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Esercizio sul teorema di Weierstrass senza l’uso delle derivate – 12

Esercizi sul teorema di Weierstrass senza l'uso delle derivate

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In questo dodicesimo e ultimo articolo della raccolta di esercizi sul teorema di Weierstrass senza l’uso delle derivate studiamo massimo e minimo e i limiti di una funzione soddisfacente una particolare equazione. Segnaliamo anche il precedente esercizio sul teorema di Weierstrass – 11 per una caratterizzazione delle funzioni in cui ogni punto è di minimo locale.

 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.  

Revisore: Sara Sottile.  

 

Richiami teorici

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In questa sezione sono richiamati brevemente i principali risultati teorici utilizzati nel corso della dispensa. Per le loro dimostrazioni e per ulteriori approfondimenti si rimanda all’articolo sul teorema di Weierstrass e alla risorsa Funzioni continue – Teoria.  

Definzione 1 – Massimi e minimi assoluti. Sia f \colon A \subset\mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione. M\in \mathbb{R} si dice massimo di f in A se esiste x_0\in A tale che

\[f(x_0)= M \qquad \text{e} \qquad f(x)\le M \quad \forall x \in A.\]

In tal caso scriviamo M = \max_A f e x_0 si dice punto di massimo per f.

Analogamente, m\in \mathbb{R} si dice minimo di f in A se esiste x_0\in A tale che

\[f(x_0)= m \qquad \text{e} \qquad f(x)\ge m \quad \forall x \in A.\]

In tal caso scriviamo m=\min_A f e x_0 si dice punto di minimo per f.

 

Un punto x_0 può non essere di massimo o di minimo assoluto per f, ma può esserlo se restringiamo f a un intorno di x_0. Ciò produce le seguenti definizioni.

Definizione 2 – Massimi e minimi locali. Sia f\colon A\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R} una funzione. x_0\in A si dice punto di massimo locale per f se esiste \delta >0 tale che

\[f(x) \le f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).\]

Analogamente, x_0\in A si dice punto di minimo locale per f se esiste \delta >0 tale che

\[f(x) \ge f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).\]

 

Teorema di Weierstrass.  Siano a, b \in \mathbb{R}, con a \leq b e sia f\colon [a,b] \to \mathbb{R} una funzione continua. Allora f ammette massimo e minimo assoluti in [a,b], ovvero esistono x_m, \, x_M \in [a,b] tali che

\[ f(x_m)\leq f(x) \leq f(x_M) \qquad \forall x \in [a,b] . \]

 

Il seguente risultato riassume i principali risultati sulla continuità delle funzioni elementari che vengono utilizzate negli esercizi.

Proposizione 1 – continuità delle funzioni elementari. Valgono le seguenti proprietà:

  • Ogni funzione polinomiale P \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} è una funzione continua.
  • La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \sin x per x \in \mathbb{R} è continua.
  • La funzione f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \cos x per x \in \mathbb{R} è continua.
  • Sia a > 0 un numero reale. La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = a^x per x \in \mathbb{R} è continua.
  • Sia a >0 un numero reale. La funzione f \colon (0,+\infty)\to \mathbb{R} definita da f(x) = \log_a (x) per x \in (0,+\infty) è continua.
  • Sia n \in \mathbb{N}. La funzione f\colon [0,+\infty]\to [0,+\infty], se n è pari, o la funzione f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}, se n è dispari, definita da f(x)=\sqrt[n]{x} è continua.
  • La funzione f \colon[-1,1]\to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] definita da f(x) = \arcsin x per x \in [-1,1] è continua.
  • La funzione f \colon[-1,1]\to \left[0,\pi\right] definita da f(x) = \arccos x per x \in [-1,1] è continua.
  • La funzione f \colon \mathbb{R} \to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] definita da f(x)=\arctan x per x \in \mathbb{R} è continua.

 

Il seguente risultato riassume i risultati sulla continuità delle varie operazioni sulle funzioni continue.

Proposizione 2 – operazioni sulle funzioni continue. Sia A \subseteq \mathbb{R}, e siano f,g \colon A \to \mathbb{R} due funzioni continue. Allora

  • La somma f + g e il prodotto f\cdot g sono funzioni continue.
  • Il quoziente \frac{f}{g} è continuo nell’insieme A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\}.
  • Siano f\colon A \to \mathbb{R} e g\colon B \to \mathbb{R} funzioni tali che f(A) \subseteq B. Se f è continua in x_0\in A e g è continua in y_0 \coloneqq f(x_0)\in B, allora la funzione composta g \circ f è continua in x_0.
  • Siano f,g \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} funzioni continue con f>0. Allora la funzione f^g è continua.

 

Testo dell’esercizio

Esercizio 12 (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar).

Sia f \colon (0,+\infty) \to \mathbb{R} una funzione continua e tale che

(1) \begin{equation*} f(3x)=f(x) \qquad \forall x \in (0,+\infty). \end{equation*}

1. Si mostri che essa possiede massimo e minimo.
2. Cosa si può dire su f, assumendo che esista \lim_{x \to +\infty} f(x)?
3. Cosa si può dire su f, assumendo che f \colon [0,+\infty) \to \mathbb{R}?

Premessa.

Osserviamo innanzitutto che, se x \in (0,+\infty), allora applicando induttivamente (1) si ottiene

\[f(3^n x) = f(3(3^{n-1})x) = f(3^{n-1}x) = \dots = f(3x) = f(x) = f\left (3\left (\frac{x}{3}\right ) \right ) = f(3^{-1}x) = \dots\]

che possiamo riassumere in

(2) \begin{equation*} f(3^n x) = f(x) \qquad \forall n \in \mathbb{Z}. \end{equation*}

Ciò implica che il grafico di f è costituito da copie dilatate di fattori 3^n della porzione corrispondente all’intervallo [1,3], come rappresentato in figura 9.

 

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Figura 9: esempio di un possibile grafico (in blu) della funzione f; si noti che il grafico di f consiste di copie scalate di fattori 3^n della porzione del grafico di f corrispondente all’intervallo [1,3].

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