Esercizi sulle serie numeriche a termini positivi

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In questo articolo, presentiamo 47 esercizi svolti sulle serie numeriche a termini positivi. I problemi sono suddivisi per criterio utilizzato nella risoluzione, ordinati per difficoltà e sono completamente risolti, in modo da fornire al lettore la possibilità di confrontare le soluzioni trovate con quelle da noi proposte. La raccolta è quindi particolarmente utile nella preparazione dell’esame di Analisi Matematica 1 di vari corsi di Laurea, dove questo importante argomento viene tradizionalmente affrontato.
Gli esercizi sono preceduti da una breve sezione di richiami teorici, sezione 1, rimandando a Teoria sulle serie numeriche per ulteriori dettagli e le dimostrazioni dei risultati enunciati.

Segnaliamo anche gli ulteriori esercizi sulle serie numeriche:

Buona lettura!

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Jacopo Garofali

Revisori: Sara Sottile, Matteo Talluri.

Prerequisiti

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In queste note si presuppone la conoscenza di alcuni concetti di base dell’analisi matematica, tra cui i numeri (naturali, interi, reali, complessi), il principio di induzione, il concetto di successione numerica e di limite di una successione. Inoltre, per la comprensione del teorema 6, è necessario che il lettore sia familiare con la nozione di integrale di Riemann di una funzione reale di variabile reale. Infine, in molti esercizi facciamo uso degli sviluppi di Taylor delle funzioni elementari.

Notazioni

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$\mathbb{N}=\{ 0,1, \dots \}$	Insieme dei numeri naturali;
$\mathbb{Z}$	Insieme dei numeri interi relativi;
$\mathbb{R}$	Insieme dei numeri reali;
$\mathbb{C}$	Insieme dei numeri complessi;
$\displaystyle \sum_{n=N}^Ma_n=a_N+a_{N+1}+\dots + a_M$	Somma di un numero finito di termini;
$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n=a_1+a_{2}+\dots$	Serie numerica di termine generale $a_n$ ;
$\displaystyle \prod_{n=N}^{M}a_n=a_N\cdot a_{N+1}\cdot \dots \cdot a_M$	Prodotto di un numero finito di termini;
$\displaystyle \prod_{n=1}^{+ \infty}a_n=a_1\cdot a_2 \cdot \dots$	Prodotto infinito di termine generale $a_n$ ;
$\|x\|$	Modulo di un numero $x \in \mathbb{R}$ (risp. $x \in \mathbb{C}$ );
$\sqrt[n]{x}$	Radice $n$ -esima un numero $x \in \mathbb{R}$ (quando esiste);
$n!$	Fattoriale di un numero $n \in\mathbb{N}$ ;
$n!!$	Doppio fattoriale di un numero $n \in\mathbb{N}$ ;
$e$	Numero di Nepero;
$\ln{x}$	Logaritmo naturale di un numero $x >0$ ;
$\sin{x}$	Seno di un numero $x \in \mathbb{R}$ ;
$\cos{x}$	Coseno di un numero $x \in \mathbb{R}$ ;
$\arctan{x}$	Arcotangente di un numero $x \in \mathbb{R}$ ;
$\lim_{n\rightarrow +\infty}$	Limite di una successione;
$\limsup_{n\rightarrow +\infty}$	Limite superiore di una successione;
$\liminf_{n\rightarrow +\infty}$	Limite inferiore di una successione;
$o(1)$	Simbolo di Landau o-piccolo di 1;
$\sim$	Relazione di asintotica equivalenza.;
$\int_a^b f(x)\,{\rm d}x$	Integrale definito tra $a$ e $b$ di una funzione.

Introduzione

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Le serie generalizzano l’operazione di addizione sui numeri reali nel caso in cui ad essere sommati siano un numero infinito di termini. Data una successione $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ possiamo considerare la successione delle some parziali associata a $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ , denotata con $\left\{ S_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ , definita da

( $\ast$ ) $\begin{equation*} \begin{split} S_n:&=\sum\limits_{k=0}^n a_k \qquad \forall n \in \mathbb{N}, \end{split} \end{equation*}$

cioè la somma dei primi $n$ termini della successione, al variare di $n$ .

Definizione 1 (serie numerica). Se il limite della successione delle somme parziali (*) esiste, si pone

$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n \coloneqq \lim_{n\rightarrow +\infty}S_n \in \mathbb{R} \cup \left\{ \pm \infty \right\}.$

Se tale limite è finito, diciamo che la {serie} associata alla successione $\{ a_n \}$ è convergente, e che converge a tale limite. Se, invece, tale limite è finito o non esiste, diciamo che la serie associata alla successione $\{ a_n \}$ è non convergente.

$\quad$

Nel caso in cui la serie sia non convergente possiamo distinguere tre casi:

$\quad$

Il limite esiste e vale $\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n =+\infty$ ;

Il limite esiste e vale $\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n =-\infty$ ;

Il limite non esiste.

Nel primo caso diciamo che la serie è divergente positivamente, nel secondo caso che è divergente negativamente e nel terzo caso che è indeterminata.

Richiami di teoria

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In questa sezione richiamiamo alcuni risultati fondamentali della teoria delle serie numeriche, necessari per la risoluzione degli esercizi proposti. Per maggiori dettagli si veda Teoria sulle serie numeriche.

Proposizione 1 (condizione necessaria per la convergenza). Sia $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n$ una serie convergente. Allora, il suo termine generale è infinitesimo, i.e. si ha

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n = 0.$

Lemma 1 (convergenza delle serie a termini di segno costante). Le serie a termini di segno definitivamente non negativo (risp. non positivo) possono essere convergenti o divergenti positivamente (risp. negativamente), ma non indeterminate.

Lemma 2. Due successioni che differiscono definitivamente di una costante hanno lo stesso carattere.

Corollario 1. Sia $\{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R}$ una successione. Per ogni $p >0$ , le serie

$\sum_{n=0}^{+\infty}a_n \quad \mbox{e} \quad \sum_{n=p}^{+\infty}a_n$

hanno lo stesso carattere.

Corollario 2. Siano $\{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}},\{ b_n \}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R}$ due successioni che coincidono definitivamente. Allora, le serie

$\sum_{n=0}^{+\infty}a_n \quad \mbox{e} \quad \sum_{n=0}^{+\infty}b_n$

hanno lo stesso carattere.

