Il teorema della permanenza del segno

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Teorema della permanenza del segno

Il limite $\ell$ di una funzione $f$ in un punto $x_0$ rappresenta il valore a cui si avvicina $f(x)$ quando $x$ si avvicina a $x_0$ . Il teorema della permanenza del segno afferma che, se $\ell$ ha un segno, allora $f(x)$ assume lo stesso segno di $\ell$ per $x$ sufficientemente vicino a $x_0$ . Tale idea intuitiva è sostanzialmente equivalente alla nozione di limite.

L’articolo offre l’enunciato e una dimostrazione illustrata del teorema, oltre a dei richiami sulle definizioni e concetti fondamentali. Una lettura semplice e stimolante, che prepara e proietta verso altri fondamentali concetti dell’Analisi Matematica.

Consigliamo l’ulteriore materiale teorico reperibile ai seguenti link:

Segnaliamo inoltre le seguenti raccolte di esercizi correlati:

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Autori e revisori

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Autori: Daniele Fakhoury, Luigi De Masi, Silvia Lombardi, Giuseppe Palaia.

Revisori: Sara Sottile, Sergio Fiorucci, Matteo Talluri, Chiara Bellotti.

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Introduzione

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Il concetto di limite è strettamente legato alla topologia dello spazio su cui si opera. Nel caso particolare di funzioni reali di variabile reale, la topologia di $\mathbb{R}$ gioca un ruolo fondamentale nelle proprietà che le funzioni e i loro limiti possiedono. Una caratteristica molto importante della topologia di $\mathbb{R}$ è la cosiddetta proprietà di separazione: punti distinti possiedono intorni disgiunti. Questa proprietà, apparentemente banale, implica numerose conseguenze. Tra di esse ricordiamo il teorema di unicità del limite e il teorema della permanenza del segno; quest’ultimo costituisce l’oggetto principale di questa dispensa. Il teorema della permanenza del segno afferma che, se una funzione $f$ possiede limite $\ell \neq 0$ in un punto $x_0$ , allora esiste un intorno di $x_0$ in cui $f$ assume valori di segno concorde a $\ell$ .

Teorema 1 (permanenza del segno). Sia $f\colon A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ e sia $x_0 \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}$ un punto di accumulazione per $A$ . Supponiamo che

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$\lim_{x \to x_0} f(x)=\ell \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\} \qquad \text{con} \qquad \ell \neq 0.$

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Allora esiste un intorno $I_{x_0}$ di $x_0$ tale che la funzione $f$ assume in $I_{x_0} \cap A \setminus \{x_0\}$ valori di segno costante e uguale al segno di $\ell$ .

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Come abbiamo già detto, questa caratteristica è una conseguenza della proprietà di separazione: poiché $\ell \neq 0$ , esiste un intorno $J$ di $\ell$ interamente costituito da valori dello stesso segno di $\ell$ . Dato che $f(x) \in J$ per $x$ sufficientemente vicino a $x_0$ , segue che $f(x)$ ha lo stesso segno di $\ell$ in un intorno di $x_0$ . Se $f$ è una funzione continua vale $\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)$ , quindi il teorema 1 si scrive nella forma seguente.

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Corollario 2 (permanenza del segno per funzioni continue). Sia $f\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ e sia $x_0\in A$ un punto di continuità per $f$ . Se $f(x_0)>0$ , allora esiste un intorno $I_{x_0}$ di $x_0$ tale che

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$f(x)>0 \qquad \forall x\in I_{x_0}\cap A.$

Vale un risultato analogo se $f(x_0)<0$ .

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Nella sezione 1 richiamiamo alcune definizioni preliminari, mentre nella sezione 2 dimostriamo il teorema 1

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Definizioni preliminari

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In questa sezione richiamiamo, per comodità del lettore, alcune nozioni che sono utilizzate nell’enunciato e nella dimostrazione del teorema 1. Cominciamo con la definizione di intorno di un punto $x_0$ (finito o infinito); tale concetto corrisponde a un insieme che contiene $x_0$ “al proprio interno”.

Definizione 3 (intorni). Sia $x_0 \in \mathbb{R}$ e sia $\varepsilon>0$ . L’intorno $I_\varepsilon(x_0)$ circolare} di $x_0$ di raggio $\varepsilon$ è l’intervallo aperto

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(1) $\begin{equation*} I_\varepsilon(x_0) \coloneqq (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon). \end{equation*}$

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Si definisce intorno di $+\infty$ qualsiasi semiretta aperta $(M,+\infty)$ con $M\in \mathbb{R}$ . Analogamente, si definisce intorno di $-\infty$ qualsiasi semiretta aperta $(-\infty,M)$ con $M\in \mathbb{R}$ .

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Presentiamo ora la nozione di punto di accumulazione. Intuitivamente, un punto $x_0$ è di accumulazione per un insieme $A$ se gli elementi di $A$ appunto si “accumulano” intorno a esso.

