Calcolo delle derivate: esercizi svolti

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Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi sul calcolo delle derivate: in questo articolo presentiamo 18 esercizi su questo importante tema, ognuno dei quali si compone di 6 derivate da calcolare. Gli esercizi sono completamente risolti e tutti i passaggi sono giustificati dai risultati riportati nei richiami teorici, al fine di offrire la massima chiarezza al lettore.

Questi esercizi sono particolarmente indicati per studenti delle scuole superiori e dei corsi di Analisi Matematica 1, che desiderano fare pratica con questo importante strumento dalle innumerevoli applicazioni.

Tutto il materiale teorico di riferimento può essere reperito nella nostra esaustiva guida Teoria sulle derivate, mentre segnaliamo le seguenti ulteriori risorse:

Buona lettura!

Sommario

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In questo articolo vengono presentati esercizi elementari sull’applicazione diretta delle regole e delle tecniche di derivazione.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Donato Ciampa, Francesco Tamberi, Sara Sottile.

Revisori: Matteo Talluri, Silvia Lombardi.

Notazionirs

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$\mathbb{R}$	insieme dei numeri reali;
$f'$	derivata della funzione $f$ ;
$\log(\cdot)$	logaritmo naturale.

Richiami teorici

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Richiamiamo di seguito i principali risultati che verranno utilizzati per la risoluzione degli esercizi. Per la giustificazione di tali risultati e una trattazione teorica approfondita, si rimanda alla dispensa di teoria sulle derivate [1].

Definizione 1.1. Sia $f: A\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ . Dato $x_{0} \in A$ un suo punto di accumulazione, si dice che $f$ è derivabile in $x_{0}$ se esiste ed è finito il seguente limite:

$\begin{equation*}\label{derivabilità} \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}. \end{equation*}$

Se tale limite esiste finito si indica con $f'(x_{0})$ e viene detto derivata di $f$ in $x_{0}$ .

Inoltre, $f$ si dice derivabile in $A$ se è derivabile in ogni punto di $A$ . In tal caso si definisce una funzione $f' \colon A \to \mathbb{R}$ , chiamata derivata prima di $f$ , tale che a ogni $x\in A$ associa la derivata $f'(x)$ di $f$ in $x$ .

$\quad$

Una volta calcolate le derivate di alcune funzioni elementari mediante la definizione, le derivate di loro combinazioni come somme, prodotti, composizioni e inverse possono essere ottenute da queste mediante delle regole di calcolo generali. In questo articolo ci accingiamo ad affrontare il calcolo delle derivate di somme delle funzioni elementari le cui derivate riportiamo di seguito. Rimandiamo a [1, Sez. 2.1] per le dimostrazioni di queste formule, valide nei rispettivi insiemi di definizione delle funzioni in esame.

$\quad$

(1) $\begin{equation*} & f(x)=k,\;k\in\mathbb{R} & \quad \quad &f^\prime(x)=0\\[0.2em] \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*} & f(x)=x & \quad \quad &f^\prime(x)=1\\[0.2em] \end{equation*}$

(3) $\begin{equation*} & f(x)=x^\alpha,\,\alpha \in \mathbb{R} & \quad \quad &f'(x)=\alpha\,x^{\alpha-1}\\[0.2em] \end{equation*}$

(4) $\begin{equation*} & f(x)=e^x & \quad \quad &f'(x)=e^x\\[0.2em] \end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} & f(x)=a^x,\,a>0,\,a\neq 1 & \quad \quad &f'(x)=a^x\log(a)\\[0.2em] \end{equation*}$

(6) $\begin{equation*} & f(x)=\log(x) & \quad \quad &f'(x)=\dfrac{1}{x}\\[0.2em] \end{equation*}$

(7) $\begin{equation*} & f(x)=\log_a(x),\,a>0,\,a\neq 1 & \quad \quad &f'(x)=\dfrac{1}{x}\log_a(e)\\[0.2em] \end{equation*}$

(8) $\begin{equation*} & f(x)=\sin(x) & \quad \quad &f'(x)=\cos(x)\\[0.2em] \end{equation*}$

(9) $\begin{equation*} & f(x)=\cos(x) & \quad \quad &f'(x)=-\sin(x)\\[0.2em] \end{equation*}$

(10) $\begin{equation*} & f(x)=\tan(x) & \quad \quad &f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}\\[0.2em] \end{equation*}$

(11) $\begin{equation*} & f(x)=\cot(x) & \quad \quad &f'(x)=-\dfrac{1}{\sin^2(x)}\\[0.2em] \end{equation*}$

(12) $\begin{equation*} & f(x)=\arcsin(x) & \quad \quad &f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\[0.2em] \end{equation*}$

(13) $\begin{equation*} & f(x)=\arccos(x) & \quad \quad &f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\[0.2em] \end{equation*}$

(14) $\begin{equation*} & f(x)=\arctan(x) & \quad \quad &f'(x)=\frac{1}{1+x^2}. \end{equation*}$

$\quad$

Riassumiamo i risultati sulla derivabilità delle operazioni tra funzioni derivabili.

Proposizione 1.2. Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ , siano $f,g \colon A \to \mathbb{R}$ due funzioni derivabili e siano $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ . Allora la funzione $\alpha f + \beta g$ è derivabile e vale

$(\alpha f+ \beta g)'(x) = \alpha f'(x) + \beta g'(x) \qquad \forall x \in A.$

In particolare si ha

$(\alpha f)'(x)= \alpha f'(x), \quad (f+g)'(x)=f'(x)+g'(x) \qquad \forall x \in A.$

Proposizione 1.3. Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ e siano $f,g \colon A \to \mathbb{R}$ due funzioni derivabili. Allora il prodotto $f\cdot g$ è una funzione derivabile e si ha:

$(f\cdot g)'(x) = f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x), \qquad \forall x \in A.$

Proposizione 1.4. Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ e siano $f,g \colon A \to \mathbb{R}$ due funzioni derivabili. Allora il quoziente $\frac{f}{g}$ è una funzione derivabile nell’insieme $A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\}$ e si ha:

$\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \dfrac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)} \qquad \forall x \in A^*.$

$\quad$

Dalla proposizione 1.4 deriva il seguente risultato sulla derivata del reciproco di una funzione.

Proposizione 1.5. Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ e siano $f \colon A \to \mathbb{R}$ una funzione derivabile. Allora il reciproco $\dfrac{1}{f}$ è una funzione derivabile nell’insieme $A^* \coloneqq \{x \in A : f(x) \neq 0\}$ e si ha:

$\left(\frac{1}{f}\right)'(x) = - \dfrac{f'(x)}{f^2(x)} \qquad \forall x \in A^*.$

$\quad$

Il seguente risultato fornisce informazioni sulla derivabilità della funzione composta di due funzioni.

Proposizione 1.6. Siano $f\colon A \to \mathbb{R}$ e $g\colon B \to \mathbb{R}$ funzioni tali che $f(A) \subseteq B$ . Se $f$ è derivabile in $x_0\in A$ e $g$ è derivabile in $f(x_0)$ , allora la funzione composta $g \circ f$ è derivabile in $x_0$ e si ha:

$(g \circ f)'(x_0) = f'(x_0)\cdot g'(f(x_0)).$

$\quad$

Dalla proposizione 1.6 seguono i seguenti risultati.