Lemma 3. Sia $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ una serie convergente. Allora, per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$ , la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(\alpha\, a_n)$ converge, e si ha

(1) $\begin{equation*} \sum_{n=0}^{+\infty}(\alpha\, a_n)=\alpha\sum_{n=0}^{+\infty}a_n. \end{equation*}$

Se, invece, la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ diverge, allora $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(\alpha\, a_n)$ diverge per ogni $\alpha \neq 0$ .

Lemma 4. Siano date le serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n$ e $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n$ . Allora,

$\quad$

se entrambe le serie convergono, anche la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(a_n+b_n)$ converge e si ha
$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\left(a_n+b_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n+\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n;$

se entrambe le serie divergono positivamente (risp. negativamente), oppure se una diverge positivamente (risp. negativamente) e l’altra converge, allora la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(a_n+b_n)$ diverge positivamente (risp. negativamente).

Lemma 5 (somma geometrica). Sia $x \in \mathbb{R}$ . Allora, vale che:

$\sum_{k=0}^nx^k=\begin{cases} \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x\phantom{h}}, \mbox{ se } x \neq 1;\\ \\ n+1, \mbox{ se } x = 1. \end{cases}$

Proposizione 2 (carattere serie geometrica]. Sia $x \in \mathbb{R}$ . La serie geometrica di ragione $x$ vale

(2) $\begin{equation*} S\coloneqq \sum_{n=0}^{+\infty}x^n =\begin{cases} \dfrac{1}{1-x}, \qquad & \text{se } x \in (-1,1) ; \\\\ +\infty, \qquad & \text{se } x \in[1,+\infty);\\\\ {\rm indeterminata}, \qquad & \text{se } x \in(-\infty,-1]. \end{cases} \end{equation*}$

Lemma 6 (somma telescopica). Sia $\{ b_n \}\subset \mathbb{R}$ una successione. Allora, vale che

(3) $\begin{equation*} \sum_{k=0}^{n}\left( b_{k+1}-b_k\right) = b_{n+1}-b_0. \end{equation*}$

Proposizione 3 (carattere serie telescopica). Sia $\displaystyle S= \sum_{n=0}^{+\infty}(b_{n+1}-b_n)$ una serie telescopica, allora vale:

(4) $\begin{equation*} S\coloneqq \sum_{n=0}^{+\infty}(b_{n+1}-b_n)= \begin{cases} \left( \lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n \right)-b_0, \qquad & \mbox{se esiste } \lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n; \\\\ {\rm indeterminata}, \qquad & \mbox{altrimenti}. \end{cases} \end{equation*}$

$\quad$

I prossimi risultati forniscono i principali strumenti da utilizzare nello studio della convergenza delle serie numeriche a termini non negativi.

Teorema 1 (criterio del confronto). Siano $\{a_n\},\{b_n\}$ due successioni numeriche tali che definitivamente vale $0\leq a_n\leq b_n$ . Allora, si ha:

$\quad$

$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n < +\infty \implies \sum_{n=0}^{+\infty}a_n < +\infty$

$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n = +\infty \implies \sum_{n=0}^{+\infty}b_n = +\infty$

Teorema 2 (criterio del confronto asintotico). Siano $\{a_n\},\{b_n\}$ due successioni a termini definitivamente positivi e tale che $b_n >0$ definitivamente. Supponiamo che

$\lim_{n\to +\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\ell\in[0,+\infty].$

Si ha che

$\quad$

Se $\ell=0\,$ e $\,\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n<+\infty$ , allora $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n<+\infty$ ;

se $\ell=+\infty\,$ e $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_n=+\infty$ , allora $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n=+\infty$ ;

se $\ell \in(0,+\infty)\,$ , allora $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_n<+\infty$ se e solo se $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n<+\infty$ .

Teorema 3 (criterio di condensazione di Cauchy). Sia $\{a_n\}_{n\geq 1}$ una successione a termini positivi e monotona non crescente, ovvero

$a_n\geq a_{n+1}>0 \qquad \forall n \geq 1.$

Allora, le serie

$\sum_{n=1}^{+\infty }a_n \qquad \mbox{e} \qquad \sum_{n=0}^{+\infty }2^na_{2^n}$

hanno lo stesso carattere.

Lemma 7 (serie armonica generalizzata del primo tipo). Sia $\alpha \in \mathbb{R}$ . Allora,

$S_\alpha = \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^\alpha} \quad \begin{cases} \text{converge}, \quad &\text{se}\,\,\alpha>1;\\ \text{diverge}, &\text{se}\,\,\alpha \leq 1. \end{cases}$

Lemma 8 (serie armonica generalizzata del secondo tipo). Siano $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ . Allora,

$S_{\alpha,\beta} = \sum\limits_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n^\alpha(\ln n)^\beta} \quad \begin{cases} {\text{converge}},&\text{se}\,\, \alpha >1\, \lor \, \left( \alpha =1\, \wedge \, \beta >1 \right);\\ +\infty ,&\text{se}\,\,\alpha <1\, \lor \, \left( \alpha =1\, \wedge \, \beta \leq 1 \right). \end{cases}$

Teorema 4 (criterio del rapporto). Sia $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ una serie a termini definitivamente positivi tale che

(5) $\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\ell\in[0,+\infty]. \end{equation*}$

Allora, vale che:

$\quad$

Se $\ell\in [0,1)$ , la serie converge;

Se $\ell\in(1,+\infty]$ , la serie diverge;

Se $\ell=1$ , il criterio è inconcludente.

Teorema 5 (criterio della radice). Sia $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ una serie a termini definitivamente positivi tale che

(6) $\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty }\sqrt[n]{a_{n}}=\ell\in[0,+\infty]. \end{equation*}$

Allora, vale che:

$\quad$

Se $\ell\in [0,1)$ , la serie converge;

Se $\ell\in(1,+\infty]$ , la serie diverge;

Se $\ell=1$ , il criterio è inconcludente.

Teorema 6 (criterio dell’integrale). Sia $\{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}}$ una successione a termini positivi e decrescente e sia $f:[1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione positiva e decrescente tale che $f(n) = a_n$ per ogni $n\in\mathbb{N}$ . Allora, l’integrale improprio $\displaystyle \int\limits_{1}^{+\infty}f(x)\,{\rm d}x$ ha lo stesso carattere della serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ .

Teorema 7 (criterio di Raabe). Sia $\displaystyle \sum_{n =1}^{+\infty} a_n$ una serie a termini definitivamente positivi, e supponiamo che esista

$\ell = \lim_{n \to +\infty} n \bigg( \frac{a_n}{a_{n+1}} -1 \bigg).$

Allora, vale che:

$\quad$

Se $\displaystyle \ell\in(1,+\infty]$ , la serie converge;

Se $\displaystyle\ell \in [-\infty,1)$ , la serie diverge;

Se $\displaystyle \ell=1$ , il criterio è inconcludente.

Teorema 8 (criterio del logaritmo). Sia $\displaystyle \sum_{n =1}^{+\infty} a_n$ una serie a termini definitivamente positivi e supponiamo che esista

$\ell = \lim_{n \to +\infty}\dfrac{\ln a_n}{\ln n }.$

Allora, vale che:

$\quad$

Se $\ell \in [-\infty,-1)$ , la serie converge;

Se $\ell \in (-1,+\infty]$ , la serie diverge;

Se $\ell=-1$ , il criterio è inconcludente.

$\quad$

Infine, ricordiamo la stima asintotica del fattoriale.

Lemma 9 (approssimazione di Stirling). Si ha

(7) $\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{n!}{\left( \dfrac{n}{e}\right)^n\sqrt{2\pi n}}=1, \end{equation*}$

o, equivalentemente,

(8) $\begin{equation*} n! =\sqrt{2\pi n} \left( \dfrac{n}{e}\right)^n(1+o(1)) \qquad \mbox{per } n \rightarrow + \infty. \end{equation*}$

Esercizi

In questa sezione presentiamo vari esercizi svolti.

Esercizi sul criterio del confronto

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio del confronto:

$\begin{aligned}\label{Es: S_n^2/2^n} \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{3+\sin(n)}{4^n}. \end{aligned}$

Svolgimento.

Dato che $|\sin(x)|\leq 1$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ , vale

$\dfrac{3+\sin(n)}{4^n}\leq \dfrac{3+1}{4^n} = \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1} \qquad \forall n \in \mathbb{N}.$

La serie associata al termine di destra è una serie geometrica di ragione $\dfrac{1}{4}<1$ convergente, cf. proposizione 2, per il criterio del confronto, cf. teorema 1, converge anche la serie data.

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio del confronto:

$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{n+1}{n}\right) . \end{aligned}$

Svolgimento.

Notiamo che

$\begin{aligned} a_n \coloneqq \left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{n+1}{n}\right) \geq \left(\frac{n+1}{n}\right) =1+\dfrac{1}{n}> 1\qquad \forall n \geq 1, \end{aligned}$

ovvero il termine generale $a_n$ non è infinitesimo, quindi la serie data diverge, cf. proposizione 1.

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio del confronto:

$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\log(1+n)}. \end{aligned}$

Svolgimento.

Osserviamo che la serie è a termini non negativi, pertanto è possibile applicare il criterio del confronto, cf. teorema 1.

Ricordiamo che vale la seguente disuguaglianza:

(9) $\begin{equation*} \ln(1+x) \leq x \qquad \forall x>-1. \end{equation*}$

Notiamo che

$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\ln(1+n)}\geq \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{1+n}=+\infty ,$

in quanto la serie

$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{1+n}=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n}$

è una serie armonica divergente, cf. lemma 7. Concludiamo che la serie data diverge per il criterio del confronto.

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio del confronto:

$\begin{aligned} \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{\ln n}{n^4}. \end{aligned}$

Svolgimento.

Osserviamo che la serie è a termini non negativi, pertanto è possibile applicare il criterio del confronto, cf. teorema 1.

Ricordiamo che vale la seguente disuguaglianza:

(10) $\begin{equation*} \ln x < \ln(1+x) \leq x \qquad \forall x>0. \end{equation*}$

Si ha

$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\ln n}{n^4}\leq \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{n^4}< +\infty,$

in quanto l’ultima è una serie armonica convergente, cf. lemma 7. Concludiamo che la serie data converge per il criterio del confronto.

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio del confronto:

$\begin{aligned} \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{\ln n}}. \end{aligned}$

Svolgimento.

Osserviamo che la serie è a termini non negativi, pertanto è possibile applicare il criterio del confronto, cf. teorema 1.

Ricordiamo che, per $x>1$ si ha $\sqrt[n]{x}<x$ . Dunque, dalla (10) e dal fatto che $\ln n>1$ per ogni $n\geq 3$ , troviamo

$\sqrt[n]{\ln n}<\ln n<n \qquad \forall n\geq 3,$

da cui

$\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\ln n}}=\frac{1}{\sqrt{\ln 2}}+\sum_{n=3}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\ln n}} \geq \frac{1}{\sqrt{\ln 2}}+\sum_{n=3}^{+\infty}\frac{1}{n}.$

Concludiamo che la serie data diverge per confronto con la serie armonica, cf. lemma 7.

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio del confronto:

$\begin{aligned} \sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{n+2}\right)^n. \end{aligned}$

Svolgimento.

Osserviamo che la serie è a termini non negativi, pertanto è possibile applicare il criterio del confronto, cf. teorema 1. Abbiamo che

$\left(\frac{1}{n+2}\right)^n \leq \left( \frac{1}{2} \right)^n\qquad \forall n \geq 0.$

Concludiamo che la serie data converge per confronto con la serie geometrica, cf. proposizione 2.

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Esercizi sul criterio del confronto asintotico

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio del confronto asintotico:

(11) $\begin{equation*} \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \dfrac{e^n}{(e^n+1) \ln(e^n+1)}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Notiamo che la serie data è una serie a termini positivi e quindi possiamo applicare il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2.

Per $n \rightarrow +\infty$ , si ha:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \dfrac{e^n}{e^n\left(1+\dfrac{1}{e^n} \right)\left(\ln e^n+\ln\left(1+\dfrac{1}{e^n}\right) \right)}=\dfrac{1}{\left(1+\dfrac{1}{e^n} \right)\left(n+\ln\left(1+\dfrac{1}{e^n}\right) \right)}=\dfrac{1}{n}\left(1+o(1) \right). \end{aligned} \end{equation*}$

Si conclude, cf. lemma 7, che per il criterio del confronto asintotico la serie data diverge.

