Esercizi su integrali immediati

Integrali immediati

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Introduzione

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Benvenuti nella dispensa dedicata agli esercizi sugli integrali immediati. All’interno di questa dispensa troverete una selezione accurata di esercizi svolti che partono da un livello elementare fino ad arrivare ad un livello avanzato. Ciascun esercizio è stato scelto per stimolare e migliorare la vostra comprensione, mentre le soluzioni dettagliate e le spiegazioni vi accompagneranno attraverso concetti complessi in modo chiaro e intuitivo.

Di seguito troverete 25 esercizi svolti, con spiegazioni dettagliate e annotazioni utili. Per i richiami teorici più completi si rimanda alle dispense di teoria su integrali definiti e indefiniti e la guida alla risoluzione degli integrali indefiniti.

Dopo aver svolto questi esercizi, si consiglia lo svolgimento dei seguenti esercizi per le diverse tecniche di integrazione:

  1. Integrali per sostituzione
  2. Integrali per parti
  3. Integrali di funzione razionale

Infine, si suggerisce lo svolgimento degli esercizi misti sugli integrali indefiniti e degli esercizi misti sugli integrali definiti.


 

Testi degli esercizi

 

Esercizio 1  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)
Calcolare il seguente integrale indefinito

    \[\int \left(2x^3-x+2\right) \, dx\]

Svolgimento esercizio 1

Ricordando che

    \[\int x^n\ dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c,\qquad n\neq -1,\]

abbiamo

    \[\int(2x^3-x+2)\ dx &=2\int x^3\ dx-\int x\ dx+2\int dx=\frac{2x^4}{4}-\frac{x^2}{2}+2x+c=\frac{x^4}{2}-\frac{x^2}{2}+2x+c, \quad c \in \mathbb{R}.\]


 

Esercizio 2  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)
Calcolare il seguente integrale indefinito

    \[\int \left(2x\sqrt{x}+(x-1)^{-1/2}\right) \, dx\]

Svolgimento esercizio 2

Ricordando che

    \[\int x^n\ dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c,\qquad n\neq -1\]

abbiamo

    \begin{equation*} \begin{aligned} 	\int(2x\sqrt{x}+(x-1)^{-1/2}) dx&=\int(2x^{3/2}+(x-1)^{-1/2}) dx=\\ 	&=2\cdot\frac{2}{5}\cdot x^{5/2}+2(x-1)^{1/2}+c=\\ 	&=\frac{4}{5}\, x^{5/2}+2(x-1)^{1/2}+c=\\ 	& = \frac{4}{5} \, x^2\sqrt{x}+2\sqrt{x-1}+c, \quad c \in \mathbb{R}. \end{aligned} \end{equation*}


 

Esercizio 3  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)
Calcolare il seguente integrale indefinito

    \[\int \frac{x^3+1}{x+1} \,dx\]

Svolgimento esercizio 3

Poiché x^3+1=(x+1)(x^2-x+1), si ha \frac{x^3+1}{x+1}=x^2-x+1, dunque l’integrale cercato è \frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x+c, c \in \mathbb{R}..

 

Esercizio 4  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)
Calcolare il seguente integrale indefinito

    \[\int (\sqrt{x}+1)(x-\sqrt{x}+1) \, dx\]

Svolgimento esercizio 4

Effettuando il prodotto e ricordando che

    \[\int x^n\ dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c,\]

abbiamo

    \begin{equation*}\begin{aligned} 	\int(\sqrt{x}+1)(x-\sqrt{x}+1)\ dx&=\int(x\sqrt{x}-x+\sqrt{x}+x-\sqrt{x}+1)\ dx=\\ 	&=\int(x^{3/2}+1)\ dx=\\ 	& = \frac{2}{5}x^{5/2}+x+c=\\ 	& = \dfrac{2}{5} x^2\sqrt{x} +x+c, \quad c \in \mathbb{R}. \end{aligned}\end{equation*}


 

Esercizio 5  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)
Calcolare il seguente integrale indefinito

    \[\int \sin x\cdot\cos x \, dx\]

