Sia , sia un punto di accumulazione per , sia una funzione e sia . Si dice che è il limite di per che tende a se, per ogni intorno di , esiste un intorno di tale che
(1)
In tal caso si scrive
(2)
Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui , , e , , .
Testo dell’esercizio
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:
Svolgimento .
Occorre verificare che valga la condizione al punto 1 della tabella 1 con e definita da
(3)
il cui grafico è rappresentato in figura 23.
Anche se non appartiene al dominio di , è un punto di accumulazione per esso e quindi il limite richiesto è significativo. Fissiamo quindi . Abbiamo
(4)
dove nell’ultima implicazione si è usato il fatto che per ogni e dunque, se , allora .
Scegliendo quindi , si ha
(5)
cioè la tesi.
Figura 23: la funzione (in blu) dell’esercizio 23 e il suo confronto con le funzioni (in verde). Scegliendo , si vede che e implicano .