Esercizi applicazioni lineari — Numero 1

Applicazioni lineari e endomorfisimi

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Sommario

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In questa dispensa vengono proposti esercizi misti su applicazioni lineari tra spazi vettoriali.

 

Autori e Revisori


 

Notazioni

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\mathcal{L}(v_1,\dots,v_n) sottospazio vettoriale generato da vettori v_1,\dots,v_n
\operatorname{Ker} F nucleo dell’applicazione lineare F
\operatorname{Im} F immagine dell’applicazione lineare F
\mathbb{R}_{\leq k}[x] polinomi di grado al più k a coefficienti in \mathbb{R} nella variabile x
\mathcal{M}_k(\mathbb{R}) insieme delle matrici quadrate di dimensione k
\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{R}) insieme delle matrici di dimensione n \times m
I_k matrice identica di ordine k
\mathbf{0} vettore nullo
\operatorname{rk}A rango della matrice A
v^T vettore trasposto del vettore v

 

Richiami di teoria

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In questa sezione richiamiamo brevemente le principali definizioni e proprietà che verranno usate negli esercizi che seguono.    

Definizione 1.1.  Siano V e W spazi vettoriali sul campo \mathbb{K}. Una funzione

    \[F \colon V \to W\]

è detta \textbf{applicazione lineare} o \textbf{omomorfismo} se soddisfa le seguenti condizioni:

  • \textbf{Additività:} F(v_1 + v_2) = F(v_1) + F(v_2) per ogni v_1,v_2 \in V.
  • \textbf{Omogeneità:} F(kv) = k F(v) per ogni v\in V e per ogni k \in \mathbb{K}.

Le due condizioni di additività e omogeneità possono essere sintetizzate in un’unica condizione, detta \textbf{linearità}:

    \[F(k_1 v_1 + k_2 v_2) = k_1 F(v_1) + k_2 F(v), \qquad \forall v_1,v_2 \in V,\quad  \forall k_1,k_2 \in \mathbb{K}.\]

Definizione 1.2.  Sia F\colon V \to W un’applicazione lineare. Si definisce \textbf{immagine} dell’applicazione F il sottoinsieme del codominio \operatorname{Im}F\subseteq W definito da

    \[\operatorname{Im} F \coloneqq \{w \in W \colon \exists v \in V \text{ tale che } w = F(v) \}.\]

Si definisce \textbf{nucleo} dell’applicazione F il sottoinsieme del dominio \operatorname{Ker} F\subseteq V definito da

    \[\operatorname{Ker} F \coloneqq \{v \in V \colon F(v)= \mathbf{0}_W\}.\]

   

Definizione 1.3.  Sia F\colon V \to W un’applicazione lineare.

  • F è detta \textbf{endomorfismo} se dominio e codominio coincidono, cioè V = W.
  • F è detta \textbf{isomorfismo} se F è biettiva.
  • F è detta \textbf{automorfismo} se F è un endomorfismo biettivo.

   

Teorema 1.4. ([1, teorema 4.1])  Sia F \colon V \to W un’applicazione lineare. Allora

    \[F(\mathbf{0}) = \mathbf{0}.\]

Inoltre

    \[F \text{è iniettiva} \iff \operatorname{Ker} F = \{\mathbf{0}\}.\]

   

Teorema 1.5. ([1, teorema 4.2])  Sia F \colon V \to W un’applicazione lineare e sia A\subset V. Allora

    \[F(\mathcal{L}(A)) = \mathcal{L}(F(A)).\]

In particolare, se \mathcal{B} è un qualsiasi sistema di generatori di V, si ha che

    \[\operatorname{Im} F = \mathcal{L}(F(\mathcal{B})).\]

   

Teorema 1.6. ([1, teorema 4.3])  Siano V e W due spazi vettoriali e sia \mathcal{B} = \{v_i\}_{i\in I} una base di V. Data S= \{w_i\}_{i\in I} una famiglia di vettori di W, esiste una e una sola applicazione lineare F \colon V \to W tale che

    \[F(v_i) = w_i \qquad \forall i \in I.\]

   

Teorema 1.7.  Due spazi vettoriali V e W sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.

