Coniche affini reali

Home » Coniche affini reali

Benvenuti nella nostra guida alle coniche affini reali. In questo articolo esploreremo le proprietà algebriche e geometriche delle cosiddette sezioni coniche, così denominate poiché si ottengono dall’intersezione tra un piano e una superficie conica.
Vedremo che le coniche sono naturalmente associate a un’equazione di secondo grado, a sua volta discendente da una cosiddetta forma quadratica sullo spazio vettoriale $\mathbb{R}^2$ , e vedremo come dalle proprietà algebriche di tale forma sia possibile classificare le relative coniche in varie tipologie dalle diverse caratteristiche.

Oltre alla raccolta di Esercizi sulla classificazione affine di coniche reali, consigliamo i seguenti articoli correlati:

Buona lettura!

Autori e revisori

Leggi...

Autori: Alessandro Gorgò.

Revisori: Jacopo Garofali, Sara Sottile.

Notazioni

Leggi...

$A^t$	Trasposta della matrice $A$
$A^{-1}$	Inversa della matrice $A$ ;
$\rank A$	Rango della matrice $A$ ;
$\det A$	Determinante della matrice $A$ ;
$p_A(\lambda)$	Polinomio caratteristico della matrice $A$ (espresso nella variabile $\lambda$ );
$\ker A$	Nucleo della matrice $A$ ;
$\mathbb I_n$	Matrice identità di ordine $n$ ;
$V\oplus W$	Somma diretta dei sottospazi $V$ e $W$ .

Introduzione

Leggi...

Dopo i punti e le rette, le sezioni coniche, o più brevemente coniche, sono i più semplici enti geometrici che si possono studiare sul piano. Esse vengono definite come luogo dei punti in cui si annulla un polinomio di secondo grado, e in base alle proprietà di questo polinomio possono essere classificate come ellissi, parabole o iperboli, oppure come coniche non degeneri, semplicemente degeneri, doppiamente degeneri. Ciascuna di queste categorie è caratterizzata da una forma o equazione canonica, che esprime la conica in una forma particolarmente semplice attraverso un cambiamento di coordinate.

In questa dispensa ci occupiamo solamente di coniche nel piano affine, ovvero non pensiamo $\mathbb R^2$ dotato di un prodotto scalare (e quindi, di conseguenza, nemmeno di una nozione di distanza o di ampiezza di angoli). Le coniche nel piano euclideo (in cui possiamo misurare lunghezze e angoli) possono essere studiate sviluppando una teoria in parte sovrapponibile a quella che qui presentiamo, ma che differisce per alcuni punti sostanziali.

Uno di questi è il fatto che ogni conica possiede una forma canonica affine ed una euclidea (o metrica), ed esse non necessariamente coincidono. Ad esempio le circonferenze di raggio $1$ , $2$ , $3$ , $4$ \dots formano una famiglia di infinite coniche, aventi forma canonica euclidea $x^2+y^2-R^2=0$ al variare di $R\in \mathbb N$ . Nessuna coppia di queste circonferenze è formata da oggetti isometrici, cioè equivalenti in senso euclideo, in quanto i raggi sono a due a due distinti. Nonostante questo, nel piano affine (in cui non si possono misurare le lunghezze dei segmenti) ogni circonferenza ha forma canonica $x^2+y^2-1=0$ .

Conoscere la forma canonica di una conica risulta molto utile per studiarne le proprietà geometriche. Per questo motivo, in questa dispensa discutiamo alcuni algoritmi e criteri che permettono di stabilire la forma canonica di una conica a partire dalla sua equazione.

Nello specifico, la dispensa è strutturata come segue.

$\quad$

Nella sezione 1 definiamo il concetto di conica ed analizziamo alcuni esempi di oggetti geometrici noti, ma scritti in questa nuova forma.

Nella sezione 2 descriviamo cosa significa che due coniche sono “lo stesso oggetto”. In questo modo possiamo formalizzare il problema di classificare tutti i tipi di coniche.

Nella sezione 3 utilizziamo il linguaggio dell’algebra lineare per riscrivere in modo compatto e maneggevole l’equazione di una conica. Questa notazione risulta utile nello studio della geometria delle coniche e per la loro classificazione.

Nella sezione 4 elenchiamo le nove forme canoniche delle coniche affini reali ed analizziamo ciascuna di esse.

Nella sezione 5 esponiamo il metodo degli invarianti, uno strumento rapido e semplice per classificare una qualunque conica a partire dalla sua equazione. Lo svantaggio principale di questo metodo è che fornisce solamente la forma canonica della conica, senza calcolare una affinità esplicita che riduca la conica stessa in tale forma.

Nella sezione 6 esponiamo il metodo di completamento dei quadrati, che sopperisce al problema del metodo degli invarianti. Sfortunatamente, esso si può applicare in maniera agevole solamente in alcuni casi, e non ha un’estensione meccanica allo studio di una conica generale.

Nella sezione 7 esponiamo l’algoritmo di riduzione in forma canonica, che attraverso calcoli un po’ più complessi permette di trovare la forma canonica e l’affinità che riduce la conica in tale forma nel caso generale.

L’appendice A elenca brevemente alcuni risultati di algebra lineare necessari per il resto della dispensa, in particolar modo relativi alla definizione di segnatura di una matrice simmetrica a coefficienti reali e ai metodi per calcolarla.

Sezioni coniche

Leggi...

Consideriamo il piano affine $\mathbb R^2$

, dotato di un riferimento affine fissato. Sappiamo già che i punti del piano possono essere caratterizzati come coppie di numeri reali della forma $(x, y)$

. Le rette del piano sono invece caratterizzate come l’insieme dei punti – visti come coppie ordinate — che annullano un polinomio di primo grado, della forma

$f(x)=ax+by+c$

con almeno uno fra i coefficienti $a$ e $b$ diverso da zero.

Ovviamente non tutti gli oggetti considerati dalla geometria classica sono punti o rette. Un esempio classico è quello della circonferenza, che sappiamo essere descritta da un’equazione della forma

$x^2+y^2=R^2$

dove $R>0$ è il raggio della circonferenza stessa. Questa equazione è di secondo grado, e non ricade nei casi già noti e studiati.

È quindi ragionevole studiare l’insieme delle soluzioni di un’equazione polinomiale di secondo grado, e capire quali proprietà caratterizzano gli oggetti geometrici così definiti. Innanzitutto li identificheremo con un nome proprio.

Definizione 1.1 (conica). Sia $p(x, y)$

un polinomio di secondo grado in due variabili, della forma

(1) $\begin{equation*} p(x, y)=ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f \end{equation*}$

dove almeno uno dei coefficienti $a, b, c$ è non nullo. Si chiama sezione conica, o più semplicemente conica, l’insieme $\mathscr{C}$ dei punti $(x, y)$ del piano $\mathbb{R}^2$ che soddisfano l’equazione $p(x, y)=0$ , in simboli

$\mathscr{C}=\left\{(x, y)\in \mathbb {R}^2\colon p(x, y)=0\right\}.$

La scrittura $p(x, y)=0$ viene anche detta equazione della conica.

$\quad$

Osservazione 1.2. Il nome sezione conica è dovuto agli antichi greci. Infatti è possibile dimostrare che le coniche sono tutte e sole le possibili intersezioni fra un doppio cono infinito (potenzialmente degenere in un cilindro) ed un piano.

$\quad$

Osservazione 1.3. La ragione della scrittura del polinomio $p(x, y)$ nella forma (1), con coefficienti $2b$ , $2d$ e $2e$ , invece che semplicemente $b$ , $d$ ed $e$ , è che essa semplificherà alcune notazioni nel seguito della dispensa. Per ora notiamo semplicemente che essa non inficia la generalità della definizione: ogni polinomio di secondo grado in due variabili può essere scritto nella forma (1) per opportuni valori di $a, b, c, d, e, f\in \mathbb {R}$ .

Passiamo ad analizzare alcuni esempi.

Esempio 1.4 (insieme vuoto). Consideriamo la conica $\mathscr{C}$ di equazione $x^2+y^2+1=0$ , o equivalentemente $x^2+y^2=-1$ . Dato che i quadrati di numeri reali sono sempre positivi o nulli, non esistono punti $(x, y)\in \mathbb {R}^2$ che verificano tale equazione. Ne segue che $\mathscr{C}$ è l’insieme vuoto: $\mathscr{C}=\varnothing$ .

Esempio 1.5 (punti). Consideriamo la conica $\mathscr{C}$ di equazione $x^2+y^2=0$ . Dato che il quadrato di un numero reale non nullo è strettamente positivo, l’unica coppia $(x, y)$ che verifica tale equazione soddisfa $x=y=0$ . Di conseguenza, l’unico punto contenuto in $\mathscr{C}$ è l’origine:

$\mathscr{C}=\{(0, 0)\}.$

Scelto un qualunque punto $(s, t)\in \mathbb {R}^2$ non è ora difficile costruire in modo simile una conica che contenga solamente il punto $(s, t)$ stesso. Ad esempio, possiamo considerare la conica $\mathscr{D}$ di equazione

$(x-s)^2+(y-t)^2=0.$

Ripetendo lo stesso ragionamento del caso precedente, l’unica coppia che verifica tale equazione deve soddisfare $x-s=y-t=0$ , e quindi $(x, y)=(s, t)$ . Ne segue che

$\mathscr{D}=\{(s, t)\}.$

Esempio 1.6 (rette). Consideriamo la conica $\mathscr{C}$ di equazione $x^2=0$ . Chiaramente, un punto $(x, y)$ soddisfa questa equazione se e solo se $x=0$ : ne segue che

$\mathscr{C}=\left\{(x, y)\in \mathbb{R}^2\colon x=0\right\}=\{(0, y)\colon y\in \mathbb {R}\},$

o in altre parole $\mathscr{C}$ è una retta (ovvero l’asse $y$ ).

