Integrali di funzioni razionali – Esercizi

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In questo articolo presentiamo la nostra raccolta di esercizi sugli integrali indefiniti di funzioni razionali, composta da 28 esercizi, tutti completamente risolti. Se stai preparando l’esame di Analisi Matematica 1 e vuoi irrobustire la tua preparazione sugli integrali di funzioni razionali, questo articolo è quello di cui hai bisogno!

Segnaliamo il materiale teorico di riferimento:

Consigliamo inoltre la consultazione delle seguenti raccolte di esercizi correlati:

Buona lettura!

Sommario

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Questa dispensa contiene 28 esercizi di diverse difficoltà sul calcolo di integrali indefiniti di funzioni razionali.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Donato Ciampa.

Revisori: Sergio Fiuorucci, Sara Sottile.

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

$\int \frac{x}{5x+3}\ dx.$

Svolgimento.

Osserviamo che la funzione integranda si può riscrivere nel modo seguente:

$\dfrac{x}{5x+3} = \dfrac{1}{5}\dfrac{5x}{5x+3} = \dfrac{1}{5}\dfrac{5x+3-3}{5x+3} = \dfrac{1}{5}\left(1- \dfrac{3}{5x+3}\right).$

Pertanto

$\int\frac{x}{5x+3}\ dx=\frac{1}{5}\int\left(1-\frac{3}{5x+3}\right)\ dx= \frac{1}{5}\left(x-\frac{3}{5}\ln|5x+3|\right)+c, \qquad c \in \mathbb{R}.$

Dunque

$\boxcolorato{analisi}{\int\frac{x}{5x+3}\ dx=\frac{1}{5}\left(x-\frac{3}{5}\ln|5x+3|\right)+c, \qquad c \in \mathbb{R}.}$

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguenti integrale indefinito

$\int \dfrac{3x-5}{x^2-2x-3}dx.$

Svolgimento.

La funzione integranda può essere riscritta come segue

(1) $\begin{equation*} \dfrac{3x-5}{(x-3)(x+1)}= \dfrac{A}{(x-3)} +\dfrac{B}{(x+1)},\,\,\text{con}\,\,A,B \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Svolgendo i calcoli in (1) si ha che

$\dfrac{A}{(x-3)} +\dfrac{B}{(x+1)} = \dfrac{A(x+1)+B(x-3)}{(x-3)(x+1)} = \dfrac{(A+B)x + A-3B}{(x-3)(x+1)},$

da cui, per il principio di identità dei polinomi, segue che

$A+B = 3 , A-3B= 5 \iff A = 1, B=2.$

Torniamo all’integrale

$\int \dfrac{3x-5}{x^2-2x-3}dx=\int \dfrac{1}{x-3}dx+2 \int \dfrac{1}{x+1}dx= \ln \vert x-3 \vert +2 \ln \vert x+1 \vert +c, \quad c\in \mathbb{R}.$

Quindi

$\boxcolorato{analisi}{\int \dfrac{3x-5}{x^2-2x-3}dx= \ln \vert x-3 \vert +2 \ln \vert x+1 \vert +c, \quad c\in \mathbb{R}. }$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

$\int \frac{1-x^2}{x(1+x)} \, dx.$

Svolgimento.

Scomponendo il numeratore abbiamo

$\begin{aligned} \int\frac{1-x^2}{x(1+x)}\ dx&=\int\frac{(1-x)(1+x)}{x(1+x)}\ dx\\ &=\int\frac{1-x}{x}\ dx=\int\left(\frac{1}{x}-1\right)\ dx=\ln|x|-x+c, \qquad c \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

Dunque

$\boxcolorato{analisi}{\int\frac{1-x^2}{x(1+x)}\ dx=\ln|x|-x+c, \qquad c \in \mathbb{R}. }$

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

$\int \dfrac{x^4}{4+4x^2}dx.$

Svolgimento.

Osservando che il grado del polinomio al numeratore è maggiore di quello al denominatore, si può procedere con la divisione tra polinomio. Tuttavia, in questo caso si può procedere aggiungendo e sottraendo termini al numeratore in modo da far “apparire” il polinomio al denominatore poter procedere alla semplificazione.

$\begin{aligned} \int\dfrac{x^4}{4+4x^2}&=\dfrac{1}{4} \int \dfrac{x^4}{1+x^2} dx\\ &= \dfrac{1}{4} \int \dfrac{x^4+1+2x^2-1-2x^2}{1+x^2}dx\\ &=\dfrac{1}{4} \int \dfrac{(x^2+1)^2 -1-2x^2}{1+x^2}dx= \\ &= \dfrac{1}{4} \left[ \int \dfrac{(x^2+1)^2}{x^2+1}dx- \int \dfrac{1+2x^2}{x^2+1}dx \right]. \end{aligned}$

Semplificando nel primo integrale e procedendo con lo stesso metodo già applicato in precedenza nel secondo, otteniamo

$\begin{aligned} \int\dfrac{x^4}{4+4x^2}&=\dfrac{1}{4} \left[ \int (x^2+1)dx- \int \dfrac{2x^2+2-1}{x^2+1}dx \right]= \\ &= \dfrac{1}{4} \left[ \dfrac{x^3}{3}+x- \left( \int 2 \dfrac{(x^2+1)}{(x^2+1)}dx- \int \dfrac{1}{x^2+1}dx \right) \right]\\ &= \dfrac{x^3}{12}+\dfrac{x}{4}-\dfrac{1}{4} \left( \int 2dx-\arctan x \right)\\ &=\dfrac{x^3}{12}+\dfrac{x}{4}-\dfrac{1}{4} (2x- \arctan x)+c= \end{aligned}$

$\begin{aligned} &= \dfrac{x^3}{12}+\dfrac{x}{4}-\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4} \arctan x+c\\ &=\dfrac{x^3}{12}-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4} \arctan x+c,\quad c\in \mathbb{R}. \end{aligned}$

In conclusione

$\boxcolorato{analisi}{\int\dfrac{x^4}{4+4x^2}=\dfrac{x^3}{12}-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4} \arctan x+c, \qquad c \in \mathbb{R}.}$

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

$\int \frac{x+5}{x^2+2x-3} \, dx.$

Svolgimento.

Consideriamo il denominatore della frazione. In questo caso $\Delta=4+12=16$

, per cui il polinomio a denominatore, ammettendo come radici $x=1, x=-3$

, si decompone in

$x^2+2x-3=(x-1)(x+3).$

Possiamo scrivere allora

$\frac{x+5}{x^2+2x-3}=\frac{x+5}{(x-1)(x+3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+3}.$

Ne segue che

(2) $\begin{equation*} x+5=A(x+3)+B(x-1) = (A+B)x + 3A-B, \end{equation*}$

da cui, per il principio di identità dei polinomi, si ha che

$A+B= 1, 3A-B = 5 \iff A=\frac{3}{2}, B=-\frac{1}{2}.$

Abbiamo allora

$\begin{aligned} \int\frac{x+5}{x^2+2x-3}\ dx&=\frac{3}{2}\int\frac{1}{x-1}\ dx-\frac{1}{2}\int\frac{1}{x+3}\ dx\\ &=\frac{3}{2}\ln|x-1|-\frac{1}{2}\ln|x+3|+c, \qquad c \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

Dunque

$\boxcolorato{analisi}{\int\frac{x+5}{x^2+2x-3}\ dx=\frac{3}{2}\ln|x-1|-\frac{1}{2}\ln|x+3|+c, \qquad c \in \mathbb{R}.}$

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

$\int \frac{x^2+1}{x^2-1}\,dx.$

Svolgimento.

Osserviamo che, aggiungendo e sottraendo $1$

nel numeratore, si ha:

$\displaystyle \int \frac{x^2+1}{x^2-1}\,dx=\int \left(1+ \frac{2}{x^2-1}\right)\,dx=x+2\int \frac{1}{x^2-1}\,dx.$

Ora $\displaystyle \frac{1}{x^2-1}=\frac 1 2 \left( \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)$ , dunque

$\begin{eqnarray*} &\displaystyle \int \frac{x^2+1}{x^2-1}\,dx=x+2 \int \frac{1}{x^2-1}\,dx= x+\int \left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} \right)\,dx\\ &\displaystyle x+ \left( \ln|x-1|-\ln|x+1|\right)+c=x+\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+c, \qquad c \in \mathbb{R}. \end{eqnarray*}$

Quindi

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{x^2+1}{x^2-1}\,dx=x+\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+c, \qquad c \in \mathbb{R}.}$

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

$\int \frac{x-1}{x^2-6x+9} \, dx.$

Svolgimento.

Poiché $x^2-6x+9=(x-3)^2$

, possiamo scrivere

$\frac{x-1}{x^2-6x+9}=\frac{x-1}{(x-3)^2}=\frac{x-3+3-1}{(x-3)^2}=\frac{1}{x-3}+\frac{2}{(x-3)^2},$

da cui

$\begin{aligned} \int\frac{x-1}{x^2-6x+9}\ dx&=\int\frac{1}{x-3}\ dx+\int\frac{2}{(x-3)^2}\ dx\\ &=\ln|x-3|-\frac{2}{x-3}+c, \qquad c \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

Quindi

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{x-1}{x^2-6x+9}\,dx=\ln|x-3|-\frac{2}{x-3}+c, \qquad c \in \mathbb{R}.}$

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

$\int \frac{x+2}{x^3-x} \, dx.$

Svolgimento.

Osserviamo che la frazione si può riscrivere come

$\frac{x+2}{x^3-x}=\frac{x+2}{x(x^2-1)}=\frac{x+2}{x(x+1)(x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-1},$

e quindi

(3) $\begin{equation*} x+2=A(x+1)(x-1)+Bx(x-1)+Cx(x+1) = (A+B+C)x^2 + (-B+C)x -A, \end{equation*}$

da cui per il principio di identità dei polinomi si ha

$-A =2, -B+C=1, A+B+C=0 \iff A=-2, B=\frac{1}{2}, C=\frac{3}{2}$

Ne segue che

$\begin{aligned} \int\frac{x+2}{x^3-x}\ dx&=-2\int\frac{1}{x}\ dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{x+1}\ dx+\frac{3}{2}\int\frac{1}{x-1}\ dx\\ &=-2\ln|x|+\frac{1}{2}\ln|x+1|+\frac{3}{2}\ln|x-1|+c, \qquad c \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

In conclusione

$\boxcolorato{analisi}{\int\frac{x+2}{x^3-x}\ dx=-2\ln|x|+\frac{1}{2}\ln|x+1|+\frac{3}{2}\ln|x-1|+c, \qquad c \in \mathbb{R}. }$

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

$\int \frac{3x}{x^2-3x+2} \, dx.$

Svolgimento.

