Le funzioni continue sono forse tra le più importanti della matematica. Il concetto di continuità esprime infatti l’idea che il valore di un oggetto in un punto sia “vicino” ai valori assunti in punti vicini, ossia la nozione intuitiva di variazione “senza scatti istantanei”.
Questa proprietà implica numerose altre caratteristiche, essenziali nello studio degli oggetti matematici che le possiedono.
Questa dispensa completa espone il concetto di continuità per funzioni reali di una variabile reale, discutendo i seguenti argomenti fondamentali:
- Definizione di continuità;
- Continuità delle funzioni elementari e operazioni con le funzioni continue;
- Caratterizzazione della continuità per successioni, ossia la versione del teorema ponte per funzioni continue;
- Discontinuità e loro classificazione, inclusa la caratterizzazione delle discontinuità di funzioni monotone;
- Teoremi sulle funzioni continue, tra cui il teorema della permanenza del segno, il teorema di esistenza degli zeri e dei valori intermedi, il teorema di Weierstrass sui massimi e minimi;
- Il concetto di continuità uniforme e relativo teorema di Heine-Cantor;
- Funzioni lipschitziane, hölderiane, loro relazioni col concetto di continuità uniforme e teorema delle contrazioni.
Il testo, oltre a offrire una presentazione chiara della teoria, ne fornisce delle spiegazioni intuitive e motivate da numerosi esempi, figure ed esercizi.
Se desideri scoprire questi affascinanti concetti della matematica, preparati a sfogliare questa dispensa completa e accessibile!
Oltre all’esaustiva lista alla fine dell’articolo, segnaliamo le seguenti raccolte di esercizi su questo importante argomento:
- Funzioni continue – Esercizi;
- Esercizi teorici sulla continuità;
- Esercizi teorici sull’uniforme continuità
- Esercizi sul teorema di Weierstrass.
Sommario
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Autori e revisori
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Revisori: Sara Sottile, Sergio Fiorucci, Matteo Talluri, Chiara Bellotti.
Introduzione
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è discontinua. All’inizio dell’ottocento vi è una revisione del concetto di funzione, necessaria per la dimostrazione rigorosa di alcuni risultati, come ad esempio il teorema degli zeri sulle funzioni continue. Si inizia dunque ad affermare la concezione moderna di funzione come corrispondenza tra due insiemi.
In concomitanza a tale ampliamento di vedute, si fanno sempre più sentire esigenze di precisione: nel secolo precedente tutte le funzioni, in ogni caso quelle che valesse la pena studiare, erano quantomeno continue; tuttavia, con l’introduzione di funzioni più generali e sempre più irregolari, diventa necessario precisare la nozione di continuità e rendere esplicite le condizioni che garantiscono la validità dei teoremi. Un primo esempio di “nuove funzioni” di questo periodo è la celebre funzione introdotta da Dirichlet (1805 – 1859) da cui prende il nome e che vale sui punti razionali e
nei punti irrazionali:
In questo contesto, dapprima prevale l’impostazione di Lagrange (1736 – 1813), che richiede che tutte le funzioni siano sviluppabili in serie di potenze, cioè siano esprimibili nella forma
Successivamente, si afferma la visione di Cauchy (1789 – 1857) che è, con minime variazioni, quella ancora in uso. Nel suo Course d’analyse, Cauchy introduce la nozione di funzione continua mediante l’uguaglianza tra il valore della funzione in un punto e quello del limite della funzione nel punto stesso, come presentata ad esempio in [6].
La dispensa si sviluppa nel modo seguente. Nella sezione 2 viene definito il concetto di funzione continua e, successivamente, viene dimostrata la continuità delle funzioni elementari e della composizione di funzioni continue. La sezione 3 è interamente dedicata alla caratterizzazione della continuità mediante l’uso di successioni ed alle sue applicazioni. Nella sezione 4 viene enunciata la definizione di discontinuità seguita dall’analisi dei diversi tipi di discontinuità. Successivamente, la sezione 5 contiene gli enunciati e le dimostrazioni dei principali teoremi riguardanti le funzioni continue: il teorema della permanenza del segno, il teorema degli zeri, il teorema dei valori intermedi e il teorema di Weierstrass. La sezione 6 è dedicata interamente al concetto di uniforme continuità. Nella sezione 6.2 viene enunciato e dimostrato il teorema di Heine-Cantor, che lega il concetto di uniforme continuità e continuità. Infine, nelle sezioni 6.3 e 6.4 sono introdotti i concetti di funzione lipschitziana e funzione hölderiana, rispettivamente, e le loro relazioni con i concetti di continuità e uniforme continuità. Diverse tipologie di esercizi sugli argomenti trattati in questa dispensa sono raccolte nella dispensa [15, esercizi sulla continuità].
Continuità
Definizione.











Tale definizione conferma l’intuizione che una funzione è continua in
se ci possiamo avvicinare arbitrariamente al valore della funzione
valutando
in punti opportunamente vicini a
.
Osservazione 2.2 (continuità nei punti isolati). La definizione di continuità distingue quindi il caso in cui sia isolato. Il motivo di tale distinzione è che nel caso in cui il punto
è isolato, il limite di
in
non è definito. Ciononostante, se
è isolato, è intuitivamente chiaro che
è vicino a
per
vicino a
, in quanto l’unico
arbitrariamente vicino a
è
stesso.
Figura 1: grafico (in blu) della funzione dell’esempio 2.3. Si osservi che
è continua in
(in quanto punto isolato del dominio) e in
, ma non è continua in
. Intuitivamente, se
è vicino a
, allora
è vicino a
; invece se
è vicino a
,
non è vicino a
.
Esempio 2.3. Sia e sia
la funzione definita da
(1)
Il grafico di è rappresentato in blu in figura 1. Facciamo le seguenti osservazioni.
-
è continua in
in quanto
(2)
Proveremo in seguito la validità di questo limite e, più in generale, che la funzione radice quadrata è continua.
-
è continua in
in quanto
è un punto isolato del dominio;
-
non è continua in
in quanto è chiaro che
, ma
.







Infine, enunciamo la definizione di funzione continua in un insieme.






(3)
I simboli e
denotano l’insieme delle funzioni continue in
.
Continuità delle funzioni elementari.

(4)

è continua in .
Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che per ogni si ha
Siano
e
. Cerchiamo
tale che
(5)
Poiché per ogni
, basta scegliere
. Infatti si ha
Ciò mostra che , cioè che
è continua in
. Per l’arbitrarietà di
,
è continua in
. In figura 2 si ha la rappresentazione grafica della dimostrazione.
Figura 2: rappresentazione della dimostrazione della proposizione 2.6. In blu il grafico della funzione identità; si nota che, se , allora
.
Segue direttamente che le funzioni potenza sono continue, come esplicitato dal risultato seguente.


è continua in .
Dimostrazione. Siano e
. Consideriamo
tale che
per ogni
. Tale funzione è il prodotto della funzione identità per se stessa ripetuto
volte, dunque:
dove nella seconda disuguaglianza si è usato [3, teorema 4.10] e nella terza si è usata la proposizione 2.6.
Ciò prova che la funzione potenza è continua in
, dunque per l’arbitrarietà di
essa è continua in
.
Il risultato precedente ci permette di dimostrare che i polinomi e i loro quozienti sono funzioni continue.
- Siano
e
. Allora la funzione polinomiale
definita da
è continua in
.
- Siano inoltre
,
e sia
la funzione polinomiale definita da
Sia
. Allora la funzione
tale che
è continua in
.
Dimostrazione. Sia . La funzione polinomiale
è combinazione lineare di funzioni potenza tramite i coefficienti
Utilizzando le proprietà dei limiti sul prodotto di funzioni per delle costanti e sulla somma di funzioni ([3, teorema 4.10]), si ha che
dove abbiamo utilizzato la proposizione 2.7 sulla continuità delle funzioni potenza. Segue che la funzione polinomiale è continua in
, dunque per l’arbitrarietà di
essa è continua in
.
Consideriamo ora la funzione polinomiale e sia
. Definiamo
tale che
e consideriamo inoltre
. Si noti che, per il teorema 5.1 di permanenza del segno (si veda anche [13]), in un intorno di
si ha che
. Utilizzando la proprietà sui limiti di funzioni quoziente [3, teorema 4.10], si ha che
dove la penultima uguaglianza segue dalla prima parte della dimostrazione.
La funzione quoziente è continua in
, e dunque per l’arbitrarietà di
essa è continua in
.

è continua in .
Dimostrazione. Siano , allora dalle formule di prostaferesi ([8, sezione 2B, proprietà 11]) si ha:
(6)
Ricordando che e
([8, sezione 2B, proprietà 3]) per ogni
, passando ai moduli in (6), si ha
(7)
Vogliamo usare tale disuguaglianza per dimostrare che . Fissato
, vogliamo determinare
tale che, se
, allora
. Da (7) segue che si può scegliere
, infatti
Ciò prova che
In figura 3 si ha la rappresentazione grafica della dimostrazione.
Figura 3: rappresentazione della dimostrazione della proposizione 2.9. In blu il grafico della funzione ; si nota che
In maniera analoga si dimostra lo stesso risultato per la funzione coseno.

è continua in .
Dimostrazione. Siano , allora per le formule di prostaferesi si ha:
La dimostrazione è analoga a quella della proposizione 2.9.
Dimostriamo ora la continuità della funzione esponenziale, iniziando con un lemma preliminare.

Dimostrazione. Se , l’enunciato è ovvio. Fissiamo quindi
e
. Dai noti limiti
(8)
segue che esiste tale che
(9)
Da ciò e dalla monotonia della funzione esponenziale segue la disuguaglianza (rappresentata in figura 4)
(10)
Per l’arbitrarietà di e dalla definizione di limite otteniamo la tesi.
Il caso si ottiene osservando che
per ogni
.
Figura 4: rappresentazione della dimostrazione del lemma 2.11. In blu è rappresentato il grafico della funzione esponenziale, mentre in verde è rappresentato l’intorno .