Dimostrazione) Dimostriamo le due implicazioni.

  • [\bullet \Rightarrow).] Sia F \colon V \to W un isomorfismo e sia \mathcal{B} = \{v_i\}_{i \in I} una base di V. Si ha

    (1)   \begin{equation*} 			\mathcal{L}(\mathcal{B}) 			= 			\operatorname{Im} F 			= 			W, 		\end{equation*}

    dove la prima uguaglianza segue dal teorema ?? e la seconda dalla suriettività di F. Quindi la famiglia \mathcal{B}' = \{F(v_i)\}_{i \in I} è un sistema di generatori di W. Mostriamo che è anche indipendente; infatti, sia n \in \mathbb{N} e supponiamo che si abbia

    (2)   \begin{equation*} 			\alpha_1 F(v_{i_1}) + \dots + \alpha_n + F(v_{i_n}) 			= 			\mathbf{0}_W 		\end{equation*}

    per degli scalari \alpha_1,\dots,\alpha_n \in \mathbb{K} e un insieme \{i_1,\dots,i_n\} \subseteq I costituito da n indici distinti. Per la linearità di F si ha dunque

    (3)   \begin{equation*} 			\begin{split} 				F \big( \alpha_1 v_{i_1} + \dots + \alpha_n v_{i_n} \big) 				= 				\mathbf{0}_W 				\iff & 				\alpha_1 v_{i_1} + \dots + \alpha_n v_{i_n} \in \ker F 				\\ 				\iff & 				\alpha_1 v_{i_1} + \dots + \alpha_n v_{i_n} 				= 				\mathbf{0}_V, 			\end{split} 		\end{equation*}

    dove l’ultima equivalenza segue dall’iniettività di F e dal fatto che F(\mathbf{0}_V)= \mathbf{0}_W. Poiché \mathcal{B} è una base di V, l’ultima relazione in \eqref{eq:im_base_indipendente} implica che \alpha_1=\dots=\alpha_n=0, provando quindi che \mathcal{B}' è indipendente in W. Poiché \mathcal{B}' è un sistema di generatori indipendenti di W, esso è una base. Dato che V e W possiedono basi della stessa cardinalità, in quanto individuate da famiglie costruite sullo stesso insieme di indici I, si ha \dim V = \dim W.

  • [\bullet \Leftarrow).] Viceversa, supponiamo che \dim V = \dim W; dunque esiste una base \mathcal{B} = \{v_i\}_{i \in I} di V, una base \mathcal{B}' = \{w_j\}_{j \in J} di W e una funzione \phi \colon I \to J biunivoca. In virtù del teorema ??, esiste un’applicazione lineare F \colon V \to W tale che

    (4)   \begin{equation*} 			F(v_i)= w_{\phi(i)} 			\qquad 			\forall i \in I. 		\end{equation*}

    Vale

    (5)   \begin{equation*} 			\operatorname{Im}F = \mathcal{L}(F(\mathcal{B})) 			= 			\mathcal{L}(\mathcal{B}') 			= 			W, 		\end{equation*}

    dove la prima uguaglianza segue dal teorema ??, la seconda da \eqref{eq:def_F_v_i}, mentre l’ultima dal fatto che \mathcal{B}' è una base di W. Dunque \eqref{eq:F_suriettiva_iso} prova che F è suriettiva. Per dimostrare che F è iniettiva, utilizziamo il teorema ?? provando che \ker F=\{\mathbf{0}_V\}. Sia v \in \ker F; dato che \mathcal{B} è una base di V, esistono degli scalari \alpha_1,\dots,\alpha_n \in \mathbb{K} e un insieme \{i_1,\dots,i_n\} \subseteq I di indici tali che

