Successioni di funzioni – Teoria

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È possibile considerare successioni, ossia liste ordinate, di oggetti matematici diversi dai numeri reali? La nozione di successione di funzioni è quindi un naturale sviluppo di questa curiosità, carica di risvolti e applicazioni teoriche e pratiche nella Matematica.

In questa guida completa studiamo in profondità tale tema, rivolgendo la nostra attenzione ai seguenti argomenti:

Convergenza puntuale e uniforme e loro caratterizzazioni, come le condizioni di Cauchy;
Analisi dettagliata con esempi che mostrano come le proprietà di continuità, integrabilità e derivabilità non passino al limite puntuale di una successione;
Teoremi di passaggio al limite per la convergenza uniforme relativi alla continuità, derivabilità e integrabilità del limite uniforme di funzioni;
Criteri di convergenza uniforme come i teoremi del Dini, il teorema di Ascoli-Arzelà e la procedura diagonale;
Gli spazi normati delle funzioni limitate o continue e interpretazione dei teoremi di convergenza in questo contesto generale;
Il teorema di convergenza dominata di Arzelà, che mostra come si possa passare al limite l’integrale di una successione di funzioni sotto sole ipotesi di convergenza puntuale.

Ogni risultato viene introdotto da domande intuitive e spiegato da esempi e illustrazioni chiare, proponendo inoltre esercizi teorici risolti che rendono il discorso interattivo e stimolante. Questo articolo è quindi un viaggio nel cuore dell’Analisi Matematica moderna: non ti resta che iniziarlo!

Oltre alla raccolta
Esercizi sulle successioni di funzioni segnaliamo il seguente materiale teorico:

Autori e revisori

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Autori: Luigi De Masi

Revisori: Roberto Castorini, Matteo Talluri, Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.

Notazioni

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$\emptyset$	Insieme vuoto;
$\mathbb{N}$	Insieme dei numeri naturali positivi;
$\mathbb{Z}$	Insieme dei numeri interi;
$\mathbb{R}$	Insieme dei numeri reali;
$f_n \xrightarrow[n \to \infty]{\text{punt.}} f$	Convergenza puntuale della successione $f_n$ a $f$ ;
$f_n \xrightarrow[n \to \infty]{\text{punt.}(F)} f$	Convergenza puntuale sull’insieme $F$ della successione $f_n$ a $f$ ;
$f_n \xrightarrow[n \to \infty]{\text{unif.}} f$	Convergenza uniforme della successione $f_n$ a $f$ ;
$f_n \xrightarrow[n \to \infty]{\text{unif.}(F)} f$	Convergenza uniforme sull’insieme $F$ della successione $f_n$ a $f$ ;
$\operatorname{dist}(x,A)$	$= \inf\{\|x-y\| \mid y \in A\}$ : distanza di $x \in \mathbb{R}^d$ dall’insieme $A \subseteq \mathbb{R}^m$ ;
$\operatorname{dist}(A,B)$	$= \inf\{\|x-y\| \mid x \in A, \, y \in B\}$ , distanza tra gli insiemi $A,B \subseteq \mathbb{R}^m$ ;
$\chi_A$	funzione caratteristica dell’insieme $A \subseteq \mathbb{R}^m$ , definita da: (1) $\begin{equation} \chi_A(x) = \begin{cases} 1 & \text{se } x \in A, \\ 0& \text{se } x \notin A; \end{cases} \end{equation}$
$s(f,P), S(f,P)$	somme di Riemann inferiore e superiore della funzione $f$ rispetto alla suddivisione $P$ ;
$A \setminus B$	$=\{x \in A \mid x \notin B \}$ : differenza insiemistica tra $A$ e $B$ ;
$A^c$	$=\mathbb{R}^m \setminus A$ : complementare dell’insieme $A \subseteq \mathbb{R}^m$ ;
$\|I\|$	se $I \subset \mathbb{R}$ è costituito dall’unione di un numero finito di intervalli disgiunti, $\|I\|$ è la somma delle lunghezze di tali intervalli. Corrisponde alla cosiddetta misura di Peano-Jordan dell’insieme $I$ ;
$\sup_A f$	estremo superiore della funzione $f$ sull’insieme $A$ ;
$\inf_A f$	estremo inferiore della funzione $f$ sull’insieme $A$ ;
$\max_A f$	massimo della funzione $f$ sull’insieme $A$ ;
$\min_A f$	minimo della funzione $f$ sull’insieme $A$ ;
$\mathscr{B}(E,\mathbb{R})$	spazio vettoriale delle funzioni reali limitate con dominio $E$ ;
$C_b(E,\mathbb{R})$	spazio vettoriale delle funzioni reali continue e limitate con dominio $E$ ;
$d(x,y)$	distanza tra i punti $x,y$ ;
$\\| x \\|$	norma del vettore $x$ ;
$\\| f \\|_\infty$	norma infinito della funzione $f \in \mathscr{B}(E,\mathbb{R})$ ;
$d_\infty(\cdot, \cdot)$	distanza infinito indotta dalla norma $\\| \\|_\infty$ su $\mathscr{B}(E,\mathbb{R})$ ;
$B_r(x)$	$= \{y \in X \mid d(x,y) < r\}$ : palla aperta di centro $x$ e raggio $r$ nello spazio metrico $(X,d)$ ;

