Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Per richiami più completi si veda la dispensa richiami di teoria.
Sia , sia un punto di accumulazione per , sia una funzione e sia . Si dice che è il limite di per che tende a se, per ogni intorno di , esiste un intorno di tale che
(1)
In tal caso si scrive
(2)
Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui , , e , , .
Testo dell’esercizio
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:
Svolgimento .
Bisogna dimostrare che vale la condizione al punto 3 della tabella 1 con e definita da
(3)
il cui grafico è rappresentato in figura 19. Il numero reale , pur non appartenendo al dominio di , è un punto di accumulazione per esso, quindi è significativo studiare il limite di in .
Fissiamo e, grazie all’osservazione 1 dei richiami di teoria, possiamo sceglierlo tale che . Si ha
(4)
Scegliendo quindi , si ottiene
(5)
Figura 19: il grafico della funzione dell’esercizio 19. Si osserva che, se , allora ..