Procedura diagonale e teorema di Ascoli-Arzelà.
Il teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni di numeri reali afferma che una successione limitata possiede un’estratta convergente. Viene naturale chiedersi se valga un analogo risultato nel campo delle successioni di funzioni. Il teorema di Ascoli-Arzelà costituisce precisamente questa generalizzazione: sotto opportune ipotesi afferma che una successione di funzioni limitata possiede un’estratta uniformemente convergente. La sua dimostrazione fa uso della cosiddetta procedura diagonale, che consente di estrarre sottosuccessioni convergenti da una famiglia di successioni numeriche.
La dispensa è una breve ed essenziale introduzione all’argomento, che lo spiega in maniera chiara e accessibile, costituendo una guida preziosa su questi aspetti chiave dell’Analisi Matematica.
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Dimostrazione.
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(1)
Successivamente, supponiamo definita la successione ,
e
e consideriamo la successione
.
Poiché anch’essa è limitata, esiste una sua estratta
convergente a un numero reale
.
Poniamo quindi
.
Poiché la successione
è un’estratta della successione
, si ha
(2)
e ciò prova che la funzione è strettamente crescente. Per il modo in cui è stata costruita la funzione
, per ogni
la successione
è un’estratta della successione
. Per tale ragione si ha
(3)
(4)
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- le funzioni
sono equilimitate e equicontinue;
- da ogni sottosuccessione
se ne può estrarre una convergente uniformemente.
Dimostrazione.
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Sia una funzione biunivoca; indicando con
il valore
,
risulta una successione che assume una sola volta tutti i valori razionali appartenenti all’intervallo
. Ciò è possibile in quanto i numeri razionali formano un insieme detto numerabile, cioè in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. Una tale successione
è detta una enumerazione dei razionali.
Poiché le funzioni sono equilimitate, possiamo applicare il lemma 1 e ottenere l’esistenza di una sottosuccessione
e di una funzione
(cioè definita su ognuno dei
) per cui si abbia
(5)
In altre parole, è il limite puntuale della successione di funzioni
sull’insieme
, cioè sui razionali appartenenti all’intervallo
.
Dimostriamo ora che la successione converge puntualmente su
. Per alleggerire la notazione, supponiamo che
(6)
Sia quindi ; vogliamo provare che la successione
è di Cauchy. Sia quindi
; per ogni
, per la disuguaglianza triangolare si ha
(7)
L’idea consiste nello stimare i termini del membro di destra della (7). Sia quindi tale che
; per la densità di
in
, fissiamo
tale che
(8)
Poiché è un modulo di continuità per tutte le
si ha
(9)
D’altra parte, poiché è convergente, essa è di Cauchy e quindi esiste
tale che
(10)
Inserendo (9) e (10) in (7), si ottiene
(11)
che prova che la successione è di Cauchy. Per tale ragione essa converge a un numero reale che indichiamo con
. In tal modo, risulta definita la funzione
tale che
(12)
è quindi il limite puntuale della successione
(che, lo si ricorda, corrisponde in realtà alla successione
, cf. (6)). Il teorema ?? implica che la convergenza è uniforme.
2)
1)
Se da ogni sottosuccessione
se ne può estrarre una uniformemente convergente, supponiamo per assurdo che
non sia equilimitata; supponiamo cioè che per ogni
esista
e
tale che
(13)
A meno di definire in modo tale che
, otteniamo una sottosuccessione
di
e, a meno di passare ulteriormente a una sottosuccessione, per l’ipotesi possiamo supporre che
converge uniformemente a una funzione
. Poiché le funzioni
sono tutte limitate, in quanto sono funzioni continue un intervallo chiuso e limitato, la proposizione ?? implica che la successione
è equilimitata, che contraddice (13).
Supponiamo ora per assurdo che la successione non sia equicontinua. Allora, per l’osservazione ??, esiste
tale che, per ogni
, esistono
e
tali che
(14)
A meno di definire in modo tale che
, otteniamo una sottosuccessione
di
e, a meno di passare ulteriormente a una sottosuccessione, per l’ipotesi possiamo supporre che
converge uniformemente a una funzione
. Per il teorema ??, la successione
è equicontinua, ma ciò contraddice la (14).
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