Proposizione 1.7. Sia $f \colon A \subseteq \mathbb{R}\to (0,+\infty)$ una funzione derivabile. Allora

$\quad$

La funzione $f^\alpha$ , con $\alpha \in \mathbb{R}$ è derivabile e vale
$(f^\alpha)'(x) = \alpha \cdot f^{\alpha-1}(x) \cdot f'(x) \qquad \forall x \in A.$

Se $g\colon A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ è derivabile, allora $f^g$ è derivabile e vale
$(f^g)'(x) = f(x)^{g(x)}\left[g^\prime(x)\log f(x)+g(x)\dfrac{f^\prime(x)}{f(x)}\right] \qquad \forall x \in A.$

$\quad$

Osserviamo che il punto 2. della proposizione 1.7 si ottiene a partire dalla scrittura

$f(x)^g(x) = e^{g(x)\log(f(x))}$

a cui si applica la proposizione 1.7.

Il seguente risultato ci permette di calcolare la derivata della funzione inversa di una funzione invertibile senza conoscere l’espressione di tale inversa.

Proposizione 1.8. Sia $f\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ . Supponiamo che $f$ sia invertibile e sia $x_0 \in A$ tale che $f'(x_0)\neq 0$ . Allora $f^{-1}$ è derivabile nel punto $y_0\coloneq f(x_0)$ e vale

$\left(f^{-1}\right)'(y_0) = \dfrac{1}{f'(x_0)}.$

$\quad$

Richiamiamo ora la definizione di derivate di ordine successivo.

Definizione 1.9. Sia $f \colon A \subseteq \mathbb{R}\to (0,+\infty)$ una funzione e sia $n\in \mathbb{N}$ un intero positivo. Posto $A_n \coloneqq \{ x \in A \colon \exists f^{(n)}(x) \}$ , si definisce derivata $n-$ esima di $f$ la funzione

$f^{(n)} \colon A_n \to \mathbb{R} \quad \text{tale che} \quad x \longmapsto f^{(n)}.$

$\quad$

Concludiamo la sezione richiamando le derivate di funzioni in due variabili.

Definizione 1.10. Siano $A \subseteq \mathbb{R}^2$ un insieme aperto e $f \colon A \to (0,+\infty)$ una funzione di due variabili. Dato $P_0 \coloneqq (x_0,y_0)\in A$ un suo punto di accumulazione, si dice che $f$ è parzialmente derivabile rispetto ad $x$ in $P_0$ se esiste ed è finito il seguente limite:

$\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_0+h, y_0) - f(x_0,y_0)}{h}.$

Tale derivata si indica con $f'_x(P_0)$ e viene detta derivata parziale di $f$ rispetto a $x$ in $P_0$ .

Analogamente, si dice che $f$ è parzialmente derivabile rispetto ad $y$ in $P_0$ se esiste ed è finito il seguente limite:

$\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_0, y_0+h) - f(x_0,y_0)}{h}.$

Tale derivata si indica con $f'_y(P_0)$ e viene detta derivata parziale di $f$ rispetto a $y$ in $P_0$ .

$\quad$

Testi degli esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare la derivata delle funzioni definite dalle seguenti espressioni negli insiemi indicati.

$\begin{aligned} 1.\; & f(x)=3\cdot 5^x&\qquad \forall x \in \mathbb{R};\\ 2. \; & f(x)=4 \log_3(x)&\qquad \forall x \in (0,+\infty);\\ 3. \; & f(x)= \sin x - 2 \cos x + 1&\qquad \forall x \in \mathbb{R}; \\ 4. \; & f(x)=2x- \frac{1}{2}+2^x&\qquad \forall x \in \mathbb{R};\\ 5. \; & f(x)=x^3+4x+1&\qquad \forall x \in \mathbb{R};\\ 6. \; & f(x)=x^5 - 4x^3 +2x -3&\qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

Svolgimento.

1. Utilizzando la proposizione 1.2 e applicando (5) si ha:

$f'(x) = (3\cdot 5^x)' = 3 \cdot (5^x)' = 3 \log(5)\cdot 5^x \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$

2. Utilizzando la proposizione 1.2 e applicando (7) si ha:

$f'(x) = (4\log_3(x))= 4 (\log_3(x))' = 4 \log_3(e) \cdot \dfrac{1}{x} \qquad \forall x \in (0,+\infty).$

3. Utilizzando la proposizione 1.2 e applicando (1), (8) e (9) si ha:

$f'(x) = (\sin x)' - 2 \cdot (\cos x)' + (1)' = \cos x + 2 \sin x \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$

4. Utilizzando la proposizione 1.2 e applicando (1), (2) e (5) si ha:

$f'(x) = 2\cdot(x)' - \left(\dfrac{1}{2}\right)' + (2^x)' = 2 + \log(2)\cdot 2^x \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$

5. Utilizzando la proposizione 1.2 e applicando (1), (2) e (3) si ha:

$f'(x) = (x^3)' + 4\cdot (x)' + (1)' = 3 x^2 + 4 \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$

6. Utilizzando la proposizione 1.2 e applicando (1), (2) e (3) si ha:

$f'(x) = (x^5)' - 4 \cdot(x^3)' + 2\cdot(x)' - 3 = 4x^4 - 12 x^2 +2 \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare la derivata delle funzioni definite dalle seguenti espressioni negli insiemi indicati.

$\begin{aligned} 1.\; & f(x)=\sqrt[5]{x}-3x^3&\qquad \forall x \in \mathbb{R};\\ 2. \; & f(x)=\dfrac{2}{x^4}-\dfrac{3}{x^3}-\dfrac{1}{x^2}&\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{0\};\\ 3. \; & f(x)= e^x-3 \log x&\qquad \forall x \in (0,+\infty); \\ 4. \; & f(x)=5\sin x + 3\cos x - 2&\qquad \forall x \in \mathbb{R};\\ 5. \; & f(x)=\dfrac{1+8x^2}{2x^3}&\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{0\};\\ 6. \; & f(x)=\sqrt{\sqrt{x}}-\log\left(\dfrac{1}{x^2}\right)+e^4&\qquad \forall x \in (0,+\infty). \end{aligned}$

Svolgimento.

1. Utilizzando la proposizione 1.2 e applicando (3) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) =& \left(x^{\frac{1}{5}}\right)' - 3 \cdot (x^3)'= \frac{1}{5}x^{\frac{1}{5}-1} - 9 x^2 = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}} - 9x^2 \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

2. Utilizzando la proposizione 1.2 e applicando (3) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) =& 2 \cdot (x^{-4})' - 3 \cdot (x^{-3}) - (x^{-2}) \\ =& - 8 x^{-5} + 9 x^{-4} +2x^{-3}\\ =& -\dfrac{8}{x^5} + \dfrac{9}{x^4} + \dfrac{2}{x^3} \qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{0\}. \end{aligned}$

3. Utilizzando la proposizione 1.2 e applicando (4) e (6) si ha:

$f'(x) = (e^x)' - 3 \cdot (\log x)' = e^x - \dfrac{3}{x} \qquad \forall x \in (0,+\infty).$

4. Utilizzando la proposizione 1.2 e applicando (1), (8) e (9) si ha:

$f'(x) = 5 \cdot (\sin x)' + 3\cdot (\cos x)' - (2)' = 5\cos x - 3 \sin x \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$

5. Riscriviamo l’espressione che definisce la funzione in modo da ottenere la somma di funzioni elementari:

$f(x) = \dfrac{1+8x^2}{2x^3} = \dfrac{1}{2x^3} + \dfrac{4}{x} \qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{0\}.$

Utilizzando la proposizione 1.2 e applicando (3) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) =& \dfrac{1}{2} \cdot \left(x^{-3}\right)' + 4\cdot (x^{-1})' = -\dfrac{3}{2}x^{-4} - 4 x^{-2} = - \dfrac{3}{2 x^4} - \dfrac{4}{x^2} \qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{0\}. \end{aligned}$

6. Riscriviamo la funzione in modo da ottenere la somma di funzioni elementari:

$f(x) = \sqrt{\sqrt{x}} - \log\left(\dfrac{1}{x^2}\right)+e^4 = x^{\frac{1}{4}} + 2 \log x + e^4 \qquad \forall x \in (0,+\infty).$

Utilizzando la proposizione 1.2 e applicando (1), (3) e (6) si ha:

$f'(x) = (x^{\frac{1}{4}})' + 2 \cdot (\log x)' + (e^4)' = \dfrac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} + \dfrac{2}{x} = \dfrac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}+ \dfrac{2}{x} \qquad \forall x \in (0,+\infty).$

Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare la derivata delle funzioni definite dalle seguenti espressioni negli insiemi indicati.