Possiamo sfruttare questa tecnica per scrivere ogni retta come conica. Supponiamo infatti di volere scrivere in questo modo la retta $r\subset \mathbb{R}^2$ di equazione $mx+ny+p=0$ con $m, n, p\in \mathbb {R}$ e almeno uno fra i coefficienti $m$ e $n$ non nullo. Allora possiamo considerare la conica $\mathscr{D}$ di equazione

$(mx+ny+p)^2=0.$

I punti di $\mathscr{D}$ sono tutti e soli quelli che verificano $mx+ny+p=0$ , e quindi tutti e soli quelli della retta $r$ . Di conseguenza $\mathscr{D}=r$ .

Questi esempi mostrano che esiste una varietà di coniche distinte le une dalle altre: circonferenza, insieme vuoto, punti e rette hano proprietà geometriche diverse. Ciò non accadeva nello studio di equazioni di primo grado: le rette del piano affine hanno tutte le stesse proprietà geometriche, o in altre parole possono essere considerate tutte “copie dello stesso oggetto”.

È quindi piuttosto naturale, a questo punto, cercare di elencare in modo esaustivo tutte le tipologie di coniche che si possono presentare, e capire come data una conica generica la si può classificare in una di queste tipologie. Per rispondere alla domanda dobbiamo però prima definire in maniera precisa cosa intendiamo per tipologie di coniche e per classificazione.

Equivalenza affine

Leggi...

Siano $\mathcal A, \mathcal B\subseteq \mathbb {R}^2$

due insiemi del piano (ad esempio due coniche). Vogliamo esprimere precisamente cosa significa affermare che $\mathcal A$

e $\mathcal B$

sono “lo stesso oggetto”, o, per meglio dire, che hanno le stesse “proprietà geometriche”.

Intuitivamente le proprietà geometriche di una figura sono le sue caratteristiche intrinseche, ovvero quelle che non cambiano se sottoponiamo tale figura a trasformazioni del piano, che nel nostro caso sono le affinità. Usiamo quindi la seguente definizione.

Definizione 2.1 (equivalenza affine). Siano $\mathcal{A}$

e $\mathcal B$

sottoinsiemi del piano $\mathbb {R}^2$

. Diciamo che essi sono affinemente equivalenti se esiste un’affinità invertibile $f\colon \mathbb R^2\to \mathbb R^2$

tale che $f(\mathcal{A})=\mathcal{B}$

$\quad$

Ricordiamo che un’affinità invertibile è una trasformazione del piano $(x, y)\mapsto (x', y')$ che può essere caratterizzata da una delle due equazioni (equivalenti)

(2) $\begin{gather*} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}\\ \quad\\ \end{gather*}$

(3) $\begin{gather*} \begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & b_1\\a_{21} & a_{22} & b_{2}\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix} \end{gather*}$

per opportuni coefficienti $a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}, b_1, b_2\in \mathbb{R}$ tali che $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\ne 0$ .

Analizziamo qualche esempio.

Esempio 2.2. Dall’esempio 1.5 sappiamo che ogni punto $(s, t)\in \mathbb R^2$ può essere rappresentato come conica di equazione

(4) $\begin{equation*} (x-s)^2+(x-t)^2=0. \end{equation*}$

Consideriamo l’affinità di equazione $(x', y')\coloneqq (x-s, y-t)$ . Essa è invertibile perché può essere scritta nella forma (2):

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-s\\-t\end{pmatrix}$

(in particolare, $1\cdot 1-0\cdot 0=1\ne 0$ ). Allora, l’equazione (4) si riscrive come

$(x')^2+(y')^2=0,$

ovvero, nel nuovo riferimento $(x', y')$ la conica coincide con l’origine. Abbiamo quindi dimostrato che ogni conica contenente un solo punto è affinemente equivalente alla conica contenente la sola origine.

Esempio 2.3. Dall’esempio 1.6 sappiamo che la generica retta di equazione $mx+ny+q=0$ può essere rappresentata come conica di equazione

(5) $\begin{equation*} (mx+ny+q)^2=0. \end{equation*}$

Consideriamo l’affinità di equazione $(x', y')\coloneqq(mx+ny+q, -nx+my)$ . Essa è invertibile perché può essere scritta nella forma (2):

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m &n\\ -n & m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}q\\0\end{pmatrix}$

(in particolare, $m\cdot m-n\cdot n=m^2+n^2>0$ se almeno uno fra $m$ e $n$ è non nullo). Allora, l’equazione (5) si riscrive come

$(x')^2=0,$

ovvero, nel nuovo riferimento $(x', y')$ la conica coincide con l’asse $y'$ . Abbiamo quindi dimostrato che ogni conica contenente una sola retta è affinemente equivalente alla conica contenente il solo asse $y$ .

Consideriamo una generica conica $\mathscr{C}$ di equazione

$ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0.$

Assegnata una affinità nella forma (2) oppure (3) è utile saper scrivere l’equazione di $\mathscr{C}$ nel nuovo riferimento $(x', y')$ . Per farlo, calcoliamo

$\det \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & b_1\\a_{21} & a_{22} & b_{2}\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\ne 0.$

In particolare, la matrice che definisce l’affinità è invertibile, per cui possiamo moltiplicare ambo i membri di (3) a sinistra per la sua inversa, e ricavare

(6) $\begin{equation*} \begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & b_1\\a_{21} & a_{22} & b_{2}\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}. \end{equation*}$

Svolgendo esplicitamente il prodotto fra matrici, otterremo una dipendenza lineare di $(x, y)$ da $(x', y')$ , cioè una relazione che esprime $x$ e $y$ rispetto a $x'$ e $y'$ . A questo punto non resta che sostituire i valori così ottenuti di $x$ e $y$ (espressi in funzione di $x'$ e $y'$ ) nell’equazione di $\mathscr{C}$ .

Esempio 2.4. Consideriamo nuovamente la situazione dell’esempio 2.2. In quel caso, l’equazione dell’affinità era

$\begin{cases} x'=x-s\\ y'=y-t \end{cases}$

Allora abbiamo che $x$ e $y$ si esprimono come

$\begin{cases} x=x'+s\\ y=y'+t. \end{cases}$

A questo punto sostituendo nell’equazione (4) otteniamo

$(x-s)^2+(y-t)^2 =0 \implies (x'+s-s)^2+(y'+t-t)^2=0\implies (x')^2+(y')^2=0,$

ovvero l’equazione della conica contenente solo l’origine del nuovo riferimento, come ci aspettavamo.

Un ragionamento del tutto analogo si può seguire per l’esempio 2.3.

Siamo quindi pronti ad enunciare in maniera precisa il problema di classificazione delle coniche.

$\quad$

Problema (classificazione delle coniche). Determinare una famiglia $\left\{\mathscr C_1, \mathscr C_2\dots\right\}$

di coniche, a due a due non affinemente equivalenti, tale che ogni conica $\mathscr C$

sia affinemente equivalente ad esattamente una di esse.

$\quad$

In altre parole, vogliamo trovare una famiglia di “coniche tipo”, tali che una conica generica sia affinemente equivalente ad esattamente una di esse. Per studiare una conica generica, sarà quindi sufficiente studiare queste “coniche tipo”, che vengono dette forme canoniche.

Notazione matriciale

Leggi...

Iniziamo riscrivendo l’equazione di una conica in una maniera più adatta ai calcoli. In particolare, sfruttiamo il linguaggio dell’algebra lineare e delle matrici, che si rivela come per lo studio della retta uno strumento potente per la descrizione di oggetti geometrici.

Definizione 3.1 (matrice associata ad una conica). Sia $\mathscr{C}$

una conica di equazione

$ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0.$

Si dice matrice associata a $\mathscr{C}$ la matrice quadrata d’ordine $3$

$A:=\begin{pmatrix} a & b & d\\ b & c & e\\ d & e & f \end{pmatrix}.$

$\quad$

Osservazione 3.2. La scelta dei coefficienti $2b$ , $2d$ e $2e$ nella scrittura (1) serve a rendere più semplice la definizione di matrice associata.

È immediato notare che comunque si scelga la conica $\mathscr{C}$ , la matrice associata $A$ è simmetrica, cioè $A^t=A$ . Inoltre, l’equazione della conica si può scrivere nelle due forme compatte

$\begin{aligned} \label{eq:conmat1}\mathbf{x}^tA\mathbf{x}=\begin{pmatrix}0\end{pmatrix}&& A\mathbf{x}\cdot \mathbf{x}=0, \end{aligned}$

dove $\cdot$ è il prodotto scalare euclideo e $\mathbf{x}$ indica il vettore colonna $\begin{pmatrix}x & y & 1\end{pmatrix}^t$ . Per accorgersene basta utilizzare le definizioni di prodotto fra matrici e prodotto scalare euclideo per espandere il membro sinistro delle due equazioni, e notare che esso equivale precisamente a $p(x, y)$ .