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio del confronto asintotico:

$\begin{aligned} \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n-2}}{n}. \end{aligned}$

Svolgimento.

Notiamo che possiamo applicare il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2, poiché la serie data è una serie a termini positivi. Infatti, dal fatto che la radice quadrata è una funzione crescente segue che

$\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n-2}}{n}>0 \qquad \forall n\geq 2.$

Si ha che per $n\to +\infty$

$\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n-2}}{n}=\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n-2}}{n}\cdot\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n-2}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n-2}}=$

$=\frac{n+2-n+2}{n\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n-2}\right)}=\frac{4}{n\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n-2}\right)}=\frac{4}{n\cdot 2\sqrt{n}}(1+o(1))=\frac{2}{n^{3/2}}(1+o(1)),$

quindi la serie è asintotica a una serie armonica convergente, cf. lemma 7. Concludiamo che la serie data converge.

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio del confronto asintotico:

(12) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(\sqrt{2}\right)^{-n}}{\sqrt{5n+4}-2^n}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Notiamo che $\sqrt{5n+4}<2^n$ per ogni $n\geq 2$ , quindi il primo termine della serie per $n=1$ è positivo e da $n \geq 2$ sono invece tutti termini negativi.

Pertanto, riscriviamo (12) come segue

$\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(\sqrt{2}\right)^{-n}}{\sqrt{5n+4}-2^n}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{\left(\sqrt{2}\right)^{-n}}{2^n-\sqrt{5n+4}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\sum_{n=2}^{+\infty}a_n.$

Studiamo il carattere della serie $\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty}a_n$ con il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2.

Per $n\rightarrow +\infty$ si ha:

$a_n=\dfrac{\left(\sqrt{2}\right)^{-n}}{2^n-\sqrt{5n+4}}=\frac{2^{-\frac{n}{2}}}{2^n}\left(1+o(1)\right) =\dfrac{1}{2^{\frac{3}{2}n}}\left(1+o(1)\right),$

dunque la serie di termine generale $a_n$ è asintotica a una serie geometrica convergente, cf. proposizione 2.

Quindi, per il criterio del confronto asintotico possiamo concludere che la serie data converge.

Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio del confronto asintotico:

(13) $\begin{equation*} \sum_{n=0}^{+\infty} \ln \left(\dfrac{n^2+2n+3}{n^2+1}\right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Notiamo che la serie data è una serie a termini positivi e quindi possiamo applicare il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2.

Per $n \rightarrow +\infty$ , si ha³:

$\begin{aligned} b_n & = \ln \left(\dfrac{n^2+2n+3}{n^2+1}+1-1\right) = \ln \left(1+\dfrac{2n+2}{n^2+1}\right) = \\ & = \ln \left(1+\dfrac{2n+2}{n^2+1}\right) = \ln \left( 1 + \dfrac{2}{n} + o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right) = \\ & = \dfrac{2}{n} + o\left(\dfrac{1}{n}\right) = \dfrac{2}{n} \left(1+o(1)\right). \end{aligned}$

dunque la serie data è asintotica a una serie armonica divergente, cf. proposizione 2.

Quindi, per il criterio del confronto asintotico possiamo concludere che la serie data diverge.

Sia $\{b_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ una successione infinitesima. Allora, per ogni $k>0$ valgono i seguenti sviluppi notevoli per $n \rightarrow +\infty$ :

$\begin{aligned} &\dfrac{1}{1-b_n}=1+b_n+b^2_n+b^3_n\dots+b^k_n+o(b^k_n)\\ &\ln\left(1+b_n\right)=b_n-\dfrac{1}{2}b^2_n+\dfrac{1}{3}b^3_n+\dots\left(-1 \right)^{k+1}\dfrac{b^k_n}{k}+o(b_n^k) . \end{aligned}$

↩

Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio del confronto asintotico:

(14) $\begin{equation*} \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\left(2-\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)^{n^3}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \left(2-\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)^{n^3} & =\lim_{n\to+\infty}e^ {n^3\ln\left(2-\cos\left(\frac{1}{n}\right) \right)} =\lim_{n\to+\infty} e^{n^3\ln\left(1+\frac{1}{2n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)} =\\\\ &=\lim_{n \rightarrow +\infty} e^{n^3\left(\frac{1}{2n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right) \right)}=\lim_{n \rightarrow +\infty} e^{\frac n 2\left(1+o(1) \right)}=+\infty, \end{aligned}$

ovvero il termine generale della serie data non è infinitesimo e dunque la serie non converge, cf. proposizione 1. Poiché la serie è a termini positivi, si conclude che diverge positivamente, cf. lemma 1.

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio del confronto asintotico:

(15) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\cos\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)-1+\dfrac{1}{2n}\right)^{2}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Notiamo che la serie data è una serie a termini positivi e quindi possiamo applicare il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2.

Sviluppiamo il termine generale per $n \to + \infty$ :

$\begin{aligned} \left(\cos\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)-1+\dfrac{1}{2n}\right)^{2}& = \left( 1-\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{4!n^2}-1+\dfrac{1}{2n}+o\left( \dfrac{1}{n^2}\right)\right)^2=\\ &=\left(\dfrac{1}{4!}\right)^2 \cdot \dfrac{1}{n^4} + o\left(\dfrac{1}{n^4}\right) = \dfrac{1}{576 n^4} \left( 1+ o\left(1\right)\right). \end{aligned}$

Dunque, la serie data è asintotica a una serie armonica generalizzata del primo tipo convergente, cf. lemma 7.

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio del confronto asintotico:

(16) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(1-\arctan\left(\dfrac{1}{3n}\right)\right)^{n^2}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Notiamo che la serie data è una serie a termini positivi e quindi possiamo applicare il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2.