$\begin{aligned} 1.\; & f(x)=x \log x&\qquad \forall x \in (0,+\infty);\\ 2. \; & f(x)=e^x \cos x&\qquad \forall x \in \mathbb{R};\\ 3. \; & f(x)= x \log x - \sin x&\qquad \forall x \in (0,+\infty); \\ 4. \; & f(x)= \sin (2x)&\qquad \forall x \in \mathbb{R};\\ 5. \; & f(x)=x^4 e^x&\qquad \forall x \in \mathbb{R};\\ 6. \; & f(x)=(\log x - 3)\log x&\qquad \forall x \in (0,+\infty). \end{aligned}$

Svolgimento.

1. Utilizzando la proposizione 1.3 e applicando (2) e (6) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) =& (x)'\cdot \log x + x \cdot (\log x)' = \log x + x\cdot \dfrac{1}{x} = \log x + 1 \qquad \forall x \in (0,+\infty). \end{aligned}$

2. Utilizzando la proposizione 1.3 e applicando (4) e (9) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) = (e^x)' \cdot \cos x + e^x \cdot (\cos x)' = e^x \cos x - e^x \sin x \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

3. Utilizzando le proposizioni 1.2 e 1.3 e applicando (2), (6) e (8) si ha:

$f'(x)= (x)'\cdot \log x + x \cdot (\log x)' - (\sin x)' = \log x+ 1 - \cos x \qquad \forall x \in (0,+\infty).$

4. Ricordiamo che $\sin (2x) = 2\sin x \cos x$ . Utilizzando le proposizioni 1.2 e 1.3 e applicando (8) e (9) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) &= 2 \left((\sin x)' \cdot \cos x + \sin x \cdot (\cos x)' \right) \\ &= 2 \left( \cos x \cos x - \sin x \sin x \right)= 2 (\cos^2 x - \sin^2 x) = 2\cos (2x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

5. Utilizzando la proposizione 1.3 e applicando (3) e (4) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) = (x^4)' \cdot e^x + x^4 \cdot (e^x)' = 4 x^3 e^x + x^4 e^x = x^3 e^x (4 + x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

6. Utilizzando le proposizioni 1.2 e 1.3 e applicando(1) e (6) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) = &(\log x - 3)'\cdot \log x + (\log x - 3) \cdot (\log x)'\\ =& \dfrac{1}{x} \log x + (\log x - 3)\dfrac{1}{x} \\ =& \dfrac{1}{x} \left(2 \log x - 3\right) \qquad \forall x \in (0,+\infty). \end{aligned}$

Esercizio 4 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare la derivata delle funzioni definite dalle seguenti espressioni negli insiemi indicati.

$\begin{aligned} 1.\; & f(x)=x^2\cdot \sqrt[3]{x^2}&\qquad \forall x \in \mathbb{R};\\ 2. \; & f(x)=(1+x^2)\cos x - x&\qquad \forall x \in \mathbb{R};\\ 3. \; & f(x)= \dfrac{1}{x} + 2 \log x - \dfrac{\log x}{x}&\qquad \forall x \in (0,+\infty); \\ 4. \; & f(x)=\dfrac{e^x}{x^2}&\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{0\};\\ 5. \; & f(x)=xe^x \log x&\qquad \forall x \in (0,+\infty);\\ 6. \; & f(x)=x(3x+2) \sin x &\qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

Svolgimento.

1. Utilizzando la proposizione 1.3 e applicando (3) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) =& (x^2)'\cdot \sqrt[3]{x^2} + x^2 \cdot (x^{\frac{2}{3}})' =2 x \cdot \sqrt[3]{x^2} + \dfrac{2}{3}x^2 x^{\frac{2}{3}-1} = 2x \left(\sqrt[3]{x^2} + \dfrac{1}{3 \sqrt[3]{x}} \right) = \dfrac{8}{3}\sqrt[3]{x^5} \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

2. Riscriviamo la funzione nel modo seguente:

$f(x) = \cos x + x^2\cos x - x, \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$

Utilizzando le proposizioni 1.2 e 1.3, e applicando (2), (3) e (9) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) &= (\cos x)' + (x^2)' \cdot \cos x + x^2 \cdot (\cos x)' - (x)'\\ &= - \sin x + 2 x \cos x - x^2 \sin x - 1\\ &= 2 x \cos x - 1 -\sin x (1+ x^2) \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

3. Utilizzando le proposizioni 1.2 e 1.3, e applicando (3) e (6) si ha:

$\begin{aligned} f'(x)=& (x^{-1})' + 2 (\log x)' - \left((\log x)' \cdot x^{-1} + \log x \cdot (x^{-1})' \right)\\ =& - x^{-2} + \dfrac{2}{x} - \left(\dfrac{1}{x}\cdot x^{-1} - \log x \cdot x^{-2} \right)\\ =& - \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{\log x}{x^2}\\ =& \dfrac{\log x - 2 }{x^2} + \dfrac{2}{x} \qquad \forall x \in (0,+\infty). \end{aligned}$

4. Utilizzando la proposizione 1.3 e applicando (3) e (4) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) =& (e^x)' \cdot x^{-2} + e^x \cdot (x^{-2})'=e^x \cdot x^{-2} -2 e^x \cdot x^{-3}= \dfrac{e^x}{x^2} \left(1- \dfrac{2}{x}\right) \qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{0\}. \end{aligned}$

5. Osserviamo che la funzione data è il prodotto di tre diverse funzioni. Chiamiamo $g(x) = x e^x$ e calcoliamone la derivata utilizzando la proposizione 1.3 e applicando (2) e (4):

$g(x)' = (x)' \cdot e^x + x \cdot (e^x)' = e^x + x e^x \quad \forall x \in \mathbb{R}.$

Utilizzando la proposizione 1.3 e applicando (6) si ha dunque:

$\begin{aligned} f'(x) =& g'(x) \cdot \log x + g(x) \cdot (\log x)' \\ =& e^x(1+x) \log x + x e^x \cdot \dfrac{1}{x}\\ =& e^x \left(\log x + x \log x + 1\right) \qquad \forall x \in (0,+\infty). \end{aligned}$

6. Osserviamo che la funzione data è il prodotto di tre diverse funzioni. Chiamiamo $g(x) = x \sin x$ e calcoliamone la derivata utilizzando la proposizione 1.3 e applicando (2) e (8):

$g(x)' = (x)' \cdot \sin x + x \cdot (\sin x)' = \sin x + x \cos x \quad \forall x \in \mathbb{R}.$

Utilizzando le proposizioni 1.2 e 1.3, e applicando (1) e (2) si ha dunque:

$\begin{aligned} f'(x) =& g'(x) \cdot (3x+2) + g(x) \cdot (3x+2)' \\ =& (\sin x + x \cos x) (3x+2) + 3 x \sin x \\ =& 3x \left(2 \sin x + x \cos x \right) + 2(\sin x + x \cos x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

Esercizio 5 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare la derivata delle funzioni definite dalle seguenti espressioni negli insiemi indicati.