è continua in .
Dimostrazione. Fissato si ha che
Effettuando il cambio di variabile si ottiene
avendo utilizzato il lemma 2.11. Ciò prova che
da cui segue che la funzione esponenziale è continua in . Per l’arbitrarietà di
segue che la funzione esponenziale è continua in
.
Date due funzioni continue , risulta naturale chiedersi se le funzioni
risultino continue. Ciò è vero, come mostra la proposizone seguente, che costituisce una generalizzazione della proposizione 2.8. Infatti, quest’ultima poteva anche essere ottenuta dalla proposizione 2.13 e dalla proposizione 2.6.



inoltre detto consideriamo
tale che
.
Se e
sono funzioni continue, allora
,
e
sono funzioni continue nei loro domini.
Dimostrazione. La dimostrazione segue dalle proprietà sui limiti ([3, teorema 4.10]). Sia . Se
è isolato la dimostrazione è banale. Se invece
è di accumulazione per
, allora dall’ipotesi di continuità di
e
in
si ha
Segue che
La dimostrazione per prodotto e quoziente è analoga.
Dai risultati precedenti segue inoltre il seguente corollario.

è continua nel suo dominio.
Dimostrazione. Poiché la funzione viene definita come rapporto delle funzioni
e
che sono continue per le proposizioni 2.9 e 2.10, rispettivamente, la tesi segue dalla proposizione 2.13.
Continuità delle funzioni composte.









Questa proposizione è diretto corollario della proposizione seguente, che afferma che le funzioni continue preservano il limite.








Dimostrazione. Sia . Poiché
è continua in
, allora per la proposizione 2.4 esiste
tale che
Inoltre, poiché esiste
tale che
Segue quindi che
da cui la tesi.
Concludiamo la sezione osservando che l’esistenza e la continuità delle funzioni inverse di alcune funzioni elementari sarà studiato nella sezione 5.3, come conseguenza dei risultati provati nella sezione 4. Pertanto, nonostante negli esempi tale esistenza e continuità (ad esempio di radici e logaritmi) sarà data per scontata, essa verrà provata nella sezione annunciata.
Continuità e successioni: il teorema ponte
Introduzione.
Per richiami di teoria sui limiti di successioni si veda [3, 8, 6]. Ricordiamo la seguente definizione prima di enunciare il risultato principale della sezione.








- vale
(11)
- esiste
tale che, per ogni successione
a valori in
tale che
, con
definitivamente, si ha
(12)
Non riportiamo la dimostrazione di questo teorema (per la quale rimandiamo su il teorema ponte), anche perché essa è analoga a quella del seguente risultato, che esprime la medesima proprietà per le funzioni continue.



-
è continua in
;
- per ogni successione
a valori in
tale che
, si ha
(13)
Dimostrazione. Proviamo separatamente le due implicazioni.
- Sia
continua in
, si consideri una successione
a valori in
tale che
e sia
. Per la continuità di
, esiste
tale che
(14)
Poiché
è a valori in
e
, esiste
tale che
(15)
come rappresentato in figura 5. Da (14) e (15) segue che
(16)
ossia, per l’arbitrarietà di
, che
.
- Supponiamo viceversa che
non sia continua in
. Allora per definizione di continuità esiste
con la proprietà che
(17)
La successione
è a valori in
e, da
, segue che converge a
. Ciononostante, essa non soddisfa
.
Figura 5: rappresentazione della dimostrazione del teorema 3.3; l’intorno è rappresentato in rosso, mentre in verde è rappresentato l’intorno
.
Esempi di applicazione.
Vengono presentati ora due esempi di applicazione del teorema per provare la non esistenza di un limite; in particolare, data una funzione , la strategia è quella di trovare due successioni
e
a valori in
che convergono allo stesso limite
che sia un punto di accumulazione per
tali che
Per il teorema 3.2 segue dunque che non esiste .
Esempio 3.4. Consideriamo la funzione definita da
e dimostriamo che non esiste
L’intuizione che questo limite non esista è dovuta alla natura oscillatoria e periodica della funzione i cui valori
sembrano “non avvicinarsi”, per
, ad alcun numero reale fissato.
Consideriamo le successioni e
di termini generali rispettivamente
Tali successioni sono rappresentate graficamente in figura 6. Vale
tuttavia
e di conseguenza
Poiché la condizione del teorema 3.3 non è soddisfatta, segue che
non esiste.
Figura 6: le due successioni e
dell’esempio 3.4; si vede che
e
per ogni
. Da ciò e dal teorema 3.2 segue che
non esiste.
Esempio 3.5. Consideriamo la funzione definita da
e dimostriamo che non esiste
Consideriamo due successioni e
di termini generali
Tali successioni sono rappresentate graficamente in figura 7. Allora si ha
Tuttavia,
e di conseguenza
Ciò implica che non esiste.
Figura 7: le due successioni e
dell’esempio 3.5; da
,
e dal teorema 3.2 segue che
non esiste.
Discontinuità
Introduzione.





Osservazione 4.2. Secondo la definizione data un punto di discontinuità appartiene al dominio della funzione. Tuttavia, in alcuni testi, la definizione di discontinuità in un punto viene data in maniera differente: una funzione può essere definitiva discontinua anche in punti
non appartenenti al dominio.
Riteniamo inopportuna quest’ultima accezione in quanto essa richiede che il dominio della funzione debba essere a priori considerato come un sottoinsieme di uno spazio più grande e inoltre perché contrasta con la definizione, più generale, di continuità di funzioni tra spazi topologici.
Si consiglia dunque al lettore, nel consultare diversi manuali, di prestare attenzione al tipo di definizione che viene data in ciascun contesto. In particolare, si fa riferimento a [9] per un approfondimento sulla questione.
Nel riferirsi a funzioni definite discontinue in punti non appartenenti al dominio, tali autori utilizzano in maniera implicita il seguente concetto. Presentiamo quindi questa nozione, seguita da esempi che chiariscono quanto anticipato.







(18)
è continua. Tale è detta estensione continua di
in
. In caso contrario,
si dice non estendibile con continuità in
.
In altre parole, una funzione è estendibile con continuità in un punto se essa coincide con la restrizione di una funzione
continua in tale punto.
La definizione 4.3 chiarisce forse la diversità di opinioni riguardo funzioni definite “discontinue” in punti non appartenenti al dominio: tali autori si riferiscono a quelle che abbiamo definito funzioni non prolungabili con continuità in tali punti.
Esempio 4.4. Secondo le nostre definizioni, la funzione definita da
per ogni
è continua, ma non è prolungabile con continuità in
in quanto
(19)
come mostrato nell’esempio 3.5 e in figura 7. Equivalentemente, (19) mostra che non può esistere alcuna funzione continua che coincida con
in
.
Esempio 4.5. La funzione rappresentata in figura 8 e definita da
(20)
Figura 8: la funzione dell’esempio 4.5 (in blu) e il suo confronto con le funzioni
(in verde). Nonostante
non sia definita in
, si vede che
, quindi essa è estendibile con continuità.
è estendibile con continuità in . Infatti si ha
(21)
Da tali relazioni, per il teorema del confronto si ottiene
(22)
da cui è estendibile con continuità in
e la funzione
definita da
(23)
è la sua estensione continua in .
Tipi di discontinuità.
Figura 9: discontinuità di I, II e III specie.



(24)
Si definisce ampiezza del salto la differenza
(25)










(26)
Osservazione 4.9. L’ultimo tipo di discontinuità si chiama “eliminabile” proprio perché, ridefinendo il
valore della funzione nel punto e ponendolo uguale al valore del limite
si ottiene una nuova funzione continua.
Procediamo ora con alcuni esempi.
Esempio 4.10 (discontinuità di salto).
- Si consideri la funzione funzione
definita da
rappresentata a sinistra in figura 10. Tale funzione prende il nome di funzione caratteristica dell’intervallo
.
Figura 10: le due funzioni dell’esempio 4.10. A sinistra, il grafico della funzione
caratteristica dell’intervallo
: si notino le discontinuità di prima specie in
e
con salti rispettivamente pari a
e
. A destra, il grafico della funzione
, avente una discontinuità di prima specie in
con salto pari a
.
Si ha
mentre
Segue che
ha un salto sia in
che in
di ampiezza
e
, rispettivamente.
- Consideriamo la funzione
definita da
rappresentata a destra in figura 10. Tale funzione prende il nome di funzione segno. Studiando i limiti destro e sinistro in
, è immediato verificare che
ha una discontinuità di salto in tale punto con ampiezza del salto pari a ampiezza
.
Esempio 4.11 (discontinuità di seconda specie).
- Consideriamo la funzione
definita da
rappresentata a sinistra in figura 11. In questo caso si ha una discontinuità di seconda specie in
, poiché
- Sia
e consideriamo la funzione
definita da
rappresentata a destra in figura 11. In questo caso si ha una discontinuità di seconda specie in
per ogni
, poiché non esiste
.
Figura 11: le due funzioni dell’esempio 4.11. possiede una discontinuità di seconda specie in quanto
, mentre
ha una discontinuità di seconda specie in quanto
non esiste.
Esempio 4.12 (discontinuità eliminabile). Consideriamo la funzione definita da
rappresentata in figura 12. Tale funzione ha una discontinuità eliminabile in , infatti
Tuttavia, possiamo definire una nuova funzione a partire da ,
nel modo seguente
eliminando così la discontinuità.
Figura 12: la funzione dell’esempio 4.12. Poiché essa assume valore
ovunque tranne che in
, in tale punto possiede una discontinuità eliminabile.
Discontinuità di funzioni monotone.
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Inoltre, l’insieme dei punti di discontinuità di f possiede cardinalità finita o numerabile.
Dimostrazione. Dimostriamo il risultato nel caso di una funzione crescente, poiché l’altro caso si dimostra in maniera analoga.
Sia un punto di discontinuità per
. Allora, poiché
è una funzione monotona crescente si ha che
inoltre vale
Dunque segue che . Abbiamo escluso quindi la possibilità di avere discontinuità di seconda o terza specie.
Poiché , se
allora
non sarebbe un punto di discontinuità per
. Segue dunque che l’unica possibilità rimasta è
, dunque
è un punto di discontinuità di salto per
.
Figura 13: discontinuità di una funzione monotona . Si noti che gli intervalli
sono tutti contenuti in
e sono a due a due disgiunti.
Mostriamo ora che l’insieme è finito o numerabile.
A tal fine, consideriamo la funzione
definita come segue
(27)
dove è scelto in maniera arbitraria nell’insieme
. Osserviamo che tale insieme non è vuoto in quanto
è di discontinuità per
, per cui
, e per la densità di
in
. Notiamo inoltre che la possibilità di effettuare tali scelte dipende, nel caso in cui
sia infinito, dall’assioma della scelta. La funzione
risulta quindi ben definita.
Osserviamo ora che è iniettiva. Infatti, siano
con
(l’altro caso è analogo). Per la monotonia di
si ha
(28)
Gli intervalli e
sono dunque disgiunti e quindi
.
Dall’iniettività di
e dalla numerabilità di
segue che
è al più numerabile.
Si veda figura 13 per la rappresentazione grafica della dimostrazione.
Teoremi sulle funzioni continue
Introduzione.
Il teorema della permanenza del segno.



