Quesito teorico 1 ripasso algebra biennio liceo – Calcolo del calcolo del coefficiente angolare di due rette perpendicolari

Ripasso algebra biennio liceo

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Quesito teorico 1. $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Presa una retta $r$ di equazione $y=mx+q$ , con $m\neq0$ , dimostrare che ogni retta $s$ perpendicolare ad $r$ ha coefficiente angolare dato da:

(1) $\begin{equation*} m^\prime=-\dfrac{1}{m}. \end{equation*}$

Svolgimento. Si segua la figura per riferimento. Consideriamo una retta $r$ e costruiamo una sua perpendicolare $s$ (cioè sia $\widehat{COA}=90^o$ ). Scegliendo l’origine $O$ coincidente con l’intersezione di $r$ ed $s$ , otteniamo senza perdita di generalità che le intercette nelle equazioni delle due rette sono nulle. Siano dunque $y=mx$ ed $y=m^\prime x$ le equazioni di $r$ ed $s$ , rispettivamente (con $m\neq0$ per ipotesi). Scegliamo poi un punto $A\neq O$ arbitrario sulla retta $r$ e consideriamo la sua proiezione $B$ sull’asse delle ascisse.

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Ricordiamo che il coefficiente angolare di una retta è dato dal rapporto tra la variazione della variabile dipendente e la variazione della variabile indipendente, entrambe prese con segno:

(2) $\begin{equation*} m=\dfrac{y_A-y_O}{x_A-x_O}=\dfrac{\overline{BA}}{\overline{OB}}. \end{equation*}$

Costruiamo ora il segmento $OC$ sulla retta $s$ , di lunghezza $\overline{OC}=\overline{AO}$ e la sua proiezione $D$ sull’asse delle ascisse. Dato che il triangolo $OBA$ è rettangolo, vale:

(3) $\begin{equation*} \widehat{BAO}+\widehat{AOB}=90^o\Rightarrow \widehat{BAO}=90^o-\widehat{AOB}. \end{equation*}$

Inoltre, considerando l’angolo piatto $\widehat{DOB}$ , e ricordando che $\widehat{COA}=90^o$ , si ha:

(4) $\begin{equation*} \widehat{DOC}+\widehat{COA}+\widehat{AOB}=180^o\Rightarrow \widehat{DOC}=90^o-\widehat{AOB}. \end{equation*}$

Confrontando la (3) e la (4), si vede che $\widehat{BAO}=\widehat{DOC}$ . Avendo inoltre un lato congruente $(\bar{AO}=\bar{OC})$ , i due triangoli rettangoli $OBA$ e $OCD$ risultano congruenti per il secondo criterio di congruenza tra triangoli.
Possiamo finalmente calcolare il coefficiente angolare della retta $s$ . Tenendo conto della (2), si ha la (1):

(5) $\begin{equation*} m^\prime=\dfrac{y_C-y_O}{x_C-x_O}=\dfrac{\overline{CD}}{-\overline{DO}}=\dfrac{\overline{OB}}{-\overline{BA}}=-\dfrac{1}{m}. \end{equation*}$

Osservazione conclusiva. La relazione tra i due coefficienti angolari $m^\prime=-1/m$ non vale se le rette $r$ ed $s$ sono parallele agli assi coordinati, in quanto una delle due rette non è rappresentabile in forma esplicita $y=f(x)$ . Se si usano invece le equazioni delle due rette in forma implicita:

$\begin{aligned} &r:\, ax+by+c=0;\\ &s:\,a^\prime x+b^\prime y+c^\prime=0 \end{aligned}$

Si può in questo caso ricavare la relazione più generale (valida quando $s$ ed $r$ sono rette perpendicolari qualsiasi):

(6) $\begin{equation*} aa^\prime+bb^\prime=0. \end{equation*}$

La dimostrazione è lasciata come esercizio.

Ulteriori dimostrazioni. Per ulteriori dimostrazioni cliccare ai link sotto riportati:

1) dimostrazione con la geometria analitica clicca qui ;

2) dimostrazione trigonometria clicca qui

3) dimostrazione algebrica clicca qui .