Dominio di una funzione

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In questo articolo presentiamo 5 esercizi sulla determinazione dell’insieme di definizione (o “dominio”) di una funzione definita da un’espressione. Gli esercizi sono completamente risolti, al fine di consentire una comprensione completa dell’argomento nei suoi dettagli. Segnaliamo anche la precedente raccolta Dominio di una funzione – Esercizi 5 per ulteriore materiale sull’argomento del dominio di una funzione.

Ricordiamo che, oltre all’esauriente lista presente alla fine dell’articolo, è possibile consultare il seguente materiale teorico di riferimento:

Buona lettura!

Esercizio 26 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$f(x)=\dfrac{\ln(e^x-1)}{\vert x-1 \vert}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Svolgimento.

Il dominio naturale di $f$ è dato da tutti i numeri reali che rendono l’argomento del logaritmo positivo e il denominatore diverso da zero, dunque impostiamo il seguente sistema

$\begin{cases} e^x-1>0\\ \vert x-1 \vert \neq 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x> 0\\ x \neq 1 \end{cases}$

Pertanto il dominio naturale di $f$ è

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{x\in\mathbb{R}\vert \; x>0 \, \wedge \, x \neq 1\right\} .}$

Esercizio 27 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$f(x)=\dfrac{7x}{\sqrt[8]{x^3-2x}}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Svolgimento.

Il dominio naturale di $f$ è dato da tutti i numeri reali che rendono l’argomento della radice positivo[1]. quindi

$x^3-2x>0 \quad \Leftrightarrow \quad x(x^2-2) >0\quad \Leftrightarrow \quad x(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})>0$

da cui

$\begin{aligned} &x>0\\& x>\sqrt{2}\\ &x>-\sqrt{2} \end{aligned}$

e facendo lo studio del segno abbiamo

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Pertanto il dominio naturale di $f$ è:

$\boxcolorato{analisi}{\text{Dom}f=\left\{x\in\mathbb{R}\vert \; -\sqrt{2}<x<0 \; \vee \; x>\sqrt{2} \right\} .}$

1. Non richiediamo che sia non negativo ma positivo perché la radice si trova a denominatore e quindi escludiamo i valori che rendono nullo il radicale. ↩

Esercizio 28 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$
Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$f(x)=\sqrt{\ln(x^2-4)} + \arcsin(x)$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

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