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Esercizi sulla verifica dei limiti 12

Verifica del limite in funzioni

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Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Per richiami più completi si veda la dispensa richiami di teoria.

Definizione 1 (limiti di funzioni) 
Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per A, sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Si dice che \ell è il limite di f per x che tende a x_0 se, per ogni intorno V di \ell, esiste un intorno U di x_0 tale che

(1)   \begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

In tal caso si scrive

(2)   \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}

Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui x_0 \in \mathbb{R}, x_0 = -\infty, x_0=+\infty e \ell \in \mathbb{R}, \ell = -\infty, \ell=+\infty.

 

Testo dell’esercizio

Esercizio 12  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, che vale

    \begin{equation*} \lim_{x \to + \infty} \log \left (\dfrac{2}{x-2} \right ) = - \infty. \end{equation*}

 

Svolgimento .

Stiamo trattando la funzione f \colon (2,+\infty) \to \mathbb{R} definita da

(3)   \begin{equation*} f(x) = \log \left ( \frac{2}{x-2} \right ) \qquad \forall x >2, \end{equation*}

il cui dominio (2,+\infty) è illimitato superiormente e dunque +\infty è un suo punto di accumulazione, pertanto il limite richiesto dalla traccia ha significato. Il grafico di f è illustrato in figura 12.

Figura 12: rappresentazione dell’esercizio 12. In rosso l’intorno (-\infty,M) di \ell=-\infty, mentre in verde è rappresentato l’intorno (H,+\infty) di x_0=+\infty. Se x> H, allora f(x)<M.

Per verificare l’uguaglianza richiesta, occorre mostrare che vale la condizione al punto 8 della tabella 1. Fissando quindi M \in \mathbb{R}, osserviamo che si ha

(4)   \begin{equation*} f(x) < M \iff \log \left ( \frac{2}{x-2} \right ) < M \iff \frac{2}{x-2} < e^M \iff x >2+ \frac{2}{e^M}, \end{equation*}

dove nella seconda equivalenza si è utilizzato il fatto che la funzione \log è l’inversa della funzione \exp e che queste funzioni sono crescenti, mentre alla terza equivalenza si è usato che le quantità x-2 e e^M sono positive.
Possiamo scegliere H=2+ \frac{2}{e^M} ottenendo dunque

(5)   \begin{equation*} x>H \implies f(x) < M, \end{equation*}

che è quanto si voleva provare.

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