Dimostrazione coefficiente angolare rette perpendicolari

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Quesito teorico 1.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Presa una retta r di equazione y=mx+q, con m\neq0, dimostrare che ogni retta s perpendicolare ad r ha coefficiente angolare dato da:

(1)   \begin{equation*} m^\prime=-\dfrac{1}{m}. \end{equation*}

 

Svolgimento.  Questo procedimento è stato proposto dal membro della pagina Davide Wilkinson, che ringraziamo sentitamente.
Consideriamo lo spazio \mathbb{R}^2 con prodotto scalare canonico \langle(x_1,y_1),(x_2,y_2) \rangle =x_1,x_2+y_1y_2, e prendiamo due rette ortogonali r ed s (non parallele agli assi coordinati). Senza perdita di generalità possiamo assumere che entrambe passino per l’origine, e che abbiano equazione y=mx ed y=m^\prime x, rispettivamente. Due vettori v e w sono ortogonali se \langle v_1,v_2 \rangle=0. Prendiamo v\in r,\,w\in s, per esempio:

    \[\begin{aligned} &v=(1,m);\\ &w=(1,m^\prime). \end{aligned}\]

Dalla condizione di ortogonalità \langle v_1,v_2 \rangle=0, si ha quindi:

(2)   \begin{equation*} \langle (1,m),(1,m^\prime) \rangle =1+mm^\prime=0\Rightarrow m^\prime=-\dfrac{1}{m}, \end{equation*}

che è la (1).
Nota. A livello di definizione, questo procedimento potrebbe essere percorso a ritroso. Sapendo che due rette ortogonali hanno coefficienti angolari legati da (1), si deduce che il prodotto scalare di vettori appartenenti a queste rette è nullo: se m=-1/m^1\prime, allora v,w=0. Questa è in effetti la motivazione che porta alla definizione astratta di ortogonalità tra vettori in uno spazio con prodotto scalare (cioè che v\perp w se \langle v,w \rangle=0).

 

 

 

Osservazione conclusiva. La relazione tra i due coefficienti angolari m^\prime=-1/m non vale se le rette r ed s sono parallele agli assi coordinati, in quanto una delle due rette non è rappresentabile in forma esplicita y=f(x). Se si usano invece le equazioni delle due rette in forma implicita:

    \[\begin{aligned} &r:\, ax+by+c=0;\\ &s:\,a^\prime x+b^\prime y+c^\prime=0 \end{aligned}\]

Si può in questo caso ricavare la relazione più generale (valida quando s ed r sono rette perpendicolari qualsiasi):

(3)   \begin{equation*} aa^\prime+bb^\prime=0. \end{equation*}

La dimostrazione è lasciata come esercizio.

 

 

Ulteriori dimostrazioni.  Per ulteriori dimostrazioni cliccare ai link sotto riportati:

1) dimostrazione con la geometria analitica clicca qui ;

2) dimostrazione trigonometria clicca qui ;

3) dimostrazione geometrica clicca qui .