Teoremi di Rolle e Lagrange

Teorema di Lagrange, Teorema di Rolle, Teoria sui Teoremi del calcolo differenziale

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Teoremi di Rolle e Lagrange

I teoremi di Rolle e Lagrange sono importanti risultati dell’analisi di funzioni reali di una variabile reale. Data una funzione $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ derivabile, essi stabiliscono una relazione tra i valori $f(a),f(b)$ e l’assunzione di un particolare valore $f'(x_0)$ della derivata all’interno dell’intervallo. I teoremi esprimono l’idea intuitiva secondo cui, compiendo un viaggio con una certa velocità media, a un certo punto la velocità istantanea avrà necessariamente assunto il medesimo valore, evidenziando dunque un collegamento tra le proprietà globali e locali di una funzione.

Questo articolo discute dettagliatamente questi teoremi, con dimostrazioni, esempi e applicazioni. Precisamente, si focalizza sui seguenti argomenti:

Teorema di Rolle e sua dimostrazione, legata ai teoremi di Weierstrass e Fermat;
Teorema di Lagrange e sua dimostrazione basata sul teorema di Rolle;
Conseguenze e applicazioni: caratterizzazione delle funzioni costanti e legame tra segno della derivata e monotonia di una funzione.

Se desideri un’esposizione chiara ma accurata su questi temi, questo articolo è ciò di cui hai bisogno!

Oltre alle seguenti raccolte di esercizi

segnaliamo i seguenti articoli sulla teoria collegata:

Il teorema di Fermat;

Autori e revisori

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Autore: Daniele Fakhoury.

Revisori: Matteo Talluri, Valerio Brunetti.

Teorema di Rolle

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Il teorema di Rolle afferma che se una funzione è continua in un intervallo chiuso $[a,b]$ , derivabile in ogni punto dell’intervallo aperto $(a,b)$ e assume valori uguali $f(a)=f(b)$ negli estremi dell’intervallo, allora esiste almeno un punto $c$ interno ad $(a,b)$ in cui la derivata si annulla, cioè $f'(c)=0$ .

Il significato geometrico del teorema di Rolle è il seguente: se una funzione continua su $[a,b]$ e derivabile su $(a,b)$ assume gli stessi valori in $a$ e in $b$ , allora esiste un punto $c$ tale che la retta tangente al grafico di $f$ in $c$ è orizzontale. Detto in modo meno formale: se il grafico di una funzione continua $f$ definita su un intervallo $[a,b]$ con valori in $\mathbb{R}$ ,liscia (senza punti angolosi, cuspidi o punti a tangente verticale) in $(a,b)$ , e se la funzione $f$ assume lo stesso valore agli estremi dell’intervallo $[a,b]$ , allora esiste almeno un punto $c$ interno ad $[a,b]$ tale che la retta tangente al grafico di $f$ nel punto $(c,f(c))$ sia parallela all’asse delle ascisse.

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Vediamo l’enunciato formale e una sua dimostrazione che richiama il teorema di Weierstrass e il teorema di Fermat.

Teorema di Rolle. Sia $f:[a,b] \to \R$ una funzione continua su $[a,b]$ e derivabile su $(a,b)$ . Supponiamo che $f(a)=f(b)$ . Allora esiste $c\in (a,b)$ tale

$f'(c)=0.$

Dimostrazione. Nella dimostrazione distingueremo due casi, $f$ costante e $f$ non costante.

Caso $f$ costante. Se $f$ fosse una funzione costante non ci sarebbe nulla da dimostrare: la derivata di $f$ sarebbe zero in ogni punto interno di $[a,b]$ .
Caso $f$ non costante. Più interessante il caso in cui $f$ non è costante. Dato che per ipotesi la funzione è continua in un compatto, per il teorema di Weierstrass $f$ ammette massimo e minimo assoluti in $[a,b]$ , che denotiamo, rispettivamente, con $M$ e $m$ .

