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Esercizio sul teorema di Weierstrass senza l’uso delle derivate – 9

Esercizi sul teorema di Weierstrass senza l'uso delle derivate

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Esercizio sul teorema di Weierstrass senza l’uso delle derivate – 9

In questo nono articolo della raccolta di esercizi sul teorema di Weierstrass senza l’uso delle derivate studiamo l’esistenza del minimo di una funzione definita su un intervallo illimitato. Segnaliamo anche il precedente esercizio sul teorema di Weierstrass – 8 per una versione del teorema di Weierstrass per funzioni su intervalli illimitati o aperti e il successivo esercizio sul teorema di Weierstrass – 10 per l’esistenza del minimo di una funzione periodica.
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.  

Revisore: Sara Sottile.  

 

Richiami teorici

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In questa sezione sono richiamati brevemente i principali risultati teorici utilizzati nel corso della dispensa. Per le loro dimostrazioni e per ulteriori approfondimenti si rimanda all’articolo sul teorema di Weierstrass e alla risorsa Funzioni continue – Teoria.  

Definzione 1 – Massimi e minimi assoluti. Sia f \colon A \subset\mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione. M\in \mathbb{R} si dice massimo di f in A se esiste x_0\in A tale che

    \[f(x_0)= M \qquad \text{e} \qquad f(x)\le M \quad \forall x \in A.\]

In tal caso scriviamo M = \max_A f e x_0 si dice punto di massimo per f.

Analogamente, m\in \mathbb{R} si dice minimo di f in A se esiste x_0\in A tale che

    \[f(x_0)= m \qquad \text{e} \qquad f(x)\ge m \quad \forall x \in A.\]

In tal caso scriviamo m=\min_A f e x_0 si dice punto di minimo per f.

 

Un punto x_0 può non essere di massimo o di minimo assoluto per f, ma può esserlo se restringiamo f a un intorno di x_0. Ciò produce le seguenti definizioni.

Definizione 2 – Massimi e minimi locali. Sia f\colon A\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R} una funzione. x_0\in A si dice punto di massimo locale per f se esiste \delta >0 tale che

    \[f(x) \le f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).\]

Analogamente, x_0\in A si dice punto di minimo locale per f se esiste \delta >0 tale che

    \[f(x) \ge f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).\]

 

Teorema di Weierstrass.  Siano a, b \in \mathbb{R}, con a \leq b e sia f\colon [a,b] \to \mathbb{R} una funzione continua. Allora f ammette massimo e minimo assoluti in [a,b], ovvero esistono x_m, \, x_M \in [a,b] tali che

    \[ f(x_m)\leq f(x) \leq f(x_M) \qquad \forall x \in [a,b] . \]

 

Il seguente risultato riassume i principali risultati sulla continuità delle funzioni elementari che vengono utilizzate negli esercizi.

Proposizione 1 – continuità delle funzioni elementari. Valgono le seguenti proprietà:

  • Ogni funzione polinomiale P \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} è una funzione continua.
  • La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \sin x per x \in \mathbb{R} è continua.
  • La funzione f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \cos x per x \in \mathbb{R} è continua.
  • Sia a > 0 un numero reale. La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = a^x per x \in \mathbb{R} è continua.
  • Sia a >0 un numero reale. La funzione f \colon (0,+\infty)\to \mathbb{R} definita da f(x) = \log_a (x) per x \in (0,+\infty) è continua.
  • Sia n \in \mathbb{N}. La funzione f\colon [0,+\infty]\to [0,+\infty], se n è pari, o la funzione f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}, se n è dispari, definita da f(x)=\sqrt[n]{x} è continua.
  • La funzione f \colon[-1,1]\to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] definita da f(x) = \arcsin x per x \in [-1,1] è continua.
  • La funzione f \colon[-1,1]\to \left[0,\pi\right] definita da f(x) = \arccos x per x \in [-1,1] è continua.
  • La funzione f \colon \mathbb{R} \to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] definita da f(x)=\arctan x per x \in \mathbb{R} è continua.

 

Il seguente risultato riassume i risultati sulla continuità delle varie operazioni sulle funzioni continue.

Proposizione 2 – operazioni sulle funzioni continue. Sia A \subseteq \mathbb{R}, e siano f,g \colon A \to \mathbb{R} due funzioni continue. Allora

  • La somma f + g e il prodotto f\cdot g sono funzioni continue.
  • Il quoziente \frac{f}{g} è continuo nell’insieme A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\}.
  • Siano f\colon A \to \mathbb{R} e g\colon B \to \mathbb{R} funzioni tali che f(A) \subseteq B. Se f è continua in x_0\in A e g è continua in y_0 \coloneqq f(x_0)\in B, allora la funzione composta g \circ f è continua in x_0.
  • Siano f,g \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} funzioni continue con f>0. Allora la funzione f^g è continua.

 

Testo dell’esercizio

Esercizio 9 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).
Si provi che la funzione f \colon (0,+\infty) \to \mathbb{R} definita da

    \[f(x) = \log x + \sin\left (\frac{x^2+1}{x}\right ) + \frac{x^2+1}{x} \qquad \forall x \in (0,+\infty)\]

ha minimo.

Svolgimento.

Vale

(1)   \begin{equation*} \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty. \end{equation*}

Infatti, calcoliamo separatamente i due limiti. Per il limite in 0^+, si osservi che

(2)   \begin{equation*} f(x) \geq \log x - 1 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x} \left ( x (\log x - 1) + 1 \right ) \qquad \forall x \in (0,+\infty), \end{equation*}

in quanto il seno assume valori maggiori o uguali a -1 e il numeratore della frazione è maggiore o uguale a 1. Per il noto limite \lim_{x \to 0^+} x \log x=0 e per il teorema del confronto si ha dunque

    \[\lim_{x \to 0^+} f(x) \geq \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} \left ( x (\log x - 1) + 1 \right ) = +\infty.\]

Il limite per x \to +\infty si può calcolare usando nuovamente il teorema del confronto:

    \[\lim_{x \to +\infty} f(x) \geq \lim_{x \to +\infty} \left (\log x - 1 + x \right ) = +\infty,\]

dove nella disuguaglianza si è sfruttato il fatto che x^2+1 \geq x^2 per ogni x \in \mathbb{R}.

Da (1) e dalla continuità di f, segue che essa soddisfa le ipotesi dell’esercizio 8 con \ell=+\infty e dunque essa assume valore minimo, in quanto non può assumere massimo poiché \sup f=+\infty. Il grafico di f è rappresentato in figura 6.  

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Figura 6: rappresentazione della funzione dell’esercizio 9.

 
 

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Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
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  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
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