Svolgimento esercizio 5

Poiché la funzione \cos x è la derivata della funzione \sin x segue che

    \[\int \sin x \cdot \cos x \, dx = \dfrac{\sin^2 x}{x} + c, \quad c \in \mathbb{R}.\]


 

Esercizio 6  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)
Calcolare il seguente integrale indefinito

    \[\int \sqrt{\cos(x)}\sin(x) \,dx\]

Svolgimento esercizio 6

Abbiamo

    \[\int \sqrt{\cos(x)}\sin(x) \,dx=-\int \sqrt{\cos(x)}\,d(\cos(x))=-\frac 2 3 (\cos(x))^{\frac 3 2}+c, \quad c \in \mathbb{R}.\]


 

Esercizio 7  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)
Calcolare il seguente integrale indefinito

    \[\int \frac{x^7(x-2)}{(x-1)^5}\ dx\]

Svolgimento esercizio 7

Osserviamo che possiamo scrivere la funzione integranda nel modo seguente

    \[\frac{x^7(x-2)}{(x-1)^5}=\frac{x\cdot x^6\cdot(x-2)}{(x-1)^3\cdot(x-1)^2}= \frac{x^6}{(x-1)^3}\cdot\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}= \left(\frac{x^2}{x-1}\right)^3\cdot\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}.\]

Inoltre si ha

    \[\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{x-1}\right)=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2},\]

e pertanto siamo ricondotti ad un integrale della forma

    \[\int f'(x)\cdot[f(x)]^n\ dx=\frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1}+c,\]

essendo in questo caso

    \[f(x)=\left(\frac{x^2}{x-1}\right),\qquad n=3.\]

Ne deduciamo che

    \[\int \frac{x^7(x-2)}{(x-1)^5}\ dx=\frac{1}{4}\left(\frac{x^2}{x-1}\right)^4+c, \quad c \in \mathbb{R}.\]


 

Esercizio 8  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)
Calcolare il seguente integrale indefinito

    \[\int \sin(4x)\cos(4x)\,dx\]

Svolgimento esercizio 8

Ricordando che \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x), si ha: \\ \displaystyle \sin(4x)\cos(4x)=\frac 1 2 \sin(8x)=-\frac{1}{16}(-8\sin(8x)), dunque si trova

    \[\displaystyle \int \sin(4x)\cos(4x)\,dx=-\frac{1}{16}\cos(8x)+c, \quad c \in \mathbb{R}.\]


 

Esercizio 9  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)
Calcolare il seguente integrale indefinito

    \[\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \,dx\]

Svolgimento esercizio 9

Abbiamo \displaystyle \int\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \,dx= \int\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \,d(1+x^2)=\sqrt{1+x^2}+c, \quad c \in \mathbb{R}..

 

Esercizio 10  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)
Calcolare il seguente integrale indefinito

    \[\int  \frac{1}{\sqrt{x}-x}\,dx\]

Svolgimento esercizio 10

\displaystyle \int  \frac{1}{\sqrt{x}-x}\,dx= \int  \frac{1}{\sqrt{x}(1-\sqrt{x})}\,dx=-2\int  \frac{1}{1-\sqrt{x}}(-\frac{1}{2\sqrt{x}})\,dx=\\-2\int  \frac{1}{1-\sqrt{x}}\,d(1-\sqrt{x})=-2\log|1-\sqrt{x}|+c, \quad c \in \mathbb{R}..

 

Esercizio 11  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)
Calcolare il seguente integrale indefinito

    \[\int \frac{1}{\cosh(x)} \,dx\]

Svolgimento esercizio 11

Abbiamo \frac{1}{\cosh(x)}= \frac{2}{e^x+e^{-x}}=\frac{2e^x}{e^{2x}+1}, dunque

    \[\int \frac{1}{\cosh(x)} \,dx= 2\int \frac{d(e^x)}{(e^x)^2+1}=2\arctan(e^x)+c, \quad c \in \mathbb{R}.\]


 

Esercizio 12  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)
Calcolare il seguente integrale indefinito

    \[\int  \frac{e^x-1}{1+xe^x}\,dx\]