Sviluppiamo il termine generale per $n \to + \infty$ :

$\begin{aligned} \left(1-\arctan\left(\dfrac{1}{3n}\right)\right)^{n^2}&=e^{n^2\ln\left(1-\arctan\left(\frac{1}{3n}\right)\right)}=\\ &=e^{n^2\ln\left(1-\frac{1}{3n}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)}=e^{n^2\left(-\frac{1}{3n}-\frac{1}{2}\left( \frac{1}{9n^2}\right)+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)}=e^{n^2\left(-\frac{1}{3n}-\frac{1}{18n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)}=\\ &=e^{-\frac{n}{3}}\cdot e^{-\frac{1}{18}}\cdot \left(1+o(1)\right) \end{aligned}$

Dunque, la serie data ha lo stesso carattere della serie di termine generale

$a_n\coloneqq e^{-\frac{n}{3}}=\left( e^{-\frac{1}{3}} \right)^n,$

che è una serie geometrica, cf. proposizione 2, di ragione

$e^{-\frac{1}{3}}<1,$

dunque convergente. Concludiamo che la serie data converge per il criterio del confronto asintotico.

Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio del confronto asintotico:

(17) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\sin \left(\sqrt{4n^4-n+1}-2n^2 \right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Verifichiamo che è effettivamente possibile applicare il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2.

Si ha

$a_n\coloneqq \sqrt{4n^4-n+1}-2n^2>0 \quad \iff \quad 4n^4-n+1>4n^2 \quad \iff \quad n<1,$

dunque l’argomento $a_n$ è non positivo per ogni $n\geq 1$ . Inoltre,

$\lim_{n \to + \infty}\left( \sqrt{4n^4-n+1}-2n^2 \right) = \lim_{n \to + \infty} \dfrac{-n+1}{\sqrt{4n^4-n+1}+2n^2} =0.$

Dunque, si ha $\sin (a_n)<0$ definitivamente per $n\to + \infty$ ⁴, ovvero è possibile applicare il criterio del confronto asintotico. Poiché $a_n$ è infinitesima, si ha $\sin(a_n)=a_n(1+o(1))$ per $n\to + \infty$ . Sviluppiamo $a_n$ per $n \to + \infty$ :

$\begin{aligned} a_n&= 2n^2\left( \sqrt{1-\frac{1}{4n^3}+ o\left( \frac{1}{n^3} \right)}-1\right)=\\ &=2n^2\left( 1-\frac{1}{8n^3}+o\left( \frac{1}{n^3} \right)-1 \right) =-\frac{1}{4n}\left( 1+o(1) \right). \end{aligned}$

La serie data è dunque asintotica a una serie armonica divergente, cf. lemma 7. Concludiamo che la serie data diverge per il criterio del confronto asintotico.

Con un po’ di calcoli in più si trova che $\sin(a_n)\leq 0$ per ogni $n\geq 1$ . Questo però non è necessario ai fini dell’esercizio. ↩

Esercizio 15 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio del confronto asintotico:

(18) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n}\ln\left(\dfrac{\sqrt{n+1}}{1+\sqrt{n}} \right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Verifichiamo che è effettivamente possibile applicare il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2.

Si ha

$\forall n \geq 0 \quad a_n\coloneqq \dfrac{1}{n}\ln\left(\dfrac{\sqrt{n+1}}{1+\sqrt{n}} \right)>0 \quad \iff \quad \sqrt{n+1}>1+\sqrt{n} \quad \iff \quad \sqrt{n}<0,$

dunque il termine generale $a_n$ è negativo per ogni $n\geq 1$ , ovvero è possibile applicare il criterio del confronto asintotico. Sviluppiamo $a_n$ per $n \to + \infty$ :

$\begin{aligned} a_n&= \dfrac{1}{n}\left(\dfrac{1}{2}\ln\left(n+1 \right)-\ln \left(1+\sqrt{n} \right) \right)=\\ &=\dfrac{1}{n}\left( \dfrac{1}{2}\ln n+\dfrac{1}{2}\ln \left( 1+\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{2}\ln n -\ln\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right)\right) =\\ &=\dfrac{1}{n}\left( -\dfrac{1}{\sqrt{n}} + o \left( \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right)\right)=-\dfrac{1}{n^{\frac3 2}} \left( 1+ o \left( 1 \right) \right). \end{aligned}$

La serie data è dunque asintotica a una serie armonica convergente, cf. lemma 7. Concludiamo che la serie data converge per il criterio del confronto asintotico.

Esercizio 16 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio del confronto asintotico:

(19) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(e^{2n}\left(\dfrac{n^2-1}{n^2+1} \right)^{n^3}-1\right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Sviluppiamo il termine generale $a_n$ per $n \to + \infty$ :

$\begin{aligned} a_n&=e^{2n}\left(1-\dfrac{2}{n^2+1} \right)^{n^3}-1= e^{2n}\cdot e^{n^3\ln \left(1-\frac{2}{n^2+1} \right) }-1. \end{aligned}$

Per $n \rightarrow +\infty$ , si ha

$\begin{aligned} n^3\ln \left(1-\frac{2}{n^2+1} \right) &= n^3\ln \left(1-\frac{2}{n^2\left(1+\dfrac{1}{n^2} \right)} \right) ={n^3\ln \left(1-\frac{2}{n^2}\left(1-\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{n^4}+o\left(\dfrac{1}{n^4}\right)\right) \right) }=\\ & = n^3\ln\left(1-\frac{2}{n^2}+\dfrac{2}{n^4}-\dfrac{2}{n^6}+o\left(\dfrac{1}{n^6} \right) \right) =\\ & = n^3\left(-\frac{2}{n^2}+\dfrac{2}{n^4}-\dfrac{2}{n^6}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4}{n^4}-\dfrac{8}{n^6} \right)-\dfrac{8}{3n^6}+o\left(\dfrac{1}{n^6} \right)\right) =\\ & = n^3\left( -\dfrac{2}{n^2}-\dfrac{2}{3n^6}+o\left(\dfrac{1}{n^6} \right)\right)=\\ &=-2n-\dfrac{2}{3n^3}+o\left(\dfrac{1}{n^3} \right), \end{aligned}$

dunque

$\begin{aligned} e^{n^3\ln \left(1-\frac{2}{n^2+1} \right) } =e^{-2n-\frac{2}{3n^3}+o\left(\frac{1}{n^3} \right) } = e^{-2n }e^{-\frac{2}{3n^3}+o\left(\frac{1}{n^3} \right) }= e^{-2n }\left(1-\dfrac{2}{3n^3}+o\left(\dfrac{1}{n^3} \right)\right)\quad \text{per}\,\, n \rightarrow +\infty. \end{aligned}$

Concludiamo che lo sviluppo del termine generale per $n \rightarrow +\infty$ è il seguente:

$\begin{aligned} a_n=e^{2n}\cdot e^{n^3\ln \left(1-\frac{2}{n^2+1} \right) }-1& = e^{2n}\cdot\left(e^{-2n }\left(1-\dfrac{2}{3n^3}+o\left(\dfrac{1}{n^3} \right)\right) \right)-1=\\ &=1-\dfrac{2}{3n^3}-1+\left(\dfrac{1}{n^3} \right) =-\dfrac{2}{3n^3}\left(1+o\left(1 \right) \right). \end{aligned}$

Notiamo da tale sviluppo che la serie è a termini di segno definitivamente costante. Inoltre, notiamo che la serie data è asintotica a una serie armonica generalizzata convergente, cf. lemma 7, dunque converge per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2.