Introduzione

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Nel corso dello studio dell’Analisi Matematica si studiano successioni e serie in cui il termine generale è un numero reale o complesso. Cosa possiamo dire invece se il termine generale è una funzione reale $f_n: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ (o una complessa $f_n: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ )? E soprattutto, è necessario indagare questo tipo di astrazione? La storia e le applicazioni della matematica hanno dato una risposta affermativa. Consideriamo di seguito alcuni esempi di queste situazioni.

$\quad$

Una procedura standard per calcolare il valore di una funzione con un certo grado di precisione è di approssimare la funzione usando dei polinomi “vicini” alla funzione e calcolare il valore di tali approssimanti. Questa procedura si esegue, ad esempio, quando la funzione da approssimare è trascendente. Può sembrare sorprendente, ma questo è il metodo usato sia nei moderni calcolatori che dai matematici dei secoli passati. Osserviamo che ciò presuppone di aver definito rigorosamente cosa si intende per approssimare una funzione e di essere certi che il suo valore puntuale si ottiene come limite del valore puntuale dei polinomi approssimanti.

Un caso ancor più estremo si verifica quando non si riesce ad esprimere la funzione $f$ che descrive un particolare fenomeno tramite funzioni elementari. Un caso esemplificativo di particolare importanza è l’equazione del calore. Un modo per risolvere il problema consiste nell’approssimare $f$ con combinazioni lineari di opportune funzioni sufficientemente semplici per essere trattabili. Ci si aspetta che, facendo crescere all’infinito il numero di funzioni elementari utilizzate, si ottenga un’approssimazione sempre migliore di $f$ .

Un altro caso in cui il concetto di approssimazione è molto utile è di tipo teorico. Un metodo per dimostrare la validità di un risultato per una certa classe $\mathcal{C}$ di funzioni consiste nel dimostrare che esso vale per una sua particolare sottoclasse $\mathcal{S}$ che però risulta abbastanza diffusa da essere “densa” nella classe originaria, nello stesso senso in cui i numeri razionali sono densi nei numeri reali. Chiaramente spesso ciò risulta più semplice rispetto al provare il risultato originario. Successivamente, approssimando opportunamente la generica funzione in $\mathcal{C}$ con una successione di funzioni in $\mathcal{S}$ , si riesce più facilmente a provare che essa soddisfa la proprietà desiderata.

Questi esempi mostrano l’utilità del concetto di successione di funzione e di definire in quale (in realtà quali) senso si intende il loro limite.

Concludiamo questa introduzione con una breve descrizione dell’organizzazione della dispensa:

$\quad$

Nella sezione 2 descriviamo la convergenza puntuale, che è una nozione abbastanza naturale di convergenza per successioni di funzioni; una volta definita questa convergenza è naturale chiedersi quali proprietà delle funzioni della successione passino al limite: continuità, integrabilità, derivabilità, etc.. Tali questioni costituiscono il leitmotiv che guida lo sviluppo di gran parte della dispensa.

Noteremo la parziale inadeguatezza della convergenza puntuale attraverso numerosi esempi ed esercizi. Come eccezione segnaliamo la sezione 2.1.3 in cui presentiamo un poco noto risultato di convergenza per gli integrali dovuto a Cesare Arzelà, il teorema 2.1.6.

