La teoria delle funzioni continue
Il concetto di continuità è forse uno dei più importanti della matematica. Esso esprime l’idea che il valore di un oggetto in un punto sia “vicino” ai valori assunti in punti vicini, ossia la nozione intuitiva di variazione “senza scatti istantanei”.
Questa proprietà implica numerose altre caratteristiche, essenziali nello studio degli oggetti matematici che le possiedono.
Questa dispensa completa espone il concetto di continuità per funzioni reali di una variabile reale, discutendo i seguenti argomenti fondamentali:
- Definizione di continuità;
- Continuità delle funzioni elementari e operazioni con le funzioni continue;
- Caratterizzazione della continuità per successioni, ossia la versione del teorema ponte per funzioni continue;
- Discontinuità e loro classificazione, inclusa la caratterizzazione delle discontinuità di funzioni monotone;
- Teoremi sulle funzioni continue, tra cui il teorema della permanenza del segno, il teorema di esistenza degli zeri e dei valori intermedi, il teorema di Weierstrass sui massimi e minimi;
- Il concetto di continuità uniforme e relativo teorema di Heine-Cantor;
- Funzioni lipschitziane, hölderiane, loro relazioni col concetto di continuità uniforme e teorema delle contrazioni.
Il testo, oltre a offrire una presentazione chiara della teoria, ne fornisce delle spiegazioni intuitive e motivate da numerosi esempi, figure ed esercizi. Un’ulteriore raccolta di esercizi svolti sull’argomento è nella dispensa di Esercizi sulla continuità..
Se desideri scoprire questi affascinanti concetti della matematica, preparati a sfogliare questa dispensa completa e accessibile!