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Esercizi misti limiti 14

Esercizi misti sui Limiti

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Per i richiami teorici più completi si rimanda alla teoria sulle successioni.

 

 

Testi degli esercizi

Esercizio 14  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar).
Sia n\geq 1 un numero naturale e si definisca

    \[f_n(x) = x^{x^{x^{\dots^{x}}}},\]

dove il numero delle x in f_n è pari ad n (ad esempio, f_1(x) =x, f_2(x)=x^x, f_3(x)=x^{x^x}, e così via).
Si calcoli il limite

    \[\lim_{x \to 1} \dfrac{f_n(x) - f_{n-1}(x)}{(1-x)^n}.\]

Svolgimento.

Chiamiamo L_n il valore del limite cercato. Per il teorema di Lagrange, si ha che:

    \[\begin{aligned} f_n(x) - f_{n-1}(x) =& \exp(\ln f_n(x)) - \exp(\ln f_{n-1}(x) )\\ =& \exp(f_{n-1}(x) \ln x) - \exp(f_{n-2} \ln x )\\ =& (f_{n-1}(x) - f_{n-2}(x)) \cdot \ln x \cdot \exp (\Theta_n(x)), \end{aligned}\]

dove \Theta_n(x) \in (f_{n-1}(x)\ln x,f_{n-2}(x)\ln x). Segue dunque che \lim_{x\to 1} \Theta_n(x) =0, da cui

    \[L_n = \lim_{x\to 1} \dfrac{f_n(x) - f_{n-1}(x)}{(1-x)^n} = \lim_{x \to 1} \left(\dfrac{f_{n-1}(x)-f_{n-1}(x)}{(1-x)^{n-1}} \cdot \dfrac{\ln x}{1-x} \cdot \exp(\Theta_n(x))) \right) = - L_{n-1}.\]

Segue dunque, poiché

    \[L_2 = \lim_{x\to 1} \dfrac{x^x - x}{(1-x)^2} = 1,\]

che

    \[L_n = (-1)^{n-2} L_2 = (-1)^n.\]

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