Nella sezione 3 analizziamo dunque la nozione di convergenza uniforme, che risulta essere più forte della convergenza puntuale e che permette di sviluppare una teoria adeguata del passaggio al limite: mostriamo infatti nella sezione 3.2 come la convergenza uniforme assicuri una risposta affermativa alle questioni che ci siamo posti al riguardo della convergenza puntuale.
Una volta ottenuti questi risultati di convergenza, risulta evidente l’importanza di stabilire se una successione di funzioni converga uniformemente. Nella sezione 3.3 analizziamo alcune condizioni sufficienti per la convergenza uniforme. Oltre ai teoremi basati su criteri di monotonia della successione della sezione 3.3.1, nella sezione 3.3.2 presentiamo l’importante nozione di equicontinuità e mostriamo col teorema 3.56 come essa in un certo senso catturi l’essenza del passaggio dalla convergenza puntuale a quella uniforme.

Nella sezione 3.3.3 presentiamo il teorema di Ascoli-Arzelà, che è una sorta di analogo del teorema di Bolzano-Weierstrass per la convergenza uniforme, e dove l’equicontinuità della successione risulta essere di nuovo essenziale.

Nella sezione 4 osserviamo come la convergenza uniforme sia in realtà indotta da una cosiddetta metrica sullo spazio delle funzioni limitate, che permette cioè di misurare la distanza tra due qualunque funzioni. Inquadriamo i risultati ottenuti nelle precedenti sezioni in tale ottica, che ci permette di avere una visione globale e generale della situazione; questa visione si presta a essere utilizzata anche in altri contesti e studi futuri.
Nonostante il suo notevole interesse, a volte tale materiale viene escluso dai programmi dei corsi di Analisi 2, quindi il lettore può decidere in base alle sue necessità e gusti personali se dedicarsi o meno a tale approfondimento.

Nella sezione 5 raccogliamo alcune soluzioni di esercizi proposti nel testo.

Nell’appendice A presentiamo il concetto di misura di intervalli in maniera elementare, insieme ad alcune semplici proprietà utilizzate nella dispensa.

Nell’appendice B rispondiamo (negativamente) alla domanda 2.10 descrivendo una successione di funzioni continue convergente puntualmente a una funzione non integrabile secondo Riemann.

Nell’appendice C dimostriamo il teorema 2.16 di convergenza dominata di Arzelà, che fornisce condizioni sufficienti affinché si abbia convergenza degli integrali di funzioni integrabili sotto ipotesi di convergenza puntuale della successione di funzioni.

Convergenza puntuale

Introduzione.

Consideriamo $E \subseteq \mathbb{R}$ e una successione di funzioni $f_n \colon E \to \mathbb{R}$ . Quali significati possiamo dare al concetto di convergenza della successione $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ a una opportuna funzione $f \colon E \to \mathbb{R}$ ?

In tutto il corso di questo capitolo ci interesseremo di funzioni reali di una sola variabile; tuttavia, molti dei risultati che dimostreremo valgono anche nel caso di funzioni in più variabili.

L’idea che può venire in mente è quella di estendere il concetto di convergenza di una successione numerica al caso delle funzioni. Infatti osserviamo che, fissato un elemento $x \in E$ , otteniamo una successione di numeri reali $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ per la quale conosciamo già la nozione di convergenza. Supponiamo che essa sia convergente a un numero reale che scegliamo di chiamare $f(x)$ . Se ciò avviene per ogni $x \in E$ il valore $f(x)$ rappresenta una funzione $f : E \rightarrow \mathbb{R}$ che chiameremo limite puntuale della successione di funzioni $f_n$ .

Definizione 2.1 (convergenza puntuale). Data una successione di funzioni $f_n \colon E \to \mathbb{R}$ e una funzione $f \colon E \to \mathbb{R}$ , diciamo che $f_n$ converge puntualmente a $f$ se per ogni $x \in E$ la successione numerica $\big( f_n(x)\big)_{n \in \mathbb{N}}$ converge a $f(x)$ , cioé se si ha:

(2) $\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty} f_n(x) = f(x) \qquad \forall x \in E. \end{equation*}$

In simboli scriviamo

(3) $\begin{equation*} f_n \xrightarrow[n \to \infty]{\text{punt.}} f, \quad \text{oppure} \quad f_n \xrightarrow{\text{punt.}} f. \end{equation*}$

