Definizione 1 (limiti di funzioni)
Sia
, sia
un punto di accumulazione per
, sia
una funzione e sia
. Si dice che
è il limite di
per
che tende a
se, per ogni intorno
di
, esiste un intorno
di
tale che
Sia
![Rendered by QuickLaTeX.com A \subseteq \mathbb{R}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1977f65b60ff7f8193af26b8e6854e67_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x_0 \in \overline{\mathbb{R}}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-744227df80cd6a8f53555bedf67d6457_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com A](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eff0cb8a66196013088fda03a43ee0b3_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f \colon A \to \mathbb{R}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-083eb428536fa0f27002359b923a248a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \ell \in \overline{\mathbb{R}}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bc259eccd6cc5ea92816d6a733755ab2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \ell](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d564527e33464a94428f007ef5c24911_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-769def825c7d8baf80bba500ff786d4b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fa69be7539f00071c7f0a587a4296ece_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x_0](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f085b7362b2d48f4abd9e2dd9798a6d1_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com V](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2ccd5a35360c774e65f4f43b369b6b4d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \ell](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d564527e33464a94428f007ef5c24911_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com U](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-37f7400fabac0dbaa1defc542644cddb_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x_0](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f085b7362b2d48f4abd9e2dd9798a6d1_l3.png)
(1)
In tal caso si scrive
(2)
Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui ,
,
e
,
,
.
Testo dell’esercizio
Esercizio 2
.
Sia
la funzione definita da
![Rendered by QuickLaTeX.com (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-563061f31f78294986510095e759d908_l3.png)
Sia
![Rendered by QuickLaTeX.com f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dd9aa42e56c632480213e4ffe9def141_l3.png)
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:
Svolgimento.
Il grafico della funzione è rappresentato in blu in figura 2.
Figura 2: la funzione dell’esercizio 2. In rosso è evidenziato l’intorno
di
. Da
per ogni
, segue che
. Si noti che
.
Poiché dobbiamo verificare la validità della formula del primo caso della tabella 1, con
e
. Fissiamo dunque
; poiché
per ogni
, scegliendo un qualunque
vale
(3)
Per l’arbitrarietà di abbiamo dunque la conclusione.