Dimostrazione coefficiente angolare rette perpendicolari

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Quesito teorico 1. $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Presa una retta $r$ di equazione $y=mx+q$ , con $m\neq0$ , dimostrare che ogni retta $s$ perpendicolare ad $r$ ha coefficiente angolare dato da:

(1) $\begin{equation*} m^\prime=-\dfrac{1}{m}. \end{equation*}$

Svolgimento. Questo procedimento è stato proposto dal membro della pagina Davide Wilkinson, che ringraziamo sentitamente.
Consideriamo lo spazio $\mathbb{R}^2$ con prodotto scalare canonico $\langle(x_1,y_1),(x_2,y_2) \rangle =x_1,x_2+y_1y_2$ , e prendiamo due rette ortogonali $r$ ed $s$ (non parallele agli assi coordinati). Senza perdita di generalità possiamo assumere che entrambe passino per l’origine, e che abbiano equazione $y=mx$ ed $y=m^\prime x$ , rispettivamente. Due vettori $v$ e $w$ sono ortogonali se $\langle v_1,v_2 \rangle=0$ . Prendiamo $v\in r,\,w\in s$ , per esempio:

$\begin{aligned} &v=(1,m);\\ &w=(1,m^\prime). \end{aligned}$

Dalla condizione di ortogonalità $\langle v_1,v_2 \rangle=0$ , si ha quindi:

(2) $\begin{equation*} \langle (1,m),(1,m^\prime) \rangle =1+mm^\prime=0\Rightarrow m^\prime=-\dfrac{1}{m}, \end{equation*}$

che è la (1).
Nota. A livello di definizione, questo procedimento potrebbe essere percorso a ritroso. Sapendo che due rette ortogonali hanno coefficienti angolari legati da (1), si deduce che il prodotto scalare di vettori appartenenti a queste rette è nullo: se $m=-1/m^1\prime$ , allora $v,w=0$ . Questa è in effetti la motivazione che porta alla definizione astratta di ortogonalità tra vettori in uno spazio con prodotto scalare (cioè che $v\perp w$ se $\langle v,w \rangle=0$ ).

Osservazione conclusiva. La relazione tra i due coefficienti angolari $m^\prime=-1/m$ non vale se le rette $r$ ed $s$ sono parallele agli assi coordinati, in quanto una delle due rette non è rappresentabile in forma esplicita $y=f(x)$ . Se si usano invece le equazioni delle due rette in forma implicita:

$\begin{aligned} &r:\, ax+by+c=0;\\ &s:\,a^\prime x+b^\prime y+c^\prime=0 \end{aligned}$

Si può in questo caso ricavare la relazione più generale (valida quando $s$ ed $r$ sono rette perpendicolari qualsiasi):

(3) $\begin{equation*} aa^\prime+bb^\prime=0. \end{equation*}$

La dimostrazione è lasciata come esercizio.

Ulteriori dimostrazioni. Per ulteriori dimostrazioni cliccare ai link sotto riportati:

1) dimostrazione con la geometria analitica clicca qui ;

2) dimostrazione trigonometria clicca qui ;

3) dimostrazione geometrica clicca qui .