Il teorema di Fermat

Teoria sui Teoremi del calcolo differenziale

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Il teorema di Fermat è un importante risultato dell’Analisi Matematica che stabilisce un collegamento tra la presenza di punti di massimo e minimo di una funzione e i valori assunti dalla sua derivata. Poiché la derivata rappresenta il “tasso di variazione infinitesimale” di una funzione in un punto, il teorema afferma che tale variazione deve essere nulla in un punto di massimo o minimo interno al dominio. Poiché quindi i punti di estremo di una funzione $f \colon (a,b) \to \mathbb{R}$ derivabile devono essere cercati tra le soluzioni dell’equazione $f'(x)=0$ , ciò fornisce un importante strumento nella soluzione di problemi di ottimizzazione.

Questo breve e dettagliato articolo esplora il teorema e i seguenti argomenti a esso collegati:

Il teorema di Fermat per punti interni al dominio e la sua dimostrazione;
La generalizzazione del teorema di Fermat per punti estremi del dominio e sua interpretazione, includendo il caso di una funzione non derivabile, mediante le cosiddette derivate di Dini;
Alcuni controesempi sulla sufficienza della condizione affinché il punto sia di estremo;
Una condizione sufficiente sul segno della derivata per punti al bordo, affinché essi siano di massimo o minimo relativo.

Ogni risultato ed esempio è chiarito da spiegazioni intuitive e illustrazioni grafiche. Se cerchi una risorsa sul teorema di Fermat che ti consenta sia di soffermarti sull’essenziale, sia di avere a disposizione materiale aggiuntivo difficilmente reperibile altrove, sei nel posto giusto!

Oltre alle seguenti raccolte di esercizi

segnaliamo i seguenti articoli sulla teoria collegata:

Autori e revisori

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Autore: Luigi De Masi.

Revisori: Roberto Castorrini, Matteo Talluri, Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.

Introduzione

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In questa dispensa trattiamo il teorema di Fermat per i punti stazionari di una funzione, che mette in relazione i concetti di estremo locale e di derivata di una funzione (si veda la sezione 1 per le definizioni precise). Infatti, esso afferma che la derivata di una funzione derivabile si annulla nei punti di massimo e minimo relativi interni al dominio.

L’intuizione dietro al teorema (e alla sua dimostrazione) è che la derivata $f'(x_0)$ rappresenta il “tasso di variazione infinitesimale” di $f$ in $x_0$ . Se $x_0$ è ad esempio un punto di massimo, tale variazione deve essere non-negativa per $x < x_0$ e non-positiva per $x > x_0$ . Unendo queste due informazioni, si ottiene $f'(x_0)=0$ .

Ricordando che $f'(x_0)$ rappresenta la pendenza della retta tangente al grafico di $f$ nel punto $x_0$ , in altre parole il teorema afferma che la retta tangente al grafico di $f$ in un punto di estremo relativo è orizzontale.

Il teorema di Fermat dà un’idea di come lo studio delle derivate di una funzione possa rivelarsi utile nell’affrontare un problema sostanzialmente pratico come quello della ricerca degli estremi locali di una funzione. Infatti esso suggerisce che un metodo per la ricerca di questi ultimi consiste nel risolvere l’equazione $f'(x)=0$ , per poi stabilire (generalmente con altre considerazioni) se i punti trovati costituiscono o meno dei punti di estremo locale di $f$ .

Il lavoro è organizzato come segue:

Nella sezione 1 richiamiamo le definizioni utilizzate nel seguito;
Nella sezione 2 enunciamo e dimostriamo il teorema 5 che costituisce il risultato principale di questa dispensa. Come abbiamo già detto, esso afferma che la derivata di una funzione derivabile in un punto interno di estremo locale è nulla.
Nella sezione 3 presentiamo il teorema 8, che è una generalizzazione del teorema di Fermat per punti al bordo del dominio della funzione. Infatti, per tali punti, la conclusione del teorema 5 è falsa. Possiamo chiederci se si possano comunque dedurre delle informazioni (magari più deboli) sulla derivata della funzione. Come si evincerà, si può determinare il segno della derivata.

Nella sezione 3, presentiamo il teorema 12 che costituisce un’ulteriore generalizzazione del teorema 8 al caso in cui la funzione $f$ non sia derivabile; ciò viene fatto in termini delle cosiddette derivate di Dini, introdotte nella definizione 9.

