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Il teorema di Darboux

Teoria sui Teoremi del calcolo differenziale

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Il teorema di Darboux

Nell’articolo sul Il teorema dei valori intermedi abbiamo visto che una funzione f \colon [a,b] \to \mathbb{R} continua assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b). Abbiamo poi mostrato che esistono funzioni non continue che possiedono tale proprietà. È dunque naturale provare a classificare tali funzioni.

Il teorema di Darboux, intitolato al matematico francese Jean Gaston Darboux, rivela una caratteristica sorprendente delle derivate di funzioni derivabili: anche quando esse non sono continue, possiedono la proprietà dei valori intermedi. Questo articolo offre una dimostrazione dettagliata e accessibile di questo affascinante risultato, proponendosi come un approfondimento sulle sottili sfumature dell’Analisi Matematica e le sue curiose peculiarità.

Segnaliamo le seguenti risorse aggiuntive di teoria, delle quali è possibile reperire una lista completa alla fine dell’articolo:

 

Autori e revisori

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Autori: Daniele Fakhoury, Luigi De Masi.  

Revisori: Valerio Brunetti, Daniele Bjørn Malesani, Matteo Talluri, Davide La Manna, Jacopo Garofali.  

 

Notazioni

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\mathbb{R}

f'

Insieme dei numeri reali;

Derivata della funzione f.

 

    \[\quad\]

 

 

Introduzione

In questa breve dispensa presentiamo il teorema di Darboux, riguardante la cosiddetta proprietà dei valori intermedi. Una funzione f \colon [a,b] \to \mathbb{R} si dice avere tale proprietà se l’immagine di ogni intervallo I \subseteq [a,b] è a sua volta un intervallo.

Il classico teorema dei valori intermedi afferma che, se f è continua, allora essa possiede la proprietà in questione. Ci si può chiedere se esistano anche altre classi di funzioni, oltre a quelle continue, che soddisfino tale proprietà.

Il teorema di Darboux, che prende il nome dal matematico Jean Gaston Darboux (1842 – 1917), è un risultato in tal senso; esso afferma che la derivata f' di una funzione derivabile f possiede la proprietà dei valori intermedi. Il teorema di Darboux è quindi una generalizzazione del teorema dei valori intermedi.
Infatti, ogni funzione g \colon [a,b] \to \mathbb{R} continua è la derivata f' di una funzione derivabile: ad esempio di f(x)= \int_a^x g(t) \, \mathrm{d}t, cf. Il teorema fondamentale del calcolo integrale, teorema 4.1.

Ciò mostra che il teorema di Darboux implica quello dei valori intermedi. Il primo è però più generale, in quanto non richiede l’ipotesi di continuità di f'.

A tal proposito è bene ricordare che la derivata di una funzione derivabile non è in generale continua. Come classico esempio, consideriamo la funzione f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da:

(1)   \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \bigg( \dfrac{1}{x} \bigg) &\text{se } x \neq 0,\\[10pt] 0 & \text{se } x = 0. \end{cases} \end{equation*}

Tale funzione è derivabile su tutto \mathbb{R} e si può dimostrare che la sua derivata vale

(2)   \begin{equation*} f'(x) = \begin{cases} 2x \sin \bigg( \dfrac{1}{x} \bigg) - \cos \bigg( \dfrac{1}{x} \bigg) &\text{se } x \neq 0,\\[10pt] 0 & \text{se } x = 0. \end{cases} \end{equation*}

Si può verificare che f' non è continua nel punto x=0: infatti non esiste il limite \lim_{x \to 0} f'(x), per via del termine oscillante \cos(1/x).

A causa di questa discontinuità, a f' non si può quindi applicare il classico teorema dei valori intermedi rispetto a qualunque intervallo I tale che 0 \in I; cionondimeno è possibile verificare (lo si può fare per esercizio) che f' soddisfa la proprietà dei valori intermedi. Il teorema di Darboux garantisce che in generale ciò è vero per ogni funzione ottenuta come derivata di una funzione derivabile.

