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Procedura diagonale e teorema di Ascoli-Arzela

Teoria Successioni di funzioni

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Procedura diagonale e teorema di Ascoli-Arzelà.

Il teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni di numeri reali afferma che una successione limitata possiede un’estratta convergente. Viene naturale chiedersi se valga un analogo risultato nel campo delle successioni di funzioni. Il teorema di Ascoli-Arzelà costituisce precisamente questa generalizzazione: sotto opportune ipotesi afferma che una successione di funzioni limitata possiede un’estratta uniformemente convergente. La sua dimostrazione fa uso della cosiddetta procedura diagonale, che consente di estrarre sottosuccessioni convergenti da una famiglia di successioni numeriche.

La dispensa è una breve ed essenziale introduzione all’argomento, che lo spiega in maniera chiara e accessibile, costituendo una guida preziosa su questi aspetti chiave dell’Analisi Matematica.
 
 

Lemma 1 (procedura diagonale). Sia E \subseteq \mathbb{R}, sia q_j una successione di numeri in E e sia f_n \colon E \to \mathbb{R} una successione di funzioni tale che, per ogni j \in \mathbb{N}, la successione numerica f_n(q_j)_{n \in \mathbb{N}} sia limitata. Allora esiste una funzione \varphi \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N} strettamente crescente tale che per ogni j \in \mathbb{N}, la successione f_{\varphi(k)}(q_j)_{k \in \mathbb{N}} è convergente a un numero reale f(q_j).

Dimostrazione.

Ci accingiamo a definire \varphi per ricorrenza. Poiché la successione f_n(q_1)_n è limitata, esiste una sua estratta f_{n(k,1)}(q_1)_{k \in \mathbb{N}} convergente a un numero reale che chiamiamo f(q_1). Poniamo

(1)   \begin{equation*} \varphi(1)=n(1,1). \end{equation*}

Successivamente, supponiamo definita la successione f_{n(k,j)}(q_j)_k, f(q_j) e \varphi(j) e consideriamo la successione f_{n(k,j)}(q_{j+1})_{k \in \mathbb{N}}. Poiché anch’essa è limitata, esiste una sua estratta f_{n(k,j+1)}(q_{j+1})_{k \in \mathbb{N}} convergente a un numero reale f(q_{j+1}). Poniamo quindi \varphi(j+1)=n(j+1,j+1). Poiché la successione n(k,j+1)_{k \in \mathbb{N}} è un’estratta della successione n(k,j)_{k \in \mathbb{N}}, si ha

(2)   \begin{equation*} \varphi(j+1) = n(j+1,j+1) \geq n(j+1,j) > n(j,j) = \varphi(j), \end{equation*}

e ciò prova che la funzione \varphi è strettamente crescente. Per il modo in cui è stata costruita la funzione \varphi, per ogni j \in \mathbb{N} la successione \varphi(k)_{k \in \mathbb{N}} è un’estratta della successione n(k,j)_{k \in \mathbb{N}}. Per tale ragione si ha

(3)   \begin{equation*} \lim_{k \to \infty}f_{\varphi(k)}(q_j) = f(q_j) \qquad \forall j \in \mathbb{N}. \end{equation*}

(4)   \begin{equation*} \begin{matrix} \colorbox{tau}{$f_{n(1,1)}(q_1)$} & f_{n(2,1)}(q_1) & f_{n(3,1)}(q_1) & \dots & f_{n(j,1)}(q_1) & \dots & \to & f(q_1) \\ f_{n(1,2)}(q_2) & \colorbox{tau}{$f_{n(2,2)}(q_2)$} & f_{n(3,2)}(q_2) & \dots & f_{n(j,2)}(q_2) & \dots & \to & f(q_2) \\ f_{n(1,3)}(q_3) & f_{n(2,3)}(q_3) & \colorbox{tau}{$f_{n(3,3)}(q_3)$} & \dots & f_{n(j,3)}(q_3) & \dots & \to & f(q_3)\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ f_{n(1,j)}(q_j) & f_{n(2,j)}(q_j) & f_{n(3,j)}(q_j) & \dots & \colorbox{tau}{$f_{n(j,j)}(q_j)$} & \dots & \to & f(q_j) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \end{matrix} \end{equation*}

 

Teorema 2 (Ascoli-Arzelà). Sia f_n \colon [a,b] \to \mathbb{R} una successione di funzioni continue. Allora le due seguenti condizioni sono equivalenti:
 

  1. le funzioni f_n sono equilimitate e equicontinue;
  2. da ogni sottosuccessione f_{n_k} se ne può estrarre una convergente uniformemente.

Dimostrazione.

\bullet 1) \Rightarrow 2) Supponiamo che le f_n siano equilimitate dalla costante M>0 ed equicontinue, e scegliamo quindi un loro modulo di continuità \sigma \colon [0,+\infty) \to [0,+\infty). Per mostrare l’implicazione basta dimostrare che f_n possiede un’estratta convergente: infatti, una volta provato ciò, è sufficiente applicare questo risultato a una qualunque sottosuccessione f_{n_k}.

Sia q \colon \mathbb{N} \to \mathbb{Q} \cap [a,b] una funzione biunivoca; indicando con q_j il valore q(j), q_j risulta una successione che assume una sola volta tutti i valori razionali appartenenti all’intervallo [a,b]. Ciò è possibile in quanto i numeri razionali formano un insieme detto numerabile, cioè in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. Una tale successione q_j è detta una enumerazione dei razionali.