Allora esiste un intorno di
tale che la funzione
assume in
valori di segno costante e uguale al segno di
.
Dimostrazione. Poiché , esiste
tale che
, cioè ogni numero reale di tale insieme ha lo stesso segno di
. Per definizione di limite esiste un intorno
di
tale che
(29)
cioè, per come è stato scelto ,
assume lo stesso segno di
per ogni
.
Si veda figura 14 per una rappresentazione grafica.
Figura 14: rappresentazione del teorema 5.1. Poiché , per ogni
ha lo stesso segno di
. Si noti l’indipendenza di ciò dal segno di
, che può anche essere diverso.
Segue direttamente il seguente risultato per funzioni continue.





Vale un risultato analogo se .
Il teorema di esistenza degli zeri.

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Figura 15: rappresentazione del teorema 5.3. Poiché ,
e
è continua, il grafico di
interseca l’asse
in almeno un punto
, ottenuto come estremo superiore dell’insieme
(rappresentato in rosso).
Si noti che, nonostante il teorema 5.3 assicuri l’esistenza di almeno un punto
tale che
, esso può non essere unico, come nel caso in esame in cui sono presenti anche gli zeri
e
di
.
Dimostrazione. Supponiamo che e
. Il caso opposto si dimostra in maniera analoga.
Definiamo l’insieme
(30)
rappresentato in rosso in figura 15.
Osserviamo che , dunque
è non vuoto e inoltre
, dunque è limitato superiormente. Allora per la completezza dei numeri reali (si veda [11, funzioni elementari – volume 1, assioma 2.57]) esiste
(31)
Proviamo che .
Per definizione di estremo superiore, esiste tale che
, da cui segue, per la continuità di
e per il teorema 3.3, che
(32)
In particolare ciò mostra che .
Supponiamo che , allora per il corollario 5.2, esisterebbe
con
tale che
, contraddicendo il fatto che
. Da tale contraddizione segue che
(33)
Viene presentata ora una dimostrazione alternativa di tipo costruttivo.
Figura 16: i primi passi nella costruzione degli intervalli descritti nella dimostrazione alternativa del teorema 5.3 (per maggiore chiarezza, l’ultimo grafico è dilatato verticalmente di un fattore 15). Si noti come, dimezzando l’ampiezza dell’intervallo a ogni passo, le successioni
e
convergano rapidamente a uno zero
di
.
Dimostrazione alternativa del teorema 5.3. Per ipotesi si ha . Vogliamo costruire induttivamente una successione di intervalli
con la proprietà che
(34)
ovvero che essi siano “inscatolati” e che il segno delle successioni e
sia costante.
Procediamo per induzione. Come primo passo, poniamo
. Per ipotesi,
. Come passo successivo, supposto di aver costruito l’intervallo
tale che
procediamo a costruire
nel seguente modo:
se
, poniamo
e abbiamo finito; in caso contrario definiamo
(35)
Queste scelte sono illustrate nella figura 16. Osserviamo che
(36)
dunque e
sono due successioni monotone e limitate, quindi esse sono convergenti; chiamiamo
e
i limiti rispettivamente di
e
Mostriamo ora che . Infatti, osserviamo che per costruzione l’intervallo
si ottiene bisecando
, quindi
(37)
Passando al limite per nella precedente relazione, si ottiene
(38)
ossia .
Chiamato
questo limite comune di
e
, ci manca da dimostrare che
.
Ancora per costruzione abbiamo che e
hanno segno costante e discorde e quindi
, da cui, passando al limite1
(39)
dove nella prima uguaglianza si è usata la continuità di e il teorema 3.3. Dato che
per ogni
, da (39) segue necessariamente
, ossia
(40)
Osservazione 5.4. Osserviamo in figura 17 che le ipotesi del teorema degli zeri sono necessarie.
Figura 17: le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri sono necessarie. A sinistra, è una funzione continua e assume valori di segno opposto agli estremi del suo dominio, ma questo non è un intervallo. Al centro,
è definita su un intervallo e assume valori di segno opposto agli estremi, ma non è continua. A destra,
è continua e definita su un intervallo, ma non assume valori di segno opposto agli estremi.
Il teorema di esistenza degli zeri è uno strumento utile per dimostrare l’esistenza di soluzioni di equazioni che risulta impossibile calcolare analiticamente, come mostra il seguente semplice corollario e il relativo esempio.
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(41)
oppure
(42)
Allora esiste tale che
(43)
In altre parole, se i valori assunti da e
in
e
sono in rapporti di ordine diverso, esiste almeno una soluzione
dell’equazione
.
Dimostrazione. La funzione definita da
(44)
è continua e, per l’ipotesi sull’ordine di , è tale che
e
hanno segno opposto. Il teorema 5.3 prova quindi l’esistenza di
.
Applichiamo questo risultato in un esempio pratico.
Esempio 5.6. Determiniamo il numero di soluzioni dell’equazione nella variabile
(45)
fornendone anche eventualmente una stima. Innanzitutto si osserva che la funzione (il cui grafico è rappresentato in rosso in figura 18) è strettamente decrescente, mentre la funzione definita da
(il cui grafico è rappresentato in blu in figura 18) è strettamente crescente, quindi l’equazione (45) possiede al più una soluzione.
Figura 18: le funzioni e
(rispettivamente in rosso e blu) dell’esempio 5.6. L’equazione (45) possiede una soluzione
(in verde) poiché
e
per il corollario 5.5. Tale soluzione è unica per la monotonia di
e
.
Per stabilire che una soluzione effettivamente esiste, osserviamo che
(46)
da cui l’esistenza di garantita dal corollario 5.5.
Si poteva anche procedere utilizzando direttamente il teorema 5.3, considerando la funzione definita da
(47)
Risolvere l’equazione (45) è equivalente a determinare gli zeri di , ossia i numeri reali
tali che
. Osserviamo che
(48)
Poiché è continua, per il teorema di esistenza degli zeri esiste
tale che
, cioè tale che
(49)
Tale punto è rappresentato in verde in figura 18 e una sua stima è che esso è compreso tra 0 e 1.
Il metodo di bisezione
Il teorema degli zeri 5.3 garantisce l’esistenza di (almeno) uno zero della funzione, se le ipotesi sono soddisfatte. Si è visto come questo strumento sia utile per risolvere equazioni del tipo
dove è una funzione continua che assume valori di segno discorde agli estremi o come nel corollario 5.5. Tuttavia a livello pratico non sempre è possibile calcolare analiticamente la soluzione dell’equazione e bisogna ricorrere all’aiuto di programmi di calcolo, che forniscono una approssimazione della soluzione richiesta.
Esistono vari algoritmi che implementano quanto richiesto, ma uno dei più intuitivi è il metodo di bisezione che sfrutta direttamente la dimostrazione alternativa del teorema degli zeri.
Per spiegare più in dettaglio il metodo, supponiamo senza perdita di generalità che e
. Come nella dimostrazione costruttiva del teorema 5.3, si costruiscono tre successioni di numeri reali
,
e
soddisfacenti
e
per ogni
. Tali successioni sono costruite per ricorrenza ponendo
(50)
e, una volta definiti si valuta
procedendo come segue:
- se
, allora
è la soluzione cercata e l’algoritmo si arresta.
- Se
, allora, per il teorema degli zeri, l’intervallo
contiene uno zero di
e si pone
(51)
- Se
, allora, per il teorema degli zeri, l’intervallo
contiene uno zero di
e si pone
(52)
Il processo appena descritto può in generale non arrestarsi mai nel caso in cui la soluzione non cada esattamente in uno dei punti medi degli intervalli trovati. Esistono perciò diversi “criteri di arresto” che forzano la conclusione del processo.
Per arrestare l’algoritmo, una scelta consiste nel fissare a priori il numero massimo di iterazioni che desideriamo che esso compia. Nel caso in cui si arrivi a compiere tutte le
iterazioni ammesse, si conviene che il valore
(53)
ossia il punto medio dell’intervallo -esimo determinato dall’algoritmo,
sia la soluzione approssimata fornita in uscita.
Osserviamo che, poiché gli estremi dell’intervallo
sono noti, fissare
equivale a determinare l’errore massimo tra lo zero reale
della funzione e il suo valore approssimato
. Infatti, poiché
e
è il punto medio di tale intervallo, si ha
(54)
dove l’ultima uguaglianza segue dal fatto che a ogni passo l’ampiezza dell’intervallo è dimezzata e può essere facilmente dimostrata per induzione.
Quindi, se si desidera che l’errore massimo commesso dall’algoritmo sia inferiore a
, occorre impostare
(55)
Esempio 5.7. Il seguente esempio ha il solo scopo di illustrare i passaggi del metodo, in un caso in cui la soluzione dell’equazione
sia già nota.
Consideriamo la funzione
definita da
Si vuole trovare una soluzione nel suo dominio fissando la tolleranza . \\
Si vede facilmente che
per cui deve esistere
tale che
. Nella seguente tabella sono riportate le iterazioni dell’algoritmo precedentemente discusso creando per ogni passo un nuovo intervallo più piccolo
contenente il punto
.
La tolleranza quindi possiamo prendere
come zero di
. Osserviamo che
, che è molto vicino allo zero. Questo non ci sorprende in quanto è noto che lo zero di
è
.
Di seguito sono presentati l’andamento dell’errore e l’andamento degli estremi dell’intervallo .
Figura 19: errori e andamento dell’intervallo al variare delle iterazioni.
Esempio 5.8. Vediamo ora un esempio di implementazione del metodo di bisezione nel linguaggio MATLAB, imponendo come condizione di arresto che l’errore , dato dalla variabile err
, sia inferiore ad un certa tolleranza, dato dalla variabile toll
,.
Tale codice serve per trovare un’approssimazione dello zero della funzione definita da nell’intervallo
che non può essere determinata con metodi analitici classici.
Il codice risulta diviso in tre parti:
- Dati di input: vengono inizializzati tutti gli elementi necessari (e.g.
a
,b
,toll
); - Algoritmo di bisezione: implementa il codice di bisezione tenendo conto della condizione di arresto
err
;toll
- Post-processing: vengono graficati alcuni andamenti necessari ad una valutazione della correttezza del codice. In particolare, sono stati considerati gli andamenti di
e
e l’andamento dell’errore.
%------- Dati di input ---------------------------------------------------
f =@(x) exp(x)+x; %definisco la funzione f(x)=e^x+x
a =-1 ;
b = 0 ;
toll = 10^(-3) ; %definisco la tolleranza
err = b-a ; %inizializzo l'errore
a_memo = [] ; %vettore di memorizzazione di aN
b_memo = [] ; %vettore di memorizzazione di bN
err_memo = [] ; %vettore di memorizzazione dell'errore
%------ Algoritmo di bisezione --------------------------------------------
while err>toll
m = (a+b)/2; %calcolo il valor medio
if f(a)*f(m)<0
a=a;
b=m;
a_memo = [a_memo a];
b_memo = [b_memo b];
elseif f(m)== 0
break
else
a=m;
b=b;
a_memo = [a_memo a];
b_memo = [b_memo b];
end
err = abs(a-b);
err_memo = [err_memo err];
end
x=(a+b)/2; % valore della soluzione
%------- Post-processing -------------------------------------------------
plot(a_memo,'o','LineWidth',2)
hold on
plot(b_memo,'+','LineWidth',2)
grid on
box on
legend('a_N','b_N')
xlabel('Numero di iterazioni')
ylabel('a_N , b_N')
title('Andamento di a_N e b_N')
figure
plot(err_memo,'o','LineWidth',2)
hold on
plot([1\colon 0.1\colon length(err_memo)],
2.^([-1\colon -0.1\colon -length(err_memo)]),'--')
grid on
box on
xlabel('Numero di iterazioni')
ylabel('|a_N-b_N|')
title('Andamento dell''errore')
legend('errore','2^{-N}')
-
Ricordiamo che il limite di una successione è un punto della chiusura dell’insieme immagine della successione. Nel nostro caso l’immagine è contenuta nell’insieme
, quindi a priori il limite appartiene
. Sostanzialmente la disuguaglianza
al limite per
diventa
. ↩
Il teorema dei valori intermedi.


