Esercizi sulla derivabilità

Punti di non derivabilità nel calcolo differenziale

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In questo articolo presentiamo 11 esercizi sullo studio della derivabilità e classificazione dei punti di non derivabilità per funzioni reali di variabile reale. I problemi sono preceduti da alcuni richiami di teoria e sono completamente svolti, per consentire al lettore un istruttivo confronto tra le proprie soluzioni e quelle da noi proposte. La raccolta è quindi indicata per tutti coloro che desiderano approfondire le questioni di derivabilità per le funzioni reali di variabile reale, in particolare per studenti dei corsi di Analisi Matematica 1. Auguriamo a tutti una piacevole lettura!

Oltre alla nostra dispensa di teoria sulle derivate e l’articolo Calcolo delle derivate: la guida pratica, consigliamo le nostre raccolte di esercizi:

$\,$

Esercizi sulla derivabilità

Sommario

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Questa dispensa si focalizza sullo studio della derivabilità delle funzioni all’interno del loro dominio di definizione. Nonostante la consegna degli esercizi sia ripetitiva, le soluzioni variano in base alla natura delle funzioni considerate. In tutti i casi, le funzioni proposte risultano derivabili in insiemi aperti, e tale proprietà viene dimostrata sfruttando il principio secondo cui la derivabilità si conserva nelle composizioni di funzioni derivabili. Di conseguenza, i punti di non derivabilità formano un sottoinsieme chiuso della retta reale, tipicamente discreto.

Nei punti in cui la funzione non è derivabile, è necessario dimostrare esplicitamente la non derivabilità utilizzando la definizione stessa di derivata. Questo viene fatto calcolando il limite del rapporto incrementale centrato nei punti in questione e dimostrando che tale limite non esiste o non è finito. I richiami teorici all’inizio della dispensa guidano lo studente nell’applicazione corretta di queste tecniche.

Le funzioni elementari trattate, che presentano tipicamente punti di non derivabilità, includono il valore assoluto, le radici con indice arbitrario e la funzione arcoseno, permettendo allo studente di esplorare una varietà di casi significativi.

Autori e revisori

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Autori: Donato Ciampa

Revisori: Giulio Bonosi, Matteo Talluri, Matteo Talluri.

Introduzione

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Questa dispensa è dedicata allo studio della derivabilità di funzioni di una variabile reale e include esercizi focalizzati su funzioni con punti angolosi da identificare. All’inizio del documento è fornito un richiamo alla teoria pertinente. Per ulteriori approfondimenti, è possibile consultare il link Teoria sulle derivate.

Richiami di teoria

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Definizione 1.1 (derivabilità). Siano $f\colon A\subseteq\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ e $x_{0} \in A$ un punto di accumulazione per $A$ . Si dice che $f$ è derivabile in $x_{0}$ se esiste finito il limite del rapporto incrementale:

(1) $\begin{equation*} f'(x_{0})=\lim_{x \to x_0} r_{f,x_0}(x)=\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_0}. \end{equation*}$

Se $f$ è derivabile in $x_0$ allora il valore $f'(x_{0})$ viene detto derivata di $f$ in $x_0$ .

Definizione 1.2 (funzione derivata prima). Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ e sia $f\colon A \to \mathbb{R}$ una funzione. Diciamo che $f$ è derivabile in $A$ se è derivabile in $x_0$ per ogni $x_{0} \in A$ . In questo caso viene ad essere definita una nuova funzione, la funzione derivata prima

$f'\colon A \to \mathbb{R},$

che assegna ad ogni punto $x\in A$ la derivata $f'(x)$ della funzione $f$ in tale punto.