Partiamo dall’integrale dato:

$\int \frac{3x}{(x-2)(x-1)} \, dx$

Scomponiamo la funzione in fratti semplici:

$\frac{3x}{(x-2)(x-1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-1}.$

Moltiplicando entrambi i membri per il denominatore $(x-2)(x-1)$ , otteniamo:

$3x = A(x-1) + B(x-2) (A + B)x - (A + 2B).$

Eguagliando i coefficienti di $x$ e il termine noto:

$A + B = 3, \quad -A - 2B = 0 \quad \iff A=6, B=-3.$

Sostituendo nell’integrale iniziale otteniamo dunque:

$\begin{aligned} \int \frac{3x}{(x-2)(x-1)} \, dx &= \int \frac{6}{x-2} \, dx - \int \frac{3}{x-1} \, dx = \\ &= 6 \ln|x-2|- 3 \ln|x-1|= \\ & = 6 \ln|x-2| - 3 \ln|x-1| + c, \quad c \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

Dunque

$\boxcolorato{analisi}{\int\frac{3x}{x^2-3x+2}\ dx=\frac{3}{2}\ln\frac{(x-2)^4}{(x-1)^2}+c, \qquad c \in \mathbb{R}.}$

Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

$\int \dfrac{x^4+x^3+x^2+x+1}{x^2(x^2+1)}\ dx.$

Svolgimento.

Osserviamo che si può scrivere

$\begin{aligned} &\int \dfrac{x^4+x^3+x^2+x+1}{x^2(x^2+1)}\ dx\\ &=\int \dfrac{(x^4+x^2)+(x^3+x)+1}{x^2(x^2+1)}dx\\ &=\int \dfrac{x^2(x^2+1)+x(x^2+1)+1}{x^2(x^2+1)}dx\\ &=\int\ dx+\int\frac{1}{x}\ dx+\int\frac{1}{x^2(x^2+1)}\ dx \end{aligned}$

Possiamo usare la decomposizione di Hermite per riscrivere la frazione dell’ultimo integrale nel modo seguente

$\frac{1}{x^2(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1}$

da cui, passando al denominatore comune e uguagliando i numeratori

$\quad \quad \, \,\, 1=(x^2+1)(Ax+B)+x^2(Cx+D)=,$

identità valida per ogni $x\in\mathbb{R}$ . Per $x=0$ si ottiene $1=B$ , mentre sostituendo i valori $x=\pm 1$ abbiamo le condizioni

$1=2A+2+C+D,\qquad 1=-2A+2-C+D$

da cui sommando membro a membro si trova $2=4+2D\ \Rightarrow\ D=-1$ , mentre sottraendo membro a membro si ha l’equazione $4A+2C=0\ \Rightarrow\ C=-2A$ . Sostituendo i valori trovati nell’identità abbiamo

$1=(x^2+1)(Ax+1)+x^2(-2Ax-1)=-Ax^3+Ax+1\ \iff \ A=0$

per poter avere l’indentità per ogni $x$ reale. Pertanto possiamo riscrivere la frazione al secondo integrale come

$\frac{1}{x^2(x^2+1)}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2+1}$

e quindi l’integrale diventa

$\begin{aligned} &\int \dfrac{x^4+x^3+x^2+x+1}{x^2(x^2+1)}\ dx\\ &=\int\ dx+\int\frac{1}{x}\ dx+\int\frac{1}{x^2}\ dx-\int\frac{1}{x^2+1}\ dx\\ &=x+\ln|x|-\frac{1}{x}-\arctan x+c, \qquad c \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

Allora

$\boxcolorato{analisi}{\int \dfrac{x^4+x^3+x^2+x+1}{x^2(x^2+1)}\ dx==x+\ln|x|-\frac{1}{x}-\arctan x+c, \qquad c \in \mathbb{R}. }$

Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

$\int \frac{1}{x^3+3x^2+2x} \, dx.$

Svolgimento.

Scomponiamo il denominatore:

$\displaystyle x^3+3x^2+2x=x(x^2+3x+2)=x(x+1)(x+2).$

Dobbiamo trovare $A,B,C$ tali che

$\displaystyle \frac{1}{x^3+3x^2+2x}= \frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+2}=\dfrac{(A+B+C)x^2+(3A+2B+C)x + 2A }{ x^3+3x^2+2x}$

. Si ha quindi:

$2A= 1, A+B+C=0, 3A+2B+C=0 \iff A=\frac{1}{2}, B=-1, C=\frac 1 2.$

Dunque

$\displaystyle \int \frac{1}{x^3+3x^2+2x}\,dx=\frac 1 2 \ln|x|-\ln|x+1|+\frac{1}{2}\ln|x+2|+c= \frac 1 2 \ln\left(\frac{|x^2+2x|}{(x+1)^2}\right)+c, \qquad c \in \mathbb{R}.$

In conclusione

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{1}{x^3+3x^2+2x}\,dx=\frac 1 2 \ln\left(\frac{|x^2+2x|}{(x+1)^2}\right)+c, \qquad c \in \mathbb{R}.}$

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

$\int \frac{1}{1-x^4} \, dx.$

Svolgimento.

Poiché

$1-x^4=(1-x^2)(1+x^2)=(1-x)(1+x)(1+x^2),$

allora

$,$

da cui

$\begin{aligned} \frac{1}{1-x^4}=&\frac{1}{(1-x)(1+x)(1+x^2)}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1+x}+\frac{Cx+D}{1+x^2}\\ =&\frac{A(1+x)(1+x^2)+B(1-x)(1+x^2)+Cx(1+x)(1-x)+D(1-x)(1+x)}{(1-x)(1+x)(1+x^2)}\\ =& \frac{(A-B-C)x^3 +(A+B-D)x^2 + (A-B+C)x +A+B+D }{(1-x)(1+x)(1+x^2)} \end{aligned}$

da cui

$A-B-C= 0, A+B-D= 0, A-B+C=0, A+B+D=1\iff A=\frac{1}{4},B=\frac{1}{4},C=0, D=\frac{1}{2}.$

Tornando all’integrale si ha:

$\begin{aligned} \int\frac{1}{1-x^4}\ dx&=\frac{1}{4}\int\frac{1}{1-x}\ dx+\frac{1}{4}\int\frac{1}{1+x}\ dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+x^2}\ dx\\ &=-\frac{1}{4}\ln|1-x|+\frac{1}{4}\ln|1+x|+\frac{1}{2}\arctan x+c\\ &=\frac{1}{4}\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|+\frac{1}{2}\arctan x+c, \qquad c \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

In conclusione

$\boxcolorato{analisi}{\int\frac{1}{1-x^4}\ dx=\frac{1}{4}\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|+\frac{1}{2}\arctan x+c, \qquad c \in \mathbb{R}.}$

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

$\int \dfrac{1}{x^3+1} \, dx.$

Svolgimento.

Scomponiamo $x^3+1$

come segue

$x^3+1 =(x+1)(x^2-x+1).$

Decomponiamo la funzione integranda come

$\dfrac{1}{x^3+1}= \dfrac{A}{x+1}+ \dfrac{Bx+C}{x^2-x+1}= \dfrac{(A-B)x^2 + (-A+B+C)x +A+C}{(x+1)(x^2-x+1)},$

da cui:

$A+B= 0, -A+B+C=0, A+C=1 \iff A=\frac{1}{3}, B=-\frac{1}{3},C= A=\frac{2}{3}.$

Possiamo riscrivere l’integrale come:

$\begin{aligned} \int \dfrac{1}{x^3+1} \, dx & = \int \dfrac{1}{3(x+1)} \, dx + \int \dfrac{-x+2}{3(x^2-x+1)} \, dx\\ & = \dfrac{1}{3} \ln \vert x+1 \vert + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \int \dfrac{-2x+4}{3(x^2-x+1)} \, dx \\ & = \dfrac{1}{3} \ln \vert x+1 \vert + \dfrac{1}{6} \left(\int \dfrac{-2x+1}{x^2-x+1} \, dx + \int \dfrac{3}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}} \, dx \right) \\ & = \dfrac{1}{3} \ln \vert x+1 \vert + \dfrac{1}{6} \left(-\ln(x^2-x+1)+\dfrac{6}{\sqrt{3}} \arctan \left(\dfrac{2x-1}{2} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)\right) \\ & = \dfrac{1}{3} \ln \vert x+1 \vert - \dfrac{1}{6} \ln(x^2-x+1) + \dfrac{\sqrt{3}}{3} \arctan\left(\dfrac{\sqrt{3}(2x-1)}{3}\right) + c, \quad c \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

Quindi

$\boxcolorato{analisi}{\int \dfrac{1}{x^3+1} \, dx= \dfrac{1}{3} \ln \vert x+1 \vert - \dfrac{1}{6} \ln(x^2-x+1) + \dfrac{\sqrt{3}}{3} \arctan\left(\dfrac{\sqrt{3}(2x-1)}{3}\right) + c,\quad c \in \mathbb{R}.}$

Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

$\int \frac{1}{x^3-1}\,dx.$

Svolgimento.

Osserviamo che $\displaystyle x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$

e che il secondo fattore è irriducibile. Cerchiamo $A,B,C$

tali che

$\displaystyle \frac{1}{x^3-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}.$

Risolvendo il sistema che ne deriva troviamo $A= \frac 1 3, B=-\frac 1 3 ,C=-\frac 2 3$ . L’integrale dunque diventa

$\begin{aligned} \int \dfrac{1}{x^3-1}dx =& \dfrac{1}{3}\int \dfrac{1}{x-1}dx -\dfrac{1}{3}\int \dfrac{x}{x^2+x+1}dx -\dfrac{2}{3}\int \dfrac{1}{x^2+x+1}dx\\ =& \dfrac{1}{3}\ln |x-1| -\dfrac{1}{3}\int \dfrac{x}{x^2+x+1}dx -\dfrac{2}{3}\int \dfrac{1}{x^2+x+1}dx. \end{aligned}$

Risolviamo ora il secondo integrale. La funzione integranda va manipolata come segue:

$\displaystyle \frac{x}{x^2+x+1}=\frac{1}{2}\left( \frac{2x+1-1}{x^2+x+1}\right)=\frac{1}{2}\left( \frac{2x+1}{x^2+x+1}\right)-\frac 1 2 \left( \frac{1}{x^2+x+1}\right).$

Il primo addendo si integra immediatamente,

$\displaystyle \int \frac{1}{2}\left( \frac{2x+1}{x^2+x+1}\right)\,dx=\frac{1}{2}\ln(x^2+x+1)+c,$

mentre il secondo va trattato insieme al restante $\displaystyle \frac{1}{x^2+x+1}$ .