Esercizio 17 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio del confronto asintotico:

(20) $\begin{equation*} \sum_{n=2}^{+\infty} \left(\dfrac{\ln(1+3^n)}{n^2\ln n}\right)^{n \sin\left(\frac{1}{n}\right)} . \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che la serie data è a termini positivi e riscriviamo come segue il termine generale $a_n$ :

$a_n= e^{\ln a_n}.$

Per $n \rightarrow +\infty$ , si ha

$\begin{aligned} \ln a_n&= n \sin\left( \dfrac{1}{n}\right)\ln \left(\dfrac{\ln\left(1+3^n \right)}{n^2 \ln n} \right)=n \left( \dfrac{1}{n}+o\left(\dfrac{1}{n^2} \right)\right)\ln \left(\dfrac{1}{n^2\ln n}\left(\ln 3^n( 1+o(1)) \right) \right)=\\ &=\left(1+o\left(\dfrac{1}{n} \right) \right)\ln \left(\dfrac{\cancel{n}\ln 3}{n^{\cancel{2}}\ln n} (1+o(1)) \right)=\\ &=\ln\left( \dfrac{\ln 3}{n\ln n} (1+o(1)) \right)+ \dfrac{1}{n}\ln\left( \dfrac{\ln 3}{n\ln n}(1+o(1)) \right)o(1) =\\ &=\ln\left( \dfrac{\ln 3}{n\ln n} (1+o(1)) \right)+o(1), \end{aligned}$

dove, nell’ultima uguaglianza, abbiamo utilizzato il fatto che

$\lim_{n \rightarrow + \infty}\dfrac{1}{n}\ln\left( \dfrac{\ln 3}{n\ln n}(1+o(1)) \right)=0.$

Dunque, lo sviluppo del termine generale $a_n$ per $n \rightarrow +\infty$ è il seguente:

$\begin{aligned} a_n=e^{\ln a_n}= \dfrac{\ln 3}{n\ln n} (1+o(1)). \end{aligned}$

Notiamo che la serie data è asintotica a una serie armonica generalizzata del secondo tipo, che risulta divergente, cf. lemma 8, e dunque diverge per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2.

Esercizi sul criterio di condensazione

Esercizio 18 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio di condensazione:

(21) $\begin{equation*} \sum\limits_{n=2}^{+\infty} \frac{\log n}{n^3 } \end{equation*}$

Svolgimento.

Sia $a_n$ il termine generale della serie data. Notiamo che la successione $\left\{ a_n \right\}$ è positiva e decrescente, pertanto è possibile applicare il criterio di condensazione, cf. teorema 3.

Dunque, la serie condensata

$\sum\limits_{n=2}^{+\infty}2^n a_{2^n} = \sum\limits_{n=2}^{+\infty}2^n \frac{\log 2^n}{(2^n)^3 } = \sum\limits_{n=2}^{+\infty}2^n \frac{ n \log 2}{2^{3n} } = \log 2 \sum\limits_{n=2}^{+\infty}\frac{n}{2^{2n} }$

ha lo stesso carattere della serie data.

Applicando, ad esempio, il criterio del rapporto, cf. teorema 4, troviamo

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{2^{2n+2}} \cdot \frac{2^{2n}}{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{n}\cdot \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}<1.$

Concludiamo che la serie condensata converge, e dunque anche la serie data converge.

Esercizio 19 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio di condensazione:

(22) $\begin{equation*} \sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{1}{\left(\ln n \right)^{\ln n }}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che la serie data è una serie a termini positivi e decrescenti quindi possiamo applicare il criterio di condensazione, cf. teorema 3.

Consideriamo la serie condensata:

(23) $\begin{equation*} \sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{2^n}{\left(\ln2^n\right)^{\ln2^n}}=\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{2^n}{\left(n\ln 2\right)^{n\ln2}}=\sum_{n=2}^{+\infty}\left( \dfrac{2}{\left(n\ln 2\right)^{\ln2}}\right)^n, \end{equation*}$

e notiamo che, poiché

$\lim_{n \rightarrow +\infty }\dfrac{2}{\left(n\ln 2\right)^{\ln2}} =0,$

si ha

$\exists n_0>0: \quad \forall n>n_0\qquad \dfrac{2}{\left(n\ln 2\right)^{\ln2}}<\frac 1 2.$

Pertanto, la serie condensata (23) è definitivamente maggiorata da una serie geometrica convergente, cf. proposizione 2, e dunque converge per il criterio del confronto, cf. teorema 1. Concludiamo che, per il criterio di condensazione, la serie data converge.

Esercizio 20 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio di condensazione:

(24) $\begin{equation*} \sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{1}{\left(\ln n \right)^{\ln(\ln n) }}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che la serie data è una serie a termini positivi e decrescenti quindi possiamo applicare il criterio di condensazione, cf. teorema 3.

