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Esercizi sulla verifica dei limiti 11

Verifica del limite in funzioni

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Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Per richiami più completi si veda la dispensa richiami di teoria.

Definizione 1 (limiti di funzioni) 
Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per A, sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Si dice che \ell è il limite di f per x che tende a x_0 se, per ogni intorno V di \ell, esiste un intorno U di x_0 tale che

(1)   \begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

In tal caso si scrive

(2)   \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}

Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui x_0 \in \mathbb{R}, x_0 = -\infty, x_0=+\infty e \ell \in \mathbb{R}, \ell = -\infty, \ell=+\infty.

 

Testo dell’esercizio

Esercizio 11  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar).
Dimostrare che, per ogni x_0 \in \mathbb{R}, si ha

    \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} \sin x = \sin x_0. \end{equation*}

 

Svolgimento .

Fissiamo x_0 \in \mathbb{R}; dalle formule di prostaferesi si ha

(3)   \begin{equation*} \sin x - \sin x_0 = 2 \sin \Big( \frac{x - x_0}{2} \Big) \cos \Big( \frac{x + x_0}{2} \Big) \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}

Ricordando che |\cos \alpha| \leq 1 e |\sin \alpha| \leq |\alpha| per ogni \alpha \in \mathbb{R}, passando ai moduli in (3) si ottiene

(4)   \begin{equation*} |\sin x - \sin x_0 | \leq 2 \Big| \frac{x - x_0}{2} \Big| = |x- x_0| \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}

Vogliamo usare tale disuguaglianza per provare che è soddisfatta la condizione al punto 1 della tabella 1.

Fissiamo dunque \varepsilon >0; da (4) segue che, scegliendo \delta=\varepsilon, si ottiene

(5)   \begin{equation*} |x-x_0| < \varepsilon \implies |\sin x - \sin x_0 | < \varepsilon, \end{equation*}

cioè quanto si voleva provare. La soluzione è rappresentata in figura 11.

Figura 11: rappresentazione dell’esercizio 11. In blu il grafico della funzione \sin. Si noti che vale la stima |\sin x - \sin x_0| \leq |x - x_0|.

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