Svolgimento esercizio 12

Osserviamo che la derivata di 1+xe^x è e^x+xe^x. Aggiungendo e sottraendo xe^x al numeratore dell’integrando, \displaystyle \frac{e^x-1}{1+xe^x}= \frac{e^x+xe^x}{1+xe^x}-1, dunque integrando troviamo

    \[\int  \frac{e^x-1}{1+xe^x}\,dx= \int \frac{e^x+xe^x}{1+xe^x}\,dx-x = \int \frac{(1+xe^x)'}{1+xe^x}\,dx-x,\]

che è immediato. Concludiamo quindi che

    \[\int \frac{e^x-1}{1+xe^x}\,dx=\log|1+xe^x|-x+c, \quad c \in \mathbb{R}.\]


 

Esercizio 13  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)
Calcolare il seguente integrale indefinito

    \[\int  \text{cotg}(x) \,dx\]

Svolgimento esercizio 13

\int \textrm{cotg}(x) \,dx= \int \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\,dx=\int \frac{1}{\sin(x)}\,d(\sin(x))=\log|\sin(x)|+c, \quad c \in \mathbb{R}..

 

Esercizio 14  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)
Calcolare il seguente integrale indefinito

    \[\int \frac{\cos 2x}{\sin x\cos x} \, dx\]

Svolgimento esercizio 14

Possiamo scrivere, ricordiamo che \cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x,

    \begin{equation*}\begin{aligned} \int\frac{\cos 2x}{\sin x\cos x}\ dx &=\int\frac{\cos^2 x-\sin^2 x}{\sin x\cos x}\ dx=\int\frac{\cos x}{\sin x}\ dx-\int\frac{\sin x}{\cos x}\ dx=\\ &=\log|\sin x|+\log|\cos x|+c=\log|\sin x\cos x|+c, \quad c \in \mathbb{R}. \end{aligned}\end{equation*}

avendo usato il fatto che

    \begin{equation*} \int\frac{f'(x)}{f(x)} dx=\ln|f(x)|+c, \quad c \in \mathbb{R}. \end{equation*}


 

Esercizio 15  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)
Calcolare il seguente integrale indefinito

    \[\int \frac{x^2}{1+x^2} \,dx\]

Svolgimento esercizio 15

Osserviamo che \frac{x^2}{1+x^2}=\frac{x^2 + 1 -1}{1+x^2}=1-\frac{1}{1+x^2}, dunque l’integrale cercato è x-\arctan(x)+c, c \in \mathbb{R}.

 

Esercizio 16  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)
Calcolare il seguente integrale indefinito

    \[\int  \frac{1}{\sin^2(2x)\cos^2(2x)}\,dx\]

Svolgimento esercizio 16

Osserviamo che

    \[\frac{1}{\sin^2(2x)\cos^2(2x)}=\frac{\cos^2(2x)+\sin^2(2x)}{\sin^2(2x)\cos^2(2x)}= \frac{1}{\sin^2(2x)}+\frac{1}{\cos^2(2x)}=\frac 1 2 \left( \frac{2}{\sin^2(2x)}+\frac{2}{\cos^2(2x)}\right),\]

dunque concludiamo che

    \[\int  \frac{1}{\sin^2(2x)\cos^2(2x)}\,dx=\frac 1 2 (-\textrm{cotg}(2x)+\tan(2x))+c, c \in \mathbb{R}.\]


 

Esercizio 17  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)
Calcolare il seguente integrale indefinito

    \[\int \sin^2\left( \frac{x}{2}\right)\,dx\]

Svolgimento esercizio 17

Osserviamo che \sin^2\left( \frac{x}{2}\right)=\frac{1-\cos(x)}{2}, dunque si trova

    \[\int \sin^2\left( \frac{x}{2}\right)\,dx= \frac 1 2 (x-\sin(x))+ c, c \in \mathbb{R}.\]


 

Esercizio 18  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)
Calcolare il seguente integrale indefinito

    \[\int \frac{x^3+1}{x+1} \,dx\]

Svolgimento esercizio 18

Poiché x^3+1=(x+1)(x^2-x+1), si ha \frac{x^3+1}{x+1}=x^2-x+1, dunque l’integrale cercato è \frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x+c, c \in \mathbb{R}..

