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Esercizi sulla verifica dei limiti 18

Verifica del limite in funzioni

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Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Per richiami più completi si veda la dispensa richiami di teoria.

Definizione 1 (limiti di funzioni) 
Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per A, sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Si dice che \ell è il limite di f per x che tende a x_0 se, per ogni intorno V di \ell, esiste un intorno U di x_0 tale che

(1)   \begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

In tal caso si scrive

(2)   \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}

Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui x_0 \in \mathbb{R}, x_0 = -\infty, x_0=+\infty e \ell \in \mathbb{R}, \ell = -\infty, \ell=+\infty.

 

Testo dell’esercizio

Esercizio 18  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x \to 3} \dfrac{x+1}{x-1} = 2. \end{equation*}

 

Svolgimento .
Dobbiamo verificare la validità della condizione al caso 1 della tabella 1 con x_0=3, \ell=2 e f \colon \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R} definita da

(3)   \begin{equation*} f(x) = \frac{x+1}{x-1} \qquad \forall x \neq 1, \end{equation*}

il cui grafico è rappresentato in figura 18. Osserviamo che x_0=3 è interno al dominio di f e dunque, in particolare, è un punto di accumulazione per esso, quindi il limite da verificare è ben definito. Fissiamo \varepsilon>0 e, grazie all’osservazione 1 dei richiami di teoria, possiamo scegliere \varepsilon<1. Si ha

(4)   \begin{equation*} \left | f(x) - \ell \right | < \varepsilon \iff \left | \frac{x+1}{x-1} - 2 \right | < \varepsilon \iff \frac{|x-3|}{|x-1|} < \varepsilon \iff |x-3| < \varepsilon|x-1|. \end{equation*}

Poiché siamo interessati a mostrare che la disuguaglianza è verificata per x appartenente a un opportuno intorno di 3, per i nostri scopi è sufficiente risolverla nell’intorno (2,4) di 3. Assumendo quindi che x \in (2,4), si ha |x-1|>1, ottenendo quindi

(5)   \begin{equation*} |x-3| < \varepsilon|x-1| \impliedby \begin{cases} |x-3| < \varepsilon \\ 2<x<4 \end{cases} \iff |x-3|< \varepsilon, \end{equation*}

dove l’equivalenza finale deriva dal fatto che, essendo \varepsilon<1, la prima disuguaglianza del sistema implica |x-3|<1, che è la seconda disuguaglianza del sistema. Scegliendo dunque \delta=\varepsilon, da (4) e (5) otteniamo

(6)   \begin{equation*} x \in (3-\delta,3+\delta) \implies \left | f(x) - 2 \right | < \varepsilon, \end{equation*}

ossia la conclusione.

Figura 18: il grafico della funzione dell’esercizio 18. Si nota che, se |x-3|< \varepsilon, allora |f(x)-2|<\varepsilon.

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