l’estremo inferiore e l’estremo superiore dei valori assunti da in
, rispettivamente.
Allora per ogni esiste
tale che
. In altri termini la funzione assume tutti i valori compresi tra
e
.
Figura 20: rappresentazione del teorema 5.9; si determinano con
e si applica il teorema 5.3 alla funzione
(in verde), ottenendo uno zero
di
. Per costruzione si ha quindi
.
Dimostrazione. Sia e dimostriamo che esiste
tale che
.
Definiamo una funzione
tale che
il cui grafico è rappresentato in verde nella figura 20.
Osserviamo che è continua in quanto somma di funzioni continue. Poiché
, allora
non è un minorante di
e deve dunque esistere un valore
tale che
, ovvero
.
Analogamente, poiché non è un maggiorante di Im
, deve esistere
tale che
, da cui
.
Supponiamo (l’altro caso è analogo). Allora per il teorema degli zeri
Osservazione 5.10. Una diretta conseguenza del teorema dei valori intermedi è che, se è una funzione continua, allora l’immagine di un intervallo
è a sua volta un intervallo, come precisato dal prossimo corollario, i cui estremi sono
Tuttavia, occorre osservare che il teorema dei valori intermedi non dà informazioni riguardo l’appartenenza di e
all’intervallo
.



Dimostrazione. Per mostrare che è un intervallo, occorre mostrare che, dati
con
e dato
, allora anche
, ossia esiste
tale che
. Definiti
(56)
a tal fine osserviamo che, da , per definizione di estremi inferiore e superiore segue che
. Quindi possiamo applicare il teorema 5.9 all’intervallo
, ottenendo che esiste
tale che
, cioè la tesi.
Il teorema 5.9 afferma che la proprietà dei valori intermedi è implicata dalla continuità. Risulta naturale chiedersi se valga il viceversa, ossia se una funzione tale che l’immagine tramite
di un intervallo sia un intervallo debba allora essere continua. Ciò è falso, come mostra il seguente esempio.
Esempio 5.12. Si consideri la funzione definita da
(57)
rappresentata in figura 21.
Figura 21: la funzione dell’esempio 5.12. Se l’intervallo (in rosso) contiene
, allora esistono
con
continua in
e tali che
e
, da cui si vede quindi che
.
Poiché non esiste,
non è continua in
. Mostriamo però che essa possiede la proprietà dei valori intermedi.
A tal fine, sia
un intervallo. Se
, allora
è un intervallo in quanto
è continua in
. Se invece
, mostriamo che
. L’idea è che esistono numeri reali dello stesso segno e arbitrariamente vicini a
in cui
assume valori pari a
e
. Da
, segue che esiste
tale che
(58)
da cui per la continuità di
in
e per il teorema 5.9. D’altronde, per costruzione di
, poiché il seno assume solo valori compresi tra
e
, si ha
, da cui
(59)
e in particolare è un intervallo.
Di seguito viene mostrato un esempio di calcolo dell’immagine di una funzione usando il teorema dei valori intermedi.
Esempio 5.13. Si consideri la funzione rappresentata in figura 22 definita da
(60)
Figura 22: la funzione dell’esempio 5.13. Poiché è crescente e continua, dallo studio fatto segue che
è pari all’intervallo
, rappresentato in verde.
Determiniamo . Osserviamo che
è continua per la proposizione 2.7 e che
(61)
Inoltre è crescente in
in quanto
(62)
e la funzione è decrescente in
. Dalla monotonia di
e da (61) segue che
(63)
Da (63) e dal teorema 5.9 si ha
(64)
Continuità della funzione inversa.



(65)
Chiaramente l’implicazione strettamente monotona
iniettiva è banale e va mostrata solo l’altra.
Dimostrazione. Sia con
e, supponendo che
, mostriamo che
è crescente in
, che mostrerà poi che
è crescente in
. Se invece
, in maniera simile si mostra che
è decrescente. Se esistessero
tali che
(66)
distinguiamo due casi.
- Se fosse
, allora esisterebbe
e, per il teorema 5.9, esisterebbero
e
tali che
(67)
ma ciò contraddirebbe l’iniettività di
.
- Se invece fosse
, in maniera simile si prova che esistono
e
tali che
(68)
Di nuovo ciò contraddirebbe l’iniettività di
.
Tali contraddizioni provano che è crescente in
.
Se è tale che
, per il ragionamento di sopra
è monotona su
, quindi deve essere crescente. Per l’arbitrarietà dell’intervallo
,
è crescente in
.