$\begin{aligned} 1.\; & f(x)=\dfrac{x^2}{2-x^3}&\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{\sqrt[3]{2}\};\\ 2. \; & f(x)=\dfrac{3x^2-2}{e^x}&\qquad \forall x \in \mathbb{R};\\ 3. \; & f(x)= \dfrac{x^2}{\log x}&\qquad \forall x \in (0,1)\cup(1,+\infty); \\ 4. \; & f(x)=\dfrac{x^2+\cos x}{\sin x}&\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{k\pi \colon k \in \mathbb{Z}\};\\ 5. \; & f(x)=\dfrac{x \sin x}{e^x}&\qquad \forall x \in \mathbb{R};\\ 6. \; & f(x)=e^x \cot x&\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{k\pi \colon k \in \mathbb{Z}\}. \end{aligned}$

Svolgimento.

1. Utilizzando le proposizioni 1.2 e 1.4 e applicando (1) e (3) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) =&\dfrac{ (x^2)' \cdot (2-x^3) - x^2 \cdot (2-x^3)'}{(2-x^3)^2} = \dfrac{2x (2-x^3) - x^2 (-3 x^2) }{(2-x^3)^2} = \dfrac{4 x +x^4 }{(2-x^3)^2} \qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{\sqrt[3]{2}\}. \end{aligned}$

2. Utilizzando le proposizioni 1.2 e 1.4, e applicando (1), (3) e (4) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{(3x^2 - 2)' \cdot e^x - (3x^2 - 2)\cdot (e^x)'}{e^{2x}} = \dfrac{e^x \left( 6 x - 3x^2 + 2\right)}{e^{2x}} = \dfrac{6x - 3x^2 + 2}{e^x}\qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

3. Utilizzando la proposizione 1.4 e applicando (3) e (6) si ha:

$\begin{aligned} f'(x)=& \dfrac{(x^2)' \cdot \log x - x^2 \cdot (\log x)' }{\log^2 x}= \dfrac{2x \log x - \dfrac{x^2}{x}}{\log^2 x}=\dfrac{x(2 \log x - 1)}{\log^2 x} \qquad \forall x \in (0,1)\cup(1,+\infty). \end{aligned}$

4. Utilizzando le proposizioni 1.2 e 1.4 e applicando (3), (8) e (9) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) =& \dfrac{(x^2 + \cos x)' \cdot \sin x - (x^2 + \cos x)\cdot(\sin x)'}{\sin^2 x} = \dfrac{(2x - \sin x) \sin x -(x^2 + \cos x) \cos x}{\sin^2 x} \\ =& \dfrac{2x \sin x - \sin^2 x - x^2 \cos x -\cos^2 x}{\sin^2 x } = \dfrac{2x \sin x - 1 - x^2 \cos x}{\sin^2 x}\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{k \pi, k \in \mathbb{Z}\}. \end{aligned}$

5. Osserviamo che la funzione data è il rapporto tra un prodotto di due funzioni con un’altra funzione. Chiamiamo $g(x) = x \sin x$ e calcoliamone la derivata utilizzando la proposizione 1.3 e applicando (2) e (8):

$g(x)' = (x)' \cdot \sin x + x \cdot (\sin x)' = \sin x + x \cos x \quad \forall x \in \mathbb{R}.$

Utilizzando la proposizione 1.4 e applicando (4) si ha dunque:

$\begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{g'(x) \cdot e^x - g(x) \cdot (e^x)'}{e^{2x}} \\ &= \dfrac{e^x \left(\sin x + x \cos x - x\sin x\right)}{e^{2x}} \\ &= \dfrac{(1-x)\sin x + x \cos x}{e^x}, \quad \forall x \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

6. Ricordiamo che $\cot x = \dfrac{1}{\tan x}$ . Utilizzando la proposizione 1.4 e applicando (4) e (10) si ha dunque:

$\begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{(e^x)' \cdot \tan x - e^x \cdot (\tan x)'}{\tan^2 x} \\ &= \dfrac{e^x \left( \tan x - \dfrac{1}{\cos^2 x}\right)}{\tan^2 x} \\ &= e^x \left(\dfrac{\sin x \cos x - 1}{\sin^2 x} \right), \quad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{k \pi , k \in \mathbb{Z}\}. \end{aligned}$

Esercizio 6 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare la derivata delle funzioni definite dalle seguenti espressioni negli insiemi indicati.

$\begin{aligned} 1.\; & f(x)=\dfrac{2x+3}{x^2-5x+5}&\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\left\lbrace\dfrac{5\pm \sqrt{5}}{2}\right\rbrace;\\ 2. \; & f(x)=\dfrac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}&\qquad \forall x \in [0,+\infty)\setminus\{1\};\\ 3. \; & f(x)= \dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}&\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\left\lbrace \dfrac{\pi}{4}+k\pi \colon k \in \mathbb{Z}\right\rbrace; \\ 4. \; & f(x)=\tan x-\frac{1}{\tan x}&\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus \left\lbrace k\dfrac{\pi}{2} \colon k \in \mathbb{Z}\right\rbrace;\\ 5. \; & f(x)=\dfrac{(x-1) e^x}{x^2}&\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{0\};\\ 6. \; & f(x)=\dfrac{x(\log x - 1)}{x^2-4} &\qquad \forall x \in (0,+\infty)\setminus\{ \pm 2\}. \end{aligned}$

Svolgimento.

1. Utilizzando le proposizioni 1.2 e 1.4 e applicando (2) e (3) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) =&\dfrac{(2x+3)' \cdot (x^2-5x+5) - (2x+3)\cdot (x^2-5x+5)' }{(x^2-5x+5)^2} \\ =& \dfrac{2 (x^2-5x+5) - (2x+3)(2x - 5)}{(x^2-5x+5)^2}= \dfrac{-2 x^2 - 6x + 25}{(x^2-5x+5)^2} \qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\left\lbrace\dfrac{5\pm \sqrt{5}}{2}\right\rbrace. \end{aligned}$

2. Utilizzando le proposizioni 1.2 e 1.4, e applicando (3) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) &=\dfrac{(1+\sqrt{x})' \cdot (1- \sqrt{x}) - (1+\sqrt{x})\cdot(1-\sqrt{x})'}{(1-\sqrt{x})^2} \\ &=\dfrac{\dfrac{1}{2 \sqrt{x}}\cdot (1- \sqrt{x}) - (1+\sqrt{x})\cdot \left(-\dfrac{1}{2 \sqrt{x}}\right)}{(1-\sqrt{x})^2}= \dfrac{1 }{\sqrt{x}(1-\sqrt{x})^2 } \qquad \forall x \in [0,+\infty)\setminus\{1\}. \end{aligned}$

3. Utilizzando le proposizioni 1.2 e 1.4 e applicando (8) e (9) si ha:

$\begin{aligned} f'(x)=& \dfrac{(\sin x + \cos x)' \cdot (\sin - \cos x) - (\sin x + \cos x) \cdot (\sin x- \cos x)'}{(\sin x - \cos x)^2} \\ =& \dfrac{(\cos x - \sin x) \cdot (\sin - \cos x) - (\sin x + \cos x)\cdot (\cos x + \sin x)}{(\sin x - \cos x)^2}\\ =& \dfrac{ -(\sin x - \cos x)^2 - (\sin x + \cos x)^2}{(\sin x - \cos x)^2} \\ =& - \dfrac{2(\cos^2 x + \sin^2 x)}{(\sin x - \cos x)^2} = - \dfrac{1}{1-\sin (2x)}\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\left\lbrace \dfrac{\pi }{4}+k\pi \colon k \in \mathbb{Z}\right\rbrace. \end{aligned}$

