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Il teorema della permanenza del segno

Teoria sulle funzioni

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Teorema della permanenza del segno

Il limite \ell di una funzione f in un punto x_0 rappresenta il valore a cui si avvicina f(x) quando x si avvicina ax_0. Il teorema della permanenza del segno afferma che, se \ell ha un segno, allora f(x) assume lo stesso segno di \ell per x sufficientemente vicino a x_0. Tale idea intuitiva è sostanzialmente equivalente alla nozione di limite.

L’articolo offre l’enunciato e una dimostrazione illustrata del teorema, oltre a dei richiami sulle definizioni e concetti fondamentali. Una lettura semplice e stimolante, che prepara e proietta verso altri fondamentali concetti dell’Analisi Matematica.

Consigliamo l’ulteriore materiale teorico reperibile ai seguenti link:

Segnaliamo inoltre le seguenti raccolte di esercizi correlati:

 

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Autori e revisori

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Introduzione

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Il concetto di limite è strettamente legato alla topologia dello spazio su cui si opera. Nel caso particolare di funzioni reali di variabile reale, la topologia di \mathbb{R} gioca un ruolo fondamentale nelle proprietà che le funzioni e i loro limiti possiedono. Una caratteristica molto importante della topologia di \mathbb{R} è la cosiddetta proprietà di separazione: punti distinti possiedono intorni disgiunti. Questa proprietà, apparentemente banale, implica numerose conseguenze. Tra di esse ricordiamo il teorema di unicità del limite e il teorema della permanenza del segno; quest’ultimo costituisce l’oggetto principale di questa dispensa. Il teorema della permanenza del segno afferma che, se una funzione f possiede limite \ell \neq 0 in un punto x_0, allora esiste un intorno di x_0 in cui f assume valori di segno concorde a \ell.

Teorema 1  (permanenza del segno). Sia f\colon A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R} e sia x_0 \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\} un punto di accumulazione per A. Supponiamo che

    \[\,\]

    \[\lim_{x \to x_0} f(x)=\ell \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\} \qquad \text{con} \qquad \ell \neq 0.\]

    \[\,\]

Allora esiste un intorno I_{x_0} di x_0 tale che la funzione f assume in I_{x_0} \cap A \setminus \{x_0\} valori di segno costante e uguale al segno di \ell.

    \[\,\]

Come abbiamo già detto, questa caratteristica è una conseguenza della proprietà di separazione: poiché \ell \neq 0, esiste un intorno J di \ell interamente costituito da valori dello stesso segno di \ell. Dato che f(x) \in J per x sufficientemente vicino a x_0, segue che f(x) ha lo stesso segno di \ell in un intorno di x_0. Se f è una funzione continua vale \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0), quindi il teorema 1 si scrive nella forma seguente.

    \[\,\]

Corollario 2 (permanenza del segno per funzioni continue). Sia f\colon  A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R} e sia x_0\in A un punto di continuità per f. Se f(x_0)>0, allora esiste un intorno I_{x_0} di x_0 tale che

    \[\,\]

    \[f(x)>0 \qquad \forall x\in I_{x_0}\cap A.\]

Vale un risultato analogo se f(x_0)<0.

    \[\,\]

Nella sezione 1 richiamiamo alcune definizioni preliminari, mentre nella sezione 2 dimostriamo il teorema 1

    \[\,\]

Definizioni preliminari

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In questa sezione richiamiamo, per comodità del lettore, alcune nozioni che sono utilizzate nell’enunciato e nella dimostrazione del teorema 1. Cominciamo con la definizione di intorno di un punto x_0 (finito o infinito); tale concetto corrisponde a un insieme che contiene x_0 “al proprio interno”.

Definizione 3  (intorni). Sia x_0 \in \mathbb{R} e sia \varepsilon>0. L’intorno I_\varepsilon(x_0) circolare} di x_0 di raggio \varepsilon è l’intervallo aperto

    \[\,\]

(1)   \begin{equation*} I_\varepsilon(x_0) \coloneqq (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon). \end{equation*}

    \[\,\]

Si definisce intorno di +\infty qualsiasi semiretta aperta (M,+\infty) con M\in \mathbb{R}. Analogamente, si definisce intorno di -\infty qualsiasi semiretta aperta (-\infty,M) con M\in \mathbb{R}.

    \[\,\]

Presentiamo ora la nozione di punto di accumulazione. Intuitivamente, un punto x_0 è di accumulazione per un insieme A se gli elementi di A appunto si “accumulano” intorno a esso.

    \[\,\]

Definizione 4  (punto di accumulazione). Sia A \subseteq \mathbb{R}. Un punto x_0 \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\} si dice di accumulazione per A se ogni intorno I di x_0 contiene almeno un punto x di A diverso da x_0.