Definizione 1.3 (derivata destra e sinistra). Sia $f\colon A\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una funzione. Supponiamo che $x_0 \in A$ sia un punto di accumulazione a destra per $A$ . Se esiste finito il seguente limite

(2) $\begin{equation*} f^\prime_+(x_0)=\lim_{h\to 0^+}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, \end{equation*}$

allora $f$ si dice derivabile a destra in $x_0$ e (2) si definisce derivata destra di $f$ in $x_0$ . Analogamente, supponiamo che $x_0 \in A$ sia un punto di accumulazione a sinistra per $A$ . Se esiste finito il seguente limite

(3) $\begin{equation*} f^\prime_-(x_0)=\lim_{h\to 0^-}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, \end{equation*}$

allora $f$ si dice derivabile a sinistra in $x_0$ e (3) si definisce derivata sinistra di $f$ in $x_0$ .

$\quad$

Se $f_{+}^{\prime}(x_{0}) \neq f_{-}^{\prime}(x_{0})$ e almeno una delle due è finita diciamo allora che $x_{0}$ è un punto angoloso per $f$ .
Esempio: $f(x) = |x-x_0|$ , $x_{0}$ è un punto angoloso per $f$ .

Se $f_{+}^{\prime}(x_{0}) \neq f_{-}^{\prime}(x_{0})$ e sono entrambe infinite diciamo allora che $x_{0}$ è un punto di cuspide per $f$ .
Esempio: $f(x) = \sqrt{|x-x_{0}|}$ , $x_{0}$ è un punto di cuspide per $f$ .

Se $f_{+}^{\prime}(x_{0}) = f_{-}^{\prime}(x_{0})$ e sono entrambe infinite diciamo allora che $x_{0}$ è un punto a tangente verticale per $f$ .
Esempio: $f(x) = \sqrt[3]{x-x_{0}}$ , $x_{0}$ è un punto di flesso a tangente verticale per $f$ .

Teorema 1.4 (teorema di Lagrange). Sia $f:[a,b]\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una funzione continua, che sia derivabile su $(a,b)$ . Allora esiste almeno un punto $c\in(a,b)$ tale che

$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

$\quad$

Osserviamo che dal teorema di Lagrange si ottiene il seguente

Corollario 1.5. Sia $f:[a,b]\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una funzione continua, che sia derivabile su $(a,b)$ . Supponiamo che esista finito il $\lim_{x\to a^+}f'(x)$ , allora $f$ è derivabile (a destra) in $a$ e vale

$\lim_{x\to a^+}f'(x)=f_+'(a).$

Analogamente, se esiste finito il $\lim_{x\to b^-}f'(x)$ , allora $f$ è derivabile (a sinistra) in $b$ e vale

$\lim_{x\to b^-}f'(x)=f_-'(b).$

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Stabilire in quali punti del proprio dominio di definizione la funzione

(4) $\begin{equation*} y(x)=\sqrt{\cos x+1} \end{equation*}$

è derivabile e determinare la natura degli eventuali punti in cui non è derivabile.

Svolgimento.

Si osservi che la funzione è periodica di periodo $2\pi$ in quanto

$\sqrt{\cos(x+2\pi)+1}=\sqrt{\cos x+1}.$

Restringiamo quindi il nostro studio all’intervallo chiuso e limitato $[0,2\pi]$ . Su tale intervallo l’argomento della radice risulta sempre non negativo, in quanto $\cos x\geq -1$ per ogni $x$ reale. Ne segue che $Dom=[0,2\pi]$ .

La funzione è derivabile nell’insieme $[0,2\pi]\setminus\{\pi\}$ in quanto somma e composizione di funzioni derivabili. Rimane da studiare il punto $x=\pi$ . Per verificare se la funzione sia derivabile in $x=\pi$ , calcoliamo il limite del rapporto incrementale destro e sinistro in tale punto. Abbiamo

$\lim_{x\rightarrow\pi^{\pm}}\dfrac{f(x)-f(\pi)}{x-\pi}= \lim_{x\rightarrow\pi^{\pm}}\dfrac{\sqrt{\cos x+1}-0}{x-\pi}.$

Applichiamo la sostituzione $x-\pi=t$ : ne segue che per $x\rightarrow\pi^{\pm}$ , $t\rightarrow 0^{\pm}$ e quindi il limite diventa

