Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Per richiami più completi si veda la dispensa richiami di teoria.
Sia
![Rendered by QuickLaTeX.com A \subseteq \mathbb{R}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1977f65b60ff7f8193af26b8e6854e67_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x_0 \in \overline{\mathbb{R}}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-744227df80cd6a8f53555bedf67d6457_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com A](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eff0cb8a66196013088fda03a43ee0b3_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f \colon A \to \mathbb{R}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-083eb428536fa0f27002359b923a248a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \ell \in \overline{\mathbb{R}}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bc259eccd6cc5ea92816d6a733755ab2_l3.png)
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![Rendered by QuickLaTeX.com \ell](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d564527e33464a94428f007ef5c24911_l3.png)
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![Rendered by QuickLaTeX.com x_0](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f085b7362b2d48f4abd9e2dd9798a6d1_l3.png)
(1)
In tal caso si scrive
(2)
Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui ,
,
e
,
,
.
Siano
![Rendered by QuickLaTeX.com A\subseteq \mathbb{R}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9f6205f7b8d66cd77101bd02cf593a9b_l3.png)
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![Rendered by QuickLaTeX.com A](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eff0cb8a66196013088fda03a43ee0b3_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f \colon A \to \mathbb{R}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-083eb428536fa0f27002359b923a248a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \ell \in \overline{\mathbb{R}}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bc259eccd6cc5ea92816d6a733755ab2_l3.png)
Si dice che
![Rendered by QuickLaTeX.com \ell](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d564527e33464a94428f007ef5c24911_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-769def825c7d8baf80bba500ff786d4b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fa69be7539f00071c7f0a587a4296ece_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x_0](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f085b7362b2d48f4abd9e2dd9798a6d1_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com V](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2ccd5a35360c774e65f4f43b369b6b4d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \ell](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d564527e33464a94428f007ef5c24911_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \delta>0](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7d63af9ed7a70bb0c996c9b3649ad19b_l3.png)
(3)
In tal caso si scrive
(4)
Analogamente si definisce il limite destro di per
ed esso si indica con
.
Testo dell’esercizio
![Rendered by QuickLaTeX.com (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-47c5ad7bd42823dbf18c33db4aa83798_l3.png)
Verificare, mediante la definizione, i seguenti limiti:
;
.
Svolgimento .
Risolviamo separatamente i due punti dell’esercizio.
- Occorre provare la variante del caso 1 della tabella 1 relativa ai limiti destri per
e
, dove
è definita da
(5)
Esplicitamente, bisogna dimostrare che, per ogni
esiste
per cui è valida la seguente implicazione:
(6)
Grazie all’osservazione 1 dei richiami di teoria, è sufficiente scegliere
, in modo che
. Si ha
(7)
dove nella terza equivalenza abbia usato
e il fatto che, poiché siamo interessati a intorni destri di
, possiamo considerare
.
Poiché, scegliendo
si ottiene la validità di (6), si veda la figura 16.
- Dobbiamo mostrare che vale la condizione al punto 3 della tabella 1, con
, per i limiti sinistri. Bisogna cioè far vedere che, per ogni
, si può scegliere
per cui la seguente proprietà è valida:
(8)
Scegliamo quindi
e, in virtù dell’osservazione 1 dei richiami di teoria si può scegliere
in modo da avere
. Dunque si ha
(9)
dove nella terza equivalenza abbiamo sfruttato il fatto che
e quindi deve valere
. Da tali equivalenze è evidente che, scegliendo
, (8) è soddisfatta.
Figura 16: raffigurazione dell’esercizio 16.