Domini – Batteria 4

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Esercizio 16. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$f(x)=\dfrac{\ln (x+7)}{\sqrt{x-5}}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Soluzione. Il dominio naturale di $f$ è dato da tutti i numeri reali che rendono l’argomento del logaritmo maggiore di zero e anche quello della radice di indice pari maggiore di zero (non maggiore o uguale essendo a denominatore), pertanto possiamo impostare il seguente sistema

(1) $\begin{equation*} \begin{cases} x+7>0\\ x-5>0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x>-7\\ x>5. \end{cases} \end{equation*}$

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Pertanto il dominio naturale di $f$ è

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x> 5 \right\}.}$

Esercizio 17. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$f(x)=\dfrac{5x+4}{x^3+4x^2-2x-8}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Soluzione. Il dominio naturale di $f$ è dato da tutti i numeri reali che rendono il denominatore non nullo.
Dunque

$\begin{aligned} x^3+4x^2-2x-8\ne0 &\quad \Leftrightarrow \quad x^2\left(x+4\right)-2\left(x+4\right)\neq 0\quad \Leftrightarrow\\ &\quad \Leftrightarrow \quad \left(x+4\right)\left(x^2-2\right) \ne 0 \quad \Leftrightarrow \quad\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \left(x+4\right)\left(x+\sqrt{2}\right)\left(x-\sqrt{2}\right) \ne 0 \\%\quad \Leftrightarrow \quad \\ %&\quad \Leftrightarrow \quad x\in\left(-\infty,-4\right)\cup\left(-4,-\sqrt{2}\right)\cup\left(-\sqrt{2},\sqrt{2}\right)\cup\left(\sqrt{2},+\infty\right). \end{aligned}$

Pertanto il dominio naturale di $f$ è

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x \neq -4, \, x \neq \pm \sqrt{2}\right\}. }$

Esercizio 18. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$f(x)=\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-1}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Soluzione. Il dominio naturale di $f$ è dato da tutti i numeri reali che rendono l’argomento di ambo i radicali non negativo ovvero maggiore o uguale a zero.
Dunque andiamo a trovare i valori reali di $x$ tali che

$\begin{cases} x+4\ge0\\ x^2-1\ge0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x\ge-4\\ \left \vert x \right \vert \geq 1. \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x\ge-4\\ x\leq-1 \lor x\ge1 \end{cases}$

da cui

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Pertanto il dominio naturale di $f$ è

$\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, -4\leq x\leq-1 \lor x\ge1 \right\}.}$

Esercizio 19. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$f(x)=\ln(\ln(x-7))$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Soluzione. Notiamo che $f$ è definita se e solo se gli argomenti dei logaritmi sono maggiori di zero

(2) $\begin{equation*} \begin{cases} x-7>0\\ \ln(x-7)>0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x>7\\ x>8. \end{cases} \end{equation*}$

Dalla (2) si ottiene: $x\in\left(8,+\infty\right)$ .
da cui

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Pertanto il dominio naturale di $f$ è

$\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x > 8 \right\}.}$

Esercizio 20. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$f(x)=\dfrac{1}{\ln(x-4)}+\sqrt{x^2-121}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Soluzione.
Il dominio naturale di $f$ è dato da tutti i numeri reali che rendono l’argomento del logaritmo positivo, il logaritmo a denominatore diverso da zero e l’argomento della radice non negativo.
Dunque andiamo a trovare i valori reali di $x$ tali che

(3) $\begin{equation*} \begin{cases} x-4>0\\ \ln(x-4) \ne 0\\ x^2-121 \geq 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x>4\\ \ln(x-4) \ne \ln 1\\ \left \vert x \right \vert \geq 11 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x>4\\ x\neq 5\\ x\leq -11 \vee x \geq 11 \end{cases} \end{equation*}$

da cui

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Pertanto il dominio naturale di $f$ è

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x \ge 11\right\}.}$

Fonte: Qui Si Risolve