    (6)   \begin{equation*} 			v= \alpha_1 v_{i_1} + \dots + \alpha_n v_{i_n} 			\quad 			\Longrightarrow 			\quad 			\mathbf{0}_W = F(v) = \alpha_1 F(v_{i_1}) + \dots + \alpha_n F(v_{i_n}) 			= 			\alpha_1 w_{\phi(i_1)} + \dots + \alpha_n w_{\phi(i_n)}, 		\end{equation*}

    da cui segue che \alpha_1=\dots = \alpha_n=0, in quanto \mathcal{B}' è una base di W. Ciò mostra che v=\mathbf{0}_V, provando che \ker F=\{\mathbf{0}_V\} e quindi l’iniettività di F. Poiché F è un omomorfismo iniettivo e suriettivo, esso è un isomorfismo.\qedhere

   

Teorema 1.8. ([2, teorema 3.2])  Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita e sia F \colon V \to W un’applicazione lineare. Allora

    \[\operatorname{dim} V = \operatorname{dim}\operatorname{Ker} F + \operatorname{dim} \operatorname{Im} F.\]

   

Teorema 1.9. ([1, teorema 4.5])  Siano V e W spazi vettoriali di dimensione finita tali che \operatorname{dim} V = n e \operatorname{dim} W=m. Sia F \colon V \to W un’applicazione lineare e siano \mathcal{B}_V e \mathcal{B}_W rispettivamente basi di V e W. Allora esiste un’unica matrice A \in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) avente per colonne le componenti nella base \mathcal{B}_W delle immagini dei vettori della base \mathcal{B}_V tale che, se v \in V ha componenti (v_1,\dots,v_n) nella base \mathcal{B}_V, allora F(v) ha componenti A(v_1,\dots,v_n)^T nella base \mathcal{B}_W.

Viceversa, ogni matrice A \in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) definisce un’applicazione lineare ponendo che F(v) abbia componenti nella base \mathcal{B}_W pari a A(v_1,\dots,v_n)^T, dove (v_1,\dots,v_n) è il vettore delle componenti di v nella base \mathcal{B}_V.

   

Corollario 1.10. ([2, teorema 3.2])  Siano V e W spazi vettoriali di dimensione finita tali che \operatorname{dim} V = n e \operatorname{dim} W=m. Sia F \colon V \to W un’applicazione lineare e sia A \in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) la matrice associata ad F rispetto ad una base \mathcal{B}_V di V e una base \mathcal{B}_W di W. Allora

    \[\operatorname{rk} A =\operatorname{dim}\operatorname{Im} F.\]

   

Corollario 1.11.  Siano V e W spazi vettoriali di dimensione finita tali che \operatorname{dim} V = n e \operatorname{dim} W=n. Sia F \colon V \to W un’applicazione lineare e sia A \in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) la matrice associata ad F rispetto ad una base \mathcal{B}_V di V e una base \mathcal{B}_W di W. Allora

    \[F \text{ è invertibile } \iff A \text{ è invertibile }.\]

Inoltre, se F è invertibile allora la sua inversa F^{-1} è lineare e la matrice associata ad F^{-1} rispetto alle stesse basi \mathcal{B'} e \mathcal{B} è la matrice A^{-1}.

Dimostrazione) Per il corollario ??, F è suriettiva se e solo se \operatorname{rk} A = n, cioè se e solo se A è invertibile.

Poiché F è rappresentata dalla matrice A nelle basi \mathcal{B} e \mathcal{B}' e poiché

(7)   \begin{equation*} 		F^{-1}(F(v))=v 		\qquad 		\forall v \in V, 	\end{equation*}

per il teorema ?? l’applicazione inversa F^{-1} \colon W \to V è rappresentata, nelle stesse basi, da una matrice B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) soddisfacente

(8)   \begin{equation*} 		BA(v_1,\dots,v_n)^T = (v_1,\dots,v_n)^T 		\qquad 		\forall 		(v_1,\dots,v_n) \in \mathbb{K}^n. 	\end{equation*}

Scegliendo v=e_i, dove e_i sono i vettori della base canonica di \mathbb{K}^n, si ottiene BA=I_n, da cui B=A^{-1}.