Esercizi sul teorema di Weierstrass senza l’uso delle derivate 11

Esercizi sul teorema di Weierstrass senza l'uso delle derivate

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In questa sezione sono richiamati brevemente i principali risultati teorici utilizzati nel corso della dispensa. Per le loro dimostrazioni e per ulteriori approfondimenti si rimanda alle dispense sulle funzioni continue.
 

Definzione 1 – Massimi e minimi assoluti.

Sia f \colon A \subset\mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione. M\in \mathbb{R} si dice \text{massimo} di f in A se esiste x_0\in A tale che

    \[f(x_0)= M \qquad \text{e} \qquad f(x)\le M \quad \forall x \in A.\]

In tal caso scriviamo M = \max_A f e x_0 si dice \textit{punto di massimo} per f.

Analogamente, m\in \mathbb{R} si dice \text{minimo} di f in A se esiste x_0\in A tale che

    \[f(x_0)= m \qquad \text{e} \qquad f(x)\ge m \quad \forall x \in A.\]

In tal caso scriviamo m=\min_A f e x_0 si dice \textit{punto di minimo} per f.

 
Un punto x_0 può non essere di massimo o di minimo assoluto per f, ma può esserlo se restringiamo f a un intorno di x_0. Ciò produce le seguenti definizioni.

Definizione 2 – Massimi e minimi locali.

Sia f\colon A\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R} una funzione. x_0\in A si dice \textit{punto di massimo locale} per f se esiste \delta >0 tale che

    \[f(x) \le f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).\]

Analogamente, x_0\in A si dice \textit{punto di minimo locale} per f se esiste \delta >0 tale che

    \[f(x) \ge f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).\]

 

Teorema di Weierstrass. 

Siano a, b \in \mathbb{R}, con a \leq b e sia f\colon [a,b] \to \mathbb{R} una funzione continua. Allora f ammette massimo e minimo assoluti in [a,b], ovvero esistono x_m, \, x_M \in [a,b] tali che

    \[ f(x_m)\leq f(x) \leq f(x_M) \qquad \forall x \in [a,b] . \]

 
Il seguente risultato riassume i principali risultati sulla continuità delle funzioni elementari che vengono utilizzate negli esercizi.

Proposizione 1.

Valgono le seguenti proprietà:
\bullet Ogni funzione polinomiale P \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} è una funzione continua.
\bullet La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \sin x per x \in \mathbb{R} è continua.
\bullet La funzione f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \cos x per x \in \mathbb{R} è continua.
\bullet Sia a > 0 un numero reale. La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = a^x per x \in \mathbb{R} è continua.
\bullet Sia a >0 un numero reale. La funzione f \colon (0,+\infty)\to \mathbb{R} definita da f(x) = \log_a (x) per x \in (0,+\infty) è continua.
\bullet Sia n \in \mathbb{N}. La funzione f\colon [0,+\infty]\to [0,+\infty], se n è pari, o la funzione f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}, se n è dispari, definita da f(x)=\sqrt[n]{x} è continua.
\bullet La funzione f \colon[-1,1]\to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] definita da f(x) = \arcsin x per x \in [-1,1] è continua.
\bullet La funzione f \colon[-1,1]\to \left[0,\pi\right] definita da f(x) = \arccos x per x \in [-1,1] è continua.
\bullet La funzione f \colon \mathbb{R} \to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] definita da f(x)=\arctan x per x \in \mathbb{R} è continua.

 
Il seguente risultato riassume i risultati sulla continuità delle varie operazioni sulle funzioni continue.

Proposizione 2.

Sia A \subseteq \mathbb{R}, e siano f,g \colon A \to \mathbb{R} due funzioni continue. Allora
\bullet La somma f + g e il prodotto f\cdot g sono funzioni continue.
\bullet Il quoziente \frac{f}{g} è continuo nell’insieme A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\}.
\bullet Siano f\colon A \to \mathbb{R} e g\colon B \to \mathbb{R} funzioni tali che f(A) \subseteq B. Se f è continua in x_0\in A e g è continua in y_0 \coloneqq f(x_0)\in B, allora la funzione composta g \circ f è continua in x_0.
\bullet Siano f,g \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} funzioni continue con f>0. Allora la funzione f^g è continua.