Nella sezione 4 esaminiamo alcuni controesempi che mostrano come la condizioni dei teoremi 5 e 8 non siano sufficienti a garantire che il punto in considerazione sia di estremo relativo.
Nella sezione 5 mostriamo invece una condizione sufficiente per punti al bordo del dominio affinché essi siano di estremo relativo.

Definizioni

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Come abbiamo già anticipato nell’introduzione, il teorema di Fermat lega le nozioni di estremo locale e di derivata di una funzione. Nonostante esse saranno già note al lettore, le riportiamo per comodità e completezza.

Cominciamo con la definizione di estremo locale.

Definizione 1 (estremi relativi). Sia $E \subseteq \mathbb{R}$ e sia $f \colon E \to \mathbb{R}$ ; un punto $x_0 \in E$ si dice punto di massimo relativo o locale per $f$ se esiste $\delta >0$ tale che

(1) $\begin{equation*} f(x) \leq f(x_0) \qquad \forall x \in E \cap (x_0- \delta, x_0 + \delta). \end{equation*}$

Analogamente, un punto $x_0 \in E$ si dice punto di minimo relativo o locale per $f$ se esiste $\delta >0$ tale che

(2) $\begin{equation*} f(x) \geq f(x_0) \qquad \forall x \in E \cap (x_0- \delta, x_0 + \delta). \end{equation*}$

In entrambi i casi sopra descritti, un tale $x_0$ viene detto punto di estremo relativo o locale per $f$ .

In altre parole, un punto $x_0$ è di massimo locale per $f$ se, per punti abbastanza vicini a $x_0$ , $f$ assume valori non superiori a $f(x_0)$ . Analoga considerazione vale per i punti di minimo.

Passiamo ora alla definizione di funzione derivabile.

Definizione 2 (funzione derivabile). Sia $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione e sia $x_0 \in [a,b]$ ; $f$ si dice derivabile a sinistra in $x_0$ [rispettivamente a destra] se il limite

(3) $\begin{equation*} f'^-(x_0) \coloneqq \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \qquad \bigg[ \text{rispett. } f'^+(x_0) \coloneqq \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \bigg] \end{equation*}$

esiste ed è finito; il valore di tale limite viene detto derivata sinistra [risp. destra] di $f$ in $x_0$ .

Se esiste il limite

(4) $\begin{equation*} f'(x_0) \coloneqq \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}, \end{equation*}$

$f$ si dice derivabile in $x_0$ e il valore di tale limite viene detto derivata di $f$ in $x_0$ . Se $f'(x_0)=0$ , $x_0$ è detto un punto stazionario per $f$ .

La funzione $f$ si dice derivabile in $[a,b]$ (o, più semplicemente, derivabile) se essa è derivabile per ogni $x_0 \in [a,b]$ .

Osservazione 3. Dalla definizione 2 discende chiaramente che $f$ è derivabile a destra in $a$ se e solo se $f$ è derivabile in $a$ e inoltre

(5) $\begin{equation*} f'(a) = f'^+(a). \end{equation*}$

Similmente, $f$ è derivabile a sinistra in $b$ se e solo se $f$ è derivabile in $b$ e inoltre

(6) $\begin{equation*} f'(b) = f'^-(b). \end{equation*}$

Osservazione 4. Se $f$ è derivabile in $x_0$ , allora chiaramente $f$ è derivabile sia a sinistra che a destra e vale

(7) $\begin{equation*} f'(x_0) = f'^-(x_0) = f'^+(x_0). \end{equation*}$

Viceversa, se $f$ è derivabile sia a sinistra che a destra e $f'^-(x_0) = f'^+(x_0)$ , allora $f$ è derivabile e vale la (7).

Il teorema di Fermat

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Siamo quindi pronti per affrontare la dimostrazione del teorema di Fermat.