 

Il teorema di Darboux

Enunciamo e dimostriamo il teorema di Darboux.

Teorema 1 (Darboux). Sia f \colon [a,b] \to \mathbb{R} una funzione derivabile e sia \eta un numero reale strettamente compreso tra f'(a) e f'(b). Allora esiste \xi \in (a,b) tale che f'(\xi)= \eta.

Dimostrazione

Senza ledere la generalità, possiamo supporre f'(a) < f'(b): l’altro caso si dimostra in maniera analoga, oppure applicando il teorema alla funzione -f. Supponiamo quindi \eta \in \big( f'(a), f'(b) \big). La funzione \varphi \colon [a,b] \to \mathbb{R} definita da

(3)   \begin{equation*} \varphi(x) = f(x) - \eta x \end{equation*}

è derivabile, quindi continua; per il teorema di Weierstrass, esiste un punto \xi \in [a,b] di minimo assoluto per \varphi in [a, b]. Dimostriamo che \xi \neq a. Infatti si ha

(4)   \begin{equation*} \lim_{x \to a^+} \frac{\varphi(x)- \varphi(a)}{x-a} = \varphi'^+(a) = f'^+(a) - \eta < 0, \end{equation*}

dove con \varphi'^+(a) e f'^+(a) abbiamo indicato la derivata destra rispettivamente di \varphi e f in a. Per il teorema della permanenza del segno possiamo allora affermare che esiste \delta>0 tale che

(5)   \begin{equation*} \frac{\varphi(x)- \varphi(a)}{x-a} < 0 \qquad \forall x \in (a,a +\delta). \end{equation*}

Ciò chiaramente implica che

(6)   \begin{equation*} \varphi(x) < \varphi(a) \qquad \forall x \in (a,a +\delta), \end{equation*}

da cui segue che a non è un punto di minimo per \varphi, quindi \xi \neq a. Per un ragionamento simile, \xi \neq b, e quindi \xi \in (a, b). Allora, per il teorema di Fermat (cf. Il teorema di Fermat, teorema 1) si ha

(7)   \begin{equation*} 0 = \varphi'(\xi) = f'(\xi) - \eta, \end{equation*}

che mostra la tesi.

 

Concludiamo con dei commenti relativi alle ipotesi presenti nell’enunciato del teorema.

Osservazione 1.

Se \eta non è strettamente compreso tra f'(a) e f'(b), cioè se \eta coincide con uno tra i valori f'(a) o f'(b), il teorema è vero a patto che si indebolisca la conclusione ammettendo \xi \in [a,b] al posto di \xi \in (a,b).

Infatti, se \eta = f'(a) o \eta = f'(b), può accadere che l’unico \xi soddisfacente f'(\xi)=\eta sia proprio uno degli estremi a o b. Come esempio, si consideri la funzione f \colon \big[0, 1\big] \to \mathbb{R} definita da f(x)=x^2.

Ciò può verificarsi anche nel caso in cui f'(a)=f'(b)=\eta, come mostra l’esempio della funzione f \colon [0,2\pi] \to \mathbb{R} definita da f(x)= \sin x. Poiché f'(x)= \cos x, si ha

(8)   \begin{equation*} f'(0)= f'(2\pi)=1, \qquad \text{ma} \qquad f'(x) < 1 \quad \forall x \in (0,2\pi). \end{equation*}

Tale fenomeno non può presentarsi nella nostra formulazione del teorema 1, in quanto il fatto che \eta sia strettamente compreso tra f'(a) e f'(b) implica in particolare che f'(a) \neq f'(b).

 

Riferimenti bibliografici

[1] Qui Si Risolve, Il teorema di Fermat.
[2] Qui Si Risolve, Il teorema fondamentale del calcolo integrale.

 
 

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