$\begin{aligned} \lim_{t \rightarrow 0^{\pm}} \frac{\sqrt{\cos(t + \pi) + 1}}{t} &= \lim_{t \rightarrow 0^{\pm}} \frac{\sqrt{1 - \cos t}}{t} \\ &= \lim_{t \rightarrow 0^{\pm}} \frac{\sqrt{t^2/2}}{t} \\ &= \lim_{t \rightarrow 0^{\pm}} \frac{\frac{|t|}{\sqrt{2}}}{t} \\ &= \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{t}{t \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \\ \displaystyle \lim_{t \rightarrow 0^{-}} \frac{-t}{t \sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right.. \end{aligned}$

Poiché i due limiti non coincidono, ne segue che la funzione non è derivabile in $x=\pi$ in cui presenta un punto angoloso.

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Stabilire in quali punti del proprio dominio di definizione la funzione

(5) $\begin{equation*} y(x)=\frac{e^{|x|}-1}{x+1} \end{equation*}$

è derivabile e determinare la natura degli eventuali punti in cui non è derivabile.

Svolgimento.

La funzione in questione è ovviamente definita per tutti i punti dell’asse reale eccetto $-1$ in cui il denominatore si annulla: quindi $Dom=(-\infty,-1)\cup(-1,+\infty)$ . Si osservi che, non potendosi estendere la funzione per continuità nel punto $-1$ (i limiti destro e sinistro tendono a infinito in tale punto) la funzione sarà ovviamente non derivabile in esso (e, in ogni caso, il punto resta escluso dal dominio di definizione quindi non ha senso studiare la derivabilità in tale punto). La funzione è derivabile nell’insieme $Dom(y)\setminus\{0\}$ in quanto somma, rapporto e composizione di funzioni derivabili. Rimane da studiare il punto $x=0$ . Calcoliamo allora il limite del rapporto incrementale destro e sinistro. Abbiamo

$\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 0^{\pm}} \frac{f(x) - f(0)}{x} &= \lim_{x \rightarrow 0^{\pm}} \frac{\dfrac{e^{|x|} - 1}{x + 1} - 0}{x} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0^{\pm}} \frac{e^{|x|} - 1}{x(x + 1)} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0^{\pm}} \frac{e^{|x|} - 1}{x} \\ &= \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \\ \\ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{e^{-x} - 1}{x} = -\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{e^{-x} - 1}{-x} = -1 \end{array} \right.. \end{aligned}$

Ne segue che la funzione non è derivabile in $x=0$ in quanto presenta un punto angoloso.

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Stabilire in quali punti del proprio dominio di definizione la funzione

(6) $\begin{equation*} y(x)=\arcsin(1-x^2) \end{equation*}$

è derivabile e determinare la natura degli eventuali punti in cui non è derivabile.

Svolgimento.

La funzione $\arcsin t$ è definita per $t\in[-1,1]$ , per cui

$\begin{aligned} \text{Dom} &= \{ x \in \mathbb{R} : -1 \leq 1 - x^2 \leq 1 \} \\ &= \{ x \in \mathbb{R} : -2 \leq -x^2 \leq 0 \} \\ &= \{ x \in \mathbb{R} : 0 \leq x^2 \leq 2 \} \\ &= \{ x \in \mathbb{R} : -\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2} \} \\ &= [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]. \end{aligned}$

La funzione è derivabile nell’insieme $(-\sqrt{2},\sqrt{2})\setminus\{0\}$ in quanto somma e composizione di funzioni derivabili. Rimangono da studiare i punti $x=0,\pm\sqrt 2$ . Abbiamo

$\lim_{x\rightarrow \sqrt2^{-}}\frac{y(x)-y(\sqrt2)}{x-\sqrt2}= \lim_{x\rightarrow \sqrt2^{-}}\frac{\displaystyle\arcsin(1-x^2)-\arcsin(-1)}{x-\sqrt2}=-\frac{2x}{\sqrt{-x^2(x^2-2)}}=-\infty,$

dove abbiamo risolto il limite utilizzando la regola di de l’Hopital. Poiché $y$ è pari, immediatamente si ha

