Domini – Batteria 6

Dominio di una funzione

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Esercizio 26.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia la funzione f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} tale che

    \[f(x)=\dfrac{\ln(e^x-1)}{\vert x-1 \vert}\]

dove \mathcal{D} è il dominio naturale della funzione. Si determini \mathcal{D}.

 

Soluzione.Il dominio naturale di f è dato da tutti i numeri reali che rendono l’argomento del logaritmo positivo e il denominatore diverso da zero, dunque impostiamo il seguente sistema

    \[\begin{cases} e^x-1>0\\ \vert x-1 \vert \neq 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x> 0\\ x \neq 1 \end{cases}\]

Pertanto il dominio naturale di f è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{x\in\mathbb{R}\vert \; x>0 \, \wedge \, x \neq 1\right\} .}\]

 

Esercizio 27.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia la funzione f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} tale che

    \[f(x)=\dfrac{7x}{\sqrt[8]{x^3-2x}}\]

dove \mathcal{D} è il dominio naturale della funzione. Si determini \mathcal{D}.

 

Soluzione. Il dominio naturale di f è dato da tutti i numeri reali che rendono l’argomento della radice positivo[1]. quindi

    \[x^3-2x>0 \quad \Leftrightarrow \quad x(x^2-2) >0\quad \Leftrightarrow \quad x(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})>0\]

da cui

    \[\begin{aligned} &x>0\\& x>\sqrt{2}\\ &x>-\sqrt{2} \end{aligned}\]

e facendo lo studio del segno abbiamo

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Pertanto il dominio naturale di f è:

    \[\boxcolorato{analisi}{\text{Dom}f=\left\{x\in\mathbb{R}\vert \; -\sqrt{2}<x<0 \; \vee \; x>\sqrt{2} \right\} .}\]

 

1. Non richiediamo che sia non negativo ma positivo perché la radice si trova a denominatore e quindi escludiamo i valori che rendono nullo il radicale.

 

 

 

Esercizio 28.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)
Sia la funzione f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} tale che

    \[f(x)=\sqrt{\ln(x^2-4)} + \arcsin(x)\]

dove \mathcal{D} è il dominio naturale della funzione.\\ Si determini \mathcal{D}.

 

Soluzione. Il dominio naturale di f è dato da tutti i numeri reali che rendono l’argomento della radice maggiore non negativo, l’argomento del logaritmo positivo e l’argomento dell’arcoseno compreso tra -1 e 1. Dunque

    \[\begin{aligned} \begin{cases} \ln(x^2-4) \ge 0\\ x^2-4 > 0\\ -1\le x \le 1 \end{cases} & \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x^2\ge 5\\ x<-2 \, \vee \, x>2 \\-1\le x \le 1 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x<-\sqrt{5} \, \vee \, x>\sqrt{5} \\ x<-2 \, \vee \, x>2 \\-1\le x \le 1 \end{cases} \end{aligned}\]

da cui è evidente che non ci sono intervalli nei quali le richieste sono verificate:

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Pertanto il dominio naturale di f non è definito.

 

Esercizio 29.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia la funzione f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} tale che

    \[f(x)=\dfrac{\tan(x)}{\tan^2(x)-1}\]

dove \mathcal{D} è il dominio naturale della funzione.\\ Si determini \mathcal{D}.

 

Soluzione. Il dominio naturale di f è dato da tutti i numeri reali che rendono l’argomento della tangente diverso da \pi/2 +k\pi con k\in\mathbb{Z} e il denominatore diverso da zero

    \[\begin{aligned} \begin{cases} x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\\\\ \tan^2(x)-1\ne0 \end{cases} & \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\\\\ \tan^2(x)\ne1 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\\ \\ \tan(x)\ne \pm 1 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad\\\\ &\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\\ \\ x\ne\dfrac{\pi}{4}+k\pi \end{cases} \end{aligned}\]

Pertanto il dominio naturale di f è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x \neq \dfrac{\pi}{4}+k\pi, \; x \neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi, \; k \in \mathbb{Z} \right\}.}\]

 

Esercizio 30.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia la funzione f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} tale che

    \[f(x)=\dfrac{1}{\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\sin(x)}\]

dove \mathcal{D} è il dominio naturale della funzione.\Si determini \mathcal{D}.

 

Soluzione. Il dominio naturale di f è dato da tutti i numeri reali che rendono il denominatore diverso da zero.
Dunque andiamo a trovare i valori reali di x tali che [2]

    \[\begin{aligned} &\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\sin(x)\ne0 \quad \Leftrightarrow \quad -\sin^2(x)\ne0 \quad \Leftrightarrow \quad \\ &\Leftrightarrow \quad\left \vert \sin(x)\right \vert \ne0 \quad \Leftrightarrow \quad x\ne k\pi,k\in\mathbb{Z} \end{aligned}\]

Pertanto il dominio naturale di f è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x \neq k\pi, \; k\ \in \mathbb{Z}\right\}.}\]

 

 

2. Il lettore è invitato a osservare che \cos\left(x+\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x per gli archi associati.

 

 

Fonte: Qui Si Risolve