4. Utilizzando le proposizioni 1.2 e 1.4 e applicando (1) e (10) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) =& (\tan x)' - \dfrac{(1)'\cdot \tan x - 1 \cdot (\tan x)'}{\tan^2 x} \\=& \dfrac{1}{\cos^2 x} + \dfrac{1}{(\cos x \tan x)^2} \\=& \dfrac{1}{\cos^2 x } + \dfrac{1}{\sin^2 x}\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus \left\lbrace k\dfrac{\pi }{2}\colon k \in \mathbb{Z}\right\rbrace. \end{aligned}$

5. Osserviamo che la funzione data è il rapporto tra un prodotto di due funzioni con un’altra funzione. Chiamiamo $g(x) = (x-1)e^x$ e calcoliamone la derivata utilizzando la proposizione 1.3 e applicando (2) e (4):

$g(x)' = (x-1)' \cdot e^x + (x-1) \cdot (e^x)' = e^x(1 + (x-1)) = x e^x \quad \forall x \in \mathbb{R}.$

Utilizzando la proposizione 1.4 e applicando (3) e (4) si ha dunque:

$\begin{aligned} f'(x) = \dfrac{g'(x) \cdot x^2 - g(x) \cdot (x^2)'}{x^4} = \dfrac{x^3 e^x - 2 x (x-1)e^x}{x^4} = \dfrac{e^x (x^2 - 2x + 2)}{x^3} \qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{0\}. \end{aligned}$

6. Osserviamo che la funzione data è il rapporto tra un prodotto di due funzioni con un’altra funzione. Chiamiamo $g(x)= x(\log x - 1)$ e calcoliamone la derivata utilizzando le proposizioni 1.2 e 1.3 e applicando (1), (2) e (6):

$g'(x)= (x)' \cdot (\log x -1) + x\cdot (\log x -1)' = \log x - 1 + 1 = \log x \qquad \forall x \in (0,+\infty).$

Utilizzando la proposizione 1.4 e applicando (1) e (3) si ha dunque:

$\begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{g'(x) \cdot (x^2-4)- g(x) \cdot (x^2-4)'}{(x^2-4)^2} = \dfrac{(x^2 - 4)\log x - 2x (\log x - 1)}{(x^2-4)^2} \\ &= \dfrac{(x^2 -2x-4 )\log x + 2x}{(x^2 - 4)^2} \qquad \forall x \in (0,+\infty)\setminus\{\pm 2\}. \end{aligned}$

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Esercizio 7 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare la derivata delle funzioni definite dalle seguenti espressioni negli insiemi indicati.

$\begin{aligned} 1.\; & f(x)= \frac{x\sin(x)}{x+1}&\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus \{-1\};\\ 2. \; & f(x)=\dfrac{x^2\sin x +2}{x}&\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{0\};\\ 3. \; & f(x)= 2 \cos^2 x \tan x&\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\left\lbrace \dfrac{\pi}{2}+k\pi \colon k \in \mathbb{Z}\right\rbrace; \\ 4. \; & f(x)=- \dfrac{1}{\cos x} + (1-\tan x)\sin x&\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\left\lbrace \dfrac{\pi}{2}+k\pi \colon k \in \mathbb{Z}\right\rbrace;\\ 5. \; & f(x)=2 + \dfrac{x}{6+2x}- \dfrac{x^2-1}{x+3}&\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{- 3\};\\ 6. \; & f(x)=\dfrac{1-\log x }{1+\log x} &\qquad \forall x \in (0,e^{-1}) \cup (e^{-1},+\infty). \end{aligned}$

Svolgimento.

1. Osserviamo che la funzione data è il rapporto tra un prodotto di due funzioni con un’altra funzione. Utilizzando le proposizioni 1.2, 1.3 e 1.4 e applicando (2) e (8) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) =& \dfrac{(x \sin x)' \cdot (x+1)- x\sin x (x+1)'}{(x+1)^2} = \dfrac{(\sin x + x \cos x )(x+1) - x \sin x }{(x+1^2)}\\ &= \dfrac{x \cos x (x+1) + \sin x }{(x+1)^2} \qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{-1\}. \end{aligned}$

2. Osserviamo che la funzione data è il rapporto tra una somma di due funzioni, la cui prima funzione è a sua volta il prodotto di due funzioni, con un’altra funzione. Utilizzando le proposizioni 1.2, 1.3 e 1.4 e applicando (1), (2), (3) e (8) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) &=\dfrac{(x^2 \sin x + 2)' \cdot x - (x^2 \sin x + 2) \cdot (x)'}{x^2} = \dfrac{ (2x \sin x + x^2 \cos x) x - x^2 \sin x -2 }{x^2}\\ =& \dfrac{x^2 \sin x + x^3 \cos x -2}{x^2} = \sin x + x \cos x - \dfrac{2}{x^2}\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{0\}. \end{aligned}$

3. Osserviamo che la funzione data può essere riscritta come

$f(x) = 2 \cos^2 \dfrac{\sin x}{\cos x} = 2 \sin x \cos x \qquad \forall x \in \mathbb{R} \setminus\left\lbrace \dfrac{\pi}{2}+k\pi \colon k \in \mathbb{Z}\right\rbrace.$

Utilizzando la proposizione 1.3 e applicando (8) e (9) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) &= 2 \left( \cos x \cos x + \sin x (-\sin x)\right) \\ &= 2 (\cos^2 x - \sin^2 x) \\ &= 2 \cos (2x), \quad \forall x \in \mathbb{R}\setminus \left\lbrace \dfrac{\pi}{2}+k\pi \colon k \in \mathbb{Z}\right\rbrace. \end{aligned}$

4. Utilizzando le proposizioni 1.2, 1.3 e 1.4 e 1.5 e applicando (1), (8), (9) e (10) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) =& \dfrac{-\sin x}{\cos^2 x} + \cos x - \left(\dfrac{1}{\cos^2 x}\cdot \sin x + \tan x \cos x \right) \\=& - \dfrac{2 \sin x}{\cos^2 x} + \cos x -\sin x \qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\left\lbrace \dfrac{\pi}{2}+k\pi \colon k \in \mathbb{Z}\right\rbrace. \end{aligned}$

5. Osserviamo che la funzione data può essere riscritta come

$f(x) = 2 + \dfrac{x}{2(3+x)} - \dfrac{x^2-1}{x+3} = 2 + \dfrac{-2x^2 + x + 2}{2(3+x)} \qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{-3\}.$

Utilizzando le proposizioni 1.2 e 1.4 e applicando (1), (2) e (3) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(-4 x + 1)(3+x)- (-2x^2+x+2)}{(3+x)^2} = \dfrac{- 2x^2 - 12 x +1}{2(3+x)^2} \qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{-3\}. \end{aligned}$

6. Utilizzando le proposizioni 1.2 e 1.3 e applicando (1) e (6) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) = \dfrac{- \dfrac{1}{x} (1+\log x )- (1-\log x) \dfrac{1}{x}}{(1+\log x )^2} = - \dfrac{2}{x(1+\log x )^2}\qquad \forall x \in (0,e^{-1})\cup(e^{-1},+\infty). \end{aligned}$

Esercizio 8 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare la derivata delle funzioni definite dalle seguenti espressioni negli insiemi indicati.