Dato che $f$ non è costante in $[a,b]$ , ovvero che $m \neq M$ e $f(a)=f(b)$ , necessariamente almeno uno tra i valori $m$ ed $M$ deve essere assunto da $f$ in un punto $c$ diverso da $a$ o da $b$ e quindi interno, ovvero $c \in (a,b)$ . Il punto $c$ , essendo un punto di estremo assoluto e interno, deve essere un punto di estremo relativo. Ci troviamo nelle ipotesi del teorema di Fermat che ci assicura che $f'(c)=0$ come volevasi dimostrare.

Teorema di Lagrange

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Supponiamo di avere una funzione $f$ di variabile reale a valori reali definita nell’intervallo $[a,b]$ , come nell’immagine. Supponiamo che essa sia continua e che in ogni punto del suo grafico – esclusi $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$ – sia ben definita la retta tangente, quest’ultima non parallela all’asse delle ordinate (supponiamo cioè che la funzione f sia derivabile in $(a,b)$ ). Tracciamo la retta secante il grafico, passante per i punti $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$ .

Il teorema di Lagrange afferma che sotto le ipotesi di regolarità sopra enunciate esiste almeno un punto $c\in (a,b)$ , come nell’esempio, tale che la tangente al grafico di $f$ nel punto $(c,f(c))$ abbia la stessa pendenza della retta passante per i punti $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$ .

Vediamo l’enunciato formale una dimostrazione che risulta essere una mera applicazione del teorema di Rolle.

Nel primo grafico rappresentiamo il caso in cui $c$ sia unico.

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Nel secondo grafico in cui $c$ non sia unico.

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Teorema di Lagrange. Sia $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione continua su $[a,b]$ e derivabile su $(a,b)$ . Allora esiste $c \in (a,b)$ tale che

$f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Dimostrazione. Denotiamo con $m=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . Osserviamo che la retta

$r(x):= f(a)+ m(x-a) = f(a)+ \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$

è la retta che passa per i punti $(a,f(a)), (b,f(b))$ .

Consideriamo la funzione $h: [a,b] \to \mathbb{R}$ :

$h(x)=f(x)- r(x).$

Si vede facilmente che $h$ soddisfa le ipotesi del Teorema di Rolle in $[a,b]$ infatti $h$ è continua in $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$ perchè differenza di funzioni che lo sono. Inoltre

$h(a) = f(a) - r(a) = f(a) - f(a) - \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a) = 0 ,$

$h(b) = f(b) - r(b) = f(b) - f(a) - \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a) = 0.$

Allora, per il teorema di Rolle, deve esistere $c \in (a,b)$ tale che $h'(c)=0$ , ovvero $f'(c)-r'(c) = f'(c) - m = 0$ come volevasi dimostrare.

Corollari del teorema di Lagrange

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Concludiamo con una serie di corollari del teorema di Lagrange.

Tutti sappiamo che la derivata della funzione costante è identicamente nulla; è forse il primo esempio di derivata che si ottiene direttamente dalla definizione. Dimostriamo qui una sorta di proposizione inversa concludendo che l’unica funzione che gode della proprietà di avere derivata identicamente nulla, è proprio la funzione costante.

Corollario 1 Sia $f$ una funzione continua e derivabile definita in un intervallo $[a,b]$ . Se $f'(x)=0$ per ogni $x \in (a,b)$ allora $f$ è costante in tale intervallo:

$f(x) = k \quad \forall x \in [a,b].$

Dimostrazione. Per dimostrare che la funzione è costante mostriamo che presi arbitrariamente $\alpha$ e $\beta$ distinti in $[a,b]$ abbiamo $f(\alpha ) = f(\beta)$ . Senza perdita di generalità possiamo assumere $\alpha < \beta$ .

Consideriamo la restrizione di $f$ all’intervallo $[\alpha, \beta] \subseteq [a,b]$ chiaramente rimane una funzione continua e derivabile e in particolare varrà il teorema di Lagrange su questo intervallo; esisterà quindi un $c \in (\alpha, \beta) \subseteq [a,b]$ tale che

$\frac{f(\beta) - f(\alpha)}{\beta - \alpha} = f'(c) = 0 .$

In particolare dato che una frazione è nulla se e soltanto se il numeratore è nullo, avremo $f(\beta) - f(\alpha) = 0$ ovvero $f(\beta)$ = $f(\alpha)$ concludendo la dimostrazione.