Dimostrazione. Per il lemma 5.14 è monotona. Supponiamo che
sia crescente (se
è decrescente la dimostrazione è analoga).
Per il corollario 5.11,
è un intervallo. La funzione
deve essere anch’essa crescente (perché inversa di una funzione crescente) e
è un intervallo.
Supponiamo per assurdo che esista tale che
non sia continua in
. Dal teorema 4.13 segue che la discontinuità è di salto e quindi almeno uno tra i limiti destri e sinistri di
in
è diverso da
. Supponiamo senza perdita di generalità che
Allora, per monotonia di , se
si ha
.
D’altro canto se
si ha
. Ma ciò implica che
non assume alcun valore compreso tra
e
. Quest’ultima osservazione contraddice il fatto che l’immagine di
sia un intervallo.
Osservazione 5.16. La conclusione del teorema 5.15 non è valida se il dominio di non è un intervallo, come mostrano i seguenti esempi.
Esempio 5.17 (inversa con discontinuità di salto). Sia definita da
(69)
La funzione , rappresentata a sinistra in figura 23, risulta continua, oltre che strettamente crescente e quindi iniettiva. Inoltre dal teorema 5.7 segue che
(70)
da cui , quindi
è suriettiva ed è dunque invertibile. Ciononostante, la sua inversa
definita da
(71)
e rappresentata a destra in figura 23,
possiede una discontinuità di salto in .
Figura 23: le funzioni e
dell’esempio 5.17. Nonostante
sia continua e invertibile, poiché il suo dominio non è un intervallo, la sua inversa
possiede una discontinuità di salto.
Esempio 5.18 (inversa con discontinuità di seconda specie). Sia la funzione definita da
(72)
rappresentata a sinistra in figura 24.
Figura 24: le funzioni e
(rispettivamente a sinistra e a destra) dell’esempio 5.18. Si vede che
è continua e invertibile ma la sua inversa
possiede una discontinuità di seconda specie.
La funzione è strettamente crescente in
e strettamente decrescente in
. Inoltre
(73)
da cui segue
(74)
Quindi è iniettiva.
Dato che
(75)
dal teorema 5.9 si ha
(76)
dunque e quindi
è suriettiva, perciò è invertibile. La sua inversa, ossia la funzione
rappresentata a destra in figura 24, possiede un punto di discontinuità di seconda specie in
in quanto
(77)
Funzioni radici n-esime e logaritmo.

Domanda 5.19. Dati e
, esiste
tale che
?
Dati
, esiste
tale che
?
Tali
sono univocamente determinati? Si può inoltre dire che essi variano con continuità in funzione dei numeri
e
?
Per quanto il lettore sia abituato alle risposte note quali radici -esime e logaritmi, occorre osservare che la loro esistenza e le loro proprietà non sono scontate e seguono fondamentalmente dalla continuità delle funzioni potenza ed esponenziale.
L’idea degli argomenti che permettono di ottenere le risposte alle domande di sopra risiede nell’uso del teorema dei valori intermedi per mostrare la suriettività di funzioni continue definite su intervalli. Poiché spesso l’iniettività di tali funzioni viene ottenuta da considerazioni elementari riguardo la loro monotonia, ciò permette di dedurne l’invertibilità.
Cominciamo dall’inversa della funzione potenza a esponente naturale, detta radice -esima.


- Se
è pari, allora per ogni
esiste un unico
tale che
.
- Se
è dispari, allora per ogni
esiste un unico
tale che
.
In particolare, le funzioni potenza -esima definite da
(78)
sono invertibili e le loro inverse sono continue.
Dimostrazione. Le funzioni definite in (78) e rappresentate nella colonna di sinistra in figura 25 sono ovviamente strettamente monotone e quindi iniettive. Definendo
(79)
si ha
(80)
Se , dalla continuità delle funzioni
provata nella proposizione 2.7 e dal teorema 5.9 segue l’esistenza di
tale che
e quindi la suriettività delle funzioni
, che risultano dunque invertibili con inverse
. Per il teorema 5.15, le funzioni
sono continue.
Figura 25: a sinistra, rispettivamente in alto e in basso, le funzioni e
. A destra, rispettivamente in alto e in basso, le loro inverse
e
. Il punto
, soddisfacente
è la radice
-esima di
.
La proposizione 5.20 motiva la seguente definizione, probabilmente già familiare al lettore.










![Rendered by QuickLaTeX.com \sqrt[n]{a}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-160ca4afbb6862779541c9105a3ef1cd_l3.png)
La funzione continua inversa della funzione
definita in (78), che associa al numero reale
la sua radice
-esima, è detta funzione radice
-esima.
I grafici di tali funzioni sono riportati a destra in figura 25.
Utilizzando gli stessi strumenti, proseguiamo mostrando l’invertibilità della funzione esponenziale, che implica l’esistenza e la continuità della funzione logaritmo.





(81)
è invertibile e la sua inversa è continua.
Dimostrazione. Sia . La funzione
definita in (81) e rappresentata a sinistra in figura 26 è strettamente crescente se
e strettamente decrescente se
, in particolare è iniettiva.
Poiché
(82)
se , dalla continuità della funzione
provata nella proposizione 2.12 e dal teorema 5.9, segue l’esistenza di
tale che
. Quindi
risulta suriettiva e invertibile con inversa
, che è continua per il teorema 5.15.
Figura 26: a sinistra la funzione esponenziale di base e a destra la sua inversa, la funzione
detta logaritmo in base
. Dato
, l’unico punto
tale che
è detto logaritmo in base
di
e indicato con
.
La proposizione 5.20 permette di dare la seguente definizione di logaritmo, anch’essa probabilmente già nota al lettore.







La funzione continua definita da
(83)
inversa della funzione esponenziale definita in (81) è detta funzione logaritmica e viene indicata con lo stesso simbolo
.
Se , con
il numero di Nepero,
è detto logaritmo naturale, denotato con
.
Il grafico della funzione è riportato a destra in figura 26.
Dalla discussione precedente segue inoltre il seguente risultato.



(84)
dove nella prima uguaglianza si è usato il fatto che la funzione è l’inversa dell’esponenziale di base
, mentre nella seconda si è usata la nota proprietà dei logaritmi
. Da (84), dalla proposizione 2.12 e dalla proposizione 5.22, segue che
è composizione e prodotto di funzioni continue, quindi è continua.
Osservazione 5.25. Usando (84) e le proprietà dei limiti dei prodotti e delle composizioni di funzioni, si può mostrare più in generale che, se e
, allora
(85)
escludendo però i casi
(86)
che danno luogo a forme indeterminate. Invitiamo il lettore a svolgere per esercizio la dimostrazione.
Funzioni trigonometriche inverse
In questa sezione discutiamo i risultati di esistenza e continuità delle funzioni trigonometriche inverse. Ricordiamo che le funzioni ,
e
sono funzioni periodiche nei loro domini e dunque non ammettono un’inversa in quanto non sono iniettive; possiamo però considerare le relative restrizioni del dominio in cui tali funzioni sono strettamente monotone, e dunque iniettive per il lemma 5.14. La loro suriettività può essere dedotta come nelle proposizioni 5.20 e 5.22; pertanto non dimostriamo la prossima proposizione, invitando il lettore a ricostruire gli argomenti in questi casi.
![Rendered by QuickLaTeX.com f\colon [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]\to [-1,1]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d1165e347a23d017b459dd15f3322a20_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com g\colon [0,\pi]\to [-1,1]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-722f7cc72373ba79f34ffb132c087b77_l3.png)

sono invertibili e le loro inverse sono continue.
Le inverse prodotte dal precedente risultato rivestono notevole importanza nelle applicazioni e sono le cosiddette funzioni trigonometriche inverse.
(87)
fornite dalla proposizione 5.26 sono dette rispettivamente arcoseno, arcocoseno e arcotangente.
Il prefisso nelle funzioni
è giustificato dal fatto che esse, essendo le inverse delle restrizioni rispettivamente delle funzioni
, forniscono l’arco
di circonferenza associato a un determinato valore
rispettivamente del seno, del coseno e della tangente, come chiarito dalla figura 27.
Figura 27: principali funzioni trigonometriche (nella colonna sinistra) e rispettive inverse (nella colonna destra).
Osservazione 5.28. Osserviamo che la scelta dei domini su cui restringiamo le funzioni trigonometriche per ottenere funzioni strettamente monotone è arbitraria. Difatti, essendo tali funzioni periodiche, si potrebbero definire le relative funzioni inverse su qualsiasi sottoinsieme del dominio in cui le funzioni sono monotone.
Massimi e minimi: il teorema di Weierstrass.



(88)
Il valore è detto massimo assoluto di
ed è indicato col simbolo
.
Analogamente si definisce un punto di minimo e il valore minimo
di
.
Osserviamo che, mentre il valore è unico, possono esistere molti (anche infiniti) punti di massimo assoluto.
Enunciamo ora un importante teorema che lega la continuità di una funzione all’esistenza di punti di massimo e minimo assoluti, illustrato in figura 28.


![Rendered by QuickLaTeX.com f: [a,b] \to \mathbb{R}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4a53233e8284648ce57d71c4ce21d52f_l3.png)

