Domini – Batteria 3

Dominio di una funzione

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Esercizio 11.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia la funzione f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} tale che

    \[f(x)=\dfrac{3x^2-2}{\vert x+1 \vert -5}\]

dove \mathcal{D} è il dominio naturale della funzione. Si determini \mathcal{D}.

 

Soluzione. Il dominio naturale di f è dato da tutti i numeri reali eccetto quelli che annullano il denominatore.
Dunque andiamo a trovare i numeri reali che annullano il denominatore

    \[\vert x+1 \vert -5 \quad \Leftrightarrow \quad \vert x+1 \vert = 5 \quad \Leftrightarrow \quad x = 4 \, \vee \, x = -6\]

Pertanto il dominio naturale di f è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x \neq 4 \, \vee \, x \neq -6\right\}.}\]

 

Esercizio 12.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia la funzione f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} tale che

    \[f(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-5}\]

dove \mathcal{D} è il dominio naturale della funzione. Si determini \mathcal{D}.

 

Soluzione. Il dominio naturale di f è dato da tutti i numeri reali che rendono entrambi i radicandi non negativi.
Dunque abbiamo

    \[\begin{cases} x+1\ge0\\ x^2-5\ge0\\ \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x\ge -1\\ x \le - \sqrt{5} \, \vee \, x \ge \sqrt{5} \end{cases}\]

che ha soluzione

    \[x \ge \sqrt{5}\]

Pertanto il dominio naturale di f è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x \ge \sqrt{5} \right\}. }\]

 

Esercizio 13.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia la funzione f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} tale che

    \[f(x)=\sqrt[5]{\dfrac{x^2-1}{x^2-4x+3}}\]

dove \mathcal{D} è il dominio naturale della funzione. Si determini \mathcal{D}.

 

Soluzione. Dato che f è una funzione algebrica irrazionale fratta con indice della radice dispari, il dominio naturale di f è dato da tutti i numeri reali eccetto quelli che rendono il denominatore nullo.
Dunque andiamo a trovare i valori reali di x che annullano il denominatore

    \[x^2-4x+3 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x_{1,2} = \dfrac{4 \pm 2}{2} \quad \Leftrightarrow \quad x_1 = 3 \, \vee \, x_2 = 1\]

Pertanto il dominio naturale di f è

    \[\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x \neq 3 \, \vee \, x \neq 1 \right\}.}\]

 

Esercizio 14.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia la funzione f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} tale che

    \[f(x)=\dfrac{x^2+5}{x^2+x-6}\]

dove \mathcal{D} è il dominio naturale della funzione. Si determini \mathcal{D}.

 

Soluzione. Il dominio naturale di f è dato da tutti i numeri reali eccetto quelli che rendono il denominatore nullo.
Dunque andiamo a trovare i valori reali di x che annullano il denominatore

    \[x^2+x-6 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x_{1,2} = \dfrac{-1 \pm 5}{2} \quad \Leftrightarrow \quad x_1 = -3 \, \vee \, x_2 = 2\]

Pertanto il dominio naturale di f è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x \neq -3 \, \vee \, x \neq 2 \right\}.}\]

 

Esercizio 15.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia la funzione f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} tale che

    \[f(x)=\dfrac{\ln\left(e^x-1\right)}{\vert x - 1 \vert}\]

dove \mathcal{D} è il dominio naturale della funzione. Si determini \mathcal{D}.

 

Soluzione. Il dominio naturale di f è dato da tutti i numeri reali che rendono l’argomento del logaritmo positivo e il denominatore non nullo.
Dunque abbiamo

    \[\begin{cases} e^x-1>0\\ \vert x -1 \vert \neq 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} e^x>1\\ x -1 \neq 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} e^x>e^0\\ x \neq 1 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x>0\\ x \neq 1 \end{cases}\]

che ha soluzione

    \[x>0 \mbox{ con } x \neq 1\]

Pertanto il dominio naturale di f è

    \[\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x>0 \mbox{ con } x \neq 1 \right\} .}\]

 


Fonte: Qui Si Risolve