Teorema 5 (Fermat). Sia $f \colon (a,b) \to \mathbb{R}$ e sia $x_0 \in (a,b)$ un punto di estremo locale per $f$ tale che $f$ sia derivabile in $x_0$ . Allora si ha

(8) $\begin{equation*} f'(x_0)=0. \end{equation*}$

Dimostrazione. Senza ledere la generalità possiamo supporre che $x_0$ sia un punto di massimo locale (l’altro caso è analogo). Per la definizione 1 esiste $\delta>0$ tale che

(9) $\begin{equation*} f(x) \leq f(x_0) \qquad \forall x \in (x_0- \delta, x_0 + \delta). \end{equation*}$

Per $x \in (x_0- \delta, x_0 + \delta) \setminus \{x_0\}$ consideriamo il rapporto incrementale

(10) $\begin{equation*} R_{f,x_0}(x) = \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. \end{equation*}$

Per la (9) si ha (figura 1)

(11) $\begin{equation*} %\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} R_{f,x_0}(x) \begin{cases} \leq 0 & \text{se } x \in (x_0, x_0 + \delta),\\ \geq 0 & \text{se }x \in (x_0 - \delta, x_0). \end{cases} \end{equation*}$

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Figura 1: rappresentazione grafica della dimostrazione del teorema 5.

Quindi otteniamo

(12) $\begin{equation*} 0 \leq \lim_{x \to x_0^-} R_{f,x_0}(x) %\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} R_{f,x_0}(x) %\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \leq 0, \end{equation*}$

dove le due disuguaglianze seguono da (11), mentre l’esistenza dei due limiti e le due uguaglianze seguono dal fatto che $f$ è derivabile in $x_0$ . La (12) implica che

(13) $\begin{equation*} f'(x_0) = 0. \end{equation*}$

Osservazione 6. Si potrebbe visualizzare l’idea della dimostrazione con la seguente osservazione euristica: “andando verso il punto $P$ di massima (o minima) altezza delle montagne russe si sale, allontanandosi da esso si scende. Pertanto in $P$ si è in piano.”

Il teorema di Fermat generalizzato

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Il teorema 5 si applica ai punti di estremo locale che si trovano all’interno del dominio della funzione. Ci si può chiedere cosa accade se il punto si trova al bordo.

Supponiamo che $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ abbia un punto di estremo locale in $a$ o in $b$ e che $f$ sia derivabile in tale punto. Cosa si può dire su $f'$ ?

Il prossimo esempio mostra che, in questi casi, la conclusione del teorema 5 è falsa, cioè che i punti di estremo relativo al bordo del dominio non sono necessariamente stazionari.

Esempio 7. Consideriamo la funzione $f \colon [-1,1] \to \mathbb{R}$ definita da $f(x)=x$ . Essa è derivabile e i punti $x=-1$ e $x=1$ , entrambi al bordo del dominio, sono rispettivamente di minimo e di massimo per $f$ , ma

(14) $\begin{equation*} f'(-1)=f'(1)=1. \end{equation*}$

In altre parole $-1$ e $1$ sono punti di estremo relativo per $f$ , ma non sono stazionari.

Possiamo chiederci se, nel caso in cui il punto di estremo locale $x_0$ si trovi al bordo del dominio di $f$ , valga comunque qualche tipo di relazione riguardo la derivata $f'(x_0)$ .

Si può tentare di ripercorrere la dimostrazione del teorema 5 e cercare di adattarla al caso in esame. Si può facilmente vedere che, poiché il punto considerato coincide con uno degli estremi dell’intervallo, si può dedurre solo una delle due disuguaglianze in (11). È quindi ragionevole aspettarsi che si potrà solo giungere a una disuguaglianza su $f'$ , invece dell’uguaglianza data dal teorema 5. Ciò è precisamente quanto accade, come mostra il prossimo risultato.

Teorema 8 (teorema di Fermat generalizzato). Sia $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ } una funzione e sia $x_0 \in [a,b]$ un punto di minimo locale per $f$ tale che $f$ sia derivabile in $x_0$ . Allora si ha

(15) $\begin{equation*} f'(x_0) \begin{cases} \geq 0 & \text{se } x_0 = a \\ =0 & \text{se } x_0 \in (a,b)\\ \leq 0 & \text{se } x_0 = b, \end{cases} \end{equation*}$

che si può riassumere nella disuguaglianza

(16) $\begin{equation*} f'(x_0)(x- x_0) \geq 0 \qquad \forall x \in (a,b). \end{equation*}$

Se $x_0$ è un punto di massimo, valgono conclusioni analoghe con le disuguaglianze invertite.