Con il completamento del quadrato troviamo

$\displaystyle x^2+x+1= \left( x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac 3 4=\frac{3}{4}\left( \left( \frac{2}{\sqrt{3}}\left( x+\frac 1 2\right)\right)^2+1\right) ,$

quindi

$\displaystyle \int \frac{1}{x^2+x+1}\,dx=\frac{4}{3}\int \frac{1}{\left( \frac{2}{\sqrt{3}}\left( x+\frac 1 2\right)\right)^2+1}\,dx\\ \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left( \frac{2}{\sqrt{3}}\left( x+\frac 1 2\right)\right),$

dove all’ultimo abbiamo usato la variabile $y=\frac{2}{\sqrt{3}}\left( x+\frac 1 2\right)$ . Troviamo infine che l’integrale cercato è

$\displaystyle\displaystyle \int \frac{1}{x^3-1}\,dx= \frac 1 3\ln|x-1|+\frac{1}{2}\ln(x^2+x+1)+\left( -\frac 2 3+\frac 1 6\right)\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left( \frac{2}{\sqrt{3}}\left( x+\frac 1 2\right)\right)+c, \quad c \in \mathbb{R}.$

Otteniamo dunque:

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{1}{x^3-1}\,dx=\frac 1 3\ln|x-1|-\frac 1 6\ln(x^2+x+1)-\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\left( \frac{2}{\sqrt{3}}\left( x+\frac 1 2\right)\right), \quad c \in \mathbb{R}.}$

Esercizio 15 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

$\int \frac{x^2+x+1}{(2x+3)^2(3x-1)} \, dx.$

Svolgimento.

Possiamo scrivere

$\frac{x^2+x+1}{(2x+3)^2(3x-1)}=\frac{A}{2x+3}+\frac{B}{(2x+3)^2}+\frac{C}{3x-1},$

da cui

$x^2+x+1=A(2x+3)(3x-1)+B(3x-1)+C(2x+3)^2,$

e quindi sostituendo $x=-3/2$ si ha

$7/4=-11 B/2\ \iff \ B=-7/22,$

sostituendo $x=1/3$ si ottiene

$13/9=121 C/9\ \iff \ C=13/121$

ed infine con $x=0$

$1=-3A+7/22+117/121\ \iff A=23/242,$

per cui

$\begin{aligned} \int \frac{x^2+x+1}{(2x+3)^2(3x-1)}\ dx&=\int\left(\frac{23}{242(2x+3)}-\frac{7}{22(2x+3)^2}+\frac{13}{121(3x-1)}\right)\ dx\\ &=\frac{23}{484}\ln|2x+3|+\frac{7}{44(2x+3)}+\frac{13}{363}\ln|3x-1|+c, \qquad c \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

Dunque

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{x^2+x+1}{(2x+3)^2(3x-1)}\ dx=\frac{23}{484}\ln|2x+3|+\frac{7}{44(2x+3)}+\frac{13}{363}\ln|3x-1|+c, \qquad c \in \mathbb{R}.}$

Esercizio 16 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

$\int \frac{x^3-2}{x^2(x^2+1)} \, dx.$

Svolgimento.

Possiamo scrivere

$\frac{x^3-2}{x^2(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1},$

e quindi

(4) $\begin{equation*} x^3-2=Ax(x^2+1)+B(x^2+1)+Cx^3+Dx^2, \end{equation*}$

da cui, sostituendo $x=0$ in (4) si ha

$B=-2,$

mentre con $x=1$

$-1=2A-4+C+D\ \iff 2A+C+D=3,$

sostituendo $x=-1$

$-3=-2A-4-C+D\ \iff 2A+C-D=-1,$

ed infine con $x=2$ si ottiene

$6=10A-10+8C+4D\ \iff 5A+4C+2D=8,$

per cui $A=0,\ B=-2,\ C=1,\ D=2$ . Ne segue che

$\begin{aligned} \int\frac{x^3-2}{x^2(x^2+1)}\ dx&=-2\int\frac{1}{x^2}\ dx+\int\frac{x+2}{x^2+1}\ dx=\frac{2}{x}+\frac{1}{2}\int\frac{2x+4}{x^2+1}\ dx\\ &=\frac{2}{x}+\frac{1}{2}\left(\int\frac{2x}{x^2+1}\ dx+\int\frac{4}{x^2+1}\ dx\right)\\ &=\frac{2}{x}+\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+2\arctan x+c, \qquad c \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

In conclusione

$\boxcolorato{analisi}{\int\frac{x^3-2}{x^2(x^2+1)}\ dx=\frac{2}{x}+\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+2\arctan x+c, \qquad c \in \mathbb{R}.}$

Esercizio 17 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

$\int \dfrac{4x^2+5x+11}{x^2+4x+29}dx.$

Svolgimento.

Osserviamo che i due polinomi hanno lo stesso grado. Pertanto è possibile effettuare la divisione tra essi in modo da arrivare alla seguente scrittura

$\frac{N(x)}{D(x)}=Q(x)+\frac{R(x)}{D(x)}$

dove $Q(x)$ è il quoziente e $R(x)$ è il resto della divisione. Possiamo procedere come segue, facendo comparire a numeratore un multiplo del denominatore:

$\begin{aligned} &\dfrac{4x^2+5x+11}{x^2+4x+29}\\ &= \dfrac{4x^2+5x+11x-11x+11+29\cdot 4-29\cdot 4}{x^2+4x+29}\\ &= \dfrac{4x^2+16x+116}{x^2+4x+29}+ \dfrac{-11x-105}{x^2+4x+29}\\ &=4-\dfrac{11x+105}{x^2+4x+29}. \end{aligned}$

Il passaggio successivo è quello di trasformare la frazione rimasta in modo da far apparire al numeratore la derivata del denominatore, per poter utilizzare la relazione $\displaystyle\int\frac{f'(x)}{f(x)}\ dx=\ln|f(x)|+c, c \in \mathbb{R}$ . Pertanto abbiamo

$\begin{aligned} 4-\dfrac{11x+105}{x^2+4x+29} &= 4- \dfrac{22x+210+44-44}{2(x^2+4x+29)}\\ &=4-\frac{11(2x+4)}{2(x^2+4x+29)}-\frac{83}{2(x^2+4x+29)}. \end{aligned}$

I primi due termini sono immediatamente integrabili. Riscriviamo il denominatore del terzo termine come segue:

$x^2+4x+29=x^2+4x+4-4+29=(x+2)^2+25,$

per cui, sostituendo, si ha

$\begin{aligned} \int \dfrac{4x^2+5x+11}{x^2+4x+29}dx &= \int 4\ dx- \dfrac{11}{2}\int \dfrac{(2x+4)}{(x^2+4x+29)}\ dx- 83 \int \dfrac{1}{(x+2)^2+25}\ dx \\ &=4x- \dfrac{11}{2} \ln (x^2+4x+29)- 83 \int \dfrac{1}{(x+2)^2+25}\ dx. \end{aligned}$

Nell’ultimo integrale, poniamo

$x+2=5t\ \Rightarrow\ dx=5\ dt$

da cui

$\begin{aligned} \quad \quad \quad \quad \, \, \, \, &\int \dfrac{1}{(x+2)^2+25}\ dx\\ & =\int\frac{5}{25(t^2+1)}\ dt=\frac{1}{5}\arctan t+c, \quad c \in \mathbb{R}\\ & =\frac{1}{5}\arctan\left(\frac{x+2}{5}\right)+c, \quad c \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

In definitiva si ha:

$\boxcolorato{analisi}{\begin{aligned} \int \dfrac{4x^2+5x+11}{x^2+4x+29}dx &=4x- \dfrac{11}{2} \ln (x^2+4x+29)-\frac{83}{5}\arctan\left(\frac{x+2}{5}\right)+c, \qquad c \in \mathbb{R}. \end{aligned}}$

Esercizio 18 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

$\int \frac{x^2-2x-1}{x^2-4x+4} \, dx.$

Svolgimento.

Poiché i polinomi al numeratore ed al denominatore hanno lo stesso grado, possiamo scrivere, associando opportunamente i termini e scomponendo la frazione:

$\begin{aligned} \frac{x^2-2x-1}{x^2-4x+4}&=\frac{x^2-4x+4x-2x+4-4-1}{x^2-4x+4}\\ &=1+\frac{2x-5}{x^2-4x+4}\\ &=1+\frac{2x-4}{x^2-4x+4}-\frac{1}{x^2-4x+4}, \end{aligned}$

dove nel terzo passaggio abbiamo effettuato ulteriori conti per far comparire al numeratore la derivata del denominatore. Sostituendo si ha dunque

$\begin{aligned} \int\frac{x^2-2x-1}{x^2-4x+4}\ dx&=\int\left(1+\frac{2x-4}{x^2-4x+4}-\frac{1}{x^2-4x+4}\right)\ dx\\ &=x+\ln|x^2-4x+4|-\int\frac{1}{x^2-4x+4}\ dx, \end{aligned}$

dove nell’ultimo integrale si ha

$\int\frac{1}{x^2-4x+4}\ dx=\int\frac{1}{(x-2)^2}\ dx=-\frac{1}{(x-2)}+c, \qquad c \in \mathbb{R}$

e quindi

$\boxcolorato{analisi}{\int\frac{x^2-2x-1}{x^2-4x+4}\ dx=x+\ln|x^2-4x+4|+\frac{1}{(x-2)}+c, \qquad c \in \mathbb{R}.}$

Esercizio 19 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

$\int \frac{x^3+1}{x^3+3x^2-4} \, dx.$

Svolgimento.

