Quesito teorico 1 ripasso algebra biennio liceo – Calcolo del calcolo del coefficiente angolare di due rette perpendicolari

Ripasso algebra biennio liceo

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Quesito teorico 1.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Presa una retta r di equazione y=mx+q, con m\neq0, dimostrare che ogni retta s perpendicolare ad r ha coefficiente angolare dato da:

(1)   \begin{equation*} m^\prime=-\dfrac{1}{m}. \end{equation*}

 

Svolgimento. Si segua la figura per riferimento. Consideriamo una retta r e costruiamo una sua perpendicolare s (cioè sia \widehat{COA}=90^o). Scegliendo l’origine O coincidente con l’intersezione di r ed s, otteniamo senza perdita di generalità che le intercette nelle equazioni delle due rette sono nulle. Siano dunque y=mx ed y=m^\prime x le equazioni di r ed s, rispettivamente (con m\neq0 per ipotesi). Scegliamo poi un punto A\neq O arbitrario sulla retta r e consideriamo la sua proiezione B sull’asse delle ascisse.

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Ricordiamo che il coefficiente angolare di una retta è dato dal rapporto tra la variazione della variabile dipendente e la variazione della variabile indipendente, entrambe prese con segno:

(2)   \begin{equation*} m=\dfrac{y_A-y_O}{x_A-x_O}=\dfrac{\overline{BA}}{\overline{OB}}. \end{equation*}

Costruiamo ora il segmento OC sulla retta s, di lunghezza \overline{OC}=\overline{AO} e la sua proiezione D sull’asse delle ascisse. Dato che il triangolo OBA è rettangolo, vale:

(3)   \begin{equation*} \widehat{BAO}+\widehat{AOB}=90^o\Rightarrow \widehat{BAO}=90^o-\widehat{AOB}. \end{equation*}

Inoltre, considerando l’angolo piatto \widehat{DOB}, e ricordando che \widehat{COA}=90^o, si ha:

(4)   \begin{equation*} \widehat{DOC}+\widehat{COA}+\widehat{AOB}=180^o\Rightarrow \widehat{DOC}=90^o-\widehat{AOB}. \end{equation*}

Confrontando la (3) e la (4), si vede che \widehat{BAO}=\widehat{DOC}. Avendo inoltre un lato congruente (\bar{AO}=\bar{OC}), i due triangoli rettangoli OBA e OCD risultano congruenti per il secondo criterio di congruenza tra triangoli.
Possiamo finalmente calcolare il coefficiente angolare della retta s. Tenendo conto della (2), si ha la (1):

(5)   \begin{equation*} m^\prime=\dfrac{y_C-y_O}{x_C-x_O}=\dfrac{\overline{CD}}{-\overline{DO}}=\dfrac{\overline{OB}}{-\overline{BA}}=-\dfrac{1}{m}. \end{equation*}

 

 

Osservazione conclusiva. La relazione tra i due coefficienti angolari m^\prime=-1/m non vale se le rette r ed s sono parallele agli assi coordinati, in quanto una delle due rette non è rappresentabile in forma esplicita y=f(x). Se si usano invece le equazioni delle due rette in forma implicita:

    \[\begin{aligned} &r:\, ax+by+c=0;\\ &s:\,a^\prime x+b^\prime y+c^\prime=0 \end{aligned}\]

Si può in questo caso ricavare la relazione più generale (valida quando s ed r sono rette perpendicolari qualsiasi):

(6)   \begin{equation*} aa^\prime+bb^\prime=0. \end{equation*}

La dimostrazione è lasciata come esercizio.

 

Ulteriori dimostrazioni.  Per ulteriori dimostrazioni cliccare ai link sotto riportati:

1) dimostrazione con la geometria analitica clicca qui ;

2) dimostrazione trigonometria clicca qui

3) dimostrazione algebrica clicca qui .