$\begin{aligned} 1.\; & f(x)= (3x^2-4)^3&\qquad \forall x \in \mathbb{R};\\ 2. \; & f(x)=\dfrac{3}{(2x-1)^2}&\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\left\lbrace\frac{1}{2}\right\rbrace;\\ 3. \; & f(x)= (2+\sin x)^4&\qquad \forall x \in \mathbb{R}; \\ 4. \; & f(x)= x\log^2 x&\qquad \forall x \in (0,+\infty);\\ 5. \; & f(x)=\log x \sin^3 x&\qquad \forall x \in (0,+\infty);\\ 6. \; & f(x)=\dfrac{x^2-1}{x}+\log^{\frac{5}{3}} x &\qquad \forall x \in (0,+\infty). \end{aligned}$

Svolgimento.

1. Utilizzando le proposizioni 1.2 e 1.7 e applicando (1) e (3) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) = 3\cdot (3x^2-4)^2 \cdot (3x^2-4)' = 18 x (3x^2-4)^2 \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

2. Utilizzando le proposizioni 1.2, 1.5 e 1.7 e applicando (1), (2) e (3) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) &=-3 \dfrac{((2x-1)^2)'}{(2x-1)^4} = - 3\dfrac{2 (2x-1)\cdot 2}{(2x-1)^4} = -\dfrac{12}{(2x-1)^3}\qquad \forall x\in \mathbb{R}\setminus\left\lbrace\frac{1}{2}\right\rbrace. \end{aligned}$

3. Utilizzando le proposizioni 1.2 e 1.7 e applicando (1), (8) e (3) si ha:

$\begin{aligned} f'(x)= 4 (2+\sin x)^3 \cdot (2+\sin x)' = 4 \cos x (2+\sin x)^3 \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

4. Utilizzando le proposizioni 1.3 e 1.7 e applicando (2), (6) e (3) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) =& (x)' \cdot \log^2 x + x \cdot (\log^2 x)' = \log^2 x + x \cdot \left(2 \log x \frac{1}{x}\right) = \log x \left(\log x + 2\right)\qquad \forall x \in (0,+\infty). \end{aligned}$

5. Utilizzando le proposizioni 1.3 e 1.7 e applicando (8), (6) e (3) si ha:

$\begin{aligned} f(x) =& (\log x)' \cdot \sin^3 x + \log x \cdot (\sin^3 x)' \\=& \dfrac{\sin^3 x}{x} + \log x \cdot (3 \sin^2 x\cos x )\\=& \dfrac{\sin^3 x}{x}+\dfrac{3}{2} \log x \sin x \sin(2x)\qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

6. Utilizzando le proposizioni 1.2, 1.4 e 1.7 e applicando (1), (2), (3) e (6) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) =& \dfrac{(x^2-1)' \cdot x - (x^2-1)\cdot (x)'}{x^2} + 2 \dfrac{\log x}{x} =\dfrac{x^2 + 1 }{x^2}+ \dfrac{5}{2} \dfrac{\log^{\frac{2}{3}} x}{x} \qquad \forall x \in (0,+\infty). \end{aligned}$

Esercizio 9 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare la derivata delle funzioni definite dalle seguenti espressioni negli insiemi indicati.

$\begin{aligned} 1.\; & f(x)= \sqrt{1-x^2}&\qquad \forall x \in (-1,1);\\ 2. \; & f(x)=\dfrac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}&\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\left\lbrace \dfrac{\pi}{2}+k\pi \colon k \in \mathbb{Z}\right\rbrace;\\ 3. \; & f(x)= \dfrac{(2x+1)^2}{(x-2)^2}&\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{2\}; \\ 4. \; & f(x)= \dfrac{x}{\tan^2 x}&\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus \left\lbrace k\dfrac{\pi}{2} \colon k \in \mathbb{Z}\right\rbrace;\\ 5. \; & f(x)=2 \sin^2 x + \dfrac{1}{\sin^4 x}&\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\left\lbrace k\pi \colon k \in \mathbb{Z}\right\rbrace;\\ 6. \; & f(x)=(2x-1)^5 + \dfrac{1}{2}\cos^2 x &\qquad \forall x \in\mathbb{R}. \end{aligned}$

Svolgimento.

1. Utilizzando le proposizioni 1.2 e 1.7 e applicando (3) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) =& ((1-x^2)^{\frac{1}{2}})' = \dfrac{1}{2} (1-x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot (1-x^2)' = - \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\qquad \forall x \in (-1,1). \end{aligned}$

2. Osserviamo che l’espressione della funzione data si può riscrivere nel seguente modo

$\begin{aligned} \dfrac{1-\tan^2 x}{1 + \tan^2 x} =& \dfrac{1 - \tan^2 x}{1 + \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} \\=& \cos^2 x \dfrac{1 - \tan^2 x}{\cos^2 x+ \sin^2 x} \\=& \cos^2 x - \sin^2 x \\=& \cos(2x)\qquad \forall x\in \mathbb{R}\setminus \left\lbrace \dfrac{\pi}{2}+k \pi\colon k \in \mathbb{Z}\right\rbrace. \end{aligned}$

Utilizzando la proposizione 1.6 e applicando (9) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) = -2 \sin(2x) \qquad \forall x\in \mathbb{R}\setminus \left\lbrace \dfrac{\pi}{2}+k \pi\colon k \in \mathbb{Z}\right\rbrace. \end{aligned}$

3. Utilizzando le proposizioni 1.4 e 1.7 e applicando (1), (2) e (3) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) =& \dfrac{((2x+1)^2)' \cdot (x-2)^2 - (2x+1)^2 \cdot ((x-2)^2)'}{(x-2)^4} \\ =& \dfrac{2 (2x+1)\cdot 2x (x-2)^2 - (2x+1)^2 \cdot2\cdot (x-2)}{(x-2)^4}\\ =& \dfrac{2(2x+1)\left(2x^2- 6x-1 \right)}{(x-2)^3}\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{2\}. \end{aligned}$

4. Utilizzando le proposizioni 1.4 e 1.7 e applicando (2) e (10) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{(x)' \tan^2 x - x (\tan^2 x)'}{\tan^4 x} = \dfrac{\tan^2 x - 2 x \tan x}{\tan^4 x} \\&= \dfrac{\tan x - 2x }{\tan^3 x} \qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus \left(\left\lbrace \dfrac{\pi }{2}+k\pi \colon k \in \mathbb{Z}\right\rbrace \cup \left\lbrace k\pi \colon k \in \mathbb{Z}\right\rbrace\right). \end{aligned}$

5. Utilizzando le proposizioni 1.2, 1.5 e 1.7 e applicando (8) e (3) si ha:

$f'(x) = 4 \sin x \cos x - 4 \sin^{-5} x\cos x = 2 \sin(2x) - \dfrac{4 \cos x}{\sin^5 x} \qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus \{k\pi\colon k \in \mathbb{Z}\}.$

6. Utilizzando le proposizioni 1.2 e 1.7 e applicando (2), (9) e (3) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) =& 5(2x-1)^4 \cdot (2x-1)' + \cos x (-\sin x) = 10(2x-1)^4 -\dfrac{ \sin (2x)}{2} \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare la derivata delle funzioni definite dalle seguenti espressioni negli insiemi indicati.

