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Esercizi misti limiti 17

Esercizi misti sui Limiti

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Testi degli esercizi

Esercizio 17 (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar).
Sia f: \mathbb{R}\to (0,+\infty) tale che f(0)=1. Supponiamo che f^\prime esista in un intorno di x=0 e che sia continua in x=0, si mostri che

    \[\lim_{x\to 0 }\left(f(x)\right)^{1/x}=e^{f^\prime(0)}.\]

Svolgimento.

Osserviamo che, essendo f derivabile in x =0, è a maggior ragione continua ed, essendo f(0) = 1 > 0, f è positiva in un opportuno intorno di 0. Poniamo allora g(x) = \ln f(x), e abbiamo in particolare che g(0) = 0.

    \[\begin{aligned} \lim_{x\to0}\left(f(x)\right)^{1/x} = {} & \lim_{x\to0} e^{(1/x)\ln f(x)} = \exp\left(\lim_{x\to0}\frac{\ln f(x)}{x}\right) = \\ = {} & \exp\left(\lim_{x\to0}\frac{g(x)}{x}\right) = \exp\left(\lim_{x\to0}\frac{g(x)-g(0)}{x}\right) = \\ = {} & \exp(g'(0)) = \exp\left(\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln f(x)\right|_{x=0}\right) = \exp\left(\frac{f'(0)}{f(0)}\right) = \\ = {} & e^{f'(0)}. \end{aligned}\]

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