$\lim_{x\rightarrow -\sqrt2^{+}}\frac{y(x)-y(-\sqrt2)}{x+\sqrt2}=-\lim_{x\rightarrow \sqrt2^{-}}\frac{y(x)-y(\sqrt2)}{x-\sqrt2}=+\infty.$

Dunque la funzione non è derivabile in $x=\pm\sqrt 2$ . Analizziamo cosa accade nell’origine. Abbiamo

$\lim_{x\rightarrow 0^{\pm}}\frac{f(x)-f(0)}{x}= \lim_{x\rightarrow 0^{\pm}}\frac{\displaystyle\arcsin(1-x^2)-\frac{\pi}{2}}{x}.$

Applichiamo il cambiamento di variabile

$t+\frac{\pi}{2}=\arcsin(1-x^2)\Rightarrow 1-x^2=\sin\left(t+\frac{\pi}{2}\right)=\cos t,$

da cui

$x^2=1-\cos t=2\sin^2\frac{t}{2},$

e infine

$x=\pm\sqrt{2}\sin\frac{t}{2},$

dove il segno dipende dal tendere di $x$ a zero da sinistra ( $+$ ) o da destra ( $-$ ). Ora, per $x\rightarrow 0^{\pm}$ , abbiamo che $t+\pi/2\rightarrow(\pi/2)^{-}$ e perci\`{o} $t\rightarrow 0^{-}$ . Ne segue che

$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{\displaystyle\arcsin(1-x^2)-\frac{\pi}{2}}{x}= \lim_{t\rightarrow 0^{-}}\frac{t}{\displaystyle-\sqrt{2}\sin\frac{t}{2}}=-\frac{2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2},$

mentre

$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{\displaystyle\arcsin(1-x^2)-\frac{\pi}{2}}{x}= \lim_{t\rightarrow 0^{-}}\frac{t}{\displaystyle\sqrt{2}\sin\frac{t}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2},$

da cui discende che la funzione non è derivabile in $x=0$ dove presenta un punto angoloso.

Esercizio 4 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Stabilire in quali punti del proprio dominio di definizione la funzione

(7) $\begin{equation*} y(x)=|x^2+3x-4| \end{equation*}$

è derivabile e determinare la natura degli eventuali punti in cui non è derivabile.

Svolgimento.

La funzione è definita per ogni valore reale. Possiamo scrivere, essendo

$x^2+3x-4\geq 0\iff x\leq -4,\ x\geq 1,$

$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} x^2+3x-4 & & x\leq -4,\ x\geq 1\\ & & \\ -(x^2+3x-4) & & -4<x<1 \end{array}\right.$

Vediamo allora che i punti che presentano problemi per la derivabilità sono i soli punti $x=-4,\ x=1$ . Abbiamo

$\lim_{h\rightarrow 0^-}\frac{f(h-4)-f(-4)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0^-}\frac{(h-4)^2+3(h-4)-4}{h}= \lim_{h\rightarrow 0^-}\frac{h^2+11h}{h}=11,$

$\lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{f(h-4)-f(-4)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{-(h-4)^2-3(h-4)+4}{h}= \lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{-h^2-11h}{h}=-11,$

e anche

$\lim_{h\rightarrow 0^-}\frac{f(h+1)-f(1)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0^-}\frac{-(h+1)^2-3(h+1)+4}{h}= \lim_{h\rightarrow 0^-}\frac{-h^2-5h}{h}=-5,$

$\lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{f(h+1)-f(1)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{(h+1)^2+3(h+1)-4}{h}= \lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{h^2+5h}{h}=5,$

per cui i punti $x=-4,\ x=1$ risultano due punti angolosi.

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Stabilire in quali punti del proprio dominio di definizione la funzione

(8) $\begin{equation*} y(x)=\sqrt[3]{2x^2+x-1} \end{equation*}$

è derivabile e determinare la natura degli eventuali punti in cui non è derivabile.

Svolgimento.

