Domini – Batteria 5

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Esercizio 21. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$f(x)=\dfrac{\arcsin(x^2-1)}{\sqrt{x-7}}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Soluzione.
Il dominio naturale di $f$ è dato da tutti i numeri reali che rendono l’argomento dell’arcoseno compreso tra $-1$ e $1$ e l’argomento del denominatore positivo perché essendo al denominatore è necessario che sia diverso da zero. Dunque

(1) $\begin{align*} &\begin{cases} -1\leq x^2-1\leq1\\ x-7>0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x^2-1\geq-1\\x^2-1\leq1\\x>7 \end{cases}\\ \Leftrightarrow \quad &\begin{cases} x^2\geq 0\\ x^2\leq 2\\ x>7 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \forall x \in \mathbb{R}\\ \left \vert x \right \vert \leq \sqrt{2}\\ x>7 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \forall x \in \mathbb{R}\\ -\sqrt{2}\leq x \leq \sqrt{2}\\ x>7 \end{cases} \end{align*}$

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Pertanto il dominio naturale di $f$ non è definito.

Esercizio 22. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$f(x)=\dfrac{e^x}{\cos^2(x)-\sin^2(x)+\cos^2(2x)}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Soluzione.
Riscriviamo la funzione come segue ricordando che $\cos\left(2x\right)=\cos^2\left(x\right)-\sin^2\left(x\right)$ :

(2) $\begin{equation*} f(x)=\dfrac{e^x}{\cos\left(2x\right)+\cos^2\left(2x\right)}. \end{equation*}$

Il dominio naturale di $f$ è da tutti i numeri reali che rendono il denominatore diverso da zero

(3) $\begin{equation*} \cos\left(2x\right)+\cos^2\left(2x\right) \neq 0. \end{equation*}$

Dunque

(4) $\begin{align*} \cos\left(2x\right)+\cos^2\left(2x\right) \neq 0 & \quad \Leftrightarrow \quad (\cos(2x)+1)\cos(2x)\ne0 \quad \Leftrightarrow \\ & \quad \Leftrightarrow \quad \cos(2x) \neq 0 \vee \cos(2x)+1 \neq 0\quad \Leftrightarrow \quad\\ &\quad \Leftrightarrow \quad 2x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi \vee 2x \neq \pi+2k\pi \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad x\ne\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\vee x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\quad \text{con}\,\, k\in \mathbb{Z}. \end{align*}$

Pertanto il dominio naturale di $f$ è:

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{x\in\mathbb{R}\vert x\ne\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\vee x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in \mathbb{Z} \right\}. }$

Esercizio 23. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$f(x)=\dfrac{\sqrt{(x^2-9)(x^2-4)}}{\ln(x-2)}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Soluzione.
Il dominio naturale di $f$ è dato da tutti i numeri reali che rendono l’argomento della radice maggiore non negativo, l’argomento del logaritmo positivo e il logaritmo stesso diverso da zero. Dunque

(5) $\begin{equation*} \begin{cases} (x^2-9)(x^2-4)\geq0\\ \ln(x-2)\ne0\\ x-2>0 \end{cases} \end{equation*}$

dalla (5) $_1$ ponendo maggiore uguale a zero la prima parentesi si ha

$x^2-9\geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad \left \vert x \right \vert \geq 3 \quad \Leftrightarrow \quad x \leq -3 \vee x \geq 3$

e facendo lo stesso con la seconda parentesi si ha

$x^2-4\geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad \left \vert x \right \vert \geq 2 \quad \Leftrightarrow \quad x \leq -2 \vee x \geq 2$

dalle quali viene il seguente studio del segno

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da cui concludiamo che il risultato di (5) $_1$ è:

$\{x\in\mathbb{R}:x\le -3 \, \vee \, -2\le x \le 2 \, \vee \, x \ge 3\}.$

La (5) $_2$ ha come soluzione

$\ln\left(x-2\right)\neq 0 \quad \Leftrightarrow \quad x-2\neq1 \quad \Leftrightarrow \quad x\neq3.$

La (5) $_3$ è banale e ha come soluzione

$\{x\in\mathbb{R}:x>2\}.$

Pertanto (5) diventa

$\begin{cases} x\le -3 \, \vee \, -2\le x \le 2 \, \vee \, x \ge 3\\ x \ne 3\\ x>2 \end{cases}$

da cui si osserva immediatamente che il risultato è:

$\{x\in \mathbb{R}:x>3\}.$

Pertanto il dominio naturale di $f$ è:

$\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x>3 \right\}.}$

Esercizio 24. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$f(x)=\ln\left(\dfrac{x^3+x^2-x-1}{x^2}\right)$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Soluzione.
Il dominio naturale di $f$ è dato da tutti i numeri reali che rendono l’argomento del logaritmo positivo, dunque

(6) $\begin{equation*} \dfrac{x^3+x^2-x-1}{x^2}>0. \end{equation*}$

Pertanto

$\begin{aligned} &N: x^3+x^2-x-1>0\\ &D: x^2>0 \end{aligned}$

ottenendo

$\begin{aligned} &N: (x-1)(x+1)^2>0 \quad \Leftrightarrow \quad x>1\\ &D: x^2>0 \quad \Leftrightarrow \quad \forall \, x \in \mathbb{R}\setminus\{0\} \end{aligned}$

da cui si osserva che (6) ha come risultato $x>1$ .
Nei passaggi precedenti abbiamo omesso i seguenti passaggi:

$x^3+x^2-x-1>0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2\left(x+1\right)-\left(x+1\right)>0 \quad \Leftrightarrow \quad (x^2-1)(x+1)>0 \quad \Leftrightarrow \quad (x-1)(x+1)^2>0.$

Pertanto il dominio naturale di $f$ è

$\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x > 1 \right\}.}$

Esercizio 25. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$f(x)=\sqrt{2^2x-2^5}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Soluzione.
Il dominio naturale di $f$ è dato da tutti i numeri reali che rendono l’argomento della radice non negativo.
Dunque andiamo a trovare i valori reali di $x$ tali che

$2^2x-2^5 \ge 0 \quad \Leftrightarrow \quad 2^2x \ge2^5 \quad \Leftrightarrow \quad x>8$

Pertanto il dominio naturale di $f$ è

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x>8. \right\}.}$

Fonte: Qui Si Risolve