![Rendered by QuickLaTeX.com [a,b]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d2dae71ebdf4d2d969e0cf78e0dd7249_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x_m, x_M \in [a,b]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b5c8c8bca48e97edd9cbe4fef20dfbfe_l3.png)
Figura 28: illustrazione del teorema di Weierstrass; la funzione è continua, quindi assume valori massimo e minimo, in corrispondenza rispettivamente dei punti
.
Dimostrazione. Sia ; per definizione di estremo inferiore, esiste una successione
tale che
. Poiché
, esiste una successione
tale che
(89)
Poiché è chiuso e limitato, per [14, teorema di Bolzano-Weierstrass], esiste una sottosuccessione
convergente in
, cioè esiste
tale che
(90)
(91)
dove la prima uguaglianza segue dalla continuità di in
e dal teorema 3.3, mentre la terza uguaglianza segue dal fatto che
e
è una sottosuccessione di
. L’equazione (91) mostra che
(in particolare
) e quindi
.
Analogamente si mostra che ha massimo in
.
Osservazione 5.31. Il teorema di Weierstrass si può enunciare e dimostrare in maniera analoga nel caso più generale in cui il dominio di sia un sottoinsieme chiuso e limitato di
.
Le ipotesi del teorema di Weierstrass sono tutte necessarie, come si evince dal seguente schema riassuntivo.
chiusura del dominio Questa ipotesi è essenziale, come mostrato dall’esempio 5.32. Inoltre, l’esempio 5.33 prova che anche assumendo per ipotesi la limitatezza della funzione, essa può non assumere minimo e/o massimo.
limitatezza del dominio L’esempio 5.34 mostra che, se il dominio della funzione è illimitato, essa può non assumere massimo oppure minimo. L’esempio 5.35 assicura che neppure la limitatezza della funzione basta ad ottenere l’esistenza del massimo e/o del minimo.
continuità della funzione L’esempio 5.36 mostra che, anche se il dominio della funzione è chiuso e limitato, se questa non è continua può non assumere massimo o minimo.
Esempio 5.32 (dominio non chiuso). Sia la funzione definita da
(92)
rappresentata in figura 29,
è continua e ammette valore minimo pari a , ma non ammette massimo. Infatti, è chiaro che
è decrescente, quindi
(93)
da cui segue, per la definizione 5.29, che è un punto di minimo per
e che
. D’altra parte, sempre per la monotonia di
si ha che
(94)
quindi non ammette valore massimo.
Figura 29: la funzione dell’esempio 5.32; si vede che
(assunto in corrispondenza di
), ma che
è illimitata superiormente, per cui non ammette massimo.
Esempio 5.33 (dominio non chiuso e funzione limitata). La funzione definita da
per ogni
è continua, limitata, ma non ammette minimo. Infatti
(95)
ma il valore non è assunto da
, come mostrato in figura 30.
Figura 30: la funzione dell’esempio 5.33; si vede che
(assunto in corrispondenza di
), ma che
non ammette minimo in quanto il valore
non appartiene all’immagine di
.
Esempio 5.34 (dominio illimitato). La funzione definita da
per ogni
è continua, il suo dominio è chiuso, ma non ammette né massimo né minimo in quanto
(96)
Esempio 5.35 (dominio illimitato e funzione limitata). La funzione definita da
(97)
(rappresentata in figura 31) è continua, il suo dominio è chiuso e
(98)
ma non ha minimo in quanto
per ogni
.
Figura 31: la funzione dell’esempio 5.35; si vede che
(assunto in corrispondenza di
) e che
, ma poiché tale valore non è assunto
non ammette minimo.
Esempio 5.36 (funzione non continua). La funzione definita da
(99)
il cui grafico è mostrato in figura 32, è definita su un dominio chiuso e limitato, ha delle discontinuità di salto in e
e non ammette né massimo né minimo, infatti
(100)
ma tali valori non appartengono all’immagine di .
Figura 32: la funzione dell’esempio 5.36; si vede che
e
, ma tali valore non sono assunti e quindi
non ammette minimo. Si notino le discontinuità di salto di
in
e
.
Continuità uniforme e teorema di Heine-Cantor
Definizione ed esempi.
Considerata una funzione , ricordiamo dalla definizione 2.4 che essa è detta continua in
se e solo se, per ogni
e per ogni
, esiste
tale che
(101)
Segue che la scelta di dipende sia da
che dal particolare punto
in cui si vuole provare la continuità di
. Il concetto di uniforme continuità, invece, è una proprietà globale. Esso infatti vuole slegare la scelta di
dal particolare punto
in questione. In altre parole, si desidera che la misura della variazione dei valori di
sia controllata solo dalla variazione della variabile
e non dal particolare punto
che si sta considerando.
Diamo ora la definizione rigorosa di uniforme continuità.





(102)
Osservazione 6.2. Una funzione è quindi uniformemente continua se la distanza
si controlla solo con la distanza
tra
indipendentemente dai punti
scelti ed è infinitesima per
. In altre parole, se esiste una funzione
soddisfacente
e tale che
(103)
Una tale funzione viene anche detta un modulo di continuità della funzione
.
Intuitivamente quindi, il modulo di continuità
“quantifica” la continuità di
esprimendo quanto possano essere distanti al massimo
e
in base alla distanza
.
Facciamo qualche esempio di funzioni uniformemente continue e analizziamo il legame tra la continuità uniforme e semplice.
Esempio 6.3. Le funzioni e
sono uniformemente continue. Infatti, dalle dimostrazioni delle proposizioni 2.9 e 2.10, segue che
(104)
Quindi, per le funzioni e
, il
nella definizione 6.1 può essere scelto pari a
.
Esempio 6.4. La funzione definita da
(105)
è uniformemente continua. Infatti, siano con
; si ha
(106)
dove la disuguaglianza deriva da . La disuguaglianza (106) (illustrata in figura 33) mostra che un modulo di continuità per
esiste ed è la funzione
stessa, provando quindi che
è uniformemente continua.
Per vedere ciò esplicitamente, fissiamo ; se
, dalla disuguaglianza (106) segue che
(107)
che mostra che è uniformemente continua.
Figura 33: la funzione dell’esempio 6.4. Si noti come
.
Relazione con la continuità
In questa sezione indaghiamo la relazione tra continuità uniforme e continuità semplice, riassunti dall’osservazione seguente.
Osservazione 6.5. L’uniforme continuità implica la continuità di una funzione in quanto per ogni punto e per ogni
, basta scegliere il
dato dalla definizione 6.1 in 2.4. Tuttavia non vale il viceversa, come mostrato dai seguenti controesempi.
Esempio 6.6. Consideriamo la funzione tale che
per ogni
, rappresentata in figura 34. Sappiamo già che tale funzione è continua e proviamo che non è uniformemente continua. Negando la definizione di uniforme continuità, ciò si traduce nel dimostrare la seguente proprietà:
(108)
Fissiamo e sia
, consideriamo
. Chiaramente
ma
Dunque, abbiamo dimostrato che vale (108) in corrispondenza di .
Figura 34: la funzione dell’esempio 6.6. Poiché la pendenza del grafico
aumenta al crescere di
, per
molto grandi si riesce a trovare
e
a distanza
(con
arbitrariamente piccolo), ma tali che
e
hanno distanza
. Ciò mostra che
non è uniformemente continua.
Anche se il dominio di una funzione continua è limitato, essa può non essere uniformemente continua, come mostra il prossimo esempio.
Figura 35: la funzione dell’esempio 6.7. Poiché
, per ogni
esistono punti a distanza
le cui immagini hanno distanza
quindi
non è uniformemente continua.
Esempio 6.7. La funzione definita da
(109)
e rappresentata nella figura 35 è continua per la proposizione 2.7, ma non è uniformemente continua.
Mostriamo infatti che non esiste alcun tale che
(110)
Sia quindi e sia
tale che
.
Scegliendo
e
si ha
(111)
La situazione non cambia anche se la funzione è limitata.
Esempio 6.8. Si consideri la funzione definita da
(112)
rappresentata in figura 36.
Figura 36: la funzione dell’esempio 6.8. Poiché i punti in cui
assume valori
e
si accumulano verso l’origine, si possono esibire
e
arbitrariamente vicini tali che
e
. Quindi
non è uniformemente continua.
Essa è continua perché composizione e rapporto di funzioni continue il cui denominatore non si annulla. Ciononostante, anche se il suo dominio è limitato, essa non è uniformemente continua. Infatti, assume infinite volte i valori
e
in un intorno dell’origine. Ciò implica che, qualunque sia
, esistono
tali che
(113)
Ciò prova che non è uniformemente continua.
Una funzione uniformemente continua possiede un tasso di crescita al più affine, come precisa la prossima proposizione. Tale comportamento differisce da quello delle funzioni continue che, come evidente dall’esempio 6.6, possono non rispettare questa condizione.



(114)
Dimostrazione. Sia , si fissi
e sia
dato dalla definizione di uniforme continuità di
. Per ogni
con
, esiste
tale che
(115)
Poiché è uniformemente continua, abbiamo
(116)
Da ciò segue che
(117)
e dunque
(118)
Ponendo
(119)
per l’arbitrarietà di si ottiene la tesi (il caso
è analogo).
Il teorema di Heine-Cantor.
Il teorema di Heine-Cantor risponde a questa domanda. Tale risultato afferma che ogni funzione continua definita su un insieme chiuso e limitato è anche uniformemente continua, fornendo dunque una condizione sufficiente affinché una funzione continua sia anche uniformemente continua. Ne forniamo prima una versione su intervalli (teorema 6.10) che fa uso del teorema di Bolzano-Weierstrass, per poi studiarne una dimostrazione di carattere topologico, con cui ne proveremo la generalizzazione a insiemi chiusi e limitati (teorema 6.16).

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Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che non sia uniformemente continua, cioè che esista
tale che
Dato che la successione è limitata, per il teorema di Bolzano-Weiestrass esiste una sottosuccessione
convergente a un numero reale
, che appartiene ad
in quanto tale insieme è chiuso. Poiché
per ogni
, si ha
(120)
Da ciò deriva, per il teorema del confronto, che anche converge a
.
Poiché per ipotesi
è continua, per il teorema 3.2 si ha che
Questo contraddice l’assunzione
dimostrando il teorema.
Approfondimento: il punto di vista topologico
Forniamo adesso una dimostrazione alternativa del teorema di Heine-Cantor di carattere topologico, che non fa uso delle successioni e del teorema di Bolzano-Weierstrass.
Fin’ora abbiamo lavorato con intervalli chiusi e limitati di . Per estendere i risultati già discussi introduciamo alcuni concetti topologici, a partire dalla definizione di insieme aperto.




Diamo ora la definizione topologica di insieme compatto, a partire da quella di ricoprimenti aperti.









Vediamo un esempio di insieme non compatto e poi enunciamo un teorema che caratterizza tali insiemi.
Esempio 6.14 Sia . Per ogni
definiamo
. La famiglia di insiemi
è un ricoprimento aperto di
che non ammette un sottoricoprimento finito, ovvero per cui non esiste un sottoinsieme finito di indici
tale che
Infatti, se un tale esistesse, allora preso
, si avrebbe che
Questo è evidentemente un assurdo.
La compattezza in si caratterizza con la chiusura e la limitatezza, come mostra il prossimo risultato di cui omettiamo la dimostrazione (si veda [10, teorema 2.41] in cui si trova un enunciato più generale in
).