 

Esercizio 19  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)
Calcolare il seguente integrale indefinito

    \[\int (\tan^2(x)-x) \,dx\]

Svolgimento esercizio 19

Per risolvere l’integrale, utilizziamo l’identità trigonometrica:

    \[ \tan^2(x) = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \sec^2(x) - 1 \]

Quindi, possiamo riscrivere l’integrale come:

    \[ \int (\tan^2(x) - x) \, dx = \int (\sec^2(x) - 1 - x) \, dx \]

Scomponiamo l’integrale in tre parti:

    \[ \int (\sec^2(x) - 1 - x) \, dx = \int \sec^2(x) \, dx - \int 1 \, dx - \int x \, dx \]

Calcoliamo ogni integrale separatamente:

    \[ \int \sec^2(x) \, dx = \tan(x) + C_1 \]

    \[ \int 1 \, dx = x + C_2 \]

    \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_3 \]

Combinando tutti i risultati, otteniamo:

    \[ \int (\sec^2(x) - 1 - x) \, dx = \tan(x) - x - \frac{x^2}{2} + C \]

Quindi, la soluzione finale dell’integrale è:

    \[ \tan(x) - x - \frac{x^2}{2} + C \]


 

Esercizio 20  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)
Calcolare il seguente integrale indefinito

    \[\int \sin(x)\cos(2x) \,dx\]

Svolgimento esercizio 20

Possiamo utilizzare l’identità trigonometrica:

    \[ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1. \]

Quindi, l’integrale diventa:

    \[ \int \sin(x) \cos(2x) \, dx = \int \sin(x) (2\cos^2(x) - 1) \, dx \]

Scomponiamo l’integrale in due parti:

    \[ \int \sin(x) (2\cos^2(x) - 1) \, dx = 2 \int \sin(x) \cos^2(x) \, dx - \int \sin(x) \, dx \]

Notiamo che la derivata del \dfrac{d\sin x }{dx}=\cos x, pertanto

    \begin{equation*} \begin{aligned} 2 \int \sin(x) \cos^2(x) \, dx - \int \sin(x) \, dx-\dfrac{\cos^3 x}{3}+\cos x +c, \end{aligned} \end{equation*}

dove c\in\mathbb{R}.


 

Esercizio 21  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)
Calcolare il seguente integrale indefinito

    \[\int  \frac{\tan(x)}{\log(\cos(x))}\,dx\]

Svolgimento esercizio 21

Osserviamo che la derivata di \log(\cos(x)) è \frac{1}{\cos(x)}(-\sin(x))=-\tan(x). Dunque l’integrale cercato è -\log|\log(\cos(x))|+c, \quad c \in \mathbb{R}..

 

Esercizio 22  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)
Calcolare il seguente integrale indefinito

    \[\int\left(\tan^3 x - \tan^2 x \right)\ dx\]

Svolgimento esercizio 22

    \begin{equation*} \int\left(\tan^3 x - \tan^2 x \right)\ dx = \underbrace{\int \tan^3 x\ dx}_{(1)} - \underbrace{\int \tan^2 x\ dx}_{(2)} \end{equation*}

(1): ricordando che (\tan x)'=1+\tan^2 x possiamo scrivere

    \begin{equation*} \begin{aligned} \int \tan^3 x\ dx = \int \tan x\ \tan^2 x\ dx = \int \tan x\left(\tan^2 x +1 -1\right)\ dx = = \int \tan x\left(\tan^2 x +1\right)\ dx - \int \tan x\ dx. \end{aligned} \end{equation*}

Ricordiamo che

    \[\int [f(x)]^n f'(x)\ dx=\frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1}+c,\]

mentre

    \[\int\frac{f'(x)}{f(x)}\ dx=\ln |f(x)|.\]

Ponendo f(x)=\tan x, n=1 nel primo integrale, e f(x)=\cos x nel secondo, ricaviamo

    \begin{equation*} (1) = \frac{\tan^2 x}{2} + \ln\left|\cos x\right|+c, \quad c \in \mathbb{R}. \end{equation*}