Poiché i polinomi al numeratore ed al denominatore hanno lo stesso grado, possiamo scrivere, effettuando la divisione:

$\frac{x^3+1}{x^3+3x^2-4}=1-\frac{3x^2-5}{x^3+3x^2-4}=1-\frac{3x^2 - 5}{(x - 1)(x+2)^2},$

dove nell’ultimo passaggio abbiamo scomposto il denominatore. Consideriamo quest’ultimo termine e scomponiamolo in fratti semplici:

$\frac{3x^2 - 5}{(x - 1)(x+2)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{(x+2)^2},$

e quindi

$3x^2-5=A(x+2)^2+B(x-1)(x+2)+C(x-1),$

Moltiplicando entrambi i membri per il denominatore $(x - 1)(x + 2)^2$ , otteniamo:

$3x^2 - 5 = A(x + 2)^2 + B(x - 1)(x + 2) + C(x - 1).$

Sviluppando e confrontando i coefficienti, si ottengono i valori:

$A = -\frac{2}{9}, \quad B = \frac{29}{9}, \quad C = -\frac{7}{3}.$

Quindi:

$\frac{3x^2 - 5}{(x - 1)(x + 2)^2} = \frac{-\frac{2}{9}}{x - 1} + \frac{\frac{29}{9}}{x + 2} + \frac{-\frac{7}{3}}{(x + 2)^2}.$

Pertanto, l’integrale risulta:

$\begin{aligned} \int \frac{x^3 + 1}{x^3 + 3x^2 - 4} \, dx &=\int dx - \left(-\dfrac{2}{9}\int \dfrac{dx}{x-1} + \dfrac{29}{9}\int \dfrac{dx}{x+2} - \dfrac{7}{3}\int \dfrac{dx}{(x+2)^2}\right) \\&= x -\left( \frac{2}{9} \ln|x - 1| + \frac{29}{9} \ln|x + 2| + \frac{7}{3(x + 2)}\right) + c,\quad c \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

Quindi

$\boxcolorato{analisi}{\int \frac{x^3+1}{x^3+3x^2-4}\ dx=x+\frac{2}{9}\ln|x-1|-\frac{29}{9}\ln|x+2|-\frac{7}{3(x+2)}+c, \qquad c \in \mathbb{R}.}$

Esercizio 20 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

$\int \frac{x^2+x-1}{(2x+1)^2(x^2+2x+2)} \, dx.$

Svolgimento.

Possiamo scrivere

$\frac{x^2+x-1}{(2x+1)^2(x^2+2x+2)}=\frac{A}{2x+1}+\frac{B}{(2x+1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+2x+2},$

da cui

$x^2+x-1=A(2x+1)(x^2+2x+2)+B(x^2+2x+2)+(Cx+D)(2x+1)^2,$

e quindi sostituendo $x=-1/2$ abbiamo

$-5/4=5/4 \cdot B\ \iff \ B=-1,$

sostituendo $x=0$ otteniamo

$-1=2A-2+D\ \iff\ 2A+D=1,$

con $x=-1$

$-1=-A-1-C+D\ \iff \ A+C-D=0$

ed infine con $x=1$

$1=15A-5+9C+9D\ \iff \ 5A+3C+3D=2.$

Quindi

$A=\frac{2}{5},\qquad B=-1,\qquad C=-\frac{1}{5},\qquad D=\frac{1}{5},$

per cui possiamo scrivere

$\frac{x^2+x-1}{(2x+1)^2(x^2+2x+2)}= \frac{1}{5}\left[\frac{2}{2x+1}-\frac{5}{(2x+1)^2}-\frac{x-1}{x^2+2x+2}\right].$

Sostituendo otteniamo

$\begin{aligned} \int \frac{x^2+x-1}{(2x+1)^2(x^2+2x+2)}\ dx &=\frac{1}{5}\left[\int\frac{2}{2x+1}\ dx-\int\frac{5}{(2x+1)^2}\ dx-\int\frac{x-1}{x^2+2x+2}\ dx\right]\\ &=\frac{1}{5}\ln|2x+1|+\frac{1}{2(2x+1)}-\frac{1}{5}\int\frac{x-1}{x^2+2x+2}\ dx. \end{aligned}$

Per l’ultimo integrale proviamo a ricostruire al numeratore la derivata del denominatore nel seguente modo:

$\frac{x-1}{x^2+2x+2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2x-2}{x^2+2x+2}= \frac{1}{2}\cdot\frac{2x+2}{x^2+2x+2}-\frac{2}{x^2+2x+2},$

da cui segue che segue

$\begin{aligned} \int\frac{x-1}{x^2+2x+2}\ dx &=\frac{1}{2}\int\frac{2x+2}{x^2+2x+2}\ dx-\int\frac{2}{x^2+2x+2}\ dx\\ &=\frac{1}{2}\ln(x^2+2x+2)-\int\frac{2}{x^2+2x+2}\ dx. \end{aligned}$

Essendo poi

$x^2+2x+2=(x+1)^2+1,$

con la posizione

$x+1=t\ \Rightarrow\ dx=dt,$

si ricava

$\int\frac{2}{x^2+2x+2}\ dx=\int\frac{2}{t^2+1}\ dt=2\arctan t+c=2\arctan(x+1)+c,, \qquad c \in \mathbb{R},$

e quindi

$\int\frac{x-1}{x^2+2x+2}\ dx=\frac{1}{2}\ln(x^2+2x+1)-2\arctan(x+1)+c, \qquad c \in \mathbb{R}.$

Sostituendo otteniamo dunque

$\begin{aligned} \int\frac{x^2+x-1}{(2x+1)^2(x^2+2x+2)}\ dx & =\frac{1}{5}\ln|2x+1|+\frac{1}{2(2x+1)}-\frac{1}{10}\ln(x^2+2x+2)+\frac{2}{5}\arctan(x+1)+c\\ &= \frac{1}{10}\left(2 \ln |2x+1| - \ln (x^2+2x+2)\right)+\frac{1}{2(2x+1)}+\frac{2}{5}\arctan(x+1)+c\\ &= \frac{1}{10} \ln \left(\dfrac{ (2x+1)^2}{x^2+2x+2}\right) +\frac{1}{2(2x+1)}+\frac{2}{5}\arctan(x+1)+c, \end{aligned}$

dove $c \in \mathbb{R}$ . Si conclude quindi che

$\boxcolorato{analisi}{ \begin{aligned} \int\frac{x^2+x-1}{(2x+1)^2(x^2+2x+2)}\ dx &= \frac{1}{10} \ln \left(\dfrac{ (2x+1)^2}{x^2+2x+2}\right) + \\ & \quad + \frac{1}{2(2x+1)}+\frac{2}{5}\arctan(x+1)+c, \qquad c \in \mathbb{R}. \end{aligned} }$

Esercizio 21 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare i seguenti integrale indefiniti

$\int \dfrac{x^2+5x+2}{(x^2+1)(x^2-x)}dx.$

Svolgimento.

La funzione integranda può essere riscritta come segue

(5) $\begin{equation*} \dfrac{x^2+5x+2}{x(x-1)(x^2+1)}= \dfrac{A}{x}+ \dfrac{B}{x-1}+\dfrac{Cx+D}{x^2+1} \quad \text{con}\,\,A,B,C,D\in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Dalla (5) si ha che

$\quad \dfrac{x^2+5x+2}{(x-1)(x^2+1)}=A+ \left( \dfrac{B}{x-1} + \dfrac{Cx+D}{x^2+1} \right)x.$

Posto $x=0$

$A=\dfrac{2}{-1}=-2.$

Sempre dalla (5) con $A=-2$ si ha

$\dfrac{x^2+5x+2}{x(x^2+1)}= \left( -\dfrac{2}{x}+\dfrac{Cx+D}{x^2+1} \right) (x-1)+B.$

Posto $x=1$

$B= \dfrac{8}{2}=4.$

Quindi $A=-2$ , $B=4$ : pertanto la (5) diventa:

$\begin{aligned} \dfrac{x^2+5x+2}{x(x-1)(x^2+1)}=- \dfrac{2}{x}+ \dfrac{4}{x-1}+\dfrac{Cx+D}{x^2+1} &\iff \quad \dfrac{x^2+5x+2}{x(x-1)(x^2+1)} +\dfrac{2}{x}-\dfrac{4}{x-1}= \dfrac{Cx+D}{x^2+1} \\ & \iff \quad \dfrac{-2x^3-x^2+3x}{x(x-1)(x^2+1)}=\dfrac{Cx+D}{x^2+1} \quad \\ & \iff \quad \dfrac{-x(2x+3)(x-1)}{x(x-1)(x^2+1)}=\dfrac{Cx+D}{x^2+1} \quad \\ & \iff \quad - \dfrac{2x+3}{x^2+1}= \dfrac{Cx+D}{x^2+1} \quad \\ &\iff \quad \begin{cases} C=-2 \\ D=-3. \end{cases} \end{aligned}$

Allora tornando all’integrale si ha:

$\begin{aligned} \int \dfrac{x^2+5x+2}{(x^2+1)(x^2-x)} \, dx & = \int \left( \dfrac{-2}{x}+ \dfrac{4}{x-1}+ \dfrac{-2x-3}{x^2+1} \right)dx\\ & = -2 \ln \vert x \vert +4 \ln \vert x-1 \vert -\int\frac{2x}{x^2+1}\ dx-\int\frac{3}{x^2+1}\ dx\\ &=-2\ln|x|+4\ln|x-1|-\ln(x^2+1)-3\arctan x+c\\ &=\ln\frac{(x-1)^4}{x^2(x^2+1)}-3\arctan x+c, \qquad c \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

Dunque

$\boxcolorato{analisi}{\int \dfrac{x^2+5x+2}{(x^2+1)(x^2-x)} \, dx=\ln\frac{(x-1)^4}{x^2(x^2+1)}-3\arctan x+c, \qquad c \in \mathbb{R}. }$

Esercizio 22 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

$\int \dfrac{dx}{(x^2+1)(x-2)^2}.$

Svolgimento.