$\begin{aligned} 1.\; & f(x)= \log(\cos(x)) &\qquad \forall x \in \left(-\dfrac{\pi}{2}+ 2 k \pi, \dfrac{\pi}{2}+ 2k\pi \right), k \in \mathbb{Z};\\ 2. \; & f(x)=\log^2 x-\log(\log x)&\qquad \forall x \in (1,+\infty) ;\\ 3. \; & f(x)= \log(x+\sqrt{x^2-4}) &\qquad \forall x \in (2,+\infty); \\ 4. \; & f(x)= \sqrt[3]{x+\sqrt{x}} &\qquad \forall x \in (0,+\infty);\\ 5. \; & f(x)=\sqrt{\log(x+5)}&\qquad \forall x \in (-4,+\infty);\\ 6. \; & f(x)=\sqrt[5]{\frac{\sin(x^2)}{5-3x}} &\qquad \forall x \in(0,1). \end{aligned}$

Svolgimento.

1. Utilizzando la proposizione 1.6 e applicando (9) e (6) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) =& \log' (\cos x) \cdot (\cos x)' = - \dfrac{\sin x}{\cos x} = - \tan x\qquad \forall x \in \left(-\dfrac{\pi}{2}+ 2 k \pi, \dfrac{\pi}{2}+ 2k\pi \right), k \in \mathbb{Z}. \end{aligned}$

2. Utilizzando le proposizioni 1.2, 1.6 e 1.7 e applicando (6) e (3) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{ 2 \log x}{x} - \log' (\log x) \cdot (\log x)' = \dfrac{2 \log x}{x} - \dfrac{1}{x \log x} = \dfrac{2\log^2 x - 1}{x\log x} \qquad \forall x \in (1,+\infty). \end{aligned}$

3. Utilizzando le proposizioni 1.2 e 1.6 e applicando (1), (2), (3) e (6)si ha:

$\begin{aligned} f'(x) &= \log' (x+ \sqrt{x^2-4}) \cdot (x+ \sqrt{x^2-4})' \\ &= \dfrac{1}{x+ \sqrt{x^2-4}} \cdot \left(1+ \dfrac{x}{\sqrt{x^2-4}}\right) \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{x^2-4}}, \quad \forall x \in (2,+\infty). \end{aligned}$

4. Utilizzando la proposizione 1.7 e applicando (2) e (3) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{1}{3}(x + \sqrt{x})^{-\frac{2}{3}} \cdot (x+\sqrt{x})' \\ &= \dfrac{1}{3 \sqrt[3]{(x + \sqrt{x})^2}} \left(1+ \dfrac{1}{2 \sqrt{x}}\right) \\ &= \dfrac{2 \sqrt{x} +1}{6 \sqrt[3]{x(x+\sqrt{x})}}, \quad \forall x \in (0,+\infty). \end{aligned}$

5. Utilizzando le proposizioni 1.2 e 1.7 e applicando (1), (2), (6) e (3) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{1}{2}(\log(x+5))^{-\frac{1}{2}} \cdot (\log (x+5))' \\ &= \dfrac{1}{2 \sqrt{\log (x+5)}} \cdot \log' (x+5) \\ &= \dfrac{1}{2(x+5) \sqrt{\log (x+5)}}, \quad \forall x \in (-4,+\infty). \end{aligned}$

6. Utilizzando le proposizioni 1.2, 1.4 e 1.7 e applicando (1), (2), (8) e (3) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) =& \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{\sin(x^2)}{5-3x} \right)^{\frac{4}{5}} \cdot \left(\dfrac{\sin(x^2)}{5-3x}\right)' \\ =& \dfrac{1}{5} \left(\left(\dfrac{\sin(x^2)}{5-3x} \right)^{-\frac{4}{5}}\right)\cdot \dfrac{(\sin (x^2))' \cdot (5-3x) - \sin(x^2) \cdot (5-3x)'}{(5-3x)^2}\\ =& \dfrac{1}{5} \left(\left(\dfrac{\sin(x^2)}{5-3x} \right)^{-\frac{4}{5}}\right)\cdot \dfrac{2x \cos (x^2)(5-3x) + 3 \sin(x^2)}{(5-3x)^2}\\ =& \dfrac{ 10 x \cos(x^2) - 6x^2 \cos(x^2)+3 \sin(x^2)}{5(5-3x)^2 \sqrt[5]{\left(\dfrac{\sin(x^2)}{5-3x} \right)^4}}\qquad \forall x \in(0,1). \end{aligned}$

Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare la derivata delle funzioni definite dalle seguenti espressioni negli insiemi indicati.

$\begin{aligned} 1.\; & f(x)=\log^3(\sin(x^2+1) ) & \qquad \forall x \in (\sqrt{2\pi k -1},\sqrt{2\pi k + \pi-1}) ,k \in \mathbb{Z} ;\\ 2. \; & f(x)=e^{x^2-2}&\qquad \forall x \in \mathbb{R};\\ 3. \; & f(x)= (1+x^2)^{\sin x} &\qquad \forall x \in \mathbb{R} ; \\ 4. \; & f(x)= x^{\frac{1}{x}} &\qquad \forall x \in (0,+\infty) ;\\ 5. \; & f(x)=2 \log x - \sqrt[4]{\log^3 x}&\qquad \forall x \in (1,+\infty);\\ 6. \; & f(x)=\sqrt[3]{\cot(4x)} &\qquad \forall x\in \mathbb{R}\setminus\left\lbrace k\dfrac{\pi}{8} \colon k \in \mathbb{Z}\right\rbrace . \end{aligned}$

Svolgimento.

1. Utilizzando le proposizioni 1.2, 1.6 e 1.7 e applicando (1), (3), (8) e (6) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) = 3 \log^2 (\sin(x^2+1))\cdot\dfrac{1}{\sin(x^2+1)}\cdot \cos(x^2+1) \cdot 2x = 2x \cot(x^2+1) \\ \qquad \forall x \in (\sqrt{2\pi k -1},\sqrt{2\pi k+\pi-1}) ,k \in \mathbb{Z} \end{aligned}$

2. Utilizzando le proposizioni 1.2 e 1.7 e applicando (1), (3) e (4) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) &= 2x e^{x^2-2}\qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

3. Utilizzando le proposizioni 1.2 e 1.7 e applicando (1), (3) e (8)si ha:

$\begin{aligned} f'(x)= (1+x^2)^{\sin x}\left(\cos x \log(1+x^2) + \sin x \dfrac{2x}{1+x^2} \right)\qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

4. Utilizzando le proposizioni 1.5 e 1.7 e applicando (2) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) = x^{\frac{1}{x}}\left(-\dfrac{1}{x^2}\log x + \dfrac{1}{x}\cdot \dfrac{1}{x} \right) = x^{\frac{1}{x}-2}\left( - \log x + 1\right) \qquad \forall x \in (0,+\infty). \end{aligned}$

5. Utilizzando le proposizioni 1.2 e 1.7 e applicando (6) e (3) si ha:

$f'(x) = \dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{4}\left(\log x\right)^{-\frac{1}{4}}\cdot \dfrac{1}{x}= \dfrac{8\sqrt[4]{\log x} -3}{4x\sqrt[4]{\log x}} \qquad \forall x \in (1,+\infty).$

6. Riscriviamo la funzione data come

$f(x) =\sqrt[3]{\dfrac{1}{\tan(4x)}}\qquad \forall x\in \mathbb{R}\setminus\left\lbrace k\dfrac{\pi}{8} \colon k \in \mathbb{Z}\right\rbrace .$

Utilizzando le proposizioni 1.4 e 1.7 e applicando (2), (3) e (10) si ha:

$\begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{\tan (4x)}\right)^{-\frac{2}{3}} \cdot 4 \cdot \left(- \dfrac{1}{\cos^2 (4x) \tan^2 (4x)}\right) \\ &= - \dfrac{4}{3 \sin^2(4x) \sqrt[3]{\cot^2 (4x)}}, \quad \forall x\in \mathbb{R}\setminus\left\lbrace k\dfrac{\pi}{8}\colon k \in \mathbb{Z}\right\rbrace. \end{aligned}$

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare la derivata delle funzioni definite dalle seguenti espressioni negli insiemi indicati.