Consideriamo la serie condensata

(25) $\begin{equation*} \sum_{n=2}^{+\infty}2^na_{2^n}= \sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{2^n}{\left( \ln 2^n \right)^{\ln\left(\ln 2^n \right)}}=\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{2^n}{\left(n \ln 2 \right)^{\ln \left( n \ln2 \right)}} \end{equation*}$

e studiamone il carattere utilizzando il criterio della radice, cf. teorema 5. Detto $a_n$ il termine generale della serie condensata, abbiamo

(26) $\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_n}=\lim_{n \rightarrow +\infty}\left( \dfrac{2^n}{\left( n \ln 2 \right)^{\ln\left(n \ln 2 \right)}}\right)^{\frac{1}{n}}=\lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{2}{\left( n \ln 2 \right)^{\frac{\ln\left(n \ln 2 \right)}{n}}}. \end{equation*}$

Studiando singolarmente il limite del denominatore, otteniamo

(27) $\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(n \ln 2 \right)^\frac{\ln \left(n \ln 2 \right)}{n}= \lim_{n \rightarrow +\infty} e^{\frac{\ln^2 \left( n \ln 2 \right)}{n}}=1, \end{equation*}$

dove abbiamo utilizzato le gerarchie di infinito sull’esponente. Dunque, inserendo la (27) nella (26), troviamo

$\lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_n}=2>1.$

Pertanto, la serie condensata è divergente per il criterio della radice. Concludiamo che, per il criterio di condensazione, la serie data diverge.

Esercizio 21 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio di condensazione:

(28) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(e-\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\right)^\alpha\qquad \forall \alpha>0. \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che la serie è a termini positivi e decrescenti, pertanto è possibile applicare il criterio di condensazione, cf. teorema 3.

Dunque, la serie condensata,

(29) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}2^n\left(e-\left(1+\dfrac{1}{2^n}\right)^{2^n}\right)^\alpha, \end{equation*}$

ha lo stesso carattere della serie data.

Per $n\to+\infty$ si ha:

$\begin{aligned} &2^n\left(e-\left(1+\dfrac{1}{2^n}\right)^{2^n}\right)^\alpha=2^n\left(e-\exp\left(2^n\ln\left(1+\dfrac{1}{2^n}\right)\right)\right)^\alpha=\\ &=2^n\left(e-\exp\left(2^n\left(\dfrac{1}{2^n}-\dfrac{1}{2\cdot 2^{2n}}+o\left(\dfrac{1}{4^n}\right)\right)\right)\right)^\alpha=\\ &=2^n\left(e-\exp\left(1-\dfrac{1}{2\cdot 2^n}+o\left(\dfrac{1}{2^n}\right)\right)\right)^\alpha=\\ &=2^n\cdot e^\alpha \left(1-\exp\left(-\dfrac{1}{2\cdot 2^n}+o\left(\dfrac{1}{2^n}\right)\right)\right)^{\alpha}=\\ &=2^n\cdot e^\alpha \left(1-\left(1-\dfrac{1}{2\cdot 2^n}+o\left(\dfrac{1}{2^n}\right)\right)\right)^\alpha=\\ &=2^n\cdot e^\alpha \cdot \dfrac{1}{2^\alpha \cdot 2^{n\alpha}}\left(1+o\left(1\right)\right)=\left(\dfrac{e}{2}\right)^\alpha\dfrac{1}{2^{n\left(\alpha-1\right)}}\left(1+o\left(1\right)\right). \end{aligned}$

Dunque, la serie

(30) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{2^{n\left(\alpha-1\right)}}=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{2^{\left(\alpha-1\right)}}\right)^n \end{equation*}$

ha lo stesso carattere della serie condensata (29) per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2.

La serie (30) è una serie geometrica, la quale, cf. proposizione 2, risulta convergente per

$\dfrac{1}{2^{\left(\alpha-1\right)}}<1 \quad \iff \quad \alpha >1.$

Si conclude per il criterio di condensazione che la serie data converge se e solo se $\alpha \in (1,+\infty)$ .

Esercizio 22 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio di condensazione:

(31) $\begin{equation*} \sum_{n=3}^{+\infty}\dfrac{1}{n\ln n \ln^\alpha\left(\ln n\right)}\qquad \forall \alpha>0. \end{equation*}$

Svolgimento.

Dunque, la serie condensata,

$\sum_{n=3}^{+\infty}2^n a_{2^n} =\sum_{n=3}^{+\infty}\dfrac{2^n}{2^n\ln 2^n \ln^\alpha\left(\ln 2^n\right)}=\sum_{n=3}^{+\infty}\dfrac{1}{n\ln 2 \ln^\alpha \left(n\ln 2 \right)},$

ha lo stesso carattere della serie data.

Per $n\to+\infty$ si ha

$\dfrac{1}{n\ln 2 \ln^\alpha \left(n\ln 2 \right)}=\dfrac{1+o(1)}{n\ln^\alpha (n) \ln (2 )},$

dunque la serie condensata ha lo stesso carattere della serie

(32) $\begin{equation*} \sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{1}{n\ln^\alpha n } \end{equation*}$

per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2.

La serie (32) è una serie armonica generalizzata del secondo ordine, cf. lemma 8, che converge se e solo se $\alpha \in (1,+\infty)$ .

Si conclude per il criterio di condensazione che la serie data converge se e solo se $\alpha \in (1,+\infty)$ .

Esercizio 23 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio di condensazione:

(33) $\begin{equation*} \sum_{n=3}^{+\infty}\dfrac{n^\alpha}{\left( \ln(\ln n) \right)^{\ln n}}\qquad \forall \alpha \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Sia $a_n$ il termine generale della serie data, che è chiaramente positivo per ogni $n\geq 3$ . Dimostriamo che la successione $\left\{ a_n \right\}$ è definitivamente decrescente e che, pertanto, è possibile applicare il criterio di condensazione, cf. teorema 3.

Sia $f$ : $[3,+\infty) \to \mathbb{R}$ la funzione definita da

$f(x) = \dfrac{x^\alpha}{\left(\ln(\ln x)\right)^{\ln x}}.$

Si ha chiaramente $a_n = f(n)$ per ogni $n \geqslant 3$ . Calcoliamo la derivata prima di $f$ :

(34) $\begin{equation*} \begin{split} f'(x) = & {} \frac{{\alpha} x^{{\alpha}-1}\left[\ln(\ln x)\right]^{\ln x} - x^{\alpha} \left[\ln(\ln x)\right]^{\ln x} \left[\ln x \dfrac{1}{x \ln x}\dfrac{1}{\ln(\ln x)} + \dfrac{\ln (\ln (\ln x))}{x}\right]}{\left[\ln(\ln x)\right]^{2\ln x}} = \\[5pt] = & {} x^{{\alpha}-1} \frac{{\alpha} \ln (\ln x) - 1 - \ln (\ln (\ln x))\ln(\ln x)}{\left[\ln(\ln x)\right]^{1+\ln x}}. \end{split} \end{equation*}$

Per $x \to +\infty$ , si vede che il numeratore della frazione tende a $-\infty$ , in quanto il termine dominante è $-\ln (\ln \ln x)\ln(\ln x)$ , e quindi il numeratore è definitivamente negativo. Dato che il denominatore è sempre positivo, si conclude che $f'(x) < 0$ per $x \to +\infty$ , ovvero $f$ (e dunque $a_n$ ) è definitivamente monotona decrescente.