\noindent (2): utilizzando l’espressione della tangente in termini di seno e coseno e la prima formula fondamentale della trigonometria \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1, ricaviamo, essendo pure (\tan x)'=1/\cos^2 x,

    \begin{equation*} \begin{aligned} \int \tan^2 x\ dx = \int \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{1}{\cos^2 x} dx -\int dx = \end{aligned} \end{equation*}

    \begin{equation*} (2)= \tan x - x+c, \quad c \in \mathbb{R}. \end{equation*}

Mettendo insieme i risultati ricavati al punto (1) e (2) otteniamo

    \begin{equation*} \int f(x) dx = 	-\tan x + x + \frac{\tan^2 x}{2} + ln\left|\cos x\right| + c, \quad c \in \mathbb{R}. \end{equation*}


 

Esercizio 23  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)
Calcolare il seguente integrale indefinito

    \[\int\dfrac{1}{\left(1+t^2\right)^{\frac{3}{2}}}dt.\]

Svolgimento esercizio 23

Svolgiamo i calcoli

    \begin{equation*} \begin{aligned} \int\dfrac{\dfrac{1}{t^3}}{\left(1+\dfrac{1}{t^2}\right)^{\frac{3}{2}}}dt=-\dfrac{1}{2}\int\dfrac{-\dfrac{2}{t^3}}{\left(1+\dfrac{1}{t^2}\right)^{\frac{3}{2}}}dt&=-\dfrac{1}{2}\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{t^2}\right)^{-\frac{1}{2}}}{-\dfrac{1}{2}}+c=\\ &=\left(\dfrac{t^2+1}{t^2}\right)^{-\frac{1}{2}}+c=\left(\dfrac{t^2}{t^2+1}\right)^{\frac{1}{2}}+c=\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}}+c, \quad c \in \mathbb{R}. \end{aligned}\end{equation*}


 

Esercizio 24  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)
Determinare tutte le primitive della funzione

    \[f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} 	|x| & & x\leq 1\\ 	& & \\ 	\frac{1+x}{2} & & x>1 \end{array}\right.\]

In particolare determinare la primitiva F(x) per la quale F(0)=1.

Svolgimento esercizio 24

Osserviamo che, in base alla definizione della funzione, possiamo scrivere

    \[f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} 	-x & & x<0\\ 	& & \\ 	x & & 0\leq x\leq 1\\ 	& & \\ 	\frac{1+x}{2} & & x>1 \end{array}\right.\]

e pertanto

    \[F(x)=\int f(x)\ dx=\left\{\begin{array}{lcl} 	\int-x\ dx & & x<0\\ 	& & \\ 	\int x\ dx & & 0\leq x\leq 1\\ 	& & \\ 	\int\frac{1+x}{2}\ dx & & x>1 \end{array}\right.= \left\{\begin{array}{lcl} 	-\frac{x^2}{2}+c_1 & & x<0\\ 	& & \\ 	\frac{x^2}{2}+c_2 & & 0\leq x\leq 1\\ 	& & \\ 	\frac{1}{2}x+ \frac{x^2}{4}+c_3 & & x>1 \end{array}\right.\]

con c_i,\ i=1,2,3 costanti arbitrarie.

Per determinare la primitiva che soddisfa la condizione data, osserviamo per prima cosa che

    \[F(0)=1\ \Leftrightarrow\ c_2=1.\]

Inoltre, per avere la continuità della primitiva, deve essere

    \begin{equation*} \begin{aligned} 	& \lim_{x\to 0^-} F(x)=c_1=c_2=1,\\ 	&\lim_{x\to 1^+}F(x)=F(1)\ \Leftrightarrow \ \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+c_3=\frac{1}{2}+c_2\ \Leftrightarrow \ c_3=\frac{3}{4} \end{aligned} \end{equation*}

Ne segue che la primitiva cercata è

    \[F(x)=\left\{\begin{array}{lcl} 	-\frac{x^2}{2}+1 & & x<0\\ 	& & \\ 	\frac{x^2}{2}+1 & & 0\leq x\leq 1\\ 	& & \\ 	\frac{(1+x)^2}{4}+\frac{3}{4} & & x>1. \end{array}\right.\]