Osservazione 9. Poiché il caso dell’uguaglianza in (15) coincide con l’enunciato del teorema 5, ci si potrebbe limitare a dimostrare soltanto le disuguaglianze. Preferiamo riportare l’intera dimostrazione per completezza e perché essa non verrebbe semplificata escludendo il caso già trattato.

Dimostrazione del teorema 8. Osserviamo che, per dimostrare la (15), basta provare che

(17) $\begin{equation*} f'^+(x_0) \geq 0 \quad \text{se } x_0 \in [a,b) \qquad \text{ e } \qquad f'^-(x_0) \leq 0 \quad \text{se } x_0 \in (a,b]. \end{equation*}$

Infatti (17) e l’osservazione 3 implicano chiaramente i casi $x_0 =a$ e $x_0=b$ di (15).

Se invece $x_0 \in (a,b)$ , dalle disuguaglianze (17) segue

(18) $\begin{equation*} f'(x_0)=0. \end{equation*}$

Dimostriamo quindi le (17). Supponiamo a tal fine che $x_0 \in [a,b)$ sia un punto di minimo relativo per $f$ . Allora esiste $\delta >0$ tale che

(19) $\begin{equation*} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \geq 0 \qquad \forall x \in (x_0,x_0 + \delta). % \,\, \text{ tale che } \,\, x_0 + h \in [a,b]. \end{equation*}$

Passando al limite per $x \to x_0^+$ (che esiste per la derivabilità di $f$ in $x_0$ ), si ha

(20) $\begin{equation*} f'^+(x_0) = \lim_{x \to x_0^+}\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \geq 0, \end{equation*}$

che prova la prima delle disuguaglianze in (17). Con un ragionamento analogo si ottiene

(21) $\begin{equation*} f'^-(x_0) \leq 0 \qquad \forall x_0 \in (a,b]. \end{equation*}$

Ciò conclude la dimostrazione di (17).

La disuguaglianza (16) si ottiene facilmente da (15).

Caso di funzione non derivabile.

È possibile generalizzare ulteriormente il teorema 8 al caso in cui $f$ non sia derivabile in $x_0$ . Prima di presentare il risultato, occorre introdurre la seguente definizione.

Definizione 9 (derivate di Dini). Sia $f \colon (a,b) \to \mathbb{R}$ e sia $x_0 \in (a,b)$ . La derivata destra superiore e la derivata destra inferiore di $f$ in $x_0$ sono definite rispettivamente da

(22) $\begin{equation*} D^+ f(x_0) \coloneqq \limsup_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}, \qquad D_+f(x_0) \coloneqq \liminf_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}. \end{equation*}$

Analogamente, la derivata sinistra superiore e la derivata sinistra inferiore di $f$ in $x_0$ sono definite rispettivamente da

(23) $\begin{equation*} D^- f(x_0) \coloneqq \limsup_{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}, \qquad D_-f(x_0) \coloneqq \liminf_{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}. \end{equation*}$

Le quantità (possibilmente infinite) $D^+ f(x_0)$ , $D_+ f(x_0)$ , $D^- f(x_0)$ , $D_- f(x_0)$ sono dette derivate di Dini di $f$ in $x_0$ .

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Figura 2: significato geometrico delle derivate di Dini.

Osservazione 10. Poiché $\limsup$ e $\liminf$ di una funzione esistono sempre, le derivate di Dini sono ben definite anche se la funzione $f$ non è derivabile in $x_0$ . Chiaramente, se $f$ è derivabile in $x_0$ , tutte le derivate di Dini coincidono con $f'(x_0)$ .

Osservazione 11. Intuitivamente, le derivate di Dini rappresentano i coefficienti angolari delle semirette costituenti i coni che racchiudono il grafico della funzione in prossimità del punto $\big(x_0,f(x_0)\big)$ (figura 2).

Utilizzando le derivate di Dini, siamo in grado di generalizzare il teorema 8 al caso di una funzione non derivabile. L’intuizione dietro al teorema è sostanzialmente la stessa del teorema 8: se $x_0$ è un punto di minimo per $f$ , spostandosi a destra di $x_0$ il valore di $f$ aumenta; ciò implica che i rapporti incrementali sono non negativi e questo rimane vero passando al $\liminf$ (cf. figura 3).

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Figura 3: illustrazione del teorema 12 .