Il dominio coincide con tutto $\mathbb{R}$ . Osserviamo che

$2x^2+x-1=0\iff x=\frac{1}{2},\quad x=-1.$

La funzione è derivabile nell’insieme $\mathbb{R}\setminus\{-1,\frac{1}{2}\}$ in quanto somma e composizione di funzioni derivabili.

Rimangono da studiare i punti $x=-1,\dfrac{1}{2}$ . Abbiamo

$\begin{aligned} \lim_{h \rightarrow 0^{\pm}} \frac{f(h-1) - f(-1)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0^{\pm}} \frac{\sqrt[3]{2h^2 - 3h}}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0^{\pm}} \frac{\sqrt[3]{h} \cdot \sqrt[3]{2h - 3}}{h} \\ &= -\sqrt[3]{3} \lim_{h \rightarrow 0^{\pm}} h^{-2/3} \\ &= - \infty. \end{aligned}$

per cui in $x=-1$ la funzione presenta un flesso a tangente verticale. Analogamente

$\begin{aligned} \lim_{h \rightarrow 0^{\pm}} \frac{f(h + 1/2) - f(1/2)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0^{\pm}} \frac{\sqrt[3]{2h^2 + 3h}}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0^{\pm}} \frac{\sqrt[3]{h} \cdot \sqrt[3]{2h + 3}}{h} \\ &= \sqrt[3]{3} \lim_{h \rightarrow 0^{\pm}} h^{-2/3} \\ &= + \infty. \end{aligned}$

per cui in $x=1/2$ la funzione presenta un punto a tangente verticale.

Esercizio 6 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Stabilire in quali punti del proprio dominio di definizione la funzione

(9) $\begin{equation*} y(x)=e^{\sqrt{x}} \end{equation*}$

è derivabile e determinare la natura degli eventuali punti in cui non è derivabile.

Svolgimento.

La funzione è definita per $x\geq 0$ ed è derivabile nell’insieme $(0,+\infty)$ , in quanto composizione di funzioni derivabili.

Rimane da studiare il punto $x=0$ . Abbiamo allora

$\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{e^{\sqrt{x}}-1}{x}= \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\sqrt{x}}{x}=+\infty,$

per cui la funzione, in $x=0^+$ , ha una tangente verticale ascendente.

Esercizio 7 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Stabilire in quali punti del proprio dominio di definizione la funzione

(10) $\begin{equation*} y(x)=e^x\sqrt[3]{\frac{x+2}{x-3}} \end{equation*}$

è derivabile e determinare la natura degli eventuali punti in cui non è derivabile.

Svolgimento.

la funzione è definita per ogni $x\neq 3$ (punto in cui il denominatore dell’argomento si annulla). La funzione è derivabile nell’insieme $\mathbb{R}\setminus\{-2,3\}$ in quanto somma, rapporto e composizione di funzioni derivabili.

Rimane da studiare il punto $x=-2$ . Abbiamo

$\lim_{h\rightarrow0^{\pm}}\frac{f(h-2)-f(-2)}{h}=\lim_{h\rightarrow0^{\pm}}\frac{\displaystyle e^{h-2}\sqrt[3]{\frac{h}{h-5}}}{h}=\lim_{h\rightarrow0^{\pm}}e^{h-2}\sqrt[3]{\frac{h}{h^3(h-5)}}=-\infty,$

e quindi la funzione ha in $x=-2$ un flesso a tangente verticale discendente.

Esercizio 8 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Stabilire in quali punti del proprio dominio di definizione la funzione

(11) $\begin{equation*} y(x)=\log^2\left(1+\sqrt[3]{x}\right) \end{equation*}$

è derivabile e determinare la natura degli eventuali punti in cui non è derivabile.

Svolgimento.

Per il dominio deve essere

$1+\sqrt[3]{x}>0\implies \sqrt[3]{x}>-1\implies x>-1,$

per cui il dominio risulta

$D=(-1,+\infty).$

La funzione è derivabile nell’insieme $D\setminus\{0\}$ in quanto somma e composizione di funzioni derivabili.

