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Esercizi misti limiti 15

Esercizi misti sui Limiti

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Testi degli esercizi

Esercizio 15  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar).
Sia f :\mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione derivabile due volte con derivata seconda continua tale che

    \[\lim_{x \to +\infty} f''(x) = 0.\]

Si provi che

    \[\lim_{n\to + \infty} (f(n+1) - 2f(n) + f(n-1)) = 0.\]

Svolgimento.

Siano A(n) =f(n+1) - f(n) e B(n) = f(n) - f(n-1), dunque vogliamo calcolare

    \[\lim_{n \to +\infty} (A(n)-B(n)).\]

Consideriamo l’intervallo [n-1,n], allora per il teorema di Lagrange esiste x_1\in (n-1,n) (si osservi che x_1 dipende da n) tale che

    \[B(n) = (n-(n-1)) \cdot f'(x_1) = f'(x_1).\]

Analogamente, considerando l’intervallo [n,n+1] si ha che esiste x_2 \in (n,n+1) (si osservi che x_2 dipende da n) tale che A(n) = f'(x_2). Poiché x_1 < x_2 ed f' è derivabile si ha che, per il teorema di Lagrange, esiste \bar{x}\in (x_1,x_2) (si osservi che \bar{x} dipende da n) tale che

    \[f'(x_2) - f'(x_1) = (x_2-x_1)\cdot f''(\bar{x}) <( (n+1)-(n-1)) \cdot f''(\bar{x}) = 2 \cdot f''(\bar{x}).\]

Si ha dunque che

    \[|A(n) - B(n) | \leq 2 |f''(\bar{x})|\]

e, poiché \bar{x}\in (n-1,n), per n\to +\infty si ha che

    \[|f''(\bar{x})| \to 0 \Longrightarrow |A(n) - B(n) | \to 0.\]

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