 

Testi degli esercizi

Esercizio 11  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar).

Sia f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione continua e tale che ogni punto x \in \mathbb{R} è di minimo locale per f.
1. Si provi che f è costante.
2. La conclusione è ancora valida se f non è continua?

 
Svolgimento.
Risolviamo separatamente i due punti dell’esercizio.
1. Fissiamo R>0; proveremo che f è costante su [-R,R]. Poiché tale intervallo è chiuso e limitato e f è continua, per il teorema di Weierstrass esiste

    \[M \coloneqq \max_{[-R,R]} f,\]

assunto in b \in [-R,R]. Mostreremo che f(x)=M per ogni x \in [-R,R]. Consideriamo infatti l’insieme

    \[E\coloneqq \{x \leq b \colon f(t)=M \,\,\forall t \in [x,b]\}.\]

Vogliamo dimostrare che E=[-R,R]. Innanzitutto osserviamo che E \neq \emptyset in quanto b \in E e, detto \bar{x}=\inf E, mostriamo che \bar{x} \in E. Consideriamo infatti una successione x_n di punti di E tali che x_n \to \bar{x}. Poiché x_n \in E si ha

    \[f(t) = M \qquad 			\forall t \in [x_n,b] 			\,\,\, 			\forall n \in \mathbb{N},\]

Da cui, poiché x_n \to \bar{x}, segue

    \[f(t) = M \qquad \forall t \in (\bar{x},b].\]

Per la continuità di f in \bar{x}, segue che f(\bar{x})=M e quindi \bar{x} \in E.
Supponiamo ora per assurdo che \bar{x}>-R.
Poiché per ipotesi \bar{x}>-R è un punto di minimo locale, esiste \varepsilon>0 tale che (\bar{x}-\varepsilon,\bar{x}+\varepsilon) \subset [-R,R] e

    \[f(x) \geq f(\bar{x}) = \max_{[-R,R]} f 			\qquad 			\forall x \in (\bar{x}-\varepsilon,\bar{x}+\varepsilon),\]

ma appunto, poiché in \bar{x} f assume il valore massimo possibile in [-R,R], deve aversi

    \[f(x)= M 			\qquad 			\forall x \in (\bar{x}-\varepsilon,\bar{x}+\varepsilon),\]

dunque si avrebbe

    \[f(x)=M \qquad 			\forall x \in (\bar{x}-\varepsilon,b]\]

e perciò esisterebbero punti in E minori di \bar{x}, contro l’ipotesi che \bar{x}=\inf E. Da tale assurdo segue che \inf E=-R e ciò, insieme al fatto che \bar{x}\in E, prova che

    \[f(t)=M 			\qquad 			\forall t \in  [-R,b].\]

Analogamente si prova che f(t)=M per ogni t \in [b,R] e quindi f \equiv M su [-R,R].

Poiché lo stesso discorso si può ripetere anche per R'>R, segue che f è costante anche su [-R',R']. Ma, poiché f assume valore M su [-R,R], segue che f \equiv M anche in [-R',R']. Per l’arbitrarietà di R', segue che f è costantemente pari a M su \mathbb{R}.

2. La conclusione dell’esercizio non è valida rimuovendo l’ipotesi di continuità di f. Consideriamo infatti la funzione f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da

    \[f(x)=\begin{cases} 				1			& \text{se $x \neq 0$}\\ 				0			& \text{se $x = 0$}, 			\end{cases}\]

il cui grafico è rappresentato nella figura 8. Ovviamente essa non è costante, ma osserviamo che ogni suo punto è di minimo locale. Infatti:
\bullet x=0 è il punto di minimo assoluto di f e dunque in particolare è di minimo locale;
\bullet se x \neq 0, allora esiste \varepsilon>0 tale che 0 \notin (x-\varepsilon,x+\varepsilon) e dunque f è costantemente pari a 1 su tale intervallo; pertanto x è di minimo locale. \qedhere

 

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Figura 8: se f non è continua, ogni punto può essere di minimo locale senza che essa debba essere costante.

 
 

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