Rimane da studiare il punto $x=0$ . Abbiamo allora

$\lim_{x\rightarrow 0^{\pm}}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^{\pm}}\frac{\log^2\left(1+\sqrt[3]{x}\right)}{x}= \lim_{x\rightarrow 0^{\pm}}\frac{\left(\sqrt[3]{x}\right)^2+o\left(\left(\sqrt[3]{x}\right)^2\right)}{x}=\pm\infty,$

per cui la funzione ha nel punto $x=0$ una cuspide verso il basso.

Esercizio 9 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $f:A\to\mathbb{R},\,f(x) = \sqrt{x^2-6x+9}$ una funzione con $A$ dominio naturale da determinare. Studiare la derivabilità di $f$ in $A$ e determinare la natura degli eventuali punti in cui $f$ non è derivabile.

Svolgimento 1.

La funzione può essere riscritta come

(12) $\begin{equation*} f(x)=|x-3| = \begin{cases} x-3 & \text{se } x\geq 3 \\ -x+3 & \text{se } x< 3. \end{cases} \end{equation*}$

Essa è quindi derivabile in $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ , mentre non è derivabile in $x=3$ , esattamente come $y(x)=|x|$ non lo è in $0$ : infatti si ha

(13) $\begin{equation*} f'(x)= \begin{cases} 1 & \text{se } x> 3 \\ -1 & \text{se } x< 3 \end{cases} \end{equation*}$

e dunque, per il corollario 1.5, vale

(14) $\begin{equation*} 1= \lim_{x \to 3^+} f'(x)= f'_+(3), \qquad -1= \lim_{x \to 3^-} f'(x)= f'_-(3). \end{equation*}$

Ciò mostra che $f$ non è derivabile in $x=3$ e che tale punto è angoloso.

Svolgimento 2.

Si osserva che il dominio naturale di $f$ è $\mathbb{R}$ , poichè $x^2-6x+9=(x-3)^2\geq 0$ . Inoltre, $f$ è continua in tutto il suo dominio. La funzione è derivabile nell’insieme $\mathbb{R}\setminus\{3\}$ in quanto somma, rapporto e composizione di funzioni derivabili.

Rimane da studiare il punto $x=3$ .

$\begin{aligned} \lim_{h \to 0^\pm} \frac{f(3+h)-f(3)}{h} &= \lim_{h \to 0^\pm} \frac{\sqrt{(3+h)^2-6(3+h)+9}}{h}\\ &= \lim_{h \to 0^\pm} \frac{\sqrt{{9}+h^2+{6h}-{18}-{6h}+{9}}}{h} = \lim_{h \to 0^\pm} \frac{|h|}{h}\\ &= \begin{cases} \displaystyle \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1 \\\\ \displaystyle \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1. \end{cases} \end{aligned}$

Pertanto, il limite non esiste e quindi $f$ non è derivabile in $x=3$ ; in particolare $x=3$ è punto angoloso.

Svolgimento 3.

Osserviamo che $f'(x)$ è derivabile per ogni $x\neq$ e può essere riscritta nel seguente modo

$f'(x) = \frac{1}{2} \frac{2x-6}{\sqrt{x^2-6x+9}}=\frac{x-3}{\vert x-3 \vert },\qquad x\neq 3 .$

Da cui

$\begin{aligned} \lim_{x \to 3}\frac{x-3}{\vert x-3 \vert}= \begin{cases} &\displaystyle \lim_{x \to 3^+}\frac{x-3}{x-3 }=1\\\\ &\displaystyle \lim_{x \to 3^-}\left(-\frac{x-3}{x-3 }\right)=-1 \end{cases}. \end{aligned}$

Grazie al corollario 1.5, si conclude che in $x=3$ abbiamo un punto angoloso.

Esercizio 10 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $f:A\to\mathbb{R},\,f(x) =-\sqrt{\vert x \vert}$ una funzione con $A$ dominio naturale da determinare. Studiare la derivabilità di $f$ in $A$ e determinare la natura degli eventuali punti in cui $f$ non è derivabile.