 

Esercizio 25  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)
Calcolare il seguente integrale indefinito

    \[\int \sqrt{1-\sqrt{1-x^2}} \, dx.\]

Svolgimento esercizio 25

Come prima cosa, notiamo che la funzione integranda \`e definita su [-1,1], intervallo sul quale è continua, per cui ammette primitiva. Usiamo ora la formula di semplificazione dei radicali doppi:

(1)   \begin{equation*}   \sqrt{a-\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} - \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}. \end{equation*}

Applicando la \eqref{eq:radicalidoppi} alla primitiva nella \eqref{eq:testo} con a = 1, b = 1-x^2:

(2)   \begin{align*}\nonumber   \sqrt{1-\sqrt{1-x^2}} = {} & \sqrt{\frac{1+\sqrt{1-(1-x^2)}}{2}} - \sqrt{\frac{1-\sqrt{1-(1-x^2)}}{2}} = \\   = {} & \sqrt{\frac{1+|x|}{2}} - \sqrt{\frac{1-|x|}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{1+|x|}-\sqrt{1-|x|}\right). \end{align*}

Risulta conveniente separare due casi: procediamo prima per x \geqslant 0, cos\`i che |x| = x:

(3)   \begin{align*}\nonumber   \int\! \sqrt{1-\sqrt{1-x^2}} \, \mathrm{d}x = {} & \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\int(1+x)^{1/2}\,\mathrm{d}x - \int (1-x)^{1/2}\,\mathrm{d}x\right] = \\ \nonumber   = {} & \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\frac{2}{3}(1+x)^{3/2} + \frac{2}{3}(1-x)^{3/2}\right] + C_1 = \\    = {} & \frac{\sqrt{2}}{3}\left[(1+x)^{3/2} + (1-x)^{3/2}\right] + C_1 \quad(\text{per $x \geqslant 0$}), \end{align*}

dove C_1 \`e una costante reale arbitraria. Se x < 0, abbiamo invece |x| = -x, e quindi:

(4)   \begin{equation*}   \sqrt{1-\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}\right), \end{equation*}

che come si pu\`o notare \`e l’opposto dell’espressione ottenuta per x \geqslant 0, per cui:

(5)   \begin{equation*}   \int\! \sqrt{1-\sqrt{1-x^2}} \, \mathrm{d}x = -\frac{\sqrt{2}}{3}\left[(1+x)^{3/2} + (1-x)^{3/2}\right] + C_2 \quad(\text{per $x < 0$}), \end{equation*}

dove C_2 \`e un’altra costante reale arbitraria. A questo punto, \`e importante rimarcare che la funzione primitiva deve essere continua su tutto [-1,1], e in particolare per x = 0, quindi:

(6)   \begin{gather*}   \left.\frac{\sqrt{2}}{3}\left[(1+x)^{3/2} + (1-x)^{3/2}\right]\right|_{x=0} + C_1 = \left.-\frac{\sqrt{2}}{3}\left[(1+x)^{3/2} + (1-x)^{3/2}\right]\right|_{x=0} + C_2; \\[2.5pt]   \frac{\sqrt{2}}{3}\cdot 2 + C_1 = -\frac{\sqrt{2}}{3}\cdot 2 + C_2; \\    C_1 = C_2 - \frac{4\sqrt{2}}{3}. \end{gather*}

Mettendo assieme la \eqref{eq:xgt0}, la \eqref{eq:xlt0} e la \eqref{eq:C1C2}, concludiamo finalmente che (per C costante arbitraria reale):

(7)   \begin{equation*}   \boxcoloratoeq{tau}{   \int\! \sqrt{1-\sqrt{1-x^2}} \, \mathrm{d}x =     \begin{cases}       \displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{3}\left[(1+x)^{3/2} + (1-x)^{3/2}\right] + C & \text{se $x < 0$}; \\[5pt]       \displaystyle +\frac{\sqrt{2}}{3}\left[(1+x)^{3/2} + (1-x)^{3/2}\right] - \frac{4\sqrt{2}}{3} + C & \text{se $x \geqslant 0$}.     \end{cases}} \end{equation*}