Definizione 5  (limiti). Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia f \colon A \to \mathbb{R} e sia x_0 \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\} un punto di accumulazione per A. Si dice che f ha limite \ell \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\} se, per ogni intorno J di \ell, esiste un intorno I di x_0 tale che

(2)   \begin{equation*} f(x) \in J \qquad \forall x \in I \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

In tal caso si scrive

(3)   \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}

    \[\,\]

Ricordiamo inoltre la definizione di funzione continua in un punto. Per una trattazione approfondita, rimandiamo a [1, Funzioni continue ,sezione 2 ].

    \[\,\]

Definizione 6  (funzione continua in un punto). Sia A \subseteq \mathbb{R}. Una funzione f \colon A \to \mathbb{R} si dice continua in x_0 \in A se x_0 è un punto isolato di A oppure se

    \[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).\]

Equivalentemente, f è continua in x_0 se e solo se, per ogni \varepsilon>0, esiste \delta>0 tale che

(4)   \begin{equation*} 		|f(x)-f(x_0)|< \varepsilon 		\qquad 		\forall x \in (x_0-\delta,x_0+\delta) \cap A. 	\end{equation*}

    \[\,\]

Dimostrazione del teorema 1

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Dimostrazione. Distinguiamo diversi casi.

  • \bullet \ell \in \mathbb{R}. Poiché \ell \neq 0, l’intervallo

    (5)   \begin{equation*} \left (\ell - \frac{|\ell|}{2} , \ell + \frac{|\ell|}{2} \right ) = \begin{cases} \left (\frac{\ell}{2}, \frac{3}{2}\ell \right )								&	\text{se } \ell >0 \\[8pt] \left (\frac{3}{2}\ell, \frac{\ell}{2} \right )								&	\text{se } \ell <0 \end{cases} \end{equation*}

    è un intorno circolare 1, di \ell. Per la definizione 3 di limite esiste un intorno I di x_0 tale che

    (6)   \begin{equation*} %		f(x) \in \left (\ell - \frac{|\ell|}{2} , \ell + \frac{|\ell|}{2} \right ) \ell - \frac{|\ell|}{2} < f(x) < \ell + \frac{|\ell|}{2} 		\qquad \forall x \in A \cap I\setminus \{x_0\}, 	\end{equation*}

    si veda la figura 1 per una rappresentazione grafica. Se \ell>0, la disuguaglianza a sinistra implica f(x) > \frac{\ell}{2} >0 in A \cap I\setminus \{x_0\}. Se invece \ell<0, la disuguaglianza a destra implica f(x) < \frac{\ell}{2}<0 in A \cap I\setminus \{x_0\}.

    In entrambi i casi, f(x) assume lo stesso segno di \ell per ogni x \in A \cap I\setminus \{x_0\}.

  • \bullet \ell=+\infty. Scegliendo (M,+\infty) con M>0 come intorno di +\infty, per definizione di limite esiste un intorno I di x_0 tale che

    (7)   \begin{equation*} f(x) \in (M,+\infty) \qquad \forall x \in A \cap I \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

    Poiché M>0, f(x) assume cioè segno positivo per ogni x \in A \cap I \setminus \{x_0\}.

  • \bullet \ell=-\infty. Analogamente al caso precedente, basta scegliere (-\infty,M) come intorno di -\infty con M < 0.

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Figura 1: rappresentazione del teorema 1 nel caso x_0 \in \mathbb{R} e \ell>0. L’intervallo \left ( \frac{\ell}{2}, \frac{3}{2}\ell \right ) (in verde) contiene solo numeri positivi, dunque f(x) ha lo stesso segno di \ell per ogni x \in I  \cap A\setminus \{x_0\}. Si noti l’indipendenza di questo discorso dal valore di f(x_0), che può anche avere segno diverso.

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  1. Si noti che la scelta dell’intervallo \left (\ell - \frac{|\ell|}{2} , \ell + \frac{|\ell|}{2} \right ) non è l’unica possibile: si potrebbe fissare un qualunque intorno (\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon) di \ell, con \varepsilon>0 sufficientemente piccolo affinché (\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon) contenesse solo numeri reali aventi lo stesso segno di \ell..

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Riferimenti bibliografici

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[1] Qui Si Risolve, Funzioni continue.






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Strutture algebriche.





 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
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