Il motivo che ci spinge ad utilizzare una notazione matriciale per studiare le coniche è che essa si sposa molto bene con la definizione di equivalenza affine, ed in particolare con la scrittura matriciale delle equazioni di un’affinità: essa ci da la possibilità di scrivere in maniera compatta equazioni altrimenti piuttosto verbose.

Più precisamente, consideriamo una conica $\mathscr{C}$ di equazione

$p_{\mathscr{C}}(x, y)=ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0.$

Supponiamo di avere un’affinità espressa nella forma (2) oppure (3). L’immagine di $\mathscr{C}$ sotto a questa affinità sarà la conica che si ottiene sostituendo a $x$ e $y$ le corrispondenti espressioni determinate da (6). Essendo esse lineari, il risultato sarà un nuovo polinomio di secondo grado $p_{\mathscr{C'}}$ nelle variabili $x'$ e $y'$ :

$p_{\mathscr{C'}}(x', y')=a'(x')^2+2b'x'y'+c'(y')^2+2d'x'+2e'y'+f'=0.$

In particolare, se poniamo

$P\coloneqq \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & b_1\\a_{21} & a_{22} & b_{2}\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}^{-1}$

avremo in maniera compatta $\mathbf{x}=P\mathbf{x}'$ , dove $\mathbf{x}'=\begin{pmatrix} x' & y' & 1\end{pmatrix}$ . Dal momento che $(x, y)\in \mathscr{C}$ , la prima delle equazioni (??) si riscrive come

$(P\mathbf{x}')^tA(P\mathbf{x}')=\begin{pmatrix}0\end{pmatrix}\implies (\mathbf{x}')^tP^tAP\mathbf{x}'=0\implies (\mathbf{x}')^t\left(P^tAP\right)\mathbf{x}'=0,$

ovvero i punti $(x', y')$ sono tutti e soli quelli appartenenti alla conica $\mathscr{C}'$ avente $P^tAP$ come matrice associata. Ne deduciamo che

$\begin{pmatrix} a' & b' & d'\\ b' & c' & e'\\ d' & e' & f' \end{pmatrix}=A'=P^tAP.$

Osservazione 3.3. Il ragionamento appena svolto non ci permette di concludere che due coniche affinemente equivalenti hanno matrici associate congruenti (a causa del fatto che la conica non varia se si moltiplica la sua equazione per $-1$ ).¹ Ad esempio, consideriamo le coniche di equazione

$x^2=0\quad \quad \quad -x^2=0.$

Esse sono ovviamente affinemente equivalenti (coincidono entrambe con l’asse $y$ ), ma le loro matrici associate

$\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\quad \quad \quad \begin{pmatrix}-1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$

non sono congruenti (infatti hanno segnature $(1, 0, 2)$ e $(0, 1, 2)$ , rispettivamente).

Ciononostante, si può dimostrare che le matrici associate a due coniche affinemente equivalenti sono congruenti a meno del segno. In altre parole, se $A$ e $A'$ sono matrici associate a coniche affinemente equivalenti, allora $A$ è congruente ad $A'$ oppure $A$ è congruente a $-A'$ . Conseguentemente, matrici associate a coniche affinemente equivalenti hanno rango uguale e indice uguale in valore assoluto.

Ad esempio, le matrici associate alle due coniche $x^2=0$ e $-x^2=0$ hanno indice rispettivamente $1-0=1$ e $0-1=-1$ , che effettivamente sono uguali in valore assoluto. Similmente, esse hanno entrambe rango $1$ .

Vista l’identificazione fra coniche e matrici simmetriche, ha senso dare la prossima definizione.

Definizione 3.4 (rango, segnatura e indice di una conica). Sia $\mathscr{C}$

una conica. Si dicono rango, segnatura e indice di $\mathscr{C}$

il rango, la segnatura e l’indice della sua matrice associata.

Una conica si dice non degenere, semplicemente degenere oppure doppiamente degenere a seconda che il suo rango sia $3$ , $2$ o $1$ , rispettivamente.

$\quad$

Osservazione 3.5. Per quanto discusso nell’osservazione 3.3 il rango e il valore assoluto dell’indice di una conica sono invarianti per affinità, cioè due coniche affinemente equivalenti hanno lo stesso rango e lo stesso indice in valore assoluto.

Per la definizione di congruenza si veda A.6. ↩

Coniche affini: forme canoniche

Leggi...

In questa sezione elenchiamo ed analizziamo geometricamente le nove possibili forme canoniche di coniche affini reali. Esse sono le seguenti:

$\begin{aligned} x^2+y^2+1&=0 & x^2+y^2-1&=0 & x^2-y^2-1&=0\\ x^2-y&=0 & x^2+y^2&=0 & x^2-y^2&=0\\ x^2+1&=0 & x^2-1&=0 & x^2&=0. \end{aligned}$

Ad ognuna di queste forme si associa un nome, utile per ricordarne le proprietà geometriche. Iniziamo ad analizzarle una per una, esponendo le principali proprietà di ciascuna di esse.

$\textbf{Ellisse non degenere a punti immaginari: $x^2+y^2+1=0$.}$

Abbiamo già incontrato questa conica nell’esempio 1.4. Sappiamo che nessun punto di $\mathbb R^2$ può soddisfare la sua equazione, quindi essa rappresenta l’insieme vuoto. Il nome ellisse a punti immaginari serve a distinguerla da una seconda forma canonica corrispondente all’insieme vuoto, che incontreremo nel seguito.

Il rango dell’ellisse a punti immaginari è $3$ (conica non degenere) e il valore assoluto del suo indice è $3$ .

$\textbf{Ellisse non degenere a punti reali: $x^2+y^2-1=0$.}$

La circonferenza è una delle coniche ad avere questa forma canonica. Geometricamente, essa rappresenta una curva chiusa, connessa e limitata, con un centro di simmetria e (almeno) due assi di simmetria; corrisponde all’ellisse della geometria euclidea classica.

Il rango dell’ellisse a punti reali è $3$ (conica non degenere) e il valore assoluto del suo indice è $1$ .

$\textbf{Iperbole non degenere: $x^2-y^2-1=0$.}$

Questa forma canonica rappresenta, geometricamente, una curva illimitata, che si spezza in due componenti connesse chiamate rami. Essa ha un centro di simmetria e due assi di simmetria; inoltre presenta due asintoti e corrisponde all’iperbole della geometria euclidea classica.

Il rango dell’iperbole è $3$ (conica non degenere) e il valore assoluto del suo indice è $1$ .

$\textbf{Parabola non degenere: $x^2-y=0$.}$

Questa forma canonica rappresenta, geometricamente, una curva illimitata e connessa. Essa non ha centro di simmetria e ha un solo asse di simmetria; inoltre non presenta asintoti. Corrisponde alla parabola della geometria euclidea classica.

Il rango della parabola è $3$ (conica non degenere) e il valore assoluto del suo indice è $1$ .

$\textbf{Ellisse degenere o punto: $x^2+y^2=0$.}$

Abbiamo già incontrato questa conica nell’esempio 1.5: sappiamo che essa contiene solo l’origine. Possiedono questa forma canonica tutte e sole le coniche che si riducono a contenere un singolo punto.

Il rango dell’ellisse degenere è $2$ (conica semplicemente degenere) e il valore assoluto del suo indice è $2$ .

$\textbf{Iperbole degenere o coppia di rette incidenti: $x^2-y^2=0$.}$

Possiamo riscrivere l’equazione di questa conica nella forma $(x-y)(x+y)=0$ . Da qui è facile vedere che un punto $(x, y)$ appartiene ad essa se e solo se $x-y=0$ oppure $x+y=0$ , ovvero se e solo se appartiene ad una delle due rette di equazione $x+y=0$ e $x-y=0$ . Di conseguenza, geometricamente questa forma canonica rappresenta due rette incidenti nell’origine. Possiedono questa forma canonica tutte e sole le coniche che si riducono ad una coppia di rette incidenti.

Il rango dell’iperbole degenere è $2$ (conica semplicemente degenere) e il valore assoluto del suo indice è $0$ .

$\textbf{Parabola degenere a punti immaginari: $x^2+1=0$.}$

Per motivi analoghi a quelli argomentati in 1.4, anche questa conica coincide con l’insieme vuoto. Viene distinta dall’ellisse a punti immaginari perché ha rango diverso (e quindi le due forme canoniche rappresentanti l’insieme vuoto non hanno matrici associate congruenti).²

Il rango della parabola degenere a punti immaginari è $2$ (conica semplicemente degenere), e il valore assoluto del suo indice è $2$ .

$\textbf{Parabola degenere a punti reali o coppia di rette parallele: $x^2-1=0$.}$

Analogamente a quanto fatto per l’iperbole degenere, possiamo riscrivere l’equazione di questa forma canonica come $(x+1)(x-1)=0$ . Pertanto, le sue soluzioni sono tutti e soli i punti $(x, y)$ tali che $x=1$ oppure $x=-1$ ; in altre parole, la conica è l’unione delle due rette (parallele) di equazione $x=1$ e $x=-1$ . Possiedono questa forma canonica tutte e sole le coniche che si riducono ad una coppia di rette parallele.

