Il teorema di Darboux: teoria
File di teoria scaricabile sulla dimostrazione del teorema di Darboux.
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Descrizione
Nell’articolo sul Il teorema dei valori intermedi abbiamo visto che una funzione ![f \colon [a,b] \to \mathbb{R}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bad2157643a0f970ce62554caa4b66a9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
continua assume tutti i valori compresi tra 
e 
. Abbiamo poi mostrato che esistono funzioni non continue che possiedono tale proprietà. È dunque naturale provare a classificare tali funzioni.
Il teorema di Darboux, intitolato al matematico francese Jean Gaston Darboux, rivela una caratteristica sorprendente delle derivate di funzioni derivabili: anche quando esse non sono continue, possiedono la proprietà dei valori intermedi. Questo articolo offre una dimostrazione dettagliata e accessibile di questo affascinante risultato, proponendosi come un approfondimento sulle sottili sfumature dell’Analisi Matematica e le sue curiose peculiarità.
Segnaliamo le seguenti risorse aggiuntive di teoria, delle quali è possibile reperire una lista completa alla fine dell’articolo:
- Funzioni continue – Teoria;
- Il teorema dei valori intermedi;
- Teoria sulle derivate;
- Il teorema di Fermat;
- Il teorema di Weierstrass.
Autori e revisori
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Revisori: Valerio Brunetti, Daniele Bjørn Malesani, Matteo Talluri, Davide La Manna, Jacopo Garofali.
Il teorema di Darboux: introduzione
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In questa breve dispensa presentiamo il teorema di Darboux, riguardante la cosiddetta proprietà dei valori intermedi. Una funzione si dice avere tale proprietà se l’immagine di ogni intervallo ![I \subseteq [a,b]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6c135b355d17390368144566fa8a9c9c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
è a sua volta un intervallo.
Il classico teorema dei valori intermedi afferma che, se 
è continua, allora essa possiede la proprietà in questione. Ci si può chiedere se esistano anche altre classi di funzioni, oltre a quelle continue, che soddisfino tale proprietà.
Il teorema di Darboux, che prende il nome dal matematico Jean Gaston Darboux (1842 – 1917), è un risultato in tal senso; esso afferma che la derivata 
di una funzione derivabile possiede la proprietà dei valori intermedi. Il teorema di Darboux è quindi una generalizzazione del teorema dei valori intermedi.
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