Il teorema di Darboux

Teoria sui Teoremi del calcolo differenziale

Home » Il teorema di Darboux

Nell’articolo sul Il teorema dei valori intermedi abbiamo visto che una funzione $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ continua assume tutti i valori compresi tra $f(a)$ e $f(b)$ . Abbiamo poi mostrato che esistono funzioni non continue che possiedono tale proprietà. È dunque naturale provare a classificare tali funzioni.

Il teorema di Darboux, intitolato al matematico francese Jean Gaston Darboux, rivela una caratteristica sorprendente delle derivate di funzioni derivabili: anche quando esse non sono continue, possiedono la proprietà dei valori intermedi. Questo articolo offre una dimostrazione dettagliata e accessibile di questo affascinante risultato, proponendosi come un approfondimento sulle sottili sfumature dell’Analisi Matematica e le sue curiose peculiarità.

Segnaliamo le seguenti risorse aggiuntive di teoria, delle quali è possibile reperire una lista completa alla fine dell’articolo:

Autori e revisori

Leggi...

Autori: Daniele Fakhoury, Luigi De Masi.

Revisori: Valerio Brunetti, Daniele Bjørn Malesani, Matteo Talluri, Davide La Manna, Jacopo Garofali.

Notazioni

Leggi...

$\mathbb{R}$

$f'$

Insieme dei numeri reali

Derivata della funzione $f$

$\quad$

Introduzione

In questa breve dispensa presentiamo il teorema di Darboux, riguardante la cosiddetta proprietà dei valori intermedi. Una funzione $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ si dice avere tale proprietà se l’immagine di ogni intervallo $I \subseteq [a,b]$ è a sua volta un intervallo.

Il classico teorema dei valori intermedi afferma che, se $f$ è continua, allora essa possiede la proprietà in questione. Ci si può chiedere se esistano anche altre classi di funzioni, oltre a quelle continue, che soddisfino tale proprietà.

Il teorema di Darboux, che prende il nome dal matematico Jean Gaston Darboux (1842 – 1917), è un risultato in tal senso; esso afferma che la derivata $f'$ di una funzione derivabile $f$ possiede la proprietà dei valori intermedi. Il teorema di Darboux è quindi una generalizzazione del teorema dei valori intermedi.
Infatti, ogni funzione $g \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ continua è la derivata $f'$ di una funzione derivabile: ad esempio di $f(x)= \int_a^x g(t) \, \mathrm{d}t$ , cf. Il teorema fondamentale del calcolo integrale, teorema 4.1.

Ciò mostra che il teorema di Darboux implica quello dei valori intermedi. Il primo è però più generale, in quanto non richiede l’ipotesi di continuità di $f'$ .

A tal proposito è bene ricordare che la derivata di una funzione derivabile non è in generale continua. Come classico esempio, consideriamo la funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da:

(1) $\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \bigg( \dfrac{1}{x} \bigg) &\text{se } x \neq 0,\\[10pt] 0 & \text{se } x = 0. \end{cases} \end{equation*}$

Tale funzione è derivabile su tutto $\mathbb{R}$ e si può dimostrare che la sua derivata vale

(2) $\begin{equation*} f'(x) = \begin{cases} 2x \sin \bigg( \dfrac{1}{x} \bigg) - \cos \bigg( \dfrac{1}{x} \bigg) &\text{se } x \neq 0,\\[10pt] 0 & \text{se } x = 0. \end{cases} \end{equation*}$

Si può verificare che $f'$ non è continua nel punto $x=0$ : infatti non esiste il limite $\lim_{x \to 0} f'(x)$ , per via del termine oscillante $\cos(1/x)$ .

A causa di questa discontinuità, a $f'$ non si può quindi applicare il classico teorema dei valori intermedi rispetto a qualunque intervallo $I$ tale che $0 \in I$ ; cionondimeno è possibile verificare (lo si può fare per esercizio) che $f'$ soddisfa la proprietà dei valori intermedi. Il teorema di Darboux garantisce che in generale ciò è vero per ogni funzione ottenuta come derivata di una funzione derivabile.