Procedura diagonale e teorema di Ascoli-Arzela

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Il teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni di numeri reali afferma che una successione limitata possiede un’estratta convergente. Viene naturale chiedersi se valga un analogo risultato nel campo delle successioni di funzioni. Il teorema di Ascoli-Arzelà costituisce precisamente questa generalizzazione: sotto opportune ipotesi afferma che una successione di funzioni limitata possiede un’estratta uniformemente convergente. La sua dimostrazione fa uso della cosiddetta procedura diagonale, che consente di estrarre sottosuccessioni convergenti da una famiglia di successioni numeriche.

La dispensa è una breve ed essenziale introduzione all’argomento, che lo spiega in maniera chiara e accessibile, costituendo una guida preziosa su questi aspetti chiave dell’Analisi Matematica.

Consigliamo la lettura dei seguenti articoli di teoria collegata, il primo dei quali è una risorsa completa sulle successioni di funzioni:

Segnaliamo inoltre l’esaustivo articolo Successioni di funzioni – Esercizi, contenente 42 esercizi di varia natura, ordinati per difficoltà crescente, su ogni aspetto delle successioni di funzioni. Buona lettura!

Autori e revisori

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Autore: Luigi De Masi.

Revisori: Roberto Castorrini, Matteo Talluri, Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.

Teorema 1 (Ascoli-Arzelà). Sia $f_n \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni continue. Allora le due seguenti condizioni sono equivalenti:

le funzioni $f_n$ sono equilimitate e equicontinue;
da ogni sottosuccessione $f_{n_k}$ se ne può estrarre una convergente uniformemente.

Ricordiamo che una successione di funzioni $f_n \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ si dice:

equilimitata se tutte le $f_n$ sono limitate dalla stessa costante, ovvero se esiste $M>0$ tale che

(1) $\begin{equation*} |f_n(x)|\leq M \qquad \forall n \in \mathbb{N},\,\,\,\forall x \in [a,b]; \end{equation*}$

equicontinua se esse sono uniformemente continue e la loro continuità uniforme è indipendente dall’indice $n$ ; precisamente se per ogni $\varepsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che
(2) $\begin{equation*} |f_{n}(x)-f_{n}(y)|< \varepsilon \qquad \forall n \in \mathbb{N},\,\, \forall x,y \in [a,b] \colon |x-y|< \delta. \end{equation*}$

Premettiamo il seguente importante lemma, detto procedura diagonale, che costituisce una generalizzazione del teorema di Bolzano-Weierstrass.

Lemma 2 (procedura diagonale). Sia $E \subseteq \mathbb{R}$ , sia $q_j$ una successione di numeri in $E$ e sia $f_n \colon E \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni tale che, per ogni $j \in \mathbb{N}$ , la successione numerica $f_n(q_j)_{n \in \mathbb{N}}$ sia limitata. Allora esiste una funzione $\varphi \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ strettamente crescente tale che per ogni $j \in \mathbb{N}$ , la successione $f_{\varphi(k)}(q_j)_{k \in \mathbb{N}}$ è convergente a un numero reale $f(q_j)$ .

$\,$

Dimostrazione Ci accingiamo a definire $\varphi$ per ricorrenza. Poiché la successione $f_n(q_1)_n$ è limitata, esiste una sua estratta $f_{n(k,1)}(q_1)_{k \in \mathbb{N}}$ convergente a un numero reale che chiamiamo $f(q_1)$ . Poniamo

(3) $\begin{equation*} \varphi(1)=n(1,1). \end{equation*}$

Successivamente, supponiamo definita la successione $f_{n(k,j)}(q_j)_k$ , $f(q_j)$ e $\varphi(j)$ e consideriamo la successione $f_{n(k,j)}(q_{j+1})_{k \in \mathbb{N}}$ .
Poiché anch’essa è limitata, esiste una sua estratta $f_{n(k,j+1)}(q_{j+1})_{k \in \mathbb{N}}$ convergente a un numero reale $f(q_{j+1})$ .
Poniamo quindi $\varphi(j+1)=n(j+1,j+1)$ .
Poiché la successione $n(k,j+1)_{k \in \mathbb{N}}$ è un’estratta della successione $n(k,j)_{k \in \mathbb{N}}$ , si ha