Poiché le funzioni f_n sono equilimitate, possiamo applicare il lemma 1 e ottenere l’esistenza di una sottosuccessione f_{\varphi(n)} e di una funzione f \colon \mathbb{Q} \cap [a,b] \to \mathbb{R} (cioè definita su ognuno dei q_j) per cui si abbia

(5)   \begin{equation*} \lim_{n \to \infty}f_{\varphi(n)}(q_j) = f(q_j) \qquad \forall j \in \mathbb{N}. \end{equation*}

In altre parole, f è il limite puntuale della successione di funzioni f_{\varphi(n)} sull’insieme \mathbb{Q} \cap [a,b], cioè sui razionali appartenenti all’intervallo [a,b].

Dimostriamo ora che la successione f_{\varphi(n)} converge puntualmente su [a,b]. Per alleggerire la notazione, supponiamo che

(6)   \begin{equation*} \varphi(n)=n \qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}

Sia quindi x \in [a,b]; vogliamo provare che la successione f_{n}(x)_{n \in \mathbb{N}} è di Cauchy. Sia quindi \varepsilon>0; per ogni n,m,j \in \mathbb{N}, per la disuguaglianza triangolare si ha

(7)   \begin{equation*} \begin{split} |f_{n}(x) - f_{m}(x)| \leq & |f_{n}(x) - f_{n}(q_j)| + |f_{n}(q_j) - f_{m}(q_j)| \\ & + |f_{m}(q_j) - f_{m}(x)|. \end{split} \end{equation*}

L’idea consiste nello stimare i termini del membro di destra della (7). Sia quindi \delta>0 tale che \sigma(\delta) < \frac{\varepsilon}{3}; per la densità di \mathbb{Q} in \mathbb{R}, fissiamo j \in \mathbb{N} tale che

(8)   \begin{equation*} |q_j - x| < \delta. \end{equation*}

Poiché \sigma è un modulo di continuità per tutte le f_n si ha

(9)   \begin{equation*} |f_{n}(x) - f_{n}(q_j)| < \frac{\varepsilon}{3}, \quad |f_{m}(q_j) - f_{m}(x)| < \frac{\varepsilon}{3}, \qquad \forall n,m \in \mathbb{N}. \end{equation*}

D’altra parte, poiché f_{n}(q_j) è convergente, essa è di Cauchy e quindi esiste N \in \mathbb{N} tale che

(10)   \begin{equation*} |f_{n}(q_j) - f_{m}(q_j)| < \frac{\varepsilon}{3} \qquad \forall n,m \geq N. \end{equation*}

Inserendo (9) e (10) in (7), si ottiene

(11)   \begin{equation*} |f_{n}(x) - f_{m}(x)| < \varepsilon \qquad \forall n,m \geq N, \end{equation*}

che prova che la successione f_{n}(x) è di Cauchy. Per tale ragione essa converge a un numero reale che indichiamo con f(x). In tal modo, risulta definita la funzione f \colon [a,b] \to \mathbb{R} tale che

(12)   \begin{equation*} \lim_{n \to \infty} f_{n}(x) = f(x); \end{equation*}

f è quindi il limite puntuale della successione f_{n} (che, lo si ricorda, corrisponde in realtà alla successione f_{\varphi(n)}, cf. (6)). Il teorema ?? implica che la convergenza è uniforme.

 

\bullet 2) \Rightarrow 1) Se da ogni sottosuccessione f_{n_k} se ne può estrarre una uniformemente convergente, supponiamo per assurdo che f_n non sia equilimitata; supponiamo cioè che per ogni k \in \mathbb{N} esista x_k \in [a,b] e n_k \in \mathbb{N} tale che

(13)   \begin{equation*} f_{n_k}(x_k) \geq k \end{equation*}

A meno di definire n_k in modo tale che n_{k+1} > n_k, otteniamo una sottosuccessione f_{n_k} di f_n e, a meno di passare ulteriormente a una sottosuccessione, per l’ipotesi possiamo supporre che f_{n_k} converge uniformemente a una funzione f. Poiché le funzioni f_n sono tutte limitate, in quanto sono funzioni continue un intervallo chiuso e limitato, la proposizione ?? implica che la successione f_{n_k} è equilimitata, che contraddice (13).

Supponiamo ora per assurdo che la successione f_n non sia equicontinua. Allora, per l’osservazione ??, esiste \varepsilon>0 tale che, per ogni k \in \mathbb{N}, esistono x_k, y_k \in [a,b] e n_k \in \mathbb{N} tali che

(14)   \begin{equation*} |x_k - y_k| < \frac{1}{k}, \qquad |f_{n_k}(x_k) - f_{n_k}(y_k)| \geq \varepsilon. \end{equation*}

A meno di definire n_k in modo tale che n_{k+1} > n_k, otteniamo una sottosuccessione f_{n_k} di f_n e, a meno di passare ulteriormente a una sottosuccessione, per l’ipotesi possiamo supporre che f_{n_k} converge uniformemente a una funzione f. Per il teorema ??, la successione f_{n_k} è equicontinua, ma ciò contraddice la (14).

 
 

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