Se (2) è verificata per ogni $x \in F$ , dove $F \subset E$ , diciamo che $f_n$ converge puntualmente a $f$ in $F$ . In simboli scriviamo

(4) $\begin{equation*} f_n \xrightarrow[n \to \infty]{\text{punt.} (F)} f, \quad \text{oppure} \quad f_n \xrightarrow{\text{punt.}(F)} f. \end{equation*}$

$\quad$

Osservazione 2.2. Usando la definizione di limite, la convergenza puntuale di $f_n$ a $f$ è equivalente a dire che

(5) $\begin{equation*} \forall \varepsilon > 0, \, \forall x \in E, \, \exists N \in \mathbb{N}\, \text{ tale che }\, \forall n > N \quad |f_n(x) - f(x))| < \varepsilon. \end{equation*}$

Sottolineiamo che il numero $N$ nella definizione di sopra dipende, oltre che da $\varepsilon$ , anche dal punto $x$ fissato.

Osservazione 2.3. Poiché l’eventuale limite puntuale $f$ di una successione di funzioni $f_n$ è definito punto per punto come limite di una successione di numeri reali, e poiché il limite di una successione di numeri reali, se esiste, è unico, otteniamo che, se $f_n$ ha limite puntuale $f$ , questo è unico.

Facciamo ora qualche esempio relativo alla convergenza puntuale.

Esempio 2.4. Consideriamo la successione di funzioni $f_n(x) \colon[0,1] \to \mathbb{R}$ definita da $f_n(x)=x^n$ . La successione $f_n$ converge puntualmente alla funzione $f \colon [0,1] \to \mathbb{R}$ definita da

(6) $\begin{equation*} \begin{cases} 0 & \text{se $0 \leq x < 1$,}\\ 1 & \text{se $x=1$.} \end{cases} \end{equation*}$

Infatti, per $x=1$ $f_n(1)=1$ per ogni $n \in \mathbb{N}$ e quindi non vi è nulla da dimostrare.

Se invece $x \in [0,1)$ , si ha

(7) $\begin{equation*} \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} x^n = 0. \end{equation*}$

Esercizio 2.5 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $E \subseteq \mathbb{R}$ , sia $g \colon E \to \mathbb{R}$ una funzione e sia $\alpha_n$ una successione di numeri reali tali che $\alpha_n \to 0$ . Dimostrare che la successione di funzioni $f_n \colon E \to \mathbb{R}$ definite da

(8) $\begin{equation*} f_n(x) = \alpha_n g(x) \end{equation*}$

converge puntualmente alla funzione $f \colon E \to \mathbb{R}$ identicamente nulla.

$\quad$

Rimandiamo alla sezione 5 per la soluzione.

Limiti della convergenza puntuale: continuità e passaggio al limite.

Ora che abbiamo definito una nozione di convergenza per successione di funzioni, risulta naturale chiedersi quali proprietà delle funzioni $f_n$ siano soddisfatte anche dal limite puntuale $f$ .

Domanda 2.6. Sia $f_n \colon E \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni continue che converga puntualmente a una funzione $f \colon E \to \mathbb{R}$ . Si può dire che $f$ è continua?

La risposta alla domanda 2.6 è negativa: in generale, il limite puntuale di una successione di funzioni continue non è necessariamente continuo, come mostra l’esempio 2.4. Infatti in tale esempio, la funzione limite $f$ non è continua nel punto $x=1$ .

Osservazione 2.7. Il problema enunciato nella domanda 2.6 corrisponde a chiedersi se è possibile scambiare l’ordine in cui si calcolano due limiti. Infatti, per rispondere alla domanda 2.6, si può stabilire se per ogni $x_0 \in E$ di accumulazione per $E$ vale la seguente uguaglianza:

(9) $\begin{equation*} \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) \stackrel{?}{=} f(x_0) \end{equation*}$

Usando la continuità delle funzioni $f_n$ e il fatto che la successione delle $f_n$ converge puntualmente a $f$ , la precedente uguaglianza si riscrive nel seguente modo:

(10) $\begin{equation*} \lim_{x \rightarrow x_0} \Big( \lim_{n\to+\infty} f_n(x) \Big) \stackrel{?}{=} \lim_{n\to+\infty} \Big( \lim_{x \rightarrow x_0} f_n(x)\Big), \end{equation*}$

che appunto è equivalente a chiedersi se è possibile scambiare l’ordine con cui si calcolano due limiti.