Il rango della parabola degenere a punti reali è $2$ (conica semplicemente degenere), e il valore assoluto del suo indice è $0$ .

$\textbf{Retta: $x^2=0$.}$

Abbiamo già incontrato questa conica nell’esempio 1.6: sappiamo che essa coincide con l’asse $y$ (una retta). Possiedono questa forma canonica tutte e sole le coniche che si riducono a contenere tutti e soli i punti di una retta.

Il rango della retta è $1$ (conica doppiamente degenere) e il valore assoluto del suo indice è $1$ .

Si pone a questo punto il problema di determinare, data l’equazione di una conica, quale sia la forma canonica a cui essa si riduce, e possibilmente anche di come trovare un’affinità invertibile che la trasformi in una delle nove forme che abbiamo appena analizzato.

Almeno per la prima domanda possediamo una risposta parziale: il rango e l’indice della matrice associata ci permettono di ridurre il numero di possibili forme canoniche nel peggiore dei casi a tre.

Esempio 4.1. Consideriamo la conica $\mathscr{C}$ di equazione $x^2+2xy+3y^2+4y+2=0$ . La matrice ad essa associata è

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\1 & 3 & 2\\0 & 2 & 2 \end{pmatrix}.$

Essa ha rango $2$ , quindi $\mathscr{C}$ è semplicemente degenere. Il suo polinomio caratteristico è $-\lambda^3+6\lambda^2-6\lambda$ , che ha come radici $\lambda=0$ , $\lambda=3+\sqrt{3}>0$ e $\lambda=3-\sqrt{3}>0$ . Pertanto la segnatura di $\mathscr{C}$ è $(2, 0, 1)$ e il suo indice è $2-0=2$ .

Poiché il rango e il valore assoluto dell’indice sono invarianti per equivalenza affine, possiamo dedurre che $\mathscr{C}$ è un ellisse degenere oppure una parabola degenere a punti immaginari (queste sono le uniche due forme canoniche di rango $2$ e di indice uguale a $2$ in valore assoluto).

Il metodo più semplice per la classificazione generale delle coniche parte da un concetto simile: si definiscono degli invarianti rispetto all’equivalenza affine tali che ogni forma canonica abbia una combinazione unica dei loro valori. In questo modo, calcolando il valore degli invarianti per una conica generica $\mathscr{C}$ si riesce a risalire univocamente alla sua forma canonica.

Osservazione 4.2. Nel caso specifico dell’esempio 4.1 possiamo notare che $\mathscr{C}$ non è vuota, perché contiene ad esempio il punto $(x, y)=(1, -1)$ . Dato che la parabola degenere a punti immaginari non contiene punti, necessariamente $\mathscr{C}$ è un ellisse degenere.

Questo ragionamento però non è generale, ma vale solo per questo esempio particolare, in contrasto ai metodi che esporremo nel seguito.

in effetti, lavorando nel campo complesso invece che in $\mathbb R$ esse sono entrambe non vuote, e rappresentano due oggetti geometrici completamente diversi. ↩

Metodo degli invarianti

Leggi...

Come già annunciato, il metodo degli invarianti consiste nell’assegnare alcuni numeri, chiamati invarianti, ad ogni equazione di secondo grado. Per classificare una conica generica $\mathscr{C}$

, basterà calcolare i valori dei suoi invarianti e cercare l’unica forma canonica che presenta i medesimi valori.

Definizione 5.1 invarianti di una conica]\label{def:invarianti} Sia $\mathscr{C}$

una conica avente matrice associata

$A=\begin{pmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{pmatrix}$

Si dice matrice associata alla parte quadratica di $\mathscr{C}$ la sottomatrice $A_0$ di $A$ formata dalle prime due righe e dalle prime due colonne:

$A_0:=\begin{pmatrix} a & b\\b& c \end{pmatrix}$

Si dicono invarianti di $\mathscr{C}$ i seguenti numeri reali:

$\quad$

Il rango $R$ della matrice $A$ :
$R\coloneqq\rank A.$

Il valore assoluto $S$ dell’indice della matrice $A$ :
$S\coloneqq\left|i_+-i_-\right|$

(dove si intende che $A$ ha segnatura $\left(i_+, i_-, i_0\right)$ ).

Il determinante $I_2$ della matrice $A_0$ :
$I_2\coloneqq\det A_0=ac-b^2.$

$\quad$

Ad esempio, calcoliamo i valori degli invarianti per le nove forme canoniche.

(7) $\begin{equation*} \begin{array}{c|ccc} \toprule \text{Forma canonica} & R & S & I_2\\ \midrule x^2+y^2+1=0 &3 & 3 &+1 \\ x^2+y^2-1=0 & 3&1 & +1\\ x^2-y^2-1=0 &3 &1 & -1\\ x^2-y=0 &3 & 1& 0\\ x^2+y^2=0 &2 &2 & +1\\ x^2-y^2=0 & 2& 0& -1\\ x^2+1=0 &2&2 & 0\\ x^2-1=0 &2 & 0& 0\\ x^2=0 & 1 & 0& 0\\ \bottomrule \end{array} \end{equation*}$

Il motivo del nome invarianti è che essi vengono conservati dalle affinità invertibili, nel senso espresso dal prossimo teorema.

Teorema 5.2 (metodo degli invarianti). Siano $\mathscr{C}$

e $\mathscr{C}'$

due coniche e siano $\left(R, S, I_2\right)$

e $\left(R', S', I'_2\right)$

, rispettivamente, le terne dei loro invarianti. Allora $\mathscr{C}$

e $\mathscr{C}'$

sono affinemente equivalenti se e solo se valgono le seguenti proprietà:

$\quad$

$R=R'$

$S=S'$

$I_2$ e $I'_2$ hanno lo stesso segno.

$\quad$

Grazie alla tabella (7) e al teorema 5.2 possiamo allora classificare una conica generale. Per farlo basta scrivere la matrice associata $A$ e la matrice associata alla parte quadratica $A_0$ , calcolare da esse i valori di $R$ , $S$ e $I_2$ e infine cercare nella tabella (7) l’unica riga che coincida per i valori di $R$ e $S$ e per il segno di $I_2$ .

Più nel dettaglio, supponiamo di voler classificare una conica $\mathscr{C}$ . L’algoritmo che possiamo utilizzare è il seguente.

$\quad$

Scriviamo la matrice associata $A$ e la matrice associata alla parte quadratica $A_0$ relative a $\mathscr{C}$ .

Calcoliamo il valore di $R=\rank A$ , di $S=\left|i\right|$ (dove $i=i_+-i_-$ è l’indice di $A$ ), e di $I=\det A_0$ .

Se $R=1$ , $\mathscr{C}$ è una retta, e la sua forma canonica è $x^2=0$ .

Se $R=2$ , $\mathscr{C}$ è una conica semplicemente degenere. In particolare:
(a) Se $I_2>0$ , $\mathscr{C}$ è un ellisse degenere, e la sua forma canonica è $x^2+y^2=0$ .

(b) Se $I_2<0$ , $\mathscr{C}$ è un’iperbole degenere, e la sua forma canonica è $x^2-y^2=0$ .

(c) Se $I_2=0$ , $\mathscr{C}$ è una parabola degenere, a punti reali se $S=0$ e a punti immaginari se $S=2$ . La sua forma canonica è nei due casi $x^2-1=0$ e $x^2+1=0$ , rispettivamente.

Se $R=3$ , $\mathscr{C}$ è una conica non degenere. In particolare:
(a) Se $I_2>0$ , $\mathscr{C}$ è un ellisse, a punti reali se $S=1$ e a punti immaginari se $S=3$ . La sua forma canonica è nei due casi $x^2+y^2-1=0$ e $x^2+y^2+1=0$ .

(b) Se $I_2<0$ , $\mathscr{C}$ è un’iperbole, e la sua forma canonica è $x^2-y^2-1=0$ .

(c) Se $I_2=0$ , $\mathscr{C}$ è una parabola, e la sua forma canonica è $x^2-y=0$ .

Il metodo degli invarianti si riassume in maniera compatta nella tabella 1, o nello schema di pagina seguente.

$\quad$

Tabella 1: metodo degli invarianti.

$\quad$

Illustriamo il metodo con qualche esempio.

Esempio 5.3. Classifichiamo la conica $\mathscr{C}$ di equazione

$x^2+4xy+4y^2+6x-1=0.$

Innanzitutto scriviamo le matrici associate:

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\2 & 4 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}\quad \quad \quad A_0=\begin{pmatrix} 1 & 2\\2 & 4 \end{pmatrix}.$

Con i metodi classici si trova che $R=\rank A=3$ e che $I_2=\det A_0=0$ . In particolare, $\mathscr{C}$ è una parabola non degenere, quindi la sua forma canonica è $x^2-y=0$ .