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Definizione 4 (punto di accumulazione). Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ . Un punto $x_0 \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}$ si dice di accumulazione per $A$ se ogni intorno $I$ di $x_0$ contiene almeno un punto $x$ di $A$ diverso da $x_0$ .

Definizione 5 (limiti). Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ , sia $f \colon A \to \mathbb{R}$ e sia $x_0 \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}$ un punto di accumulazione per $A$ . Si dice che $f$ ha limite $\ell \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}$ se, per ogni intorno $J$ di $\ell$ , esiste un intorno $I$ di $x_0$ tale che

(2) $\begin{equation*} f(x) \in J \qquad \forall x \in I \setminus \{x_0\}. \end{equation*}$

In tal caso si scrive

(3) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}$

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Ricordiamo inoltre la definizione di funzione continua in un punto. Per una trattazione approfondita, rimandiamo a [1, Funzioni continue ,sezione 2 ].

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Definizione 6 (funzione continua in un punto). Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ . Una funzione $f \colon A \to \mathbb{R}$ si dice continua in $x_0 \in A$ se $x_0$ è un punto isolato di $A$ oppure se

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).$

Equivalentemente, $f$ è continua in $x_0$ se e solo se, per ogni $\varepsilon>0$ , esiste $\delta>0$ tale che

(4) $\begin{equation*} |f(x)-f(x_0)|< \varepsilon \qquad \forall x \in (x_0-\delta,x_0+\delta) \cap A. \end{equation*}$

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Dimostrazione del teorema 1

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Dimostrazione. Distinguiamo diversi casi.

$\bullet$ $\ell \in \mathbb{R}$ . Poiché $\ell \neq 0$ , l’intervallo
(5) $\begin{equation*} \left (\ell - \frac{|\ell|}{2} , \ell + \frac{|\ell|}{2} \right ) = \begin{cases} \left (\frac{\ell}{2}, \frac{3}{2}\ell \right ) & \text{se } \ell >0 \\[8pt] \left (\frac{3}{2}\ell, \frac{\ell}{2} \right ) & \text{se } \ell <0 \end{cases} \end{equation*}$

è un intorno circolare ¹, di $\ell$ . Per la definizione 3 di limite esiste un intorno $I$ di $x_0$ tale che

(6) $\begin{equation*} % f(x) \in \left (\ell - \frac{|\ell|}{2} , \ell + \frac{|\ell|}{2} \right ) \ell - \frac{|\ell|}{2} < f(x) < \ell + \frac{|\ell|}{2} \qquad \forall x \in A \cap I\setminus \{x_0\}, \end{equation*}$

si veda la figura 1 per una rappresentazione grafica. Se $\ell>0$ , la disuguaglianza a sinistra implica $f(x) > \frac{\ell}{2} >0$ in $A \cap I\setminus \{x_0\}$ . Se invece $\ell<0$ , la disuguaglianza a destra implica $f(x) < \frac{\ell}{2}<0$ in $A \cap I\setminus \{x_0\}$ .

In entrambi i casi, $f(x)$ assume lo stesso segno di $\ell$ per ogni $x \in A \cap I\setminus \{x_0\}$ .
$\bullet$ $\ell=+\infty$ . Scegliendo $(M,+\infty)$ con $M>0$ come intorno di $+\infty$ , per definizione di limite esiste un intorno $I$ di $x_0$ tale che
(7) $\begin{equation*} f(x) \in (M,+\infty) \qquad \forall x \in A \cap I \setminus \{x_0\}. \end{equation*}$

Poiché $M>0$ , $f(x)$ assume cioè segno positivo per ogni $x \in A \cap I \setminus \{x_0\}$ .
$\bullet$ $\ell=-\infty$ . Analogamente al caso precedente, basta scegliere $(-\infty,M)$ come intorno di $-\infty$ con $M < 0$ .

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Figura 1: rappresentazione del teorema 1 nel caso $x_0 \in \mathbb{R}$ e $\ell>0$ . L’intervallo $\left ( \frac{\ell}{2}, \frac{3}{2}\ell \right )$ (in verde) contiene solo numeri positivi, dunque $f(x)$ ha lo stesso segno di $\ell$ per ogni $x \in I \cap A\setminus \{x_0\}$ . Si noti l’indipendenza di questo discorso dal valore di $f(x_0)$ , che può anche avere segno diverso.

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Si noti che la scelta dell’intervallo $\left (\ell - \frac{|\ell|}{2} , \ell + \frac{|\ell|}{2} \right )$ non è l’unica possibile: si potrebbe fissare un qualunque intorno $(\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon)$ di $\ell$ , con $\varepsilon>0$ sufficientemente piccolo affinché $(\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon)$ contenesse solo numeri reali aventi lo stesso segno di $\ell$ .. ↩

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Riferimenti bibliografici

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[1] Qui Si Risolve, Funzioni continue.

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