Visto nella prospettiva dell’osservazione 2.7, nell’esempio 2.4 scambiare l’ordine in cui si calcolano i due limiti seguenti dà luogo a risultati diversi, infatti:

(11) $\begin{equation*} \begin{gathered} \lim_{x \rightarrow 1^{-}} \Big( \lim_{n\to+\infty} f_n(x)\Big) = \lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) \\ \lim_{n\to+\infty} \Big( \lim_{x \rightarrow 1^{-}} f_n(x) \Big) = \lim_{n\to+\infty} f_n(1) = 1. \end{gathered} \end{equation*}$

Ci si potrebbe chiedere se la commutatività dei limiti fallisca a causa del fatto che il limite puntuale $f$ non è continuo; ci si potrebbe cioè porre la seguente questione.

Domanda 2.8. Sia $f_n \colon E \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni (non necessariamente continue) che converga puntualmente a una funzione $f \colon E \to \mathbb{R}$ continua. Vale, per ogni $x_0 \in E$ , l’uguaglianza

(12) $\begin{equation*} \lim_{x \rightarrow x_0} \Big( \lim_{n\to+\infty} f_n(x)\Big) = \lim_{n\to+\infty} \Big( \lim_{x \rightarrow x_0} f_n(x) \Big) ? \end{equation*}$

Notiamo che, rispetto alla domanda 2.6, nella domanda 2.8 si sta rinunciando alla continuità delle $f_n$ ma si sta assumendo per ipotesi che il limite $f$ sia continuo e ci si chiede se, in tal caso, l’operazione di limite sia commutativa.

Purtroppo, di nuovo la risposta è negativa, come mostra il seguente esempio.

Esempio 2.9. Consideriamo la successione di funzioni $f_n \colon [0,1) \to \mathbb{R}$ definita da

(13) $\begin{equation*} f_n(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x=0 \text{ oppure } \dfrac{2}{n} \leq x \leq 1, \\[5pt] 1 & \text{se $0 < x < \dfrac{1}{n}$,}\\[6pt] 2 - nx & \text{se $\dfrac{1}{n} \leq x < \dfrac{2}{n}$.} \end{cases} \end{equation*}$

Essa converge puntualmente alla funzione $f(x) \equiv 0$ . Infatti si ha $f_n(0)=0$ per ogni $n \in \mathbb{N}$ ; Se invece $x>0$ , per ogni $n > \dfrac{2}{x}$ si ha $\dfrac{2}{n} < x$ e ciò implica $f_n(x)=0$ ; da cui

(14) $\begin{equation*} \begin{gathered} \lim_{n \to +\infty} f_n(x) = 0. \end{gathered} \end{equation*}$

Poiché $f$ è ovviamente continua, ciò mostra che scambiare l’ordine in cui si calcolano i due limiti seguenti dà luogo a risultati diversi:

(15) $\begin{equation*} \begin{gathered} \lim_{x \rightarrow 0} \Big( \lim_{n\to+\infty} f_n(x)\Big) = \lim_{x \rightarrow 0} 0 = 0, \\ \lim_{n\to+\infty} \Big( \lim_{x \rightarrow 0} f_n(x) \Big) = \lim_{n\to+\infty} 1 = 1. \end{gathered} \end{equation*}$

$\quad$

Figura 1: La funzione $f_n$ dell’esempio 2.9.

$\quad$

Limiti della convergenza puntuale: integrazione.

Si può indagare come si comportano le proprietà relative all’integrazione rispetto alla convergenza puntuale di una successione di funzioni. La prima questione che occorre affrontare è se il limite puntuale di una successione di funzioni integrabili secondo Riemann è a sua volta integrabile.

Domanda 2.10. Sia $f_n \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni integrabili secondo Riemann che converga puntualmente a una funzione $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ . $f$ risulta integrabile?

La risposta è negativa anche assumendo la continuità delle $f_n$ , come mostra l’esempio B.2 riportato nell’appendice B.

Osservazione 2.11. L’esempio B.2 può essere visto come un rafforzamento di quanto mostrato nell’esempio 2.4. Infatti esso mostra che il limite puntuale di funzioni continue non solo non è necessariamente continuo, ma può non essere neppure integrabile secondo Riemann, che è una proprietà più debole della continuità.