Esempio 5.4. Classifichiamo la conica $\mathscr{C}$ di equazione

$8x^2+4xy+5y^2+40x+10y+41=0.$

Innanzitutto scriviamo le matrici associate:

$A=\begin{pmatrix} 8 & 2 & 20\\2 &5 & 5 \\ 20 &5 & 41 \end{pmatrix}\quad \quad \quad A_0=\begin{pmatrix} 8 & 2\\2& 5 \end{pmatrix}.$

Con i metodi classici si trova che $R=\rank A=2$ e che $I_2=\det A_0=36>0$ . In particolare, $\mathscr{C}$ è un ellisse non degenere. Per capire quale sia la sua forma canonica calcoliamo l’indice di $A$ , usando il teorema di Cartesio A.11.

Il polinomio caratteristico di $A$ è

$p_A(\lambda)=-\lambda^3+54\lambda^2-144\lambda-324.$

Il termine non nullo di grado minimo è $-324$ , che ha grado $0$ , quindi $i_0=0$ . Inoltre, il polinomio presenta due variazioni di segno, una fra $-\lambda^3$ e $54\lambda^2$ e una fra $54\lambda^2$ e $-144\lambda$ . Quindi possiamo affermare che $i_+=2$ e $i_-=3-0-2=1$ .

Pertanto la segnatura di $A$ è $(2, 1, 0)$ e il valore assoluto del suo indice è $|2-1|=1$ . Ne deduciamo che $\mathscr{C}$ è un ellisse non degenere a punti reali. La sua forma canonica è allora $x^2+y^2-1=0$ .

Esempio 5.5. Classifichiamo la conica $\mathscr{C}$ di equazione

$4x^2+6xy+9y^2-5=0.$

Innanzitutto scriviamo le matrici associate:

$A=\begin{pmatrix} 4 & 6 & 0\\6 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & -5 \end{pmatrix}\quad \quad \quad A_0=\begin{pmatrix} 4 & 6\\6 & 9 \end{pmatrix}.$

Con i metodi classici si trova che $R=\rank A=2$ e che $I_2=\det A_0=0$ . In particolare, $\mathscr{C}$ è una parabola degenere. Per capire quale sia la sua forma canonica calcoliamo l’indice di $A$ .

Il polinomio caratteristico di $A$ è

$p_A(\lambda)=-\lambda^3+8\lambda^2+65\lambda$

che ha come radici $\lambda=0, \lambda=13$ e $\lambda=-5$ . Quindi $A$ ha segnatura $(1, 1, 1)$ e il valore assoluto del suo indice è $|1-1|=0$ . Alternativamente possiamo usare il teorema di Cartesio A.11 per calcolare la segnatura a partire da $p_A(\lambda)$ : il termine non nullo di grado minimo del polinomio è $65\lambda$ che ha grado $1$ , quindi $i_0=1$ ; inoltre $p_\lambda(A)$ presenta una sola variazione di segno, fra $-\lambda^3$ e $8\lambda^2$ . Deduciamo che $i_+=1$ e quindi $i_-=3-1-1=1$ .

In ogni caso, segue che $\mathscr{C}$ è una parabola degenere a punti reali, che quindi si riduce ad una coppia di rette parallele: la sua forma canonica è $x^2-1=0$ .

Esempio 5.6. Classifichiamo la conica $\mathscr C$ di equazione

$x^2-4xy+4y^2+6x-12y+9=0.$

Innanzitutto scriviamo le matrici associate:

$A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3\\-2 & 4 & -6 \\ 3 & -6 & 9 \end{pmatrix}\quad \quad \quad A_0=\begin{pmatrix} 1 & -2\\-2 & 4 \end{pmatrix}.$

Con i metodi classici si trova che $R=\rank A=1$ (la seconda e la terza colonna sono multiple della prima). Quindi la conica è doppiamente degenere; pertanto concludiamo (senza necessariamente dover calcolare $S$ ) che essa è una retta e ha forma canonica $x^2=0$ .

Esempio 5.7. Classifichiamo la conica $\mathscr C$ di equazione

$x^2+y^2+6x-2y+12=0.$

Innanzitutto scriviamo le matrici associate:

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\0 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 12 \end{pmatrix}\quad \quad \quad A_0=\begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & 1 \end{pmatrix}.$

Calcoliamo facilmente $I_2=\det A_0=1>0$ , quindi $\mathscr C$ è un ellisse. Inoltre il polinomio caratteristico di $A$ è

$p_A(\lambda)=-\lambda^3+14\lambda^2-15+2=(\lambda-1)\left(\lambda-\frac{13+\sqrt{161}}{2}\right)\left(\lambda-\frac{13-\sqrt{161}}{2}\right).$

Le sue radici sono $\lambda_1=1>0$ , $\lambda_2=\frac{13+\sqrt{161}}{2}>0$ e $\lambda_3=\frac{13-\sqrt{161}}{3}>0$ . Deduciamo che $A$ ha tre autovalori positivi, per cui la sua segnatura è $(3, 0, 0)$ . A questo punto concludiamo $R=3$ e $S=|3-0|$ ; di conseguenza $\mathscr C$ è un ellisse non degenere a punti immaginari e la sua forma canonica è $x^2+y^2+1=0$ .

Esempio 5.8. Classifichiamo la conica $\mathscr C$ di equazione

$4x^2+4xy+2y^2+2y+1=0.$

Innanzitutto scriviamo le matrici associate:

$A=\begin{pmatrix} 4 & 2 & 0\\2 & 5 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\quad \quad \quad A_0=\begin{pmatrix} 4 & 2\\2 & 2 \end{pmatrix}.$

Calcoliamo facilmente $I_2=\det A_0=4>0$ , quindi $\mathscr C$ è un ellisse. Inoltre il polinomio caratteristico di $A$ è

$p_A(\lambda)=-\lambda^3+7\lambda^2-9\lambda=\lambda\left(\lambda-\frac{7+\sqrt{13}}{2}\right)\left(\lambda-\frac{7-\sqrt{13}}{2}\right).$

In particolare, $A$ ha i tre autovalori $\lambda_1=0$ , $\lambda_2=\frac{7+\sqrt{13}}{2}>0$ e $\lambda_3=\frac{7-\sqrt{13}}{2}>0$ . Segue che la sua segnatura è $(2, 1, 0)$ , quindi $R=2$ e $S=|2-1|=1$ . In particolare $\mathscr{C}$ è un ellisse degenere e la sua forma canonica è $x^2+y^2=0$ .

Esempio 5.9. Classifichiamo la conica $\mathscr C$ di equazione

$5x^2+6xy-7x=0.$

Innanzitutto scriviamo le matrici associate:

$A=\begin{pmatrix} 5 & 3 & -\frac{7}{2}\\[6pt]3 & 0 & 0 \\[6pt] -\frac{7}{2} & 0 & 0 \end{pmatrix}\quad \quad \quad A_0=\begin{pmatrix} 5 & 3\\3 & 0 \end{pmatrix}.$

È facile calcolare che $I_2=\det A_0=-9<0$ , quindi $\mathscr{C}$ è un’iperbole. Inoltre, $R=\rank A=2$ (la seconda e la terza colonna di $A$ sono linearmente dipendenti). Di conseguenza, $\mathscr{C}$ è un’iperbole degenere, e la sua forma canonica è $x^2-y^2=0$ .

Esempio 5.10. Classifichiamo la conica $\mathscr C$ di equazione

$2x^2+4xy+2y^2+4x+4y+9=0.$

Innanzitutto scriviamo le matrici associate:

$A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2\\2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 9 \end{pmatrix}\quad \quad \quad A_0=\begin{pmatrix} 2 & 2\\2 & 2 \end{pmatrix}.$

Con i metodi classici si trova che $I_2=\det A_0=0$ , per cui $\mathscr C$ è una parabola, e che $R=\rank A=2$ (le prime due colonne di $A$ sono linearmente dipendenti). Deduciamo quindi che $\mathscr C$ è una parabola degenere. Per capire di che tipo, studiamo il polinomio caratteristico della matrice $A$ :

$p_A(\lambda)=-\lambda^3+13\lambda^2-28\lambda.$

Utilizziamo ad esempio la regola di Cartesio. Il termine di grado più basso non nullo è $-28\lambda$ che ha grado $1$ , quindi $A$ possiede esattamente un autovalore nullo e $i_0=1$ . Inoltre fra i coefficienti ci sono due cambi di segno, uno fra $-\lambda^3$ e $+13\lambda^2$ ed uno fra $+13\lambda^2$ e $-28\lambda$ . Deduciamo che $i_+=2$ e $i_-=3-2-1=0$ . In definitiva, la segnatura di $A$ è $(2, 1, 0)$ e $S=|2-1|=1$ . Concludiamo che $\mathscr C$ è una parabola degenere a punti immaginari, e la sua forma canonica è $x^2+1=0$ .

Esempio 5.11. Classifichiamo la conica $\mathscr C$ di equazione

$x^2+6xy+8y^2+2y-11=0.$

Innanzitutto scriviamo le matrici associate:

$A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\3 & 8 & 1 \\ 0 & 1 & -11 \end{pmatrix}\quad \quad \quad A_0=\begin{pmatrix} 1 & 3\\3 & 8 \end{pmatrix}.$

Con i metodi classici si trova che $I_2=\det A=-1<0$ , quindi $\mathscr C$ è un’iperbole. Inoltre è abbastanza semplice calcolare $\det A=43\ne 0$ , per cui $R=\rank A=3$ . In particolare deduciamo che $\mathscr C$ è un’iperbole non degenere, quindi la sua forma canonica è $x^2-y^2-1=0$ .