Scomponendo la funzione integranda in fratti semplici possiamo scrivere

$\dfrac{1}{(x^2+1)(x-2)^2}= \dfrac{Ax+B}{(x^2+1)}+ \dfrac{C}{(x-2)}+ \dfrac{D}{(x-2)^2}$

con $A$ , $B$ , $C$ e $D$ costanti, da cui si ottiene l’identità valida per ogni $x$

$1=(Ax+B)(x-2)^2+(x^2+1)\left(C(x-2)+D\right).$

Sostituendo nella precedente identità i valori $x=2,\ x=0$ , si ottiene

$\left\{\begin{array}{l} 1=5D\\ 1=4B-2C+D \end{array}\right. \iff\ \left\{\begin{array}{l} \displaystyle D=\frac{1}{5}\\ \\ \displaystyle 2B-C=\frac{2}{5}. \end{array}\right..$

Sostituendo invece $x=\pm 1$ otteniamo

$\left\{\begin{array}{l} \displaystyle 1=A+B-2C+\frac{2}{5}\\ \\ \displaystyle 1=-9A+9B-6C+\frac{2}{5} \end{array}\right. \iff \ \left\{\begin{array}{l} \displaystyle A+B-2C=\frac{3}{5}\\ \\ \displaystyle 9A-9B+6C=-\frac{3}{5}. \end{array}\right..$

Risolvendo dalle condizioni precedenti si trova:

$A= \dfrac{4}{25}, \quad B= \dfrac{3}{25}, \quad C=-\dfrac{4}{25}, \quad D= \dfrac{1}{5}$

Possiamo risolvere l’integrale nel modo seguente:

$\begin{aligned} &\int \dfrac{dx}{(x^2+1)(x-2)^2} \\ &= \dfrac{1}{25} \int \dfrac{4x+3}{(x^2+1)}dx- \dfrac{4}{25} \int \dfrac{1}{(x-2)}dx+ \int \dfrac{1}{5(x-2)^2}dx= \\ &= \dfrac{2}{25} \int \dfrac{2x}{(x^2+1)}dx+ \dfrac{3}{25} \int \dfrac{1}{(x^2+1)}dx- \dfrac{4}{25} \ln \left \vert x-2\right \vert- \dfrac{1}{5} \dfrac{1}{(x-2) }+c= \\ &=\dfrac{2}{25} \ln (x^2+1) + \dfrac{3}{25} \arctan x - \dfrac{4}{25} \ln \left \vert x-2\right \vert- \dfrac{1}{5(x-2)}+c,\quad \text{con c}\in\mathbb{R}. \end{aligned}$

Allora

$\boxcolorato{analisi}{\int \dfrac{dx}{(x^2+1)(x-2)^2} =\dfrac{2}{25} \ln (x^2+1) + \dfrac{3}{25} \arctan x - \dfrac{4}{25} \ln \left \vert x-2\right \vert- \dfrac{1}{5(x-2)}+c,\quad \text{con c}\in\mathbb{R}. }$

Esercizio 23 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

$\int \dfrac{1}{x^3+5x^2+7x+3} \, dx.$

Svolgimento.

Scomponiamo il denominatore di della funzione integranda. Osserviamo che $x=-1$

è una radice di tale polinomio, pertanto possiamo scrivere

$x^3+5x^2+7x+3=(x+1)(x^2+ax+b)$

per il teorema di Ruffini. Essendo il termine noto pari a $3$ , deve pure essere $b=3$ . Inoltre essendo il coefficiente del termine di primo grado pari a $7$ , si avrà $7=b+a$ e quindi $a=4$ . Ne segue

$\begin{aligned} x^3+5x^2+7x+3 = (x+1)(x^2+4x+3) =(x+1)^2(x+3), \end{aligned}$

avendosi $x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$ .

Possiamo dunque riscrivere la funzione integranda come segue

$\begin{aligned} \dfrac{1}{(x+1)^2(x+3)} & = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{(x+1)^2} + \dfrac{C}{x+3} \\ & = \dfrac{x^2(A+C)+x(4A+B+2C)+3A+3B+C}{(x+1)^2(x+3)} \end{aligned}$

e, per il principio d’identità dei polinomi, si ha:

$\begin{cases} A+C=0\\4A+B+2C=0\\3A+3B+C=0 \end{cases} \iff \begin{cases} A=-\frac{1}{4}\\ B=\frac{1}{2}\\ C=\frac{1}{4}. \end{cases}$

Sostituendo nell’integrale si ottiene quindi

$\begin{aligned} \int \dfrac{1}{x^3+5x^2+7x+3} \, dx & = \int -\dfrac{1}{4(x+1)} \, dx + \int \dfrac{1}{2(x+1)^2} \, dx + \int \dfrac{1}{4(x+3)} \, dx \\ & = - \dfrac{1}{4} \ln \vert x+1 \vert + \dfrac{1}{2} \; \dfrac{(x+1)^{-1}}{-1} + \dfrac{1}{4} \; \ln \vert x+3 \vert + c , \qquad c \in \mathbb{R}\\ & = \dfrac{1}{4} \; \ln \left\vert \dfrac{x+3}{x+1} \right\vert - \dfrac{1}{2(x+1)} + c, \qquad c \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

In conclusione

$\boxcolorato{analisi}{\int \dfrac{1}{x^3+5x^2+7x+3} \, dx= \dfrac{1}{4} \; \ln \left\vert \dfrac{x+3}{x+1} \right\vert - \dfrac{1}{2(x+1)} + c, \qquad c \in \mathbb{R}. }$

Osservazione 1.

Il denominatore della funzione integranda puo’ essere scomposto anche come segue:

$\begin{aligned} x^3+5x^2+7x+3 & = x(x^2+5x+4)+3(x+1)\\ & = x(x+4)(x+1)+3(x+1)\\ & = (x+1)(x^2+4x+3) \\ & = (x+1)^2(x+3). \end{aligned}$

Osservazione 2.

Dividendo il denominatore della funzione integranda per $x+1$

e calcolando il quoziente della divisione, si ottiene

$x^3+5x^2+7x+3=(x+1)(x^2+4x+3)$

ed avendosi $x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$ otteniamo

$x^3+5x^2+7x+3=(x+1)^2(x+3).$

Esercizio 24 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

$\int \frac{x^2}{(x^2-3)^3} \, dx.$

Svolgimento.

Possiamo scrivere

$\begin{aligned} \frac{x^2}{(x^2-3)^3} &=\frac{x^2}{(x-\sqrt{3})^3 (x+\sqrt{3})^3}\\ &=\frac{A}{x-\sqrt{3}}+\frac{B}{(x-\sqrt{3})^2}+\frac{C}{(x-\sqrt{3})^3}+\frac{D}{x+\sqrt{3}}+\frac{E}{(x+\sqrt{3})^2}+\frac{F}{(x+\sqrt{3})^3}, \end{aligned}$

da cui

$\begin{aligned} x^2=&A(x-\sqrt{3})^2(x+\sqrt{3})^3+B(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})^3+C(x+\sqrt{3})^3\\ &+D(x-\sqrt{3})^3(x+\sqrt{3})^2+E(x-\sqrt{3})^3(x+\sqrt{3})+F(x-\sqrt{3})^3\\ =&(x+\sqrt{3})\left[(x^2-3)^2 A+(x^2-3)(x+\sqrt{3})B+(x+\sqrt{3})^2 C\right]\\ &+(x-\sqrt{3})\left[(x^2-3)^2 D+(x^2-3)(x-\sqrt{3})E+(x-\sqrt{3})^2 F\right] \end{aligned}$

e quindi sostituendo $x=\sqrt{3}$ abbiamo

$3=24\sqrt{3} C\ \iff\ C=\sqrt{3}/24,$

mentre con $x=-\sqrt{3}$ otteniamo

$3=-24\sqrt{3} F\ \iff\ F=-\sqrt{3}/24.$

Avendosi pure

$[(x^2-3)^2]'=4x(x^2-3),\qquad [(x\pm\sqrt{3})^2]'=2(x\pm\sqrt{3}),$

allora

$[(x^2-3)(x\pm\sqrt{3})]'=2x(x\pm\sqrt{3})+(x^2-3)=(x\pm\sqrt{3})(2x\mp\sqrt{3})$

e ricaviamo

$\begin{aligned} 2x=&(x^2-3)^2 A+(x^2-3)(x+\sqrt{3})B+(x+\sqrt{3})^2 C\\ &+(x+\sqrt{3})\left[4x(x^2-3) A+(3x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})B+2(x+\sqrt{3}) C\right]\\ &+(x^2-3)^2 D+(x^2-3)(x-\sqrt{3})E+(x-\sqrt{3})^2 F\\ &+(x-\sqrt{3})\left[4x(x^2-3) D+(3x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})E+2(x-\sqrt{3}) F\right] \end{aligned}$

da cui sostituendo $x=\sqrt{3}$ abbiamo

$2\sqrt{3}=12C+2\sqrt{3}\left[12B+4\sqrt{3}C\right]\ \iff \ B=\frac{1}{48}$

e con $x=-\sqrt{3}$ otteniamo

$-2\sqrt{3}=12F-2\sqrt{3}\left[12E-4\sqrt{3}F\right]\ \iff \ E=\frac{1}{48}.$

Sostituendo $x=0$ nelle due relazioni otteniamo poi

$0=\sqrt{3}\left[9A-3\sqrt{3}B+3C\right]-\sqrt{3}\left[9D+3\sqrt{3}E+3F\right],$

$0=9A-3\sqrt{3}B+3C+\sqrt{3}\left[-3B+2\sqrt{3}C\right]+9D+3\sqrt{3}E+3F-\sqrt{3}\left[-3E-2\sqrt{3}F\right],$

e quindi le due equazioni in $A,\ D$ :

$3A-3D=\sqrt{3}B-C+\sqrt{3}E+F=-\frac{\sqrt{3}}{24},$

$3A+3D=2\sqrt{3}B-3C-2\sqrt{3}E-3F=0,$

da cui

$A=-\frac{\sqrt{3}}{144},\qquad D=\frac{\sqrt{3}}{144}.$

In definitiva

$\begin{aligned} \frac{x^2}{(x^2-3)^3} =&-\frac{\sqrt{3}}{144}\cdot\frac{1}{x-\sqrt{3}}+\frac{1}{48}\cdot\frac{1}{(x-\sqrt{3})^2}+ \frac{\sqrt{3}}{24}\cdot\frac{1}{(x-\sqrt{3})^3}\\ & +\frac{\sqrt{3}}{144}\cdot\frac{1}{x+\sqrt{3}}+\frac{1}{48}\cdot\frac{1}{(x+\sqrt{3})^2}- \frac{\sqrt{3}}{24}\cdot\frac{1}{(x+\sqrt{3})^3}, \end{aligned}$

e quindi, integrando

$\begin{aligned} &\int\frac{x^2}{(x^2-3)^3}\ dx\\ &=-\frac{\sqrt{3}}{144}\ln|x-\sqrt{3}|-\frac{1}{48}\cdot\frac{1}{(x-\sqrt{3})}- \frac{\sqrt{3}}{48}\cdot\frac{1}{(x-\sqrt{3})^2}\\ &\quad \quad+\frac{\sqrt{3}}{144}\ln|x+\sqrt{3}|-\frac{1}{48}\cdot\frac{1}{(x+\sqrt{3})}+ \frac{\sqrt{3}}{48}\cdot\frac{1}{(x+\sqrt{3})^2}+c,\quad c \in \mathbb{R}, \end{aligned}$

che può essere riscritta come

$\boxcolorato{analisi}{\int\frac{x^2}{(x^2-3)^3}\ dx=\frac{\sqrt{3}}{144}\ln\left|\frac{x+\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}\right|-\frac{1}{24}\frac{x(x^2+3)}{(x^2-3)^2}+c, \qquad c \in \mathbb{R}. }$

Esercizio 25 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

$\int \dfrac{x}{x^3-64}\, dx.$

Svolgimento.

