Quesito teorico 1 ripasso algebra biennio liceo – Calcolo del calcolo del coefficiente angolare di due rette perpendicolari

Svolgimento. Si segua la figura per riferimento. Consideriamo una retta e costruiamo una sua perpendicolare (cioè sia ). Scegliendo l’origine coincidente con l’intersezione di ed , otteniamo senza perdita di generalità che le intercette nelle equazioni delle due rette sono nulle. Siano dunque ed le equazioni di ed , rispettivamente (con per ipotesi). Scegliamo poi un punto arbitrario sulla retta e consideriamo la sua proiezione sull’asse delle ascisse.

Ricordiamo che il coefficiente angolare di una retta è dato dal rapporto tra la variazione della variabile dipendente e la variazione della variabile indipendente, entrambe prese con segno:

(2)  

Costruiamo ora il segmento sulla retta , di lunghezza e la sua proiezione sull’asse delle ascisse. Dato che il triangolo è rettangolo, vale:

(3)  

Inoltre, considerando l’angolo piatto , e ricordando che , si ha:

(4)  

Confrontando la (3) e la (4), si vede che . Avendo inoltre un lato congruente , i due triangoli rettangoli e risultano congruenti per il secondo criterio di congruenza tra triangoli.
Possiamo finalmente calcolare il coefficiente angolare della retta . Tenendo conto della (2), si ha la (1):

(5)  

Osservazione conclusiva. La relazione tra i due coefficienti angolari non vale se le rette ed sono parallele agli assi coordinati, in quanto una delle due rette non è rappresentabile in forma esplicita . Se si usano invece le equazioni delle due rette in forma implicita:

Si può in questo caso ricavare la relazione più generale (valida quando ed sono rette perpendicolari qualsiasi):

(6)  

La dimostrazione è lasciata come esercizio.

Ulteriori dimostrazioni.  Per ulteriori dimostrazioni cliccare ai link sotto riportati:

1) dimostrazione con la geometria analitica clicca qui ;

2) dimostrazione trigonometria clicca qui

3) dimostrazione algebrica clicca qui .