Metodo del completamento dei quadrati

Introduzione.

Il metodo degli invarianti è estremamente comodo e rapido per trovare la forma canonica di una conica, ma non consente di determinare un’affinità invertibile che trasformi l’equazione data nella forma canonica stessa. Un modo altrettanto rapido per ovviare a questo problema è il metodo del completamento dei quadrati, che ha però il difetto di non potere essere applicato in maniera sistematica a tutte le coniche. L’algoritmo generale per determinare un’affinità che porti l’equazione in forma canonica è più elaborato, e verrà discusso più avanti.

Il metodo del completamento dei quadrati si basa sulla semplice idea seguente:

(8) $\begin{equation*} (\alpha+\beta)^2=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2\implies \alpha^2+2\alpha\beta=(\alpha+\beta)^2-\beta^2. \end{equation*}$

In altre parole, dato un polinomio del tipo $\alpha^2+2\alpha\beta$ , possiamo completarlo ad un quadrato aggiungendo e togliendo il termine $\beta^2$ (si tratta di una manipolazione piuttosto ricorrente, che viene usata ad esempio anche per risolvere le equazioni di secondo grado).

Come già anticipato, il metodo non si applica in modo agevole ad ogni polinomio di secondo grado della forma

(9) $\begin{equation*} p(x, y)=ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0, \end{equation*}$

ma risulta utile se vengono soddisfatte entrambe le seguenti relazioni:

$\quad$

Almeno uno dei coefficienti $a$ e $c$ è non nullo;

Almeno uno fra i coefficienti $b$ , $d$ e $e$ è nullo.

Sotto queste condizioni, infatti, si può facilmente scrivere il polinomio $p(x, y)$ come combinazione lineare di due quadrati aventi basi linearmente indipendenti, più una costante. Vediamo precisamente come, distinguendo due casi.

Caso I.

$b=0$

. In questo caso il polinomio assume la forma

$p(x, y)=ax^2+2dx+cy^2+2ey+f=0.$

Se $a\ne 0$ e $c\ne 0$ , possiamo completare i termini $ax^2+2dx$ e $cy^2+2ey$ a quadrati aggiungendo e togliendo costanti, per portare il polinomio nella forma

$p(x, y)=\pm (\gamma x+\delta)^2\pm(\zeta y+\xi)^2+\kappa=0$

per opportuni $\gamma, \delta, \zeta, \xi, \kappa\in \mathbb R$ . Da questa espressione è facile risalire alla forma canonica, applicando l’affinità

$\begin{cases} x'\coloneqq \gamma x+\delta\\y'\coloneqq \zeta y+\xi. \end{cases}$

Se invece (senza perdita di generalità) $c= 0$ , il polinomio diventa della forma

$p(x, y)=\pm (\gamma x+\delta)^2\pm(\zeta y+\xi)=0,$

e si risale nuovamente alla forma canonica attraverso l’affinità

$\begin{cases} x'\coloneqq \gamma x+\delta\\y'\coloneqq \zeta y+\xi. \end{cases}$

Esempio 6.1. Classifichiamo la conica $\mathscr{C}$ di equazione

$4x^2-y^2-4x+6y+4.$

Completiamo ad un quadrato il termine $4x^2+4x$ . Con le notazioni (8) avremo

$\begin{cases} \alpha^2=4x^2\\2\alpha\beta=4x \end{cases}\implies \begin{cases} \alpha=2x\\\beta =2 \end{cases}\implies 4x^2+4x=(2x+2)^2-4.$

Analogamente, completiamo ad un quadrato il termine $-y^2+6y$ . Per farlo ci conviene raccogliere un segno meno e completare il termine $-\left(-y^2+6\right)=y^2-6y$ . Avremo

$\begin{cases} \alpha^2=y^2\\2\alpha\beta=-6y \end{cases}\implies\begin{cases} \alpha=y\\\beta =-3 \end{cases}\implies y^2-6y=(y-3)^2-9$

e quindi $-\left(y^2-6\right)=-(y-3)^2+9$ .

Torniamo ora all’equazione di $\mathscr{C}$ : possiamo riscriverla come

$(2x+2)^2-4-(y-3)^2+9+4=0\implies (2x+2)^2-(y-3)^2+9=0,$

e quindi dividendo per $9$ ottenere

$\left(\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}\right)^2-\left(\frac{1}{3}y-1\right)^2+1=0.$

Se poniamo $x'\coloneqq \frac{2}{3}x+\frac{2}{3}$ e $y'\coloneqq \frac{1}{3}y-1$ questa espressione si riduce a

$(x')^2-(y')^2+1=0\implies (y')^2-(x')^2-1=0,$

che è la forma canonica dell’iperbole non degenere. Un’affinità che riduce $\mathscr{C}$ in questa forma canonica è

$\begin{cases} x'=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}\\y'=\frac{1}{3}y-1. \end{cases}$

Essa è invertibile perché il suo determinante vale $\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}-0\cdot 0=\frac{2}{9}\ne 0$ .

Caso II.

$d=0$

oppure $e=0$

. Illustriamo il caso $d=0$

(l’altro è analogo scambiando i ruoli di $x$

e $y$

). Il polinomio si riduce alla forma

$p(x, y)=ax^2+2bx+cy^2+2ey+f=0.$

Possiamo completare ad un quadrato il termine $ax^2+2bxy$ , trasformando il polinomio nella forma

$p(x, y)=\pm (\gamma x+\delta y)^2+\eta y^2+2ey+f$

per opportuni $\gamma, \delta, \eta\in \mathbb R$ . A questo punto completiamo ad un quadrato il termine $\eta y^2+2ey$ , ottenendo

$p(x, y)=\pm (\gamma x+\delta y)^2\pm (\zeta y+\xi)+\kappa=0,$

per opportuni $\zeta, \xi, \kappa \in \mathbb R$ . Concludiamo come nel caso precedente, applicando l’affinità

$\begin{cases} x'\coloneqq \gamma x+\delta y\\ y'\coloneqq \zeta y+\xi. \end{cases}$

Esempio 6.2. Classifichiamo la conica $\mathscr{C}$ di equazione

$2x^2+12xy+17y^2-6y-9=0.$

Iniziamo completando ad un quadrato il termine $2x^2+12xy$ . Usando la notazione~\eqref{quadrati}, calcoliamo

$\begin{cases} \alpha^2=2x^2\\ 2\alpha\beta=12xy \end{cases}\implies\begin{cases} \alpha=\sqrt{2}x\\ \beta=3\sqrt{2}y \end{cases}\implies 2x^2+12xy=\left(\sqrt{2}x+3\sqrt{2}y\right)^2-18y^2.$

L’equazione di $\mathscr{C}$ assume la forma

$\left(\sqrt{2}x+3\sqrt{2}y\right)^2-18y^2+17y^2-6y-9=\left(\sqrt{2}x+3\sqrt{2}y\right)^2-y^2-6y-9=0.$

Completiamo ora ad un quadrato il termine $-y^2-6y$ , raccogliendo un segno meno:

$\begin{cases} \alpha^2=y^2\\ 2\alpha\beta=6y \end{cases}\implies\begin{cases} \alpha=y\\\beta=3 \end{cases}\implies y^2+6y=(y+3)^2-9.$

In particolare abbiamo quindi $-y^2-6=-\left(y^2+6\right)=-\left(y+3\right)^2+9$ . Sostituiamo nell’equazione di $\mathscr{C}$ :

$\left(\sqrt{2}x+3\sqrt{2}y\right)^2-(y+3)^2+9-9=\left(\sqrt{2}x+3\sqrt{2}y\right)^2-(y+3)^2=0.$

Ora possiamo porre $x'\coloneqq\sqrt{2}x+3\sqrt{2}y$ e $y'\coloneqq y-3$ : in queste coordinate tale espressione assume la forma

$(x')^2-(y')^2=0,$

cioè $\mathscr{C}$ è una iperbole degenere (che si spezza in due rette incidenti in un punto).

Un’affinità che riduce $\mathscr{C}$ in forma canonica è

$\begin{cases} x'=\sqrt{2} x+3\sqrt{2}y\\ y'=y-3. \end{cases}$

Essa è invertibile perché il suo determinante vale $\sqrt{2}\cdot 1-3\sqrt{2}\cdot 0=\sqrt{2}\ne 0$ .

Osservazione 6.3. Il metodo di completamento dei quadrati si potrebbe generalizzare al caso di una conica qualunque, ma così facendo non ci sono algoritmi per sapere a priori quali termini completare ad un quadrato. Per questo motivo, per trattare la classificazione di una conica completamente generale, volendo anche trovare un’affinità che la porti in forma canonica, conviene fare riferimento all’algoritmo di riduzione a forma canonica.

Algoritmo di riduzione

Leggi...

L’ultimo metodo di classificazione che presentiamo è l’algoritmo di riduzione a forma canonica. Esso consiste in una serie di passaggi che permettono, nel caso generale, di determinare la forma canonica di una conica $\mathscr{C}$

e di trovare un’affinità che riduca $\mathscr{C}$

a tale forma canonica. L’algoritmo si compone delle seguenti fasi:

$\quad$

Eliminare il termine in $xy$ ;

Completare i quadrati;

Riconoscere la forma canonica e calcolare l’affinità.

