Coniche affini reali

Autori: Alessandro Gorgò.

Revisori: Jacopo Garofali, Sara Sottile.

Dopo i punti e le rette, le sezioni coniche, o più brevemente coniche, sono i più semplici enti geometrici che si possono studiare sul piano. Esse vengono definite come luogo dei punti in cui si annulla un polinomio di secondo grado, e in base alle proprietà di questo polinomio possono essere classificate come ellissi, parabole o iperboli, oppure come coniche non degeneri, semplicemente degeneri, doppiamente degeneri. Ciascuna di queste categorie è caratterizzata da una forma o equazione canonica, che esprime la conica in una forma particolarmente semplice attraverso un cambiamento di coordinate.

In questa dispensa ci occupiamo solamente di coniche nel piano affine, ovvero non pensiamo dotato di un prodotto scalare (e quindi, di conseguenza, nemmeno di una nozione di distanza o di ampiezza di angoli). Le coniche nel piano euclideo (in cui possiamo misurare lunghezze e angoli) possono essere studiate sviluppando una teoria in parte sovrapponibile a quella che qui presentiamo, ma che differisce per alcuni punti sostanziali.

Uno di questi è il fatto che ogni conica possiede una forma canonica affine ed una euclidea (o metrica), ed esse non necessariamente coincidono. Ad esempio le circonferenze di raggio , , , \dots formano una famiglia di infinite coniche, aventi forma canonica euclidea al variare di . Nessuna coppia di queste circonferenze è formata da oggetti isometrici, cioè equivalenti in senso euclideo, in quanto i raggi sono a due a due distinti. Nonostante questo, nel piano affine (in cui non si possono misurare le lunghezze dei segmenti) ogni circonferenza ha forma canonica .

Conoscere la forma canonica di una conica risulta molto utile per studiarne le proprietà geometriche. Per questo motivo, in questa dispensa discutiamo alcuni algoritmi e criteri che permettono di stabilire la forma canonica di una conica a partire dalla sua equazione.

Nello specifico, la dispensa è strutturata come segue.

• Nella sezione 1 definiamo il concetto di conica ed analizziamo alcuni esempi di oggetti geometrici noti, ma scritti in questa nuova forma.

 

• Nella sezione 2 descriviamo cosa significa che due coniche sono “lo stesso oggetto”. In questo modo possiamo formalizzare il problema di classificare tutti i tipi di coniche.

 

• Nella sezione 3 utilizziamo il linguaggio dell’algebra lineare per riscrivere in modo compatto e maneggevole l’equazione di una conica. Questa notazione risulta utile nello studio della geometria delle coniche e per la loro classificazione.

 

• Nella sezione 4 elenchiamo le nove forme canoniche delle coniche affini reali ed analizziamo ciascuna di esse.

 

• Nella sezione 5 esponiamo il metodo degli invarianti, uno strumento rapido e semplice per classificare una qualunque conica a partire dalla sua equazione. Lo svantaggio principale di questo metodo è che fornisce solamente la forma canonica della conica, senza calcolare una affinità esplicita che riduca la conica stessa in tale forma.

 

• Nella sezione 6 esponiamo il metodo di completamento dei quadrati, che sopperisce al problema del metodo degli invarianti. Sfortunatamente, esso si può applicare in maniera agevole solamente in alcuni casi, e non ha un’estensione meccanica allo studio di una conica generale.

 

• Nella sezione 7 esponiamo l’algoritmo di riduzione in forma canonica, che attraverso calcoli un po’ più complessi permette di trovare la forma canonica e l’affinità che riduce la conica in tale forma nel caso generale.

 

• L’appendice A elenca brevemente alcuni risultati di algebra lineare necessari per il resto della dispensa, in particolar modo relativi alla definizione di segnatura di una matrice simmetrica a coefficienti reali e ai metodi per calcolarla.

Consideriamo il piano affine , dotato di un riferimento affine fissato. Sappiamo già che i punti del piano possono essere caratterizzati come coppie di numeri reali della forma . Le rette del piano sono invece caratterizzate come l’insieme dei punti – visti come coppie ordinate — che annullano un polinomio di primo grado, della forma

con almeno uno fra i coefficienti e diverso da zero.

Ovviamente non tutti gli oggetti considerati dalla geometria classica sono punti o rette. Un esempio classico è quello della circonferenza, che sappiamo essere descritta da un’equazione della forma

dove è il raggio della circonferenza stessa. Questa equazione è di secondo grado, e non ricade nei casi già noti e studiati.

È quindi ragionevole studiare l’insieme delle soluzioni di un’equazione polinomiale di secondo grado, e capire quali proprietà caratterizzano gli oggetti geometrici così definiti. Innanzitutto li identificheremo con un nome proprio.

Osservazione 1.2. Il nome sezione conica è dovuto agli antichi greci. Infatti è possibile dimostrare che le coniche sono tutte e sole le possibili intersezioni fra un doppio cono infinito (potenzialmente degenere in un cilindro) ed un piano.

Osservazione 1.3. La ragione della scrittura del polinomio nella forma (1), con coefficienti , e , invece che semplicemente , ed , è che essa semplificherà alcune notazioni nel seguito della dispensa. Per ora notiamo semplicemente che essa non inficia la generalità della definizione: ogni polinomio di secondo grado in due variabili può essere scritto nella forma (1) per opportuni valori di .

Passiamo ad analizzare alcuni esempi.

Esempio 1.4 (insieme vuoto). Consideriamo la conica di equazione , o equivalentemente . Dato che i quadrati di numeri reali sono sempre positivi o nulli, non esistono punti che verificano tale equazione. Ne segue che è l’insieme vuoto: .

Esempio 1.5 (punti). Consideriamo la conica di equazione . Dato che il quadrato di un numero reale non nullo è strettamente positivo, l’unica coppia che verifica tale equazione soddisfa . Di conseguenza, l’unico punto contenuto in è l’origine:

Scelto un qualunque punto non è ora difficile costruire in modo simile una conica che contenga solamente il punto stesso. Ad esempio, possiamo considerare la conica di equazione

Ripetendo lo stesso ragionamento del caso precedente, l’unica coppia che verifica tale equazione deve soddisfare , e quindi . Ne segue che

Esempio 1.6 (rette). Consideriamo la conica di equazione . Chiaramente, un punto soddisfa questa equazione se e solo se : ne segue che

o in altre parole è una retta (ovvero l’asse ).

Possiamo sfruttare questa tecnica per scrivere ogni retta come conica. Supponiamo infatti di volere scrivere in questo modo la retta di equazione con e almeno uno fra i coefficienti e non nullo. Allora possiamo considerare la conica di equazione

I punti di sono tutti e soli quelli che verificano , e quindi tutti e soli quelli della retta . Di conseguenza .

Questi esempi mostrano che esiste una varietà di coniche distinte le une dalle altre: circonferenza, insieme vuoto, punti e rette hano proprietà geometriche diverse. Ciò non accadeva nello studio di equazioni di primo grado: le rette del piano affine hanno tutte le stesse proprietà geometriche, o in altre parole possono essere considerate tutte “copie dello stesso oggetto”.

È quindi piuttosto naturale, a questo punto, cercare di elencare in modo esaustivo tutte le tipologie di coniche che si possono presentare, e capire come data una conica generica la si può classificare in una di queste tipologie. Per rispondere alla domanda dobbiamo però prima definire in maniera precisa cosa intendiamo per tipologie di coniche e per classificazione.