x^2+y^2)+8y^2=4(x^2+3y^2)\qquad\forall(x,y,z)\in\mathbb{R}^3,\\[8pt] &\dfrac{\partial^2f}{\partial y\partial z}(x,y,z)=0\qquad\forall(x,y,z)\in\mathbb{R}^3,\\[8pt] &\dfrac{\partial^2f}{\partial^2 z}(x,y,z)=2\qquad\forall(x,y,z)\in\mathbb{R}^3,\\[8pt] \end{array} \end{equation*}$

dunque la matrice hessiana di $f$ risulta essere

$\begin{equation*} \nabla^2f(x,y,z)=\begin{pmatrix} 4(3x^2+y^2)&8xy-1&0\\[3pt] 8xy-1&4(x^2+3y^2)&0\\[3pt] 0&0&2 \end{pmatrix}\qquad\forall(x,y,z)\in\mathbb{R}^3. \end{equation*}$

Valutiamo la matrice hessiana di $f$ in ciascuno dei punti critici di $f$ precedentemente trovati:

$\begin{equation*} \nabla^2f(P_1)=\begin{pmatrix} 0&-1&0\\[3pt] -1&0&0\\[3pt] 0&0&2 \end{pmatrix},\qquad\nabla^2f(P_2)=\nabla^2f(P_3)=\begin{pmatrix} 2&0&0\\[3pt] 0&2&0\\[3pt] 0&0&2 \end{pmatrix}. \end{equation*}$

Studiamo la definitezza di tali matrici.

$P_1)$ Possiamo procedere in entrambi i modi: sia calcolando esplicitamente il segno degli autovalori di $\nabla^2f(P_1)$ , sia attraverso il criterio di Sylvester 1.28.

$\quad$

Detta $M_1\coloneqq\nabla^2f(P_1)$ , troviamo gli autovalori di $M_1$ , ovvero le radici del polinomio caratteristico:
$\begin{equation*} \begin{split} p_{M_1}(\lambda) \coloneqq & \det(M_1-\lambda \operatorname{Id}) \\[3pt] =& \det\begin{pmatrix} -\lambda&-1&0\\[3pt] -1&-\lambda&0\\[3pt] 0&0&2-\lambda \end{pmatrix} \\[3pt] =& (2-\lambda)(\lambda^2-1) \\ =& (\lambda+1)(\lambda-1)(2-\lambda)=0. \end{split} \end{equation*}$

Le soluzioni di questa equazione sono

$\begin{equation*} \lambda_1=1,\qquad\lambda_2=-1,\qquad\lambda_3=2. \end{equation*}$

È immediato notare che gli autovalori di $\nabla^2f(P_1)$ hanno segno discorde, pertanto $\nabla^2g(P_1)$ è indefinita.

Avremmo potuto anche applicare il criterio di Sylvester 1.28, osservando che il minore nord-ovest di ordine due è negativo:
$\begin{equation*} d_2=\det\begin{pmatrix} 0&-1\\[3pt] -1&0 \end{pmatrix}=-1. \end{equation*}$

Ciò è sufficiente, grazie al teorema 1.28, per concludere che $\nabla^2f(P_1)$ è indefinita.

$P_2,P_3)$ Osserviamo che la matrice $\nabla^2f(P_2)=\nabla^2f(P_3)$ è già diagonale

$\begin{equation*} \nabla^2f(P_2)=\nabla^2f(P_3)=\begin{pmatrix} 2&0&0\\[3pt] 0&2&0\\[3pt] 0&0&2 \end{pmatrix} \end{equation*}$

e gli elementi che compaiono sulla diagonale sono (per definizione) esattamente gli autovalori della matrice. Segue immediatamente che i suoi autovalori hanno tutti segno positivo, pertanto la matrice è definita positiva.

Grazie allo studio della definitezza delle matrici hessiane valutate in ciascun punto critico possiamo determinare la loro natura, applicando il teorema 1.17: $\nabla^2f(P_1)$ è indefinita, dunque $P_1$ è un punto di sella per $f$ , mentre in $P_2$ e $P_3$ , $\nabla^2f(P_2)=\nabla^2f(P_3)$ è definita positiva e quindi $P_2$ e $P_3$ sono punti di minimo relativo per $f$ .

Osserviamo che, essendo $f$ è di classe $\mathcal{C}^1$ su $\mathbb{R}^3$ e che $\mathbb{R}^3$ è aperto, il teorema di Fermat 1.7 garantisce che $P_2$ e $P_3$ sono gli unici estremali relativi di $f.$

Riferimenti bibliografici

[1] Bramanti, M. & Pagani C. D. & Salsa S., Analisi Matematica 2, Zanichelli (2016).

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