Scomponendo il denominatore, abbiamo

$\qquad \qquad \, \int \dfrac{x}{x^3-64}\, dx = \int \dfrac{x}{(x-4)(x^2+4x+16)}\, dx.$

Posto

$\dfrac{a}{(x-4)}+ \dfrac{bx+c}{x^2+4x+16}= \dfrac{x}{x^3-64}$

con $a,b,c\in \mathbb{R}$ costanti, ricaviamo la seguente identità

$\quad \quad \, a(x^2+4x+16)+(bx+c)(x-4)=x,$

da cui

$\qquad \qquad \, \, (a+b)x^2+(4a-4b+c)x+16a-4c=x,$

e quindi, uguagliando i coefficienti tra i due polinomi

$\left\{\begin{array}{l} a+b=0\\ 4a-4b+c=1\\ 16a-4c=0 \end{array}\right.$

dalle quali si ricava facilmente

$a= \dfrac{1}{12}, \quad b=-\dfrac{1}{12} \quad c=\dfrac{1}{3}.$

Abbiamo quindi

$\begin{aligned} \int \dfrac{x}{x^3-64}\, dx&=\int \dfrac{dx}{12(x-4)} - \dfrac{1}{12} \int \dfrac{x-4}{x^2+4x+16}\ dx \\ &= \dfrac{1}{12} \ln \vert x-4 \vert -\dfrac{1}{24} \int \dfrac{2x-8}{x^2+4x+16}\ dx. \end{aligned}$

Risolviamo ora il secondo integrale; possiamo fare in modo di far apparire a numeratore la derivata del denominatore nel modo seguente

$\begin{aligned} \int \dfrac{2x-8}{x^2+4x+16}\ dx&=\int \dfrac{2x+4-4-8}{x^2+4x+16}\ dx\\ &=\int \dfrac{2x+4}{x^2+4x+16}\ dx- \int \dfrac{12}{(x+2)^2 +12}\ dx\\ &=\ln (x^2+4x+16)- \int \dfrac{12}{(x+2)^2 +12}\ dx. \end{aligned}$

Per l’ultimo integrale rimasto, effettuando la sostituzione

$x+2=2\sqrt{3} t\ \Rightarrow\ dx=2\sqrt{3}\ dt$

otteniamo

$\quad \quad \quad \, \begin{aligned} & \quad \quad \quad \,\int \dfrac{12}{(x+2)^2 +12}\ dx\\ & \quad \quad \quad \, =\int\frac{12}{12(t^2+1)}\ 2\sqrt{3}\ dt=2\sqrt{3}\arctan t+c,\qquad c \in \mathbb{R}\\ & \quad \quad \quad \, =2\sqrt{3}\arctan\left(\frac{x+2}{2\sqrt{3}}\right)+c, \qquad c \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

Sostituendo a ritroso otteniamo la soluzione cercata

$\boxcolorato{analisi}{\int \dfrac{x}{x^3-64}\, dx=\dfrac{1}{12} \ln \vert x-4 \vert-\dfrac{1}{24} \left[\ln (x^2+4x+16)-2\sqrt{3}\arctan\left(\frac{x+2}{2\sqrt{3}}\right)\right]+c }$

con $c\in\mathbb{R}$ .

Esercizio 26 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

$\int \frac{ax+b}{Ax^2+Bx+C}\ dx$

analizzando i differenti casi in cui $\Delta=B^2-4AC$ risulti positivo, negativo o nullo.

Svolgimento.

Osserviamo, per prima cosa, che l’integrale risulta di tipo notevole solo per $A\neq 0$

: se infatti $A=0$

abbiamo

$\begin{aligned} \int\frac{ax+b}{Bx+C}\ dx&=\frac{1}{B}\int\frac{aBx+aC-aC+bB}{Bx+C}\ dx\\ &=\frac{1}{B}\int\left[a+\frac{bB-aC}{Bx+C}\right]\ dx\\ &=\frac{1}{B}\left[ax+\frac{bB-aC}{B}\ln|Bx+C|\right]+c, \quad c \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

Analizziamo il caso $A\neq 0$ . L’integrale può essere riscritto equivalentemente nel seguente modo come

$I= \frac{1}{A}\int\frac{ax+b}{x^2+px+q}\ dx,$

avendo posto $p=B/A,\ q=C/A$ . Prima di analizzare i singoli casi, osserviamo che possiamo ulteriormente riscrivere la funzione integranda nel modo seguente:

$\frac{ax+b}{x^2+px+q}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2ax+2b}{x^2+px+q}= \frac{1}{2}\cdot\frac{2ax+ap-ap+2b}{x^2+px+q},$

da cui

(6) $\begin{equation*} \frac{ax+b}{x^2+px+q}=\frac{a}{2}\cdot\frac{2x+p}{x^2+px+q}+\frac{2b-ap}{2}\cdot\frac{1}{x^2+px+q}. \end{equation*}$

Osserviamo che il primo termine si può risolvere come un integrale immediato:

$\frac{a}{2}\int\frac{2x+p}{x^2+px+q}\ dx=\frac{a}{2}\ln|x^2+px+q|,$

per cui si ha:

(7) $\begin{equation*} I=\frac{a}{2A}\ln|x^2+px+q|+\frac{2b-ap}{2A}\int\frac{1}{x^2+px+q}\ dx. \end{equation*}$

Dobbiamo allora calcolare il secondo integrale. Si osservi che

$x^2+px+q=x^2+px+\frac{p^2}{4}-\frac{p^2}{4}+q=\left(x+\frac{p}{2}\right)^2+q-\frac{p^2}{4}$

e quindi, posto $\Delta=p^2-4q$ (si osservi che il discriminante qui definito differisce da quello nel testo del problema per un fattore $1/A^2$ )

(8) $\begin{equation*} x^2+px+q=\left(x+\frac{p}{2}\right)^2-\frac{\Delta}{4}. \end{equation*}$

Abbiamo allora le seguenti situazioni:

$\quad$

Se $\Delta>0$ poniamo $\alpha^2=\Delta/4$ e $x+p/2=z$ da cui $dx=dz$ e quindi
$\begin{aligned} \int\frac{1}{x^2+px+q}\ dx=&\int\frac{1}{\displaystyle\left(x+\frac{p}{2}\right)^2-\frac{\Delta}{4}}\ dx\\ =&\int\frac{1}{z^2-\alpha^2}\ dz\\ =& \int \frac{1}{(z-\alpha)(z+\alpha)}\ dz \end{aligned}$

Si ha dunque

$\frac{1}{(z-\alpha)(z+\alpha)} = \dfrac{A}{z-\alpha}+ \dfrac{B}{z+\alpha} \iff A= 1 , B=-1,$

da cui

$\int \frac{1}{(z-\alpha)(z+\alpha)}\ dz = \int \dfrac{1}{z-\alpha}\ dz-\int \dfrac{1}{z+\alpha} \ dz = \frac{1}{2\alpha}\ln\left|\frac{z-\alpha}{z+\alpha}\right|+c,\quad c \in \mathbb{R},$

pertanto, sostituendo i valori di $z$ e $\alpha$ , si ha

(9) $\begin{equation*} \int\frac{1}{x^2+px+q}\ dx=\frac{1}{\sqrt{\Delta}}\ln\left|\frac{2x+p-\sqrt{\Delta}}{2x+p+\sqrt{\Delta}}\right|+c\qquad \Delta>0. \end{equation*}$

Se $\Delta=0$ , ponendo $x+p/2=z$ da cui $dx=dz$ , si ha
$\int\frac{1}{x^2+px+q}\ dx=\int\frac{1}{\displaystyle\left(x+\frac{p}{2}\right)^2}\ dx= \int\frac{1}{z^2}\ dz=-\frac{1}{z}+c,\quad c \in \mathbb{R},$

dove nel secondo passaggio abbiamo sfruttato il fatto che $p^2 = 4q$ . Dunque si ottiene

(10) $\begin{equation*} \int\frac{1}{x^2+px+q}\ dx=-\frac{2}{2x+p}+c,\quad c \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Se $\Delta<0$ poniamo $\alpha^2=-\Delta/4>0$ e $x+p/2=z$ da cui $dx=dz$ e quindi
$\begin{aligned} \int\frac{1}{x^2+px+q}\ dx=&\int\frac{1}{\displaystyle\left(x+\frac{p}{2}\right)^2-\frac{\Delta}{4}}\ dx\\ =&\int\frac{1}{z^2+\alpha^2}\ dz=\frac{1}{\alpha}\arctan\frac{z}{\alpha}+c,\quad c \in \mathbb{R}, \end{aligned}$

pertanto

(11) $\begin{equation*} \int\frac{1}{x^2+px+q}\ dx=\frac{2}{\sqrt{-\Delta}}\arctan\frac{2x+p}{\sqrt{-\Delta}}+c,\quad c \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Si conclude dunque

$\boxcolorato{analisi}{\begin{aligned} I = \frac{a}{2A}\ln|x^2+px+q| +\frac{2b-ap}{2A}\cdot \begin{cases} \displaystyle\frac{1}{\sqrt{\Delta}}\ln\left|\frac{2x-p}{2x+p}\right|+c \qquad & \Delta>0\\\\ \displaystyle -\frac{2}{2x+p}+c \qquad & \Delta=0\\\\ \displaystyle \frac{2}{\sqrt{-\Delta}}\arctan\frac{2x+p}{\sqrt{-\Delta}}+c \qquad & \Delta<0. \end{cases} \end{aligned}}$

Esercizio 27 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

$\int \dfrac{x^2+3}{(x+1)(x^2+9)^2}\ dx.$

Svolgimento.