Ci si può chiedere se, assumendo per che il limite puntuale di una successione di funzioni continue sia integrabile, allora il valore degli integrali converga al valore dell’integrale del limite. Più precisamente ci poniamo la seguente questione.

Domanda 2.12. Sia $f_n \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni integrabili secondo Riemann che converga puntualmente a una funzione $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ integrabile secondo Riemann. Si può concludere che

(16) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \int_a^b f_n(x) \,\mathrm{d}x = \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x \, ? \end{equation*}$

Ci si sta chiedendo, cioè, se le operazioni di integrazione e di limite siano in quache modo commutative.

Ancora otteniamo una risposta negativa, perfino se le funzioni $f_n$ e $f$ sono continue, come mostra il seguente esempio.

Esempio 2.13. Consideriamo la successione di funzioni $f_n \colon [0,1] \to \mathbb{R}$ definita da

(17) $\begin{equation*} f_n(x) = \begin{cases} n^2x & \text{se $0 \leq x < \dfrac{1}{n}$,}\\[8pt] 2n - n^2x & \text{se $\dfrac{1}{n} \leq x < \dfrac{2}{n}$,}\\[8pt] 0 & \text{se $\dfrac{2}{n} \leq x \leq 1$.} \end{cases} \qquad \forall n \geq 2. \end{equation*}$

Si osserva che $f_n(x)$ converge puntualmente alla funzione $f(x)=0$ . Ma notiamo che

(18) $\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty} \int_0^1 f_n(x) \,\mathrm{d}x = \lim_{n\to+\infty} 1 = 1 \,\,\,\,\, \text{e} \,\,\,\,\, \int_0^1 \Big( \lim_{n\to+\infty} f_n(x) \Big) \,\mathrm{d}x = \int_0^1 0 \,\mathrm{d}x = 0. \end{equation*}$

$\quad$

Figura 2: La funzione $f_n$ dell’esempio 2.13.

$\quad$

Il teorema di convergenza dominata di Arzelà

Si può notare che le funzioni $f_n$ dell’esempio 2.13 sono limitate, ma per ogni $n \in \mathbb{N}$ si ha

(19) $\begin{equation*} \sup_{x \in [0,1]} |f_n(x)| = n \xrightarrow[n \to \infty]{} +\infty. \end{equation*}$

A un’osservazione attenta, ciò provoca in questo caso una “concentrazione” dell’area sottesa al grafico di $f_n$ in un intervallo sempre più stretto, nonostante il valore di tale area rimanga costantemente pari a $1$ . Al limite, quest’area scompare e questa potrebbe essere la ragione del fatto che gli integrali $\int f_n$ non convergono a $\int f$ .

Ci si potrebbe chiedere se, richiedendo una limitatezza “uniforme” delle $f_n$ , si possano prevenire questi fenomeni di concentrazione e quindi ottenere la convergenza degli integrali.

Domanda 2.14. Sia $f_n \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni integrabili secondo Riemann; si supponga che esista $M>0$ tale che

(20) $\begin{equation*} \sup_{x \in [a,b]} |f_n| \leq M \qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Si supponga inoltre che $f_n$ converga puntualmente a una funzione $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ integrabile secondo Riemann. Si può concludere che

(21) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \int_a^b f_n(x) \,\mathrm{d}x = \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x \, ? \end{equation*}$

Osservazione 2.15. La condizione (20) si può esprimere dicendo che le funzioni $f_n$ sono equilimitate; per maggiori dettagli, si veda la definizione 3.57, dove si può trovare una discussione approfondita sull’importanza di tale proprietà rispetto alla convergenza uniforme.

La risposta alla domanda 2.14 è affermativa, come mostra il seguente notevole risultato dovuto al matematico italiano Cesare Arzelà (1847 – 1912).

Teorema 2.16. Sia $f_n \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni integrabili secondo Riemann e si supponga che esista $M>0$ tale che

(22) $\begin{equation*} \sup_{x \in [a,b]} |f_n| \leq M \qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Si supponga inoltre che $f_n$ converga puntualmente a una funzione $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ integrabile secondo Riemann. Allora si ha

(23) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \int_a^b f_n(x) \,\mathrm{d}x = \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x. \end{equation*}$

$\quad$

Rimandiamo la dimostrazione all’appendice C.

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