Successioni di funzioni – Teoria

È possibile considerare successioni, ossia liste ordinate, di oggetti matematici diversi dai numeri reali? La nozione di successione di funzioni è quindi un naturale sviluppo di questa curiosità, carica di risvolti e applicazioni teoriche e pratiche nella Matematica.

In questa guida completa studiamo in profondità tale tema, rivolgendo la nostra attenzione ai seguenti argomenti:

• Convergenza puntuale e uniforme e loro caratterizzazioni, come le condizioni di Cauchy;
• Analisi dettagliata con esempi che mostrano come le proprietà di continuità, integrabilità e derivabilità non passino al limite puntuale di una successione;
• Teoremi di passaggio al limite per la convergenza uniforme relativi alla continuità, derivabilità e integrabilità del limite uniforme di funzioni;
• Criteri di convergenza uniforme come i teoremi del Dini, il teorema di Ascoli-Arzelà e la procedura diagonale;
• Gli spazi normati delle funzioni limitate o continue e interpretazione dei teoremi di convergenza in questo contesto generale;
• Il teorema di convergenza dominata di Arzelà, che mostra come si possa passare al limite l’integrale di una successione di funzioni sotto sole ipotesi di convergenza puntuale.

Ogni risultato viene introdotto da domande intuitive e spiegato da esempi e illustrazioni chiare, proponendo inoltre esercizi teorici risolti che rendono il discorso interattivo e stimolante. La dispensa è completata dalla esauriente  raccolta di esercizi collegati. Essa risulta quindi un viaggio nel cuore dell’Analisi Matematica moderna: non ti resta che iniziarlo!