Possiamo decomporre l’integranda al modo seguente

$\dfrac{x^2+3}{(x+1)(x^2+9)^2}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+9}+\frac{Dx+E}{(x^2+9)^2},$

da cui, passando al denominatore comune e uguagliando i numeratori otteniamo l’identità

$\qquad \qquad \quad \quad \,\,\,\, x^2+3=(x^2+9)^2 A+(x+1)\left[(Bx+C)(x^2+9)+(Dx+E)\right]$

valida per ogni $x\in\mathbb{R}$ .

Per $x=-1$ otteniamo $4=100 A\ \Rightarrow\ A=1/25$ . Sostituendo $x=\pm 2$ otteniamo le due relazioni

$7=\frac{169}{25}+3\left[26B+13C+2D+E\right]\ \iff \ 78B+39C+6D+3E=\frac{6}{25},$

$7=\frac{169}{25}-\left[-26B+13C-2D+E\right]\ \iff \ 26B-13C+2D-E=\frac{6}{25}.$

Moltiplicando la seconda per $3$ e sommando membro a membro otteniamo

$\qquad \qquad \qquad \quad \quad 156 B+12D=\frac{24}{25}\ \iff\ 13B+D=\frac{2}{25},\ \iff \ D=\frac{2}{25}-13B,$

mentre sottraendo membro a membro si ha

$78C+6E=-\frac{12}{25}\ \iff \ E=-13C-\frac{2}{25}.$

Inoltre per $x=0$ si ha, sostituendo i precedenti

$\, 3=\frac{81}{25}+9C-13C-\frac{2}{25}\ \iff \ C=\frac{1}{25},$

da cui pure $E=-3/5$ . Infine, per $x=1$ si ha

$\qquad \qquad \qquad \, 4=4+2\left[10B+\frac{2}{5}+\frac{2}{25}-13B-\frac{3}{5}\right]\ \iff \ B=-\frac{1}{25},$

da cui pure $D=3/5$ .

Ne segue la seguente espressione per l’integrale

$\begin{aligned} &\int \dfrac{x^2+3}{(x+1)(x^2+9)^2}\ dx \\ &=\frac{1}{25}\int\frac{1}{x+1}\ dx-\frac{1}{25}\int\frac{x-1}{x^2+9}\ dx+\frac{3}{5}\int\frac{x-1}{(x^2+9)^2}\ dx\\ &=\frac{1}{25}\ln|x+1|-\frac{1}{25}\int\frac{x-1}{x^2+9}\ dx+\frac{3}{5}\int\frac{x-1}{(x^2+9)^2}\ dx. \end{aligned}$

Chiamiamo i due integrali, rispettivamente, $I$ e $K$ e calcoliamoli separatamente. Per $I$ si ha:

$\begin{aligned} I= \int\frac{x-1}{x^2+9}\ dx &=\frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^2+9}\ dx-\int\frac{1}{x^2+9}\ dx\\ &=\frac{1}{2}\ln(x^2+9)-\int\frac{1}{x^2+9}\ dx. \end{aligned}$

Ponendo nel secondo integrale $x=3t$ da cui $dx=3\ dt$ abbiamo poi

$\begin{aligned} \int\frac{1}{x^2+9}\ dx=\int\frac{1}{9t^2+9}\ 3\ dt=\frac{1}{3}\int\frac{1}{t^2+1}\ dt= \frac{1}{3}\arctan t+c=\frac{1}{3}\arctan\frac{x}{3}+c, \quad c \in \mathbb{R}, \end{aligned},$

da cui

$I=\frac{1}{2}\ln(x^2+9)-\frac{1}{3}\arctan\frac{x}{3}+c, \qquad c \in \mathbb{R}.$

Per $K$ si ha invece:

$\begin{aligned} K= \int\frac{x-1}{(x^2+9)^2}\ dx &=\frac{1}{2}\int\frac{2x}{(x^2+9)^2}\ dx-\int\frac{1}{(x^2+9)^2}\ dx\\ &=\frac{1}{2}\cdot\left[-\frac{1}{x^2+9}\right]-\int\frac{1}{(x^2+9)^2}\ dx. \end{aligned}$

Per l’ultimo integrale rimasto, forniamo due metodi di risoluzione: uno sfrutta l’integrazione per parti, l’altro per sostituzione.

$\quad$

Analizziamo un caso più generale determinando una espressione per l’integrale seguente
$I_n=\int\frac{1}{(x^2+a^2)^n}\ dx, \qquad n\ge 0.$

Integriamo per parti ponendo

$f(x)=(x^2+a^2)^{-n},\ g'(x)=1\ \Rightarrow\ f'(x)=-2nx(x^2+a^2)^{-n-1},\ g(x)=x,$

da cui

$\begin{aligned} I_n &=\int(x^2+a^2)^{-n}\ dx=x(x^2+a^2)^{-n}+2n\int\frac{x^2}{(x^2+a^2)^{n+1}}\ dx\\ &=\frac{x}{(x^2+a^2)^n}+2n\int\frac{x^2+a^2-a^2}{(x^2+a^2)^{n+1}}\ dx\\ &=\frac{x}{(x^2+a^2)^n}+2n\int\frac{x^2+a^2}{(x^2+a^2)^{n+1}}\ dx-2n a^2\int\frac{1}{(x^2+a^2)^{n+1}}\ dx\\ &=\frac{x}{(x^2+a^2)^n}+2n I_n-2n a^2 I_{n+1}, \end{aligned}$

e quindi la relazione

$I_{n+1}=\frac{1}{2n a^2}\left[\frac{x}{(x^2+a^2)^n}+(2n-1) I_n\right],\qquad n\ge 1.$

Per $n=1$ e osservando, dal caso precedente, che $I_1=\displaystyle\frac{1}{3}\arctan\frac{x}{3}$ , otteniamo, essendo $a^2=9$

$I_2=\int\frac{1}{(x^2+9)^2}\ dx=\frac{1}{18}\left[\frac{x}{x^2+9}+\frac{1}{3}\arctan\frac{x}{3}\right] + c, \quad c\in \mathbb{R},$

e quindi

$\begin{aligned} K &=-\frac{1}{2(x^2+9)}-\frac{x}{18(x^2+9)}-\frac{1}{54}\arctan\frac{x}{3}+c, \quad c\in \mathbb{R}\\ &=-\frac{x+9}{18(x^2+9)}-\frac{1}{54}\arctan\frac{x}{3}+c, \quad c\in \mathbb{R}. \end{aligned}$

Riscriviamo l’integrale al modo seguente
$\int \dfrac{1}{(x^2+9)^2} \, dx = \dfrac{1}{81} \int \dfrac{1}{\left[\left(\frac{x}{3}\right)^2+1\right]^2} \, dx.$

Posto $\dfrac{x}{3} = \tan t \Rightarrow dx = \dfrac{3}{\cos^2 t} \, dt$ , l’integrale diventa

$\begin{aligned} \dfrac{1}{81} \int \dfrac{3}{[(\tan t)^2+1]^2} \cdot \dfrac{1}{\cos^2 t}\ dt & = \dfrac{1}{27} \int \dfrac{1}{[(\tan t)^2+1]^2} \cdot \dfrac{1}{\cos^2 t}\ dt \\ & = \dfrac{1}{27} \int \cos^4 t \cdot \dfrac{1}{\cos^2 t}\ dt = \\ & = \dfrac{1}{27}\int \cos^2 t\ dt \\ & = \dfrac{1}{27} \int \dfrac{1+\cos(2t)}{2}\ dt \\ & = \dfrac{1}{27} \int \dfrac{1}{2}\ dt + \dfrac{1}{27} \int \dfrac{\cos(2t)}{2}\ dt = \\ & = \dfrac{1}{54}t + \dfrac{1}{54} \dfrac{\sin(2t)}{2}. \end{aligned}$

Sostituendo $t = \tan^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)$ si ottiene:

$\begin{aligned} & \int \dfrac{1}{(x^2+9)^2}\ dx = \dfrac{1}{54} \arctan\left(\dfrac{x}{3}\right) + \dfrac{1}{108} \sin\left(2\arctan\left(\dfrac{x}{3}\right)\right) = \\ & = \dfrac{1}{54} \arctan\left(\dfrac{x}{3}\right) + \dfrac{2}{108} \sin\left(\arctan\left(\dfrac{x}{3}\right)\right) \cos\left(\arctan\left(\dfrac{x}{3}\right)\right) \\ & = \dfrac{1}{54} \arctan\left(\dfrac{x}{3}\right) + \dfrac{1}{54} \dfrac{\frac{x}{3}}{\sqrt{1+ \left(\frac{x}{3}\right)^2}} \; \dfrac{1}{\sqrt{1+ \left(\frac{x}{3}\right)^2}} \\& = \dfrac{1}{54}\arctan\left(\dfrac{x}{3}\right) + \dfrac{1}{54} \left(\dfrac{3x}{9+x^2}\right). \end{aligned}$

Infine per l’integrale di partenza si ha

$\begin{aligned} \int \dfrac{x^2+3}{(x+1)(x^2+9)^2}\ dx &=\frac{1}{25}\ln|x+1|-\frac{1}{50}\ln(x^2+9)+\frac{1}{75}\arctan\frac{x}{3} -\frac{x+9}{30(x^2+9)}-\frac{1}{90}\arctan\frac{x}{3}+c, \quad c\in \mathbb{R}\\ &=\frac{1}{50}\ln\frac{(x+1)^2}{x^2+9}+\frac{1}{450}\arctan\frac{x}{3}-\frac{x+9}{30(x^2+9)}+c, \qquad c \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

Dunque

$\boxcolorato{analisi}{\begin{aligned} \int \dfrac{x^2+3}{(x+1)(x^2+9)^2}\ dx=\frac{1}{50}\ln\frac{(x+1)^2}{x^2+9}+\frac{1}{450}\arctan\frac{x}{3}-\frac{x+9}{30(x^2+9)}+c, \qquad c \in \mathbb{R}. \end{aligned}}$

Esercizio 28 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$

. Calcolare il seguente integrale indefinito

$\int \dfrac{2x^2-3}{x^3(x^2+6x+11)}\ dx.$

Svolgimento.

Presentiamo due procedimenti per risolvere l’esercizio.