$\begin{aligned} 1.\; & f(x)=x^{x^x} & \qquad \forall x \in (0,+\infty);\\ 2. \; & f(x)=\sqrt{\cos x+1}&\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{2k\pi+\pi\colon k \in \mathbb{Z}\};\\ 3. \; & f(x)= (\sin x)^{\cos x} &\qquad \forall x \in (2k \pi, 2k\pi + \pi), k \in \mathbb{Z}; \\ 4. \; & f(x)= \sqrt[5]{\frac{\sin(x^2)}{5-3x}}&\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus \left(\left\lbrace \dfrac{5}{3}\right\rbrace \cup \left\lbrace\sqrt{k\pi}\colon k\in \mathbb{N}\right\rbrace \right);\\ 5. \; & f(x)=\log^2\left(\tan^2\left(x^2\right)\right) &\qquad \forall x \in \left(0,\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\right);\\ 6. \; & f(x)=\log\left(\dfrac{1-e^x}{e^x}\right)+\dfrac{1}{e^x-1}&\qquad \forall x\in (-\infty,0). \end{aligned}$

Svolgimento.

1. L’espressione della funzione data si presenta come $f(x)^g(x)$ , dove $f(x) = x$ e $g(x)=x^x$ . Calcoliamo dapprima la derivata della funzione $g$ , utilizzando la proposizione 1.7 e applicando (2):

$g'(x) = x^x \left(\log x + x \cdot \dfrac{1}{x}\right) = x^x \left(\log x + 1\right)\qquad \forall x \in (0,+\infty).$

Utilizzando nuovamente 1.7 e applicando (1), (2) e (6), si ha:

$\begin{aligned} f'(x) = x^{x^x}\left(x^x \left(\log x + 1\right)\log x + x^x \cdot \dfrac{1}{x} \right)= x^{x^x + x -1}\left(x (\log x + 1)\log x + 1\right)\qquad \forall x \in (0,+\infty). \end{aligned}$

2. Utilizzando le proposizioni 1.2 e 1.7 e applicando (1) e (9), si ha:

$\begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{1}{2}\cdot (\cos x + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-\sin x) = -\dfrac{\sin x }{2 \sqrt{\cos x + 1}}\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{2k\pi+\pi \colon k \in \mathbb{Z}\}. \end{aligned}$

3. Utilizzando la proposizione 1.7 e applicando (8) e (9), si ha:

$\begin{aligned} f'(x)&= (\sin x)^{\cos x}\left(-\sin x \log (\sin x) + \cos x \dfrac{\cos x}{\sin x}\right)\\ &= (\sin x)^{\cos x}\left(-\sin x \log (\sin x) + \cos x \cot x\right)\qquad \forall x \in (2k \pi, 2k\pi + \pi), k \in \mathbb{Z} \end{aligned}$

4. Utilizzando le proposizioni 1.2, 1.4 e 1.7 e applicando (1), (2), (3) e (8), si ha:

$\begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{\sin(x^2)}{5-3x}\right)^{-\frac{4}{5}} \cdot \left(\dfrac{\sin(x^2)}{5-3x}\right)' \\ &= \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{\sin(x^2)}{5-3x}\right)^{-\frac{4}{5}} \left(\dfrac{(\sin (x^2))' \cdot (5-3x) - \sin(x^2)\cdot (5-3x)'}{(5-3x)^2} \right)\\ &= \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{\sin(x^2)}{5-3x}\right)^{-\frac{4}{5}} \left(\dfrac{2x \cos(x^2) (5-3x) +3 \sin(x^2)}{(5-3x)^2} \right)\\ &= \dfrac{2x \cos(x^2) (5-3x) +3 \sin(x^2)}{5 \sqrt[5]{(5-3x)^{6} \sin(x^2)^4}} \qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\left(\left\lbrace \dfrac{5}{3}\right\rbrace \cup \left\lbrace\sqrt{k\pi}\colon k\ \in \mathbb{N}\right\rbrace\right). \end{aligned}$

5. Utilizzando le proposizioni 1.6 e 1.7 e applicando (6), (10) e (3), si ha:

$\begin{aligned} f'(x) &= 2 \log\left(\tan^2(x^2) \right)\cdot (\log (\tan^2(x^2)))'\\ &= 2 \log\left(\tan^2(x^2) \right)\cdot ( 2 \log (\tan (x^2)))'\\ &= 2 \log\left(\tan^2(x^2) \right)\cdot \dfrac{2}{\tan (x^2)}\cdot (\tan(x^2))'\\ &= 8 x \dfrac{\log\left(\tan^2(x^2) \right)}{\tan (x^2)}\cdot \dfrac{1}{\cos^2 (x^2)} \\ &= 16 x \dfrac{\log(\tan^2 (x^2)) }{\sin (2 x^2)}\qquad \forall x \in \left(0,\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\right). \end{aligned}$

6. Riscriviamo prima parte della la funzione data come

$\log \left(\dfrac{1-e^x}{e^x}\right) = \log \left(e^{-x}-1\right) \qquad \forall x \in (-\infty,0).$

Utilizzando le proposizioni 1.2, 1.4, 1.5 e 1.6 e applicando (1), (4) e (6), si ha:

$\begin{aligned} f'(x) =& \dfrac{1}{e^{-x}-1}\cdot \left(e^{-x}-1\right)' - \left(\dfrac{1}{e^x-1}\right)'\\ =& \dfrac{e^x}{1-e^x}\left(-e^{-x}\right) - \left(- \dfrac{e^x}{(e^x-1)^2}\right)\\ =& \dfrac{1}{e^x-1} + \dfrac{e^x}{(e^x-1)^2}= \dfrac{2e^x-1}{(e^x-1)^2} \qquad \forall x\in (-\infty, 0). \end{aligned}$

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Date le seguenti funzioni invertibili definite dalle espressioni riportate, calcolare la derivata delle rispettive funzioni inverse nei punti indicati.

$\begin{aligned} 1.\; &f \colon (0,+\infty) \to \mathbb{R}& \qquad f(x)=4x + \log x & \qquad y_0 = 4;\\ 2. \; & f \colon \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) \to \mathbb{R} & \qquad f(x)= x + 1 + \tan x &\qquad y_0 = 1;\\ 3. \; & f \colon \left(2,+\infty \right) \to \mathbb{R}&\qquad f(x)= 2\log (x-2) + x&\qquad y_0 = 3; \\ 4. \; &f \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} & \qquad f(x)= e^{x-1} + x&\qquad y_0 =2;\\ 5. \; & f \colon \mathbb{R} \to (-4,+\infty)& \qquad f(x)=e^{-4x}-4& \qquad y_0 =-3;\\ 6. \; & f \colon \left(-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right) \to \mathbb{R}& \qquad f(x)= \tan(2x)+e^x&\qquad y_0 =1. \end{aligned}$

Svolgimento.

1. Troviamo dapprima il punto $x_0$ tale che $f(x_0)= y_0$ . Osserviamo che

$4\cdot 1 + \log (1) = 4 + 0 = 4=y_0 \implies x_0 =1.$

Utilizzando la proposizione 1.2 e applicando (2) e (6), si ha:

$f'(x) = 4 + \dfrac{1}{x} \qquad \forall x \in (0,+\infty).$