Illustriamo singolarmente ogni passaggio.

$\quad$

Eliminare il termine in $xy$ . Sia $A_0$ la matrice associata alla parte quadratica della conica $\mathscr{C}$ . Poiché $A_0$ è simmetrica di ordine $2$ , per il teorema spettrale essa è diagonalizzabile, ovvero esiste una base di $\mathbb R^2$ composta di autovettori di $A_0$ ; sia $\left\{\mathbf{v}, \mathbf w\right\}$ tale base (in particolare, basta che $\mathbf v$ e $\mathbf w$ siano autovettori di $A_0$ linearmente indipendenti). Poniamo allora
$\begin{cases} x'\coloneqq v_1x+w_1y\\ y'\coloneqq v_2x+w_2y \end{cases}$

dove $\mathbf v=\left(v_1, v_2\right)$ e $\mathbf w=\left(w_1, w_2\right)$ nella base canonica. Da qui possiamo ricavare $x$ e $y$ in funzione di $x'$ e $y'$ , e sostituire nell’equazione originale di $\mathscr{C}$ .

Alla fine di questo passaggio, l’equazione risultante deve essere della forma

$a'(x')^2+c'(y')^2+2d'x'+2e'y'+f',$

cioè non deve comparire un termine di secondo grado misto nelle due variabili.

Completare i quadrati. Ci troviamo a questo punto nel caso I del metodo del completamento dei quadrati, che abbiamo illustrato nella sezione 6. Con questo metodo riduciamo l’equazione trovata in forma canonica, determinando l’affinità attraverso la quale si effettua questa riduzione. Se ad esempio scriviamo la forma canonica nelle variabili $x''$ e $y''$ , tale affinità avrà la forma

$\begin{cases} x''=a_{1, 1}x'+a_{1, 2}y'+b_1\\ y''=a_{2, 1}x'+a_{2, 2}y'+b_2. \end{cases}$

Riconoscere la forma canonica e calcolare l’affinità. Possiamo quindi classificare la conica determinando la sua forma canonica (espressa nelle variabili e ). Per determinare l’affinità che riduce in forma canonica, componiamo le due affinità che abbiamo trovato in precedenza: otteniamo
$\begin{cases} x''=a_{1, 1}x'+a_{1, 2}y'+b_1=a_{1,1}\left(v_1x+w_1y\right)+a_{1, 2}\left(v_2x+w_2y\right)+b_1\\ y''=a_{2, 1}x'+a_{2, 2}y'+b_2=a_{2,1}\left(v_1x+w_1y\right)+a_{2, 2}\left(v_2x+w_2y\right)+b_2. \end{cases}$

Esempio 7.1. Classifichiamo la conica $\mathscr{C}$ di equazione

$x^2+2xy+y^2-4x+8y-2=0.$

$\quad$
1. Eliminiamo il termine in $xy$ . La matrice associata alla parte quadratica di $\mathscr{C}$ è
  $A_0=\begin{pmatrix} 1 & 1\\1 & 1 \end{pmatrix}.$
  
  Con i metodi classici si può verificare che essa ha autovettori $\mathbf v=(1, 1)$ (associato all’autovalore $1$ ) e $\mathbf w=(1, -1)$ (associato all’autovalore $-1$ ). Poniamo quindi
  
  $\begin{cases} x'\coloneqq x+y\\y'\coloneqq x-y \end{cases}\implies \begin{cases} x=\frac{1}{2}x'+\frac{1}{2}y'\\ y=\frac{1}{2}x'-\frac{1}{2}y'. \end{cases}$
  
  Sostituiamo nell’equazione di $\mathscr{C}$ , ottenendo
  
  $\begin{aligned} &\left(\frac{1}{2}x'+\frac{1}{2}y'\right)^2+2\left(\frac{1}{2}x'+\frac{1}{2}y'\right)\left(\frac{1}{2}x'-\frac{1}{2}y'\right)+\left(\frac{1}{2}x'-\frac{1}{2}y'\right)^2-\\ &\qquad\qquad - 4\left(\frac{1}{2}x'+\frac{1}{2}y'\right)+8\left(\frac{1}{2}x'-\frac{1}{2}y'\right)-2=\\ =\,&(x')^2+2x'-6y'-2=0. \end{aligned}$
  
  Effettivamente, in questa nuova equazione non compare il termine di secondo grado misto.
2. Completiamo i quadrati. Per il termine $(x')^2+2 x'$ calcoliamo
  $\begin{cases} \alpha^2=(x')^2\\2\alpha\beta=2x' \end{cases}\implies\begin{cases} \alpha=x'\\\beta=1 \end{cases}\implies (x')^2+2x=(x'+1)^2-1.$
  
  Dato che non compare un termine in $(y')^2$ , abbiamo finito. L’equazione diventa
  
  $(x'+1)^2-1-6y'-2=0\implies (x'+1)^2-(6y'+3)=0.$
  
  Poniamo a questo punto
  
  $\begin{cases} x''\coloneqq x'+1\\ y''\coloneqq 6y'+3. \end{cases}$
3. Riconosciamo la forma canonica e calcoliamo l’affinità che riduce $\mathscr{C}$ a tale forma. Nelle coordinate $(x'', y'')$ l’equazione che abbiamo trovato si scrive come
  $(x'')^2-y''=0,$
  
  quindi $\mathscr{C}$ è una parabola non degenere. Per determinare l’affinità che porta $\mathscr{C}$ in questa forma, componiamo le due trovate precedentemente:
  
  $\begin{cases} x''=x'+1=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+1\\y''=6y'+3=6\left(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y\right)+3=3x-3y+3. \end{cases}$
  
  In particolare, questa affinità è invertibile perché il suo determinante vale
  
  $\frac{1}{2}\cdot(-3)-\frac{1}{2}\cdot 3=-3\ne 0.$

Richiami di algebra lineare

Leggi...

In questa appendice richiamiamo alcune nozioni di algebra lineare. Passeremo semplicemente in rassegna gli enunciati senza soffermarci sulle dimostrazioni; chi avesse interesse ad approfondirle può fare riferimento ad un libro di algebra lineare o geometria, come per esempio [¹].

Teorema A.1 (spettrale). Sia $A$

una matrice simmetrica a coefficienti reali di ordine $n$

. Allora $A$

ha esattamente $n$

autovalori (contati eventualmente con molteplicità), ed essi sono tutti reali. Inoltre esiste una matrice ortogonale $R$

(tale cioè che $RR^t=R^tR=\mathbb I_n$

) che verifica l’uguaglianza

$R^tAR=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0\\0 & \lambda_2 & \dots & 0\\\vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\0 & 0 & \dots & \lambda_n \end{pmatrix},$

dove $\lambda_1, \lambda_2\dots \lambda_n$ sono gli autovalori di $A$ .

$\quad$

Osservazione A.2. La matrice $R$ può essere calcolata esplicitamente nella maniera seguente. Detti $\mathbf v_1, \mathbf v_2\dots \mathbf v_n$ gli autovettori di $A$ (scritti come vettori colonna), associati rispettivamente agli autovalori $\lambda_1, \lambda_2\dots \lambda_n$ , sia

$\mathbf w_i\coloneqq \frac{\mathbf v_i}{\left\|\mathbf v_i\right\|} \quad \quad \quad \forall i\in\{1, 2\dots n\}.$

(con il simbolo $\|\cdot\|$ si indica la norma euclidea di un vettore). Allora una possibile scelta di $R$ è

$R=\begin{pmatrix}\mathbf w_1 & \mathbf w_2 & \dots & \mathbf w_n\end{pmatrix}.$

In altre parole, $R$ si può ottenere concatenando i vettori colonna $\mathbf w_1, \mathbf w_2\dots \mathbf w_n$ in questo ordine.

Il teorema spettrale ha diverse applicazioni nello studio delle matrici simmetriche. Ad esempio, esso garantisce che la definizione di segnatura, che stiamo per dare, sia ben posta.

Definizione A.3 (segnatura, indice). Sia $A$

una matrice quadrata di ordine $n$

e siano $i_+, i_-, i_0$

tre numeri interi non negativi. Allora i seguenti fatti sono equivalenti:

$\quad$

$A$ ha esattamente $i_+$ autovalori positivi, $i_-$ autovalori negativi e $i_0$ autovalori nulli.

Esistono tre sottospazi vettoriali tali che:
$\quad$
- $V_+\oplus V_-\oplus V_0=\mathbb R^n$ ;
- $\mathbf x^tA\mathbf x>0$ per ogni $\mathbf x\in V_+\setminus \{\mathbf 0\}$ ;
- $\mathbf x^tA\mathbf x<0$ per ogni $\mathbf x\in V_-\setminus \{\mathbf 0\}$ ;
- $\dim \ker A=i_0$ .

Se una terna $\left(i_+, i_-, i_0\right)$ verifica queste condizioni, essa viene detta segnatura di $A$ .

Si dice infine indice di $A$ la differenza $i:=i_+-i_-$ .

$\quad$

Esempio A.4. La matrice identità $\mathbb I_3$ ha autovalore $\lambda=1$ con molteplicità algebrica $3$ . Pertanto la sua segnatura è $\left(i_+, i_-, i_0\right)=(3, 0, 0)$ , e il suo indice è $3-0=3$ .