Utilizzando il Corollario 1 otteniamo un risultato che sarà utile quando si studieranno gli integrali indefiniti (le primitive di una funzione) o le equazioni differenziali. Il corollario afferma che se due funzioni hanno derivata coincidente su un intervallo allora devono differire solo di una costante.

Corollario 2. Siano $f,g$ funzioni continue e derivabili definite in un intervallo $[a,b]$ . Se $f'(x)= g'(x)$ per ogni $x \in (a,b)$ allora $f - g$ è costante in tale intervallo:

$f(x) - g(x) = k \quad \forall x \in [a,b].$

Dimostrazione. La dimostrazione è veramente banale. Posto $h(x) = f(x) - g(x), \; x \in [a,b]$ abbiamo che $h'(x) = f'(x) - g'(x) = 0, \; x \in(a,b)$ . Ma allora per il Corollario 1 si deve avere

$h(x) = k \quad \forall x \in [a,b]$

concludendo che

$f(x) - g(x) = k \quad \forall x \in [a,b]$

che è proprio quello che volevamo dimostrare.

Finiamo con un risultato centrale per lo studio di funzione che rappresenta il legame tra segno della derivata e monotonia (crescenza/decrescenza) della funzione in un dato intervallo.

Corollario 3 (crescenza). Sia $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione continua su $[a,b]$ e derivabile su $(a,b)$ . Supponiamo $f'(x) \geq 0$ (risp. $f'(x) > 0$ ) allora $f$ è crescente (risp. strettamente crescente) in $[a,b]$ ovvero: $\forall \alpha, \beta \in [a,b]$ con $\alpha < \beta$ allora $f(\alpha) \leq f(\beta)$ (risp. $f(\alpha) < f(\beta)$ ).

Dimostrazione. Prendiamo arbitrariamente $\alpha, \beta \in [a,b]$ con $\alpha < \beta$ . Consideriamo la restrizione di $f$ all’intervallo $[\alpha, \beta] \subseteq [a,b]$ chiaramente rimane una funzione continua e derivabile e in particolare varrà il teorema di Rolle su questo intervallo; esisterà quindi un $c \in (\alpha, \beta) \subseteq [a,b]$ tale che

$\frac{f(\beta) - f(\alpha)}{\beta - \alpha} = f'(c) \geq 0 \quad \mbox{(risp. $>0$ )}$

dato che per ipotesi $\beta - \alpha > 0$ necessariamente sarà $f(\beta) - f(\alpha) \geq 0$ (risp. $> 0$ ) che è proprio la tesi.

La dimostrazione della decrescenza nel caso in cui la derivata è negativa è analoga. Un buon esercizio è provare a ricavarla cambiando opportunamente il segno delle disuguaglianze nella dimostrazione precedente.

Scriviamo comunque l’enunciato e ne diamo una dimostrazione alternativa che usa la crescenza di una funzione con derivata positiva appena dimostrata.

Corollario 4 (decrescenza). Sia $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione continua su $[a,b]$ e derivabile su $(a,b)$ . Supponiamo $f'(x) \leq 0$ (risp. $f'(x) < 0$ ) allora $f$ è decrescente (risp. strettamente decrescente) in $[a,b]$ ovvero: $\forall \alpha, \beta \in [a,b]$ con $\alpha < \beta$ allora $f(\alpha) \geq f(\beta)$ (risp. $f(\alpha) > f(\beta)$ ).

Dimostrazione. Poniamo $g(x) = - f(x) \quad x \in [a,b]$ allora

$g'(x) = -f'(x) \geq 0 \;\; \mbox{(risp. $>0$ )} \quad x \in [a,b].$

Per il corollario sulla crescenza $g$ è crescente (risp. strettamente crescente). Ne segue direttamente che $f = -g$ deve essere decrescente (risp. strettamente decrescente).

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