Quesito teorico 1. Presa una retta
di equazione
, con
, dimostrare che ogni retta
perpendicolare ad
ha coefficiente angolare dato da:
(1)
Svolgimento. Questo procedimento è stato proposto dal membro della pagina Davide Wilkinson, che ringraziamo sentitamente.
Consideriamo lo spazio con prodotto scalare canonico
, e prendiamo due rette ortogonali
ed
(non parallele agli assi coordinati). Senza perdita di generalità possiamo assumere che entrambe passino per l’origine, e che abbiano equazione
ed
, rispettivamente. Due vettori
e
sono ortogonali se
. Prendiamo
, per esempio:
Dalla condizione di ortogonalità , si ha quindi:
(2)
che è la (1).
Nota. A livello di definizione, questo procedimento potrebbe essere percorso a ritroso. Sapendo che due rette ortogonali hanno coefficienti angolari legati da (1), si deduce che il prodotto scalare di vettori appartenenti a queste rette è nullo: se , allora
. Questa è in effetti la motivazione che porta alla definizione astratta di ortogonalità tra vettori in uno spazio con prodotto scalare (cioè che
se
).
Osservazione conclusiva. La relazione tra i due coefficienti angolari non vale se le rette
ed
sono parallele agli assi coordinati, in quanto una delle due rette non è rappresentabile in forma esplicita
. Se si usano invece le equazioni delle due rette in forma implicita:
Si può in questo caso ricavare la relazione più generale (valida quando ed
sono rette perpendicolari qualsiasi):
(3)
La dimostrazione è lasciata come esercizio.
Ulteriori dimostrazioni. Per ulteriori dimostrazioni cliccare ai link sotto riportati:
1) dimostrazione con la geometria analitica clicca qui ;
2) dimostrazione trigonometria clicca qui ;
3) dimostrazione geometrica clicca qui .