Esempio A.5. Consideriamo la matrice associata alla conica di equazione $x^2-y^2+2x-1=0$ :

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

Il suo polinomio caratteristico è $p_A(\lambda)=(1-\lambda)(-1-\lambda)(1-\lambda)-1\cdot(-1-\lambda)\cdot 1)=-\lambda^3+\lambda^2+2\lambda$ . Esso ha come radici $\lambda=0$ , $\lambda=-1<0$ e $\lambda=2>0$ . Quindi la segnatura di $A$ è $\left(i_+, i_-, i_0\right)=(1, 1, 1)$ , e il suo indice è $1-1=0$ .

Definizione A.6 (congruenza). Siano $A$

e $A'$

matrici simmetriche a coefficienti reali. Si dice che esse sono congruenti se esiste una matrice invertibile $P$

tale che

$A'=P^tAP.$

Teorema A.7 (proprietà della segnatura). Valgono le seguenti proprietà:

$\quad$

Se la matrice $A$ ha ordine $n$ e segnatura $\left(i_+, i_-, i_0\right)$ , allora il suo rango è dato da
$\rank A=i_++i_-=n-i_0.$

Se la matrice $A$ ha segnatura $\left(i_+, i_-, i_0\right)$ allora la matrice $-A$ ha segnatura $\left(i_-, i_+, i_0\right)$ .

$\quad$

Si dimostra che la segnatura è un invariante totale per congruenza, nel senso seguente.

Teorema A.8 (Sylvester, d’inerzia). Siano $A$

e $A'$

due matrici simmetriche a coefficienti reali di ordine $n$

. Allora $A$

e $A'$

sono congruenti se e solo se hanno la medesima segnatura.

$\quad$

Esempio A.9. La matrice $A$ dell’esempio A.5 non è congruente alla matrice identità $\mathbb I_3$ , perché esse hanno segnatura diversa (rispettivamente $(3, 0, 0)$ e $(1, 1, 1)$ ). Invece, denotando con $B$ la matrice

$B:=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

è semplice mostrare che $B$ ha segnatura $\left(i_+, i_-, i_0\right)=(1, 1, 1)$ . Pertanto, $A$ è congruente a $B$ .

Osservazione A.10. Poiché dalla segnatura di una matrice si può calcolare il rango della matrice stessa (prima tesi del teorema A.7), deduciamo che due matrici congruenti hanno lo stesso rango. Una analoga affermazione vale per l’indice.

Un metodo comodo per calcolare la segnatura (e quindi il rango e l’indice) di una matrice è il seguente.

Teorema A.11 (Cartesio). Sia $A$

una matrice quadrata simmetrica d’ordine $n$

e sia $p_A(\lambda)$

il suo polinomio caratteristico. Sia $\left(i_+, i_-, i_0\right)$

la segnatura di $A$

. Allora valgono le seguenti proprietà:

$\quad$

$i_0$ è il minimo grado di un monomio non nullo di $p_A(\lambda)$ .

$i_+$ è il numero di variazioni di segno fra i coefficienti non nulli di $p_A(\lambda)$ , ordinati in modo decrescente per grado.

$i_-=n-i_0-i_+$ .

$\quad$

Esempio A.12 Calcoliamo la segnatura della matrice simmetrica

$A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -5\\1 & 1 & 0\\ -5 & 0 & 4 \end{pmatrix}.$

Il polinomio caratteristico è $p_A(\lambda)=-\lambda^3+7\lambda^2+12\lambda-21$ . Quindi possiamo affermare che:

$\quad$

Il termine non nullo di $p_A(\lambda)$ avente grado minimo è $-21$ , che ha grado $0$ . Pertanto $i_0=0$ .

Fra i coefficienti di $p_A(\lambda)$ ci sono due variazioni di segno (una fra $-\lambda^3$ e $7\lambda^2$ e una fra $12\lambda$ e $-21$ ). Quindi $i_+=2$ .

$i_-=3-i_0-i_+=3-0-2=1$ .

Pertanto $A$ ha segnatura $(2, 1, 0)$ .

Concludiamo con una riformulazione del teorema spettrale in una forma particolarmente interessante nello studio delle coniche.

Teorema A.13 (eliminazione di Gauss per forme quadratiche). Sia $A$

una matrice simmetrica. Per mossa elementare sulle righe intendiamo ciascuna delle seguenti operazioni:

$\quad$

Scambiare di posto due righe di $A$ .

Sommare ai coefficienti di una riga di $A$ i corrispondenti coefficienti di un’altra riga.

Moltiplicare tutti i coefficienti di una riga di $A$ per uno stesso numero reale $k\ne 0$ .

Per mossa elementare sulle colonne intendiamo ciascuna delle seguenti operazioni:

$\quad$

Scambiare di posto due colonne di $A$ .

Sommare ai coefficienti di una colonna di $A$ i corrispondenti coefficienti di un’altra colonna.

Moltiplicare tutti i coefficienti di una colonna di $A$ per uno stesso numero reale $k\ne 0$ .

Infine, per mossa elementare simmetrica intendiamo l’operazione che consiste nell’eseguire una mossa elementare sulle righe, seguita dalla corrispondente mossa elementare sulle colonne.

Ogni matrice ottenuta da $A$ attraverso una mossa elementare simmetrica è nuovamente simmetrica. Inoltre, esiste una successione di mosse elementari simmetriche eseguendo le quali si riesce a ridurre la matrice $A$ nella forma

Matrice in MathJax

$\begin{pmatrix} +1 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 0 & +1 & \dots & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & +1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & \dots & 0 & -1 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & -1 & \dots & 0 & 0 & 0 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 & \dots & -1 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix}$

in cui il numero di coefficienti uguali a $+1$ è pari a $i_+$ e il numero di coefficienti uguali a $-1$ è pari a $i_-$ , dove $\left(i_+, i_-, i_0\right)$ è la segnatura di $A$ .

$\quad$

L’interesse del teorema di eliminazione di Gauss nel nostro caso sta nel fatto seguente. Supponiamo che $A$ sia la matrice associata ad una conica $\mathscr C$ , e sia $B$ la matrice ottenuta diagonalizzando $A$ attraverso mosse elementari simmetriche. Allora la conica $\mathscr D$ la cui matrice associata è $B$ coincide esattamente con la forma canonica di $\mathscr C$ .

Esempio A.14. Consideriamo la conica $\mathscr C$ di equazione

$x^2-8xy+17y^2+2x-4y+1=0.$

Esaminando $\mathscr C$ con gli altri metodi presentati nella dispensa possiamo determinare che essa è un ellisse non degenere a punti reali, che ha forma canonica $x^2+y^2-1=0$ .

Proviamo ad ottenere lo stesso risultato in un modo differente. La matrice associata a $\mathscr C$ è

$\begin{pmatrix} 1 & -4 & 1 \\ -4 & 17 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.$

Diagonalizziamola eseguendo operazioni elementari simmetriche. Iniziamo cambiando segno alla terza riga e alla terza colonna di $A$ , e moltiplicando per $\frac{1}{4}$ i coefficienti della seconda riga e della seconda colonna:

$\begin{pmatrix} 1 & -4 & 1 \\ -4 & 17 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}\leadsto\begin{pmatrix} 1 & -4 & -1 \\ -4 & 17 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\leadsto \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\[6pt] -1 & \frac{17}{16} & \frac{1}{2} \\[6pt] -1 & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}.$

Poi sommiamo i coefficienti della prima riga a quelli della seconda riga, e i coefficienti della prima colonna a quelli della seconda colonna:

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\[6pt] -1 & \frac{17}{16} & \frac{1}{2} \\[6pt] -1 & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}\leadsto\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\[6pt] 0 & \frac{1}{16} & -\frac{1}{2} \\[6pt] -1 & -\frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}.$

Continuiamo sommando i coefficienti della prima riga a quelli della terza riga, e i coefficienti della prima colonna a quelli della terza colonna; successivamente moltiplichiamo per $4$ la seconda colonna e la seconda riga.

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\[6pt] 0 & \frac{1}{16} & -\frac{1}{2} \\[6pt] -1 & -\frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}\leadsto\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[6pt] 0 & \frac{1}{16} & -\frac{1}{2} \\[6pt] 0 & -\frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}\leadsto\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}.$

Ora dividiamo per $2$ la terza riga e la terza colonna, e sommiamo i coefficienti della seconda riga a quelli della terza riga ed i coefficienti della seconda colonna a quelli della terza colonna.

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}\leadsto\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}\leadsto\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.$

Concludiamo il procedimento dividendo per $\sqrt{2}$ gli elementi della terza riga e della terza colonna:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}\leadsto\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$

Effettivamente abbiamo ottenuto la matrice descritta dalla tesi del teorema di eliminazione di Gauss. Se ora determiniamo la conica ad essa corrispondente otteniamo l’equazione $x^2+y^2-1=0$ , che è esattamente la forma canonica di $\mathscr C$ .

Riferimenti bibliografici

[1] Sernesi, E., Geometria I, Bollati Boringhieri (1989).

Tutta la teoria di analisi matematica

Leggi...

Tutte le cartelle di Analisi Matematica

Leggi...

Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.

Algebra lineare.

Geometria analitica.

Geometria differenziale.

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

Document