Svolgimento metodo 1.

Decomponiamo la funzione al modo seguente, tenendo conto che il polinomio a denominatore non si scompone:

$\dfrac{2x^2-3}{x^3(x^2+6x+11)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x^3}+\frac{Dx+E}{x^2+6x+11}.$

Passando al denominatore comune e uguagliando i numeratori otteniamo l’identità seguente

$\quad \quad \quad 2x^2-3=(x^2+6x+11)(Ax^2+Bx+C)+x^3(Dx+E),$

valida per ogni $x\in\mathbb{R}$ . Ponendo $x=0$ nella precedente otteniamo $-3=11C\ \iff \ C=-3/11$ . Sostituendo i valori $x=\pm 1$ e $x=\pm 2$ otteniamo le seguenti condizioni

$\begin{aligned} &(i)\quad -1=18(A+B+C)+D+E\ \iff\ 18A+18B+D+E=\frac{43}{11}\\ &(ii)\quad -1=6(A-B+C)+D-E\ \iff\ 6A-6B+D-E=\frac{7}{11}\\ &(iii)\quad 5=27(4A+2B+C)+8(2D+E)\ \iff\ 54A+27B+8D+4E=\frac{68}{11}\\ &(iv)\quad 5=3(4A-2B+C)-8(-2D+E)\ \iff\ 6A-3B+8D-4E=\frac{32}{11}. \end{aligned}$

Sommando membro a membro $(i)$ e $(ii)$ e poi $(iii)$ e $(iv)$ si ha

$\begin{aligned} &24A+12B+2D=\frac{50}{11}\ \iff\ 12A+6B+D=\frac{25}{11}\\ & 120A+48B+32D=\frac{200}{11}\ \iff\ 15A+6B+4D=\frac{25}{11} \end{aligned}$

da cui sottraendo membro a membro le due

$3A+3D=0\ \iff\ D=-A.$

Sottraendo membro a membro $(i)$ e $(ii)$ e poi $(iii)$ e $(iv)$ abbiamo

$\, \, 12A+24B+2E=\frac{36}{11}\ \iff\ 24A+48B+4E=\frac{72}{11},$

$96A+60B+16E=\frac{72}{11}\ \iff\ 24A+15B+4E=\frac{18}{11},$

e sottraendo membro a membro le ultime due

$33B=\frac{54}{11}\ \iff\ B=\frac{18}{121}.$

Sostituendo i valori trovati per $B$ e $D$ nella $(ii)$ abbiamo

$6A-\frac{108}{121}-A-E=\frac{7}{11}\ \iff\ E=5A-\frac{185}{121},$

e sostituendo questi valori in $(i)$ abbiamo

$18A+\frac{324}{121}-A+5A-\frac{185}{121}=\frac{43}{11}\ \iff\ 22A=\frac{334}{121}\ \iff\ A=\frac{167}{1331}.$

Riassumendo abbiamo

$A=\frac{167}{1331},\quad B=\frac{18}{121},\quad C=-\frac{3}{11},\quad D=-\frac{167}{1331},\quad E=-\frac{1200}{1331},$

e quindi per l’integrale abbiamo

$\begin{aligned} &\int \dfrac{2x^2-3}{x^3(x^2+6x+11)}\ dx\\ &=\int\frac{167}{1331 x}\ dx+\int\frac{18}{121 x^2}\ dx-\int\frac{3}{11 x^3}\ dx -\frac{1}{1331}\int\frac{167 x+1200}{x^2+6x+11}\ dx\\ &=\frac{167}{1331}\ln|x|-\frac{18}{121 x}+\frac{3}{22 x^2} -\frac{1}{1331}\int\frac{167 x+1200}{x^2+6x+11}\ dx. \end{aligned}.$

Per l’ultimo integrale, facciamo in modo di far apparire a numeratore la derivata del denominatore:

$\begin{aligned} \int\frac{167 x+1200}{x^2+6x+11}\ dx &=\frac{1}{2}\int\frac{334 x+1002-1002+2400}{x^2+6x+11}\ dx\\ &=\frac{1}{2}\left[167\int\frac{2x+6}{x^2+6x+11}\ dx+\int\frac{1338}{x^2+6x+11}\ dx\right]\\ &=\frac{167}{2}\ln(x^2+6x+11)+669\int\frac{1}{x^2+6x+11}\ dx. \end{aligned}$

Poiché

$x^2+6x+11=(x+3)^2+2$

ponendo nel precedente $x+3=\sqrt{2} t\ \Rightarrow\ dx=\sqrt{2}\ dt$ , abbiamo

$\begin{aligned} \int\frac{167 x+1200}{x^2+6x+11}\ dx &=\frac{167}{2}\ln(x^2+6x+11)+669\int\frac{1}{(x+3)^2+2}\ dx\\ &=\frac{167}{2}\ln(x^2+6x+11)+669\int\frac{\sqrt{2}}{2t^2+2}\ dt\\ &=\frac{167}{2}\ln(x^2+6x+11)+\frac{669\sqrt{2}}{2}\int\frac{1}{t^2+1}\ dt\\ &=\frac{167}{2}\ln(x^2+6x+11)+\frac{669\sqrt{2}}{2}\arctan t+c\\ &=\frac{167}{2}\ln(x^2+6x+11)+\frac{669\sqrt{2}}{2}\arctan\frac{x+3}{\sqrt{2}}+c, \qquad c \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

Infine abbiamo

$\begin{aligned} &\int \dfrac{2x^2-3}{x^3(x^2+6x+11)}\ dx \\ &=\frac{167}{1331}\ln|x|-\frac{18}{121 x}+\frac{3}{22 x^2} -\frac{167}{2662}\ln(x^2+6x+11)-\frac{669\sqrt{2}}{2662}\arctan\frac{x+3}{\sqrt{2}}+c, \qquad c \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

Svolgimento metodo 2.

Per il metodo di decomposizione di Hermite, la funzione integranda può essere scritta come

(12) $\begin{equation*} \frac{2x^2-3}{x^3(x^2+6x+11)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+6x+11}+\frac{d}{dx}\!\left(\frac{Dx+E}{x^2}\right)\!, \end{equation*}$

dove $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , ed $E$ , sono coefficienti reali da determinare. Svolgendo la derivata al secondo membro, e raccogliendo i termini, si ottiene

$\frac{2x^2-3}{x^3(x^2+6x+11)}=\frac{(A+B)x^4+(6A+C-D)x^3+(11A-6D-2E)x^2-(11D+12E)x-22E}{x^3(x^2+6x+11)}.$

Ora, per il principio d’identità dei polinomi, vale il seguente sistema

$\begin{cases} A+B=0, \\[5pt] 6A+C-D=0, \\[5pt] 11A-6D-2E=2, \\[5pt] 11D+12E=0, \\[5pt] 22E=3, \end{cases}$

la cui soluzione è:

$A=\frac{167}{1331}, \quad B=-\,\frac{167}{1331}, \quad C=-\,\frac{1200}{1331}, \quad D=-\,\frac{18}{121}, \quad E=\frac{3}{22}.$

Inserendo questi valori nell’equazione (12), si ottiene

$\frac{2x^2-3}{x^3(x^2+6x+11)}= \frac{167}{1331\hspace{0.2mm}x} -\frac{167x+1200}{1331\hspace{0.1mm}(x^2+6x+11)} -\frac{d}{dx}\!\left[\frac{3\hspace{0.2mm}(12x-11)}{242\hspace{0.3mm}x^2}\right]\!.$

Di conseguenza, l’integrale da risolvere diventa

$\quad \mathcal{I}= \frac{167}{1331}\ln|x| -\frac{1}{1331}\,\mathcal{F} -\frac{3(12x-11)}{242\hspace{0.3mm}x^2}, \qquad\quad \mathcal{F} \equiv \int\frac{167x+1200}{x^2+6x+11}\,dx.$

Per risolvere $\mathcal{F}$ , facciamo in modo di far comparire al numeratore la derivata prima del denominatore:

$167x+1200= \frac{167}{2}\left(2x+\frac{2400}{167}\right) =\frac{167}{2}\left(2x+6+\frac{1398}{167}\right)\!.$

Sostituendo, otteniamo

$\mathcal{F}=\displaystyle\frac{167}{2}\int\frac{2x+6}{x^2+6x+11}\,dx +699\!\int\frac{dx}{x^2+6x+11}.$

Il primo degli integrali ha una primitiva logaritmica immediata, da cui

(13) $\begin{equation*} \mathcal{I}= \frac{167}{1331}\ln|x| -\frac{167}{2662}\ln(x^2+6x+11) -\frac{699}{1331}\,\mathcal{G} -\frac{3(12x-11)}{242x^2}, \quad \mathcal{G} \equiv \int\frac{dx}{x^2+6x+11}. \end{equation*}$

Rimane da risolvere l’integrale $\mathcal{G}$ . Per farlo, ricostruiamo il quadrato al denominatore:

$x^2+6x+11= 2+(x+3)^2 =2\!\left[\hspace{0.2mm}1+\left(\frac{x+3}{\sqrt{2}}\right)^{\!\!2}\hspace{0.5mm}\right]\!.$

Ora, con la sostituzione di variabile $(x+3)/\sqrt{2} \,\equiv u$ è facile ottenere, a meno di una costante additiva,

$\mathcal{G}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{du}{1+u^2} =\frac{1}{\sqrt{2}}\,\atan\,u =\frac{1}{\sqrt{2}}\,\atan\,\frac{x+3}{\sqrt{2}}.$

Inserendo questo risultato nell’eq. (13) si ottiene infine

$\mathcal{I}= \frac{167}{1331}\ln|x| -\frac{167}{2662}\ln\hspace{0.2mm}(x^2+6x+11) -\frac{699}{1331\sqrt{2}}\,\atan\,\frac{x+3}{\sqrt{2}} -\frac{3(12x-11)}{242\hspace{0.3mm}x^2} +c, c \in \mathbb{R}.$

$\boxcolorato{analisi}{\begin{aligned} \int \dfrac{2x^2-3}{x^3(x^2+6x+11)}\ dx&= \frac{167}{1331}\ln|x| -\frac{167}{2662}\ln(x^2+6x+11)+\\ & -\frac{699}{1331\sqrt{2}}\,\atan\,\frac{x+3}{\sqrt{2}} -\frac{3(12x-11)}{242x^2} +c,\quad c \in \mathbb{R}. \end{aligned}}$

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