Esercizi sul teorema di Weierstrass senza l’uso delle derivate 9

Esercizi sul teorema di Weierstrass senza l'uso delle derivate

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In questa sezione sono richiamati brevemente i principali risultati teorici utilizzati nel corso della dispensa. Per le loro dimostrazioni e per ulteriori approfondimenti si rimanda alle dispense sulle funzioni continue.
 

Definzione 1 – Massimi e minimi assoluti.

Sia f \colon A \subset\mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione. M\in \mathbb{R} si dice \text{massimo} di f in A se esiste x_0\in A tale che

    \[f(x_0)= M \qquad \text{e} \qquad f(x)\le M \quad \forall x \in A.\]

In tal caso scriviamo M = \max_A f e x_0 si dice \textit{punto di massimo} per f.

Analogamente, m\in \mathbb{R} si dice \text{minimo} di f in A se esiste x_0\in A tale che

    \[f(x_0)= m \qquad \text{e} \qquad f(x)\ge m \quad \forall x \in A.\]

In tal caso scriviamo m=\min_A f e x_0 si dice \textit{punto di minimo} per f.

 
Un punto x_0 può non essere di massimo o di minimo assoluto per f, ma può esserlo se restringiamo f a un intorno di x_0. Ciò produce le seguenti definizioni.

Definizione 2 – Massimi e minimi locali.

Sia f\colon A\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R} una funzione. x_0\in A si dice \textit{punto di massimo locale} per f se esiste \delta >0 tale che

    \[f(x) \le f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).\]

Analogamente, x_0\in A si dice \textit{punto di minimo locale} per f se esiste \delta >0 tale che

    \[f(x) \ge f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).\]

 

Teorema di Weierstrass. 

Siano a, b \in \mathbb{R}, con a \leq b e sia f\colon [a,b] \to \mathbb{R} una funzione continua. Allora f ammette massimo e minimo assoluti in [a,b], ovvero esistono x_m, \, x_M \in [a,b] tali che

    \[ f(x_m)\leq f(x) \leq f(x_M) \qquad \forall x \in [a,b] . \]

 
Il seguente risultato riassume i principali risultati sulla continuità delle funzioni elementari che vengono utilizzate negli esercizi.

Proposizione 1.

Valgono le seguenti proprietà:
\bullet Ogni funzione polinomiale P \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} è una funzione continua.
\bullet La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \sin x per x \in \mathbb{R} è continua.
\bullet La funzione f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \cos x per x \in \mathbb{R} è continua.
\bullet Sia a > 0 un numero reale. La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = a^x per x \in \mathbb{R} è continua.
\bullet Sia a >0 un numero reale. La funzione f \colon (0,+\infty)\to \mathbb{R} definita da f(x) = \log_a (x) per x \in (0,+\infty) è continua.
\bullet Sia n \in \mathbb{N}. La funzione f\colon [0,+\infty]\to [0,+\infty], se n è pari, o la funzione f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}, se n è dispari, definita da f(x)=\sqrt[n]{x} è continua.
\bullet La funzione f \colon[-1,1]\to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] definita da f(x) = \arcsin x per x \in [-1,1] è continua.
\bullet La funzione f \colon[-1,1]\to \left[0,\pi\right] definita da f(x) = \arccos x per x \in [-1,1] è continua.
\bullet La funzione f \colon \mathbb{R} \to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] definita da f(x)=\arctan x per x \in \mathbb{R} è continua.

 
Il seguente risultato riassume i risultati sulla continuità delle varie operazioni sulle funzioni continue.

Proposizione 2.

Sia A \subseteq \mathbb{R}, e siano f,g \colon A \to \mathbb{R} due funzioni continue. Allora
\bullet La somma f + g e il prodotto f\cdot g sono funzioni continue.
\bullet Il quoziente \frac{f}{g} è continuo nell’insieme A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\}.
\bullet Siano f\colon A \to \mathbb{R} e g\colon B \to \mathbb{R} funzioni tali che f(A) \subseteq B. Se f è continua in x_0\in A e g è continua in y_0 \coloneqq f(x_0)\in B, allora la funzione composta g \circ f è continua in x_0.
\bullet Siano f,g \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} funzioni continue con f>0. Allora la funzione f^g è continua.

 

Testi degli esercizi

Esercizio 9  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).

Si provi che la funzione f \colon (0,+\infty) \to \mathbb{R} definita da

    \[f(x) 			= 			\log x + \sin\left (\frac{x^2+1}{x}\right ) + \frac{x^2+1}{x} 			\qquad 			\forall x \in (0,+\infty)\]

ha minimo.

 
Svolgimento.
Vale

(1)   \begin{equation*} 		\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty, 		\qquad 		\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty. 	\end{equation*}

Infatti, calcoliamo separatamente i due limiti. Per il limite in 0^+, si osservi che

(2)   \begin{equation*} 			f(x) \geq \log x - 1 + \frac{1}{x} 			= 			\frac{1}{x} \left ( x (\log x - 1) + 1 \right ) 			\qquad 			\forall x \in (0,+\infty), 		\end{equation*}

in quanto il seno assume valori maggiori o uguali a -1 e il numeratore della frazione è maggiore o uguale a 1. Per il noto limite \lim_{x \to 0^+} x \log x=0 e per il teorema del confronto si ha dunque

    \[\lim_{x \to 0^+} f(x) 			\geq 			\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} \left ( x (\log x - 1) + 1 \right ) 			= 			+\infty.\]

Il limite per x \to +\infty si può calcolare usando nuovamente il teorema del confronto:

    \[\lim_{x \to +\infty} f(x) 			\geq 			\lim_{x \to +\infty} \left (\log x - 1 + x \right ) 			= 			+\infty,\]

dove nella disuguaglianza si è sfruttato il fatto che x^2+1 \geq x^2 per ogni x \in \mathbb{R}.

Da (1) e dalla continuità di f, segue che essa soddisfa le ipotesi dell’esercizio 8 con \ell=+\infty e dunque essa assume valore minimo, in quanto non può assumere massimo poiché \sup f=+\infty. Il grafico di f è rappresentato in figura 6.
 

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Figura 6: rappresentazione della funzione dell’esercizio 9.