Diamo adesso una dimostrazione diretta del teorema di Heine-Cantor che fa uso della definizione di compattezza.



Dimostrazione. Poiché è continua, sappiamo che, fissato
, si ha che
(121)
Osserviamo che la famiglia è un ricoprimento aperto di
, in quanto ogni
è contenuto in qualcuno degli intervalli della famiglia. Pertanto, essendo
compatto, per la definizione 6.13 esiste un sottoinsieme finito
tale che
(122)
Vogliamo trovare un tale che, presi
tali che
, risulti
. A tal fine poniamo
e fissiamo tali che
. Notiamo che, grazie alla (122), sicuramente esiste un
tale che
(123)
inoltre, per la disuguaglianza triangolare, si ha che
(124)
Per la (121) e la (123) abbiamo che
mentre da (121) e (124) segue che
Per concludere ci basta notare che, applicando nuovamente la disuguaglianza triangolare, si ha:
Ciò prova l’uniforme continuità di su
.
In questa dispensa diamo la definizione di compattezza come nella definizione 6.13 utilizzando i ricoprimenti; per questo, viene chiamata anche “compattezza per ricoprimenti”. In particolare, questa terminologia è necessaria poiché esiste anche una definizione di “compattezza sequenziale”.




Tuttavia in (e in generale in ogni spazio metrico) le due definizioni sono equivalenti. Per ulteriori approfondimenti si rimanda a [7].
Funzioni lipschitziane.
Una funzione lipschitziana è una funzione per cui il rapporto tra la distanza tra i valori della funzione e la distanza tra i punti del dominio è limitato da un numero reale non-negativo detto “costante di Lipschitz”, che prende il nome dal matematico tedesco Rudolf Lipschitz (1832-1903).



(125)
Inoltre la più piccola costante che soddisfa tale condizione si dice costante di Lipschitz della funzione
e si indica con
.
Osservazione 6.20. Osserviamo che se è lipschitziana, allora la costante di Lipschitz esiste sempre. Consideriamo infatti l’insieme
Dobbiamo dimostrare che tale insieme ammette minimo, che è proprio la costante di Lipschitz.
Osserviamo che
è non vuoto, poiché per ipotesi
è lipschitziana, dunque esiste
.
Sia
e sia
una successione in
tale che
. Si ha
(126)
dove la disuguaglianza segue da . Quindi
e pertanto
.
Esempio 6.21. La funzione identità definita da
per ogni
è lipschitziana con
. Infatti
(127)
Esempio 6.22. La funzione è lipschitziana, infatti da (7) segue che
(128)
Si può mostrare2 che .
Esempio 6.23. La funzione definita da
per ogni
è lipschitziana con costante di Lipschitz pari a
. Infatti
(129)
il che prova che è lipschitztiana con
. Il fatto che
segue invece scegliendo
:
(130)
Geometricamente, una funzione è lipschitziana di costante
, se per qualunque punto
, il grafico di
è contenuto nel cono di vertice
e delimitato dalle rette aventi coefficiente angolare
passanti per tale punto, come mostrato dalla figura 37.
Figura 37: la funzione è lipschitziana di costante
in quanto il suo grafico è contenuto in coni (ombreggiati in verde e in rosso) delimitati da rette di pendenza
e
(tratteggiate) e centrati su di esso.
Infatti, fissato possiamo scrivere la condizione di Lipschitz come
(131)
Se ad esempio , l’ultima condizione diventa
(132)
ossia il punto deve essere compreso tra le rette passanti per
aventi coefficienti angolari
e
, tratteggiate in verde e in rosso in figura 37. La stessa conclusione vale se
.
La condizione di Lipschitz può essere equivalentemente definita attraverso il concetto di rapporto incrementale.



(133)
Il rapporto incrementale rappresenta quindi il coefficiente angolare della retta passante per i punti
e
.
Si vede subito che una funzione è lipschitziana se e solo se esiste
tale che
(134)
ossia se e solo se il rapporto incrementale è limitato.
Mostriamo ora un esempio del fatto che la lipschitzianità di una funzione dipenda dal dominio su cui essa è definita.
Esempio 6.25. Sia e sia
definita da
Affermiamo che è lipschitziana con costante di Lipschitz pari a
.
è lipschitziana. Fissati arbitrariamente
, si ha
quindi è lipschitziana con
.
. A tal fine, mostriamo che ogni costante
non soddisfa (125): fissando
tale che
, abbiamo
(135)
La lipschitzianità però viene meno nel momento in cui la stessa funzione viene definita su tutto : la funzione
definita da
non è lipschitziana. Per dimostrarlo, facciamo vedere che nessun soddisfa (125)
esibendo
tali che
. Fissiamo
arbitrariamente; scegliendo
e
si ha infatti
(136)
-
usando il limite notevole
o usando le derivate. ↩
- Proviamo prima che
è uniformemente continua. Infatti per le proprietà dei logaritmi possiamo riscrivere
in
nel seguente modo:
(140)
Quindi
è continua in
perché composizione di esponenziale e logaritmo, che sono funzioni continue. Poiché da tale espressione segue anche che
(141)
risulta continua anche in
e quindi è continua in
. Per il teorema 6.10,
è quindi uniformemente continua.
-
non è però lipschitziana. Infatti si ha
(142)
Quindi
(143)
cioè il rapporto incrementale di
non è limitato in un intorno di
, per cui
non è lipschitziana.
Relazioni con l’uniforme continuità
Come anticipato nell’introduzione, le funzioni lipschitziane sono uniformemente continue e quindi continue, come stabilito dal prossimo risultato.



Dimostrazione. Sia . Poiché
è lipschitziana esiste
tale che
(137)
Scegliendo e
tali che
, da tale disuguaglianza abbiamo che
(138)
cioè è uniformemente continua.
Il viceversa di tale proposizione non è vero: esistono funzioni lipschitziane che non sono uniformemente continue, come mostrato dall’esempio 6.27.
Esempio 6.27. Sia e consideriamo la funzione
definita da
(139)
e rappresentata in figura 38.
Figura 38: la funzione dell’esempio 6.27. Si vede che i rapporti incrementali per punti vicini a
sono illimitati, rappresentati dalla pendenza
arbitrariamente grande del segmento in rosso. Se invece i punti sono lontani dall’origine i rapporti incrementali sono limitati, come si vede dalla pendenza
del segmento in verde.
La funzione dell’esempio 6.27 è però lipschitziana se ci si allontana dal punto
, ossia considerando come dominio insiemi del tipo
con
. Lo mostriamo prima per
(la cui dimostrazione risulta più immediata) e poi nel caso generale.
Esempio 6.28. Dato , la funzione
definita da
(144)
è lipschitziana. Infatti, se con
, si ha
(145)
dove nella prima uguaglianza abbiamo moltiplicato e diviso per , mentre nella disuguaglianza abbiamo usato che
, per cui
.
Esempio 6.29. Dati e
, la funzione
definita da
(146)
è lipschitziana. Infatti, se con
, si ha
(147)
dove nella prima uguaglianza abbiamo moltiplicato e diviso per , nella prima disuguaglianza abbiamo usato la disuguaglianza triangolare al numeratore e il fatto che
al denominatore, mentre nella seconda disuguaglianza abbiamo sfruttato il fatto che, se ad esempio
, allora
(148)
quindi la distanza tra i numeri e
è minore o uguale a quella tra
e
, ovvero gli estremi dell’intervallo
in cui tali numeri sono contenuti. Da (147) segue che
è una funzione lipschitziana con costante di Lipschitz minore o uguale a
(si veda anche la figura 38).
Il teorema delle contrazioni.






Questa proprietà di contrazione, avvicinando punti che sono inizialmente a una distanza maggiore, intuitivamente suggerisce che, partendo da un punto qualsiasi e applicando ripetutamente
, il risultato si “stabilizza” verso un certo punto
che risulta un punto fisso di
, ossia tale che
. Questa intuizione è formalizzata dal prossimo importante risultato, detto teorema delle contrazioni, che è dovuto ai matematici Stefan Banach (1892-1945) e Renato Caccioppoli (1904-1959).