Svolgimento 1.

Il dominio di $f$ è $\mathbb{R}$ e inoltre $f$ è continua in tutto il suo dominio. Applichiamo la definizione di modulo e riscriviamo $f$ come segue

(15) $\begin{equation*} f(x)=-\sqrt{\vert x \vert}= \begin{cases} -\sqrt{x} \quad \mbox{per}\quad x\ge 0\\\\ -\sqrt{-x}\quad \mbox{per} \quad x<0 \end{cases} \end{equation*}$

da cui è facile intuire che l’unico punto in cui $f$ non è derivabile è $x=0$ , in quanto coincide, per $x \geq 0$ , con una funzione non derivabile in $x=0$ . Applichiamo per studiare la natura di tale punto la definizione derivata e abbiamo

$\lim_{h\to 0}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0 }\dfrac{-\sqrt{\left \vert h\right \vert }}{h}=-\lim_{h\to 0 }\sqrt{\left \vert\dfrac{h}{h^2} \right \vert }=-\lim_{h\to 0 }\sqrt{\left \vert\dfrac{1}{h} \right \vert }=-\infty.$

Il limite del rapporto incrementale non è finito pertanto in $x=0$ la funzione non è derivabile. In particolare $x=0$ è un punto di flesso a tangente verticale.

Svolgimento 2.

Calcoliamo la derivata di $f$ sfruttando (16)

$f^{\prime}(x)= \begin{cases} - \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \quad \mbox{per} \quad x>0\\\\ \dfrac{1}{2\sqrt{-x}} \quad \mbox{per} \quad x<0 \end{cases}$

da cui

$\lim_{x\to 0^+}- \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=-\infty$

$\lim_{x\to 0^-}\dfrac{1}{2} \dfrac{1}{\sqrt{-x}}=+\infty$

questo, assieme a Corollario 1.5, ci fa concludere che $f$ non è derivabile in $x=0$ .

Esercizio 11 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia

(16) $\begin{equation*} f:A\to\mathbb{R},\,\,f(x)= \dfrac{\sqrt[3]{1-x}}{3x} \end{equation*}$

una funzione con $A$ dominio naturale da determinare.
Studiare la derivabilità di $f$ in $A$ e determinare la natura degli eventuali punti in cui $f$ non è derivabile

Svolgimento 1.

Si osserva che il dominio $A=\{x\in\mathbb{R}:\,x\neq 0\}$ , $f$ è continua in $A$ . La funzione è derivabile nell’insieme $A\setminus\{1\}$ in quanto somma, rapporto e composizione di funzioni derivabili.

Rimane da studiare il punto $x=1$ .

$\lim_{h\to 0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\dfrac{\sqrt[3]{-h}}{3h}-0}{h}=\lim_{h\to 0}\dfrac{-h^{\frac{1}{3}}}{3h^2}=-\lim_{h\to 0 }\dfrac{1}{3h^{\frac{5}{3}}}=-\infty$

tale limite non esiste finito e pertanto $x=1$ è un punto di non derivabilità, in particolare è un flesso a tangente verticale.

Svolgimento 2.

Calcoliamo il limite per $x\to 1$ di $f^\prime$

$\lim_{x\to 1^-}f^{\prime}(x)=\lim_{x\to 1^-}\dfrac{2x-3}{9x^2(1-x)^{\frac{2}{3}}}=-\infty$

$\lim_{x\to 1^+}f^{\prime}(x)=\lim_{x\to 1^+}\dfrac{2x-3}{9x^2(1-x)^{\frac{2}{3}}}=-\infty,$

grazie a Corollario 1.5 concludiamo nuovamente che $x=1$ è un flesso a tangente verticale.

Riferimenti bibliografici

[1] Qui Si Risolve, Derivate: teoria.

[2] Qui Si Risolve, Calcolo delle derivate: la guida pratica.

[3] Qui Si Risolve, Teoremi di Rolle e Lagrange.

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Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

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