Domini – Batteria 4

Dominio di una funzione

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Esercizio 16. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia la funzione f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} tale che

    \[f(x)=\dfrac{\ln (x+7)}{\sqrt{x-5}}\]

dove \mathcal{D} è il dominio naturale della funzione. Si determini \mathcal{D}.

 

Soluzione. Il dominio naturale di f è dato da tutti i numeri reali che rendono l’argomento del logaritmo maggiore di zero e anche quello della radice di indice pari maggiore di zero (non maggiore o uguale essendo a denominatore), pertanto possiamo impostare il seguente sistema

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} x+7>0\\ x-5>0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x>-7\\ x>5. \end{cases} \end{equation*}

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Pertanto il dominio naturale di f è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x> 5 \right\}.}\]

 

Esercizio 17. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia la funzione f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} tale che

    \[f(x)=\dfrac{5x+4}{x^3+4x^2-2x-8}\]

dove \mathcal{D} è il dominio naturale della funzione. Si determini \mathcal{D}.

 

Soluzione. Il dominio naturale di f è dato da tutti i numeri reali che rendono il denominatore non nullo.
Dunque

    \[\begin{aligned} x^3+4x^2-2x-8\ne0 &\quad \Leftrightarrow \quad x^2\left(x+4\right)-2\left(x+4\right)\neq 0\quad \Leftrightarrow\\ &\quad \Leftrightarrow \quad \left(x+4\right)\left(x^2-2\right) \ne 0 \quad \Leftrightarrow \quad\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \left(x+4\right)\left(x+\sqrt{2}\right)\left(x-\sqrt{2}\right) \ne 0 \\%\quad \Leftrightarrow \quad \\ %&\quad \Leftrightarrow \quad x\in\left(-\infty,-4\right)\cup\left(-4,-\sqrt{2}\right)\cup\left(-\sqrt{2},\sqrt{2}\right)\cup\left(\sqrt{2},+\infty\right). \end{aligned}\]

Pertanto il dominio naturale di f è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x \neq -4, \, x \neq \pm \sqrt{2}\right\}. }\]

 

Esercizio 18. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia la funzione f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} tale che

    \[f(x)=\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-1}\]

dove \mathcal{D} è il dominio naturale della funzione. Si determini \mathcal{D}.

 

Soluzione. Il dominio naturale di f è dato da tutti i numeri reali che rendono l’argomento di ambo i radicali non negativo ovvero maggiore o uguale a zero.
Dunque andiamo a trovare i valori reali di x tali che

    \[\begin{cases} x+4\ge0\\ x^2-1\ge0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x\ge-4\\ \left \vert x \right \vert \geq 1. \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x\ge-4\\ x\leq-1 \lor x\ge1 \end{cases}\]

da cui

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Pertanto il dominio naturale di f è

    \[\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, -4\leq x\leq-1 \lor x\ge1 \right\}.}\]

 

Esercizio 19. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia la funzione f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} tale che

    \[f(x)=\ln(\ln(x-7))\]

dove \mathcal{D} è il dominio naturale della funzione. Si determini \mathcal{D}.

 

Soluzione. Notiamo che f è definita se e solo se gli argomenti dei logaritmi sono maggiori di zero

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} x-7>0\\ \ln(x-7)>0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x>7\\ x>8. \end{cases} \end{equation*}

Dalla (2) si ottiene: x\in\left(8,+\infty\right).
da cui

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Pertanto il dominio naturale di f è

    \[\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x > 8 \right\}.}\]

 

Esercizio 20. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia la funzione f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} tale che

    \[f(x)=\dfrac{1}{\ln(x-4)}+\sqrt{x^2-121}\]

dove \mathcal{D} è il dominio naturale della funzione. Si determini \mathcal{D}.

 

Soluzione.
Il dominio naturale di f è dato da tutti i numeri reali che rendono l’argomento del logaritmo positivo, il logaritmo a denominatore diverso da zero e l’argomento della radice non negativo.
Dunque andiamo a trovare i valori reali di x tali che

(3)   \begin{equation*} \begin{cases} x-4>0\\ \ln(x-4) \ne 0\\ x^2-121 \geq 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x>4\\ \ln(x-4) \ne \ln 1\\ \left \vert x \right \vert \geq 11 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x>4\\ x\neq 5\\ x\leq -11 \vee x \geq 11 \end{cases} \end{equation*}

da cui

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Pertanto il dominio naturale di f è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x \ge 11\right\}.}\]

 


Fonte: Qui Si Risolve