Teorema 12 (teorema di Fermat generalizzato – versione 2) Sia $f \colon (a,b) \to \mathbb{R}$ } una funzione e sia $x_0 \in [a,b]$ un punto di minimo locale per $f$ . Allora si ha

(24) $\begin{equation*} D_+f(x_0) \geq 0 \quad \text{e} \quad D^- f(x_0) \leq 0. \end{equation*}$

Se invece $x_0$ è un punto di massimo locale per $f$ , allora si ha

(25) $\begin{equation*} D^+f(x_0) \leq 0 \quad \text{e} \quad D_- f(x_0) \geq 0. \end{equation*}$

Dimostrazione. Sia $x_0 \in (a,b)$ un punto di minimo locale per $f$ . Dimostriamo solo la prima disuguaglianza delle (24), in quanto le altre si dimostrano in modo analogo oppure riconducendosi a opportune funzioni ausiliarie.

Dato che $x_0$ è un punto di minimo locale, esiste $\delta >0$ tale che

(26) $\begin{equation*} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \geq 0 \qquad \forall h \in (0, \delta). \end{equation*}$

Considerando il limite inferiore per $h \to 0^+$ , si ha

(27) $\begin{equation*} D_+ f(x_0) = \liminf_{h \to 0^+}\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \geq 0. \end{equation*}$

Osservazione 13. Si può enunciare il teorema 12 anche per punti al bordo del dominio di $f$ . Ovviamente in tal caso si otterrà una disuguaglianza solo per la derivata di Dini destra o sinistra di $f$ , a seconda che $x_0$ sia rispettivamente l’estremo sinistro o destro del dominio.

Alcuni controesempi

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Entrambi i teoremi 5 e 8 forniscono delle condizioni soltanto necessarie affinché dei punti siano di estremo relativo per una funzione $f$ . Esse non sono però sufficienti, come mostrano i seguenti esempi.

Esempio 14. Sia $f \colon (-1,1) \to \mathbb{R}$ la funzione definita da $f(x)=x^3$ . $f$ è derivabile e vale

(28) $\begin{equation*} f'(x)=3x^2 \qquad \forall x \in (-1,1). \end{equation*}$

Si ha $f'(0)=0$ , ma il punto $x_0=0$ non è di estremo relativo per $f$ , infatti

(29) $\begin{equation*} f(x)<0 \quad \text{per } x <0 \qquad \text{e} \qquad f(x)>0 \quad \text{per } x >0. \end{equation*}$

La situazione non cambia per punti appartenenti al bordo del dominio: il teorema 8 fornisce delle condizioni necessarie, ma non sufficienti affinché il punto considerato sia di estremo relativo.

Esempio 15. Sia $f \colon [0,1] \to \mathbb{R}$ la funzione definita definita da

(30) $\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} x^4 \cos \bigg( \dfrac{1}{x}\bigg) & \text{se } x \in (0,1], \\[10pt] 0 & \text{se } x = 0. \end{cases} \end{equation*}$

Dalla definizione segue che $f$ è derivabile in $(0,1]$ e la sua derivata è pari a

(31) $\begin{equation*} f'(x) =4x^3 \cos \bigg( \frac{1}{x}\bigg) + x^2 \sin \bigg( \frac{1}{x}\bigg) \qquad \forall x \in (0,1]. \end{equation*}$

Proviamo ora che $f$ è derivabile in $0$ e che $f'(0)=0$ . Infatti

(32) $\begin{equation*} \lim_{x \to 0} \frac{f(x) -f(0)}{x} = \lim_{x \to 0} x^3 \cos \bigg( \dfrac{1}{x}\bigg) = 0, \end{equation*}$

in quanto il termine oscillante $\cos(1/x)$ è limitato e $x^3$ è infinitesimo. Ciò mostra appunto che $f$ è derivabile in $0$ e che $f'(0)=0$ . Il punto $x=0$ non è però un punto di estremo relativo per $f$ in quanto $f(0)=0$ e per ogni $n \in \mathbb{N}$ si ha

(33) $\begin{equation*} -\left(\frac{1}{2n\pi+\pi}\right)^4 = f \bigg( \frac{1}{2n\pi + \pi} \bigg) < 0 < f \bigg( \frac{1}{2n\pi} \bigg) = \left(\frac{1}{2n\pi}\right)^4. \end{equation*}$

Osservazione 16. La funzione del precedente esempio è di classe $C^1$ , quindi neppure la continuità della derivata è sufficiente per dire qualcosa sulla natura dei punti stazionari.

