Esercizi sul teorema di Weierstrass senza l’uso delle derivate 10

Esercizi sul teorema di Weierstrass senza l'uso delle derivate

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In questa sezione sono richiamati brevemente i principali risultati teorici utilizzati nel corso della dispensa. Per le loro dimostrazioni e per ulteriori approfondimenti si rimanda alle dispense sulle funzioni continue.
 

Definzione 1 – Massimi e minimi assoluti.

Sia f \colon A \subset\mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione. M\in \mathbb{R} si dice \text{massimo} di f in A se esiste x_0\in A tale che

    \[f(x_0)= M \qquad \text{e} \qquad f(x)\le M \quad \forall x \in A.\]

In tal caso scriviamo M = \max_A f e x_0 si dice \textit{punto di massimo} per f.

Analogamente, m\in \mathbb{R} si dice \text{minimo} di f in A se esiste x_0\in A tale che

    \[f(x_0)= m \qquad \text{e} \qquad f(x)\ge m \quad \forall x \in A.\]

In tal caso scriviamo m=\min_A f e x_0 si dice \textit{punto di minimo} per f.

 
Un punto x_0 può non essere di massimo o di minimo assoluto per f, ma può esserlo se restringiamo f a un intorno di x_0. Ciò produce le seguenti definizioni.

Definizione 2 – Massimi e minimi locali.

Sia f\colon A\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R} una funzione. x_0\in A si dice \textit{punto di massimo locale} per f se esiste \delta >0 tale che

    \[f(x) \le f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).\]

Analogamente, x_0\in A si dice \textit{punto di minimo locale} per f se esiste \delta >0 tale che

    \[f(x) \ge f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).\]

 

Teorema di Weierstrass. 

Siano a, b \in \mathbb{R}, con a \leq b e sia f\colon [a,b] \to \mathbb{R} una funzione continua. Allora f ammette massimo e minimo assoluti in [a,b], ovvero esistono x_m, \, x_M \in [a,b] tali che

    \[ f(x_m)\leq f(x) \leq f(x_M) \qquad \forall x \in [a,b] . \]

 
Il seguente risultato riassume i principali risultati sulla continuità delle funzioni elementari che vengono utilizzate negli esercizi.

Proposizione 1.

Valgono le seguenti proprietà:
\bullet Ogni funzione polinomiale P \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} è una funzione continua.
\bullet La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \sin x per x \in \mathbb{R} è continua.
\bullet La funzione f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \cos x per x \in \mathbb{R} è continua.
\bullet Sia a > 0 un numero reale. La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = a^x per x \in \mathbb{R} è continua.
\bullet Sia a >0 un numero reale. La funzione f \colon (0,+\infty)\to \mathbb{R} definita da f(x) = \log_a (x) per x \in (0,+\infty) è continua.
\bullet Sia n \in \mathbb{N}. La funzione f\colon [0,+\infty]\to [0,+\infty], se n è pari, o la funzione f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}, se n è dispari, definita da f(x)=\sqrt[n]{x} è continua.
\bullet La funzione f \colon[-1,1]\to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] definita da f(x) = \arcsin x per x \in [-1,1] è continua.
\bullet La funzione f \colon[-1,1]\to \left[0,\pi\right] definita da f(x) = \arccos x per x \in [-1,1] è continua.
\bullet La funzione f \colon \mathbb{R} \to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] definita da f(x)=\arctan x per x \in \mathbb{R} è continua.

 
Il seguente risultato riassume i risultati sulla continuità delle varie operazioni sulle funzioni continue.

Proposizione 2.

Sia A \subseteq \mathbb{R}, e siano f,g \colon A \to \mathbb{R} due funzioni continue. Allora
\bullet La somma f + g e il prodotto f\cdot g sono funzioni continue.
\bullet Il quoziente \frac{f}{g} è continuo nell’insieme A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\}.
\bullet Siano f\colon A \to \mathbb{R} e g\colon B \to \mathbb{R} funzioni tali che f(A) \subseteq B. Se f è continua in x_0\in A e g è continua in y_0 \coloneqq f(x_0)\in B, allora la funzione composta g \circ f è continua in x_0.
\bullet Siano f,g \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} funzioni continue con f>0. Allora la funzione f^g è continua.

 

Testi degli esercizi

Esercizio 10  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).

Si provi che una funzione g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} continua e periodica ha massimo e minimo. Si discuta poi l’esistenza di massimo e minimo della funzione f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da

    \[f(x)= e^x - \cos x + 1 			\qquad 			\forall x \in \mathbb{R}.\]

 
Svolgimento.
Trattiamo separatamente i due punti dell’esercizio.

\bullet Sia T>0 un periodo di g e osserviamo che, poiché g è continua, per il teorema di Weierstrass essa possiede massimo e minimo nell’intervallo [0,T], ossia esistono x_M,x_m \in [0,T] tali che

    \[g(x_M)= \max_{[0,T]}g \eqqcolon M, 			\qquad 			g(x_m)= \min_{[0,T]}g \eqqcolon m.\]

Osserviamo che M e m sono rispettivamente il massimo e il minimo di g su \mathbb{R}. La giustificazione intuitiva di questo fatto è che, per la periodicità, il grafico di g negli intervalli del tipo [nT,(n+1)T] con n \in \mathbb{Z} è una “copia” del grafico di g in [0,T].

Proviamolo rigorosamente. Se x \in \mathbb{R}, esiste n \in \mathbb{Z} tale che x + nT \in [0,T], in quanto i punti del tipo x + kT al variare di k \in \mathbb{Z} sono distanziati di T e dunque almeno uno di essi deve appartenere all’intervallo [0,T]. Poiché M e m sono rispettivamente il valore massimo e minimo di g in [0,T], si ha m \leq g(x+nT) \leq M e, dalla periodicità di g, si ha

    \[m \leq g(x) \leq M.\]

Dunque M=\max g e m=\min g.
\bullet Osserviamo innanzitutto che f non ha massimo in quanto superiormente illimitata, infatti

    \[\lim_{x \to + \infty} f(x) 			\geq 			\lim_{x \to + \infty} e^x 			= 			+\infty,\]

dove la disuguaglianza segue dal teorema del confronto per i limiti e dal fatto che -\cos x \geq -1 per ogni x \in \mathbb{R}.

Per mostrare che f non ha minimo, proveremo che

    \[\inf f =0 			\quad 			\text{e} 			\quad 			0 \notin \operatorname{Im} f.\]

Infatti, osserviamo in primo luogo che

    \[f(x) 			= 			e^x - \cos x + 1 			> 			-1 + 1 			= 			0 			\qquad 			\forall x \in \mathbb{R}.\]

dove si è usato che -\cos x \geq -1 e che e^x>0 per ogni x \in \mathbb{R}. Da ciò segue che 0 \notin \operatorname{Im} f e che \inf f \geq 0. Rimane quindi da provare soltanto che \inf f = 0. A tal fine, consideriamo i punti -2n\pi con n \in \mathbb{N}, rappresentati in blu in figura 7. Si ha

    \[\lim_{n \to +\infty} f(-2n\pi) 			= 			\lim_{n \to +\infty} \left ( e^{-2n\pi} - \cos(-2n\pi)+1 \right ) 			= 			\lim_{n \to +\infty} \left ( e^{-2n\pi} - 1 +1 \right ) 			= 			0,\]

da cui segue \inf f \leq 0, per cui \inf f=0.
 

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Figura 7: rappresentazione della funzione dell’esercizio 10; essa non possiede né minimo né massimo.