(149)
Dimostrazione. Proviamo in primo luogo che un punto fisso di esiste e successivamente ne dimostriamo l’unicità.
Esistenza Si fissi
e si costruisca la successione
definita per ricorrenza da
(150)
Poiché , tale successione è ben definita. Inoltre, da (150) e dal fatto che
è lipschitziana di costante
otteniamo
(151)
Continuando in questo modo, otteniamo per induzione
(152)
Mostriamo che la successione è di Cauchy e quindi ha limite. Infatti
(153)
dove nella prima disuguaglianza abbiamo usato la disuguaglianza triangolare, mentre nella seconda abbiamo usato (152).
Utilizzando la nota formula per la somma di una serie geometrica in (153) si ottiene
(154)
dove nella seconda disuguaglianza abbiamo usato il fatto che per stimare il numeratore della frazione.
Poiché
, si ha
(155)
quindi, fissato esiste
tale che
(156)
cioè la successione è di Cauchy, pertanto ha limite
. Poiché la successione
ha valori in
e
è un insieme chiuso, anche il suo limite
.
Mostriamo ora che è un punto fisso di
. Infatti si ha
(157)
dove la penultima uguaglianza segue dalla continuità di e dal teorema 3.3. (157) mostra che
è un punto fisso per
.
Unicità
Supponiamo per assurdo che
siano dei punti fissi di
con
; allora si ha
(158)
dove nella prima uguaglianza si è usato il fatto che sono dei punti fissi per
e nella disuguaglianza si è sfruttato il fatto che
è lipschitziana di costante
. Dividendo entrambi i membri della disuguaglianza per
si ottiene
(159)
che contraddice l’ipotesi iniziale . Da tale contraddizione segue che non possono esistere due punti fissi distinti
di
.
Forniamo di seguito un esempio di applicazione del teorema delle contrazioni.
Esempio 6.31. Mostriamo che l’unica soluzione non negativa dell’equazione
(160)
è data da . È chiaro che
è una soluzione. Per mostrarne l’unicità, definiamo la funzione
definita da
(161)
e rappresentata in blu in figura 39.
Figura 39: le soluzioni dell’equazione (160) sono i punti fissi della funzione (in blu), ossia le intersezioni del suo grafico con quello della funzione identità (in rosso). La funzione
è una contrazione poiché la pendenza del suo grafico è sempre strettamente minore di
, quindi l’equazione (160) possiede una e una sola soluzione, data da
. Si nota infatti che i due grafici si intersecano solo nell’origine.
Osserviamo che le soluzioni dell’equazione (160) sono tutti e soli i punti fissi di , ossia le ascisse delle intersezioni tra il grafico di
e quello della funzione identità. Per dimostrare che ne esiste una sola, mostriamo che
è una contrazione e usiamo il teorema 6.30 per ottenere l’unicità dei punti fissi di
.
Per farlo, osserviamo innanzitutto che le funzioni definite da
(162)
sono lipschitziane di costante di Lipschitz minore o uguale a .
- Per quanto riguarda
, si ha
(163)
dove la prima disuguaglianza è ottenuta a partire dalla nota disuguaglianza
per3 ogni
e la seconda dal fatto che
, quindi
. Quindi
è lipschitziana con costante di Lipschitz minore o uguale a 1.
- Riguardo a
, per ogni
abbiamo
(164)
dove nella prima disuguaglianza si è usata la disuguaglianza triangolare, mentre nella seconda si è usato il fatto che la funzione seno è lipschitziana, provato nella dimostrazione della proposizione 2.9.
Ritornando a , per ogni
si ha
(165)
Poiché ,
è lipschitziana con costante di Lipschitz minore di 1 e quindi è una contrazione. Poiché
è un insieme chiuso, il teorema 6.30 implica che
ha un unico punto fisso
, ossia tale che
(166)
Ciò mostra che l’equazione (160) possiede l’unica soluzione .
-
Tale disuguaglianza si ottiene da
(167)
dove la disuguaglianza deriva dalla disuguaglianza di Bernoulli e il limite dalla definizione dell’esponenziale. Dal fatto che la successione
è crescente si ottiene il risultato finale. ↩
Funzioni hölderiane.





(168)
La più piccola costante che soddisfa tale condizione si dice costante di Hölder della funzione
.
Osservazione 6.33. Osserviamo che se è hölderiana, allora la costante di Hölder esiste sempre. La dimostrazione è analoga a quella vista nell’osservazione 6.20 sull’esistenza della costante di Lipschitz.
Il “prototipo” di funzione -hölderiana è fornito dal prossimo esempio.
Esempio 6.34. Se , la funzione
definita da
è -hölderiana, con costante di Hölder pari a
.
- Consideriamo
e supponiamo, senza perdita di generalità, che
(nel caso valga l’uguaglianza, l’equazione (168) è banalmente vera). Allora si ha
(169)
dove nell’uguaglianza si è raccolto
al numeratore e al denominatore; la disuguaglianza segue invece dal fatto che
e quindi
(170)
dove si è usato che, poiché
, si ha
per
. (169) mostra che
è
-hölderiana con costante di Hölder minore o uguale a
.
- Per vedere che la costante di Hölder è pari a
, si osservi che
(171)
-
Dalla dimostrazione che segue è chiaro che l’argomento copre anche il caso in cui qualcuno tra
e
sia pari a
. ↩
In particolare, l’esempio precedente per implica che la funzione valore assoluto definita da
è lipschitziana, come già visto nell’esempio 6.23.
Relazioni con l’uniforme continuità e criteri di hölderianità
In questa sezione discutiamo il rapporto tra funzioni hölderiane, lipschitziane e funzioni uniformemente continue. Inoltre presentiamo una condizione sufficiente affinché una funzione sia hölderiana, relativa alla lipschitzianità delle sue potenze. Cominciamo con le seguenti osservazioni.
Osservazione 6.35. Dalle definizioni 6.32 e 6.19 segue che una funzione è lipschitziana se e solo se è -hölderiana.
Osservazione 6.36.Esistono funzioni -hölderiane ma non lipschitziane: se
, abbiamo visto nell’esempio 6.34 che la funzione
definita da
è -hölderiana. Essa non è però lipschitziana se
, come osservato nell’esempio 6.27.
Come anticipato nell’introduzione, le funzioni hölderiane sono uniformemente continue. Tale proprietà viene stabilita dalla seguente proposizione.


Dimostrazione. Poiché è
-hölderiana, esiste
tale che
Se , allora
è costante e dunque uniformemente continua.
Supponiamo quindi che
e fissiamo
. Scelto
per ogni con
si ha che
Viceversa, esistono funzioni uniformemente continue che non sono hölderiane, come si evince dal seguente esempio.
Esempio 6.38. Si consideri la funzione definita da
(172)
Tale funzione è continua in , inoltre
è anche continua in
poiché
e dunque, per il teorema di Heine-Cantor 6.10, è uniformemente continua. Supponiamo per assurdo che
sia
-hölderiana per un qualche
; allora esisterebbe
tale che
Ciò equivale a
ma ciò è assurdo poiché
Da tale contraddizione segue che non è
-hölderiana per nessun
.
Presentiamo ora un criterio di hölderianità: una funzione è hölderiana se una sua qualche potenza
, con
è lipschitziana.






Dimostrazione. Supponiamo che sia lipschitziana per qualche
con costante di Lipschitz pari a
, ossia
(173)
Mostreremo che è
-hölderiana con costante di Hölder al più pari a
.
A tal fine, fissiamo arbitrariamente
e distinguiamo due casi.
e
hanno stesso segno4. Ricordiamo innanzitutto che, come mostrato nell’esempio 6.34, la funzione
definita da
per ogni
è
-holderiana con costante di Hölder pari a
. Quindi
(174)
Ritornando alla stima di , si ha
(175)
dove nella prima uguaglianza si è usato che e
hanno stesso segno, mentre nella seconda si è usata l’identità
; inoltre la prima disuguaglianza segue da (174) applicata a
e
, mentre la seconda disuguaglianza è dovuta a (173).
e
hanno stesso diverso. Senza perdita di generalità supponiamo
. In tal caso, per la continuità di
e per il teorema 5.3 di esistenza degli zeri, esiste
tale che
. Possiamo quindi applicare il punto precedente alle coppie
e
, ottenendo
(176)
dove la prima disuguaglianza è dovuta alla disuguaglianza triangolare, la seconda si ottiene applicando il punto precedente alle coppie e
(le cui immagini tramite
hanno segno concorde), mentre la terza segue dal fatto che
, quindi
,
, e che la funzione
è crescente.
Ciò mostra che è
-hölderiana con costante di Hölder pari al più a
.
Proprietà degli esponenti di Hölder
Su insiemi limitati, la proprietà di essere -hölderiana implica quella di essere
-hölderiana per tutti gli esponenti minori, come precisato dalla prossima proposizione.



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Dimostrazione. Sia e sia
tale che
(177)
(178)
Poiché è limitato, esiste
tale che
, da cui segue che
Detta e inserendo tale disuguaglianza in (178), si ottiene
(179)
cioè è
-hölderiana.
Le ipotesi e di limitatezza di
nella proposizione 6.40 sono essenziali, come mostrano i seguenti esempi.
Esempio 6.41. Dato , la funzione definita da
è
-hölderiana come visto nell’esempio 6.34, ma non è
-hölderiana se
. Infatti
(180)
e, poiché per si ha
non può esistere alcuna costante soddisfacente (168). Quindi
non è
–hölderiana.
Esempio 6.42. Sia la funzione identità definita da
per ogni
. Essa è lipschitziana (quindi
-hölderiana), ma non è
-hölderiana per nessun
. Infatti
(181)
e , da cui segue che
non è
-hölderiana.
La condizione di Hölder risulta scarsamente interessante per esponenti maggiori di , come si evince dalla seguente proposizione.





Dimostrazione. Siano con
. Per ogni
si ha
(182)
dove la prima disuguaglianza deriva dalla disuguaglianza triangolare, mentre la seconda dalla condizione di -hölderianità.
Da
si ottiene
(183)
e, poiché (182) è vera per ogni , deve valere
(184)
Per l’arbitrarietà di e
,
è costante.
Riepilogo.
Riferimenti bibliografici
[1] Berretti, A., Analisi Matematica 1, Universitaria (2018).
[2] Bertsch, M., Dal Passo, R., Giacomelli, L., Analisi Matematica , McGraw-Hill (2009).
[3] Canuto, C., Tabacco, A., Analisi Matematica 1, Springer (2021).
[4] De Marco, G., Analisi, Zanichelli (1996).
[5] Fiorenza, R., Greco, D., Lezioni di Analisi Matematica, Liguori Editore (1995).
[6] Giusti, E., Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri (2002).
[7] Kelley, J., General Topology, Springer (1975).
[8] Marcellini, P., Sbordone, C., Calcolo, Liguori Editore (2002).
[9] Polizzi, F., Un blog matematico, } ha una discontinuità in {
?}, Web page.
[10] Rudin, W., Principi di Analisi Matematica, McGraw-Hill (1991).
[11] Qui Si Risolve, funzioni elementari – volume 1
[12] Qui Si Risolve, successioni — teoria
[13] Qui Si Risolve, teorema della permanenza del segno
[14] Qui Si Risolve, teorema di Bolzano-Weierstrass per successioni
[15] Qui Si Risolve, esercizi sulla continuità
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Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica
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- Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
- Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
- MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
- PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
- Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
- The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
- Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
- Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
- Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
- Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.