Condizione sufficiente al bordo

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Accenniamo in questa sezione a una condizione sufficiente sulla derivata prima affinché un punto al bordo del dominio sia di estremo relativo.

Si può vedere infatti che, mentre per stabilire se un punto stazionario $x_0 \in (a,b)$ sia di estremo relativo per una funzione $f$ in generale occorre fare affidamento ad altre tecniche (su cui non entriamo in dettaglio in quanto esulano dagli scopi di questa dispensa), se $x_0= a$ oppure $x_0=b$ esiste una condizione su $f'(x_0)$ che garantisce che il punto sia di estremo relativo. Inoltre, essa permette anche di distinguere se il punto è di massimo o minimo relativo.

Si può notare che, nell’esempio 15, il punto $x_0=0$ non soddisfa la disuguaglianza stretta (16), bensì l’uguaglianza. Ci si può chiedere cosa accade se $f'(a)$ o $f'(b)$ sono diverse da $0$ , cioè se la (16) è una disuguaglianza stretta.

Domanda 2. Sia $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione derivabile in $a$ (o in $b$ ) e tale che la disuguaglianza (16) per $x_0=a$ (o $x_0=b$ ) sia stretta. Si può concludere che $a$ (o $b$ ) è un punto di estremo relativo?

In altre parole, la disuguaglianza stretta (16) per un punto al bordo è una condizione sufficiente affinché esso sia di estremo relativo per $f$ ?

La risposta è affermativa, come mostra il prossimo risultato.

Proposizione 17. Sia $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione, sia $x_0 \in \{a,b\}$ e supponiamo che $f$ sia derivabile in $x_0$ con $f'(x_0) \neq 0$ . Allora $x_0$ è un punto di estremo relativo per $f$ . Inoltre:

$x_0$ è di minimo locale se $f'(x_0) (x - x_0) > 0 \quad \forall x \in (a,b)$ ;
$x_0$ è di massimo locale se $f'(x_0) (x - x_0) < 0 \quad \forall x \in (a,b)$ .

In altre parole:

se $f'(a)>0$ , allora $a$ è di minimo locale; se $f'(a) <0$ , allora $a$ è di massimo locale;
se $f'(b)>0$ , allora $b$ è di massimo locale; se $f'(b) <0$ , allora $b$ è di minimo locale.

Dimostrazione. Come esempio, dimostriamo che se $f'(a)>0$ allora $a$ è di minimo locale, in quanto tutte le altre affermazioni si provano in maniera analoga, oppure considerando le funzioni ausiliarie $-f(x), f(b-x), - f(b-x)$ .

Se $f'(a) >0$ , per il teorema di permanenza del segno esiste $\delta>0$ tale che

(34) $\begin{equation*} \frac{f(x)- f(a)}{x - a} > 0 \qquad \forall x \in (a,a+\delta). \end{equation*}$

Ciò chiaramente implica

(35) $\begin{equation*} f(x) > f(a) \qquad \forall x \in (a,a+\delta), \end{equation*}$

cioè che $a$ è un punto di minimo relativo per $f$ .

Osservazione 18. Nelle ipotesi della proposizione 17, $x_0$ è l’unico punto di estremo relativo per $f$ in un intorno di $x_0$ , come si può vedere dalla (35). Esiste cioè un intorno $U$ di $x_0$ tale che

(36) $\begin{equation*} f(x) \neq f(x_0) \qquad \forall x \in U \setminus \{ x_0 \}. \end{equation*}$

Osservazione 19. Ovviamente la condizione data dalla proposizione 17 non è necessaria affinché $x_0 \in \{a,b\}$ sia di estremo relativo per $f$ : si pensi all’esempio della funzione $f \colon [0,1] \to \mathbb{R}$ definita da $f(x)= x^2$ .

Osservazione 20. Analogamente al teorema 12 , si potrebbe generalizzare la condizione sufficiente espressa dalla proposizione 17 al caso di una funzione non derivabile, in termini delle derivate di Dini (cf. definizione 9). Il lettore può provare a farlo per esercizio.

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The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
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Il teorema di Fermat

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Introduzione

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Definizioni

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Il teorema di Fermat

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Il teorema di Fermat generalizzato

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Caso di funzione non derivabile.

Alcuni controesempi

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