Quesito teorico 1 ripasso goniometria e trigonometria – Calcolo del coefficiente angolare di due rette perpendicolari con la trigonometria

Ripasso goniometria e trigonometria

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Quesito teorico 1   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Presa una retta r di equazione y=mx+q, con m\neq0, dimostrare che ogni retta s perpendicolare ad r ha coefficiente angolare dato da:

(1)   \begin{equation*} m^\prime=-\dfrac{1}{m}. \end{equation*}

 

Svolgimento. Ricordiamo che il coefficiente angolare di una retta è dato dalla tangente dell’angolo compreso tra la retta e l’asse delle ascisse. Con riferimento alla figura, i coefficienti m ed m^\prime delle rette r ed s sono dati da:

(2)   \begin{equation*} r:\, m=\tan\left(\widehat{AOB} \right); \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} s:\,m^\prime=\tan\left(\widehat{COB}\right). \end{equation*}

Usando la formula di addizione di seno e coseno, troviamo:

(4)   \begin{equation*} \begin{aligned} \tan\left(\widehat{COB}\right)&=\tan \left(\widehat{AOB}+90^o\right)=\dfrac{\sin\left(\widehat{AOB}+90^o\right)}{\cos\left(\widehat{AOB}+90^o\right)}=\\ &=\dfrac{\sin\left(\widehat{AOB}\right)\cos(90^o)+\cos\left(\widehat{AOB}\right)\sin(90^o)}{\cos\left(\widehat{AOB}\right)\cos(90^o)-\sin\left(\widehat{AOB}\right)\sin(90^o)}=\\ &=\dfrac{\cos \left(\widehat{AOB}\right)}{-\sin\left(\widehat{AOB}\right)}=-\dfrac{1}{\tan\left(\widehat{AOB}\right)}. \end{aligned} \end{equation*}

Riprendendo la (2) e la (3), si ritrova la (1):

(5)   \begin{equation*} m^\prime=-\dfrac{1}{m}. \end{equation*}

Osservazione conclusiva. La relazione tra i due coefficienti angolari m^\prime=-1/m non vale se le rette r ed s sono parallele agli assi coordinati, in quanto una delle due rette non è rappresentabile in forma esplicita y=f(x). Se si usano invece le equazioni delle due rette in forma implicita:

    \[\begin{aligned} &r:\, ax+by+c=0;\\ &s:\,a^\prime x+b^\prime y+c^\prime=0 \end{aligned}\]

Si può in questo caso ricavare la relazione più generale (valida quando s ed r sono rette perpendicolari qualsiasi):

(6)   \begin{equation*} aa^\prime+bb^\prime=0. \end{equation*}

La dimostrazione è lasciata come esercizio.

 

Ulteriori dimostrazioni.  Per ulteriori dimostrazioni cliccare ai link sotto riportati:

1) dimostrazione con la geometria analitica clicca qui ;

2) dimostrazione geometrica clicca qui ;

3) dimostrazione algebrica clicca qui