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Esercizi sulla verifica dei limiti 7

Verifica del limite in funzioni

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Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Per richiami più completi si veda la dispensa richiami di teoria.

Definizione 1 (limiti di funzioni) 
Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per A, sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Si dice che \ell è il limite di f per x che tende a x_0 se, per ogni intorno V di \ell, esiste un intorno U di x_0 tale che

(1)   \begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

In tal caso si scrive

(2)   \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}

Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui x_0 \in \mathbb{R}, x_0 = -\infty, x_0=+\infty e \ell \in \mathbb{R}, \ell = -\infty, \ell=+\infty.

 

Testo dell’esercizio

Esercizio 7  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x \to 1} -\frac{1}{x^2-2x+1} = -\infty. \end{equation*}

 

Svolgimento.

Occorre verificare che valga la condizione al caso 2 della tabella 1 con x_0=1 e f \colon \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R} definita da

(3)   \begin{equation*} f(x)= - \frac{1}{x^2-2x +1} \qquad \forall x \neq 1. \end{equation*}

Osserviamo che 1, pur non appartenendo al dominio di f, è un punto di accumulazione per esso, dunque ha senso calcolare il limite di f in tale punto.
Fissiamo dunque M \in \mathbb{R} e, in virtù dell’osservazione 1 dei richiami di teoria, possiamo assumere che M<0. Si ha

(4)   \begin{equation*} f(x) < M \iff %- \frac{1}{x^2-2x +1} < M %\iff - \frac{1}{(x-1)^2} < M \iff \begin{cases} (x-1)^2 < -\dfrac{1}{M} \\[5pt] x \neq 1 \end{cases} \iff \begin{cases} |x-1| < \dfrac{1}{\sqrt{-M}} \\[5pt] x \neq 1 \end{cases} \end{equation*}

dove nella seconda equivalenza abbiamo moltiplicato per -1 entrambi i membri della disuguaglianza (operazione che ne invertirebbe il verso) e siamo passati ai reciproci (operazione che ne inverte nuovamente il verso in quanto i due membri sono entrami positivi); nella terza equivalenza invece abbiamo calcolato la radice quadrata di entrambi i membri. Da tale catena di equivalenze, segue che basta scegliere \delta=\frac{1}{\sqrt{-M}} per ottenere

(5)   \begin{equation*} x \in \left ( 1-\frac{1}{\sqrt{-M}},1+\frac{1}{\sqrt{-M}}\right ) \setminus \{1\} \implies f(x) < M, \end{equation*}

ovvero quanto volevamo dimostrare. Si veda la figura 7 per una rappresentazione grafica di tale procedimento.

Figura 7: rappresentazione dell’esercizio 7. Fissato l’intorno (-\infty,M) di -\infty rappresentato in rosso, abbiamo mostrato che con la scelta \delta=\frac{1}{\sqrt{-M}}, se x \in \left ( 1-\delta,1+\delta\right ) \setminus \{1\}, allora f(x)<M.

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