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Classificazione di coniche reali – Esercizi

Curve nel piano

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Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi sulla classificazione affine di coniche reali! In questo articolo, proponiamo 28 problemi su questo importante argomento della geometria affine del piano. Gli esercizi sono completamente risolti per offrire al lettore la massima possibilità di apprendimento, così che possa confrontare la sua soluzione con quella da noi fornita.
L’articolo è quindi un complemento essenziale nella preparazione dell’esame di Geometria e Algebra lineare per i corsi di Laurea in Matematica, Fisica e Ingegneria.

Oltre all’articolo di teoria sulle Coniche affini reali, consigliamo il seguente materiale correlato:

Buona lettura!

 
 

Sommario

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In questo documento sono raccolti e risolti degli esercizi riguardanti la classificazione affine di coniche reali. Essi sono risolvibili utilizzando il metodo degli invarianti, il metodo di completamento dei quadrati e l’algoritmo di riduzione a forma canonica.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Alessandro Gorgò.

Revisori: Jacopo Garofali, Sara Sottile.


 
 

Notazioni

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\rank A    Rango della matrice A
\det A    Determinante della matrice A;
p_A(\lambda)    Polinomio caratteristico della matrice A (espresso nella variabile \lambda)


 
 

Introduzione

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Nel seguito raccogliamo alcuni esercizi riguardanti la classificazione delle coniche nel piano affine reale, facendo riferimento al rispettivo documento di teoria [2]. In particolare ci concentreremo sui metodi degli invarianti e del completamento dei quadrati, e sull’algoritmo di riduzione a forma canonica.

 
 

Richiami di teoria

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Una sezione conica o più semplicemente conica è un sottoinsieme del piano affine reale \mathbb R^2 definito da un’equazione polinomiale di secondo grado, del tipo

\begin{equation*} ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0. \end{equation*}

La matrice associata a tale conica è la matrice quadrata 3\times 3

\begin{equation*} \begin{pmatrix} a & b& d\\b&c&e\\d&e&f \end{pmatrix}. \end{equation*}

Una affinità o cambio di coordinate affine è una trasformazione invertibile (x, y)\mapsto(x', y') del piano \mathbb R^2 in sé, definita da due equazioni polinomiali di primo grado della forma

\[\begin{aligned} \begin{cases} x'=a_{11}x+a_{12}y+b_1\\ y'=a_{21}x+a_{22}y+b_2 \end{cases}&& a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\ne 0. \end{aligned}\]

Equivalentemente, lo stesso cambio di coordinate può essere scritto in forma matriciale come

\[\begin{aligned} \begin{pmatrix} x'\\y'\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&b_1\\a_{21}&a_{22}&b_2\\0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\1 \end{pmatrix}&&\det \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22} \end{pmatrix}\ne 0. \end{aligned}\]

Due coniche \mathscr C e \mathscr D si dicono affinemente equivalenti se esiste una affinità che manda l’equazione di \mathscr C nell’equazione di \mathscr D. La relazione di equivalenza affine è di equivalenza nell’insieme delle coniche affini reali.

Ogni conica è affinemente equivalente ad esattamente una di quelle determinate dalle seguenti equazioni:

\[\begin{aligned} x^2+y^2+1&=0&x^2+y^2-1&=0&x^2-y^2+1&=0 \\x^2+y^2&=0&x^2-y^2&=0&x^2-y&=0\\x^2+1&=0&x^2-1&=0&x^2&=0 \end{aligned}\]

Queste nove equazioni, chiamate forme canoniche, si possono classificare in base al loro rango e al loro indice (corrispondenti a quelli della matrice associata).

Classificare una conica significa determinare quale sia la forma canonica ad essa affinemente equivalente, ed eventualmente trovare un’affinità che la riduca in tale forma canonica. Per effettuare questa classificazione ci sono alcuni metodi possibili.

Il primo di questi sfrutta il fatto che il rango R, il valore assoluto dell’indice S e il segno del determinante I_2 della sottomatrice corrispondente alla parte quadratica di una conica sono invarianti per affinità. Pertanto, per classificare una conica \mathscr{C} basta calcolare i relativi valori di R, S e I_2, e cercare fra le nove forme canoniche l’unica che li abbia corrispondenti. Questo metodo non determina l’affinità che porta \mathscr{C} in forma canonica.

Alternativamente, per alcune particolari equazioni di \mathscr{C} è possibile completare i quadrati e determinare operativamente forma canonica ed equazione dell’affinità. Questo metodo è abbastanza veloce ed agevole, ma si può applicare comodamente soltanto se almeno uno fra i coefficienti a e c è non nullo, ed almeno uno fra i coefficienti b, d ed e è zero.

Infine, si può sempre applicare un apposito algoritmo di riduzione per determinare contemporaneamente forma canonica ed equazione dell’affinità che riduce \mathscr{C}. L’algoritmo consiste nell’eliminare il termine in xy dall’equazione della conica, e poi applicare il metodo di completamento dei quadrati.

Per maggiori informazioni si può consultare un qualunque testo di geometria e algebra lineare, ad esempio [1].


 
 

Esercizi

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare le equazioni delle coniche con le seguenti matrici associate:

\[\quad\]

  1. \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\0& 0&1\\1&1&1 \end{pmatrix};

    2.  

  2. \begin{pmatrix} 2 & 2 & -5\\2 & 14 &-1 \\ -5 & -1 & 0 \end{pmatrix};

    3.  

  3. \begin{pmatrix} -1& 0 & -2\\0 & 1 & 1\\-2 & 1&-3 \end{pmatrix}.

Svolgimento.

Basta ricordare la relazione che lega coefficienti dell’equazione di una conica e componenti della matrice associata. Otteniamo le equazioni

\[\quad\]

  1. x^2+2x+2y+1=0;

    2.  

  2. 2x^2+4xy+14y^2-10x-2y=0;

    3.  

  3. -x^2+y^2-4x+2y-3=0.

 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare le matrici associate alle coniche definite dalle seguenti equazioni:

\[\quad\]

  1. x^2-y^2+4x+6y+1=0;

    2.  

  2. 7x^2+4xy+3y^2+x+2y-1=0;

    3.  

  3. x^2+2xy+y^2-x-y+\frac{1}{4}=0.

Svolgimento.

Con un ragionamento analogo all’esercizio precedente otteniamo le matrici

\[\quad\]

  1. \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\0 & -1 & 3\\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix};

    2.  

  2. \begin{pmatrix} 7 & 2 & \frac{1}{2}\\2 & \frac{3}{2} & 1\\ \frac{1}{2} & 1 & -1 \end{pmatrix};

    3.  

  3. \begin{pmatrix} 1 & 1 &- \frac{1}{2}\\[6pt]1 & 1 & -\frac{1}{2}\\[6pt] -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.

 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il rango delle coniche dei due esercizi precedenti e classificarle in non degeneri, semplicemente degeneri, doppiamente degeneri.

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