La serie data ha quindi lo stesso carattere della serie condensata:

(35) $\begin{equation*} \sum_{n=3}^{+\infty} 2^na_{2^n} =\sum_{n=3}^{+\infty} 2^n \frac{(2^n)^{\alpha}}{\left[\ln(\ln 2^n)\right]^{\ln 2^n}} = \sum_{n=3}^{+\infty} \frac{2^{n(1+{\alpha})}}{\left[\ln(n\ln 2)\right]^{n\ln 2}}. \end{equation*}$

Per determinare il carattere di quest’ultima, si può applicare il criterio della radice, cf. teorema 5. Detto $b_n$ il termine generale della serie condensata, calcoliamo:

$\ell = \lim_{n\to+\infty} \sqrt[n]{b_n} = \lim_{n\to+\infty} \sqrt[n]{\frac{2^{n(1+{\alpha})}}{\left[\ln(n\ln 2)\right]^{n\ln 2}}} = \lim_{n\to+\infty}\frac{2^{1+{\alpha}}}{\left[\ln(n\ln 2)\right]^{\ln 2}} = 0<1.$

Concludiamo che la serie condensata converge per il criterio della radice, e dunque, per il criterio di condensazione, la serie data converge.

Esercizi sul criterio del rapporto

Esercizio 24 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio del rapporto:

$\begin{aligned}\label{Es: S_n^2/2^n2} \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n^2}{2^n} . \end{aligned}$

Svolgimento.

La serie data è a termini positivi, quindi possiamo applicare il criterio del rapporto, cf. teorema 4. Sia $a_n$ il termine generale della serie. Consideriamo il seguente limite:

$\ell = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{(n+1)^2}{n^2}\cdot\frac{2^n}{2^{n+1}} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{\cancel{n^2}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^2}{\cancel{n^2}}\frac{\cancel{2^n}}{2\cdot \cancel{2^n} } =\frac{1}{2} <1 .$

Concludiamo che la serie data è convergente.

Esercizio 25 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio del rapporto:

$\begin{aligned}\label{} \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n^{43}}{6^n} . \end{aligned}$

Svolgimento.

La serie data è a termini positivi, quindi possiamo applicare il criterio del rapporto, cf. teorema 4. Sia $a_n$ il termine generale della serie. Consideriamo il seguente limite:

$\ell = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\rightarrow+\infty} \left(\frac{(n+1)^{43}}{6^{n+1}}\cdot\frac{6^n}{n^{43}}\right)= \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{n+1}{n}\right)^{43}=\frac{1}{6}<1.$

Concludiamo che la serie data è convergente.

Esercizio 26 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio del rapporto:

$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^n}{(2n)!} \end{aligned}$

Svolgimento.

La serie data è a termini positivi, quindi possiamo applicare il criterio del rapporto, cf. teorema 4. Sia $a_n$ il termine generale della serie. Si ha

$\begin{aligned} \frac{a_{n+1}}{a_n}&=\frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}\cdot\frac{(2n)!}{n^n}=\frac{(n+1)^n\cdot(n+1)}{(2n+2)(2n+1)\cdot(2n)!} \cdot\frac{(2n)!}{n^n}=\\ &=\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\cdot\frac{n+1}{2(n+1)(2n+1)}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot\frac{1}{2(2n+1)}, \end{aligned}$

dunque

$\ell =\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= e \cdot 0=0< 1,$

ovvero la serie converge.

Esercizio 27 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio del rapporto:

$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^2}. \label{Es: S_(2n)!/(n!)^2} \end{aligned}$

Svolgimento.

La serie data è a termini positivi, quindi possiamo applicare il criterio del rapporto, cf. teorema 4. Sia $a_n$ il termine generale della serie. Consideriamo il seguente limite:

$\begin{aligned} \ell &=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{\left(2(n+1)\right)!}{\left((n+1)!\right)^2}\cdot \dfrac{(n!)^2}{(2n)!} = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{(2n+2)(2n+1)\bcancel{(2n!)}}{(n+1)^2\bcancel{(n!)^2}}\cdot\dfrac{\bcancel{(n!)^2}}{\bcancel{(2n)!}} =\\\\ &= \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\frac{\big(2n(1+o(1)\big)\big(2n(1+o(1)\big)}{n^2(1+o(1))} = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}4\big(1+o(1)\big) = 4. \end{aligned}$

Poiché $\ell = 4 > 1$ , la serie diverge positivamente.

Esercizio 28 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio del rapporto:

(36) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\sqrt{\left(2n+1 \right)!}}{n^n}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Notiamo che la serie data è una serie a termini positivi, pertanto possiamo applicare il criterio del rapporto, cf. teorema 4. Sia $a_n$ il termine generale della serie. Consideriamo il seguente limite:

$\begin{aligned} \ell&=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{\sqrt{\left(2n+3 \right)!}}{(n+1)^{n+1}}\cdot \dfrac{n^n}{\sqrt{\left(2n+1 \right)!}} =\\ &= \lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{n^n\,\sqrt{\left(2n+3 \right)\left(2n+2 \right)}\cancel{\sqrt{\left(2n+1 \right)! }}}{(n+1)^n\left(n+1 \right)\cancel{\sqrt{\left(2n+1 \right)! }}}=\\ & = \lim_{n \rightarrow +\infty }\dfrac{\cancel{n^n}\cdot 2\cancel{n} \left(1+o(1)\right)}{\cancel{n^n}\cdot \cancel{n} \left( 1+\dfrac{1}{n}\right)^n}=\dfrac{2}{e}<1. \end{aligned}$

Poiché $\ell<1$ , la serie data converge.

Esercizio 29 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ .
Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio del rapporto:

(37) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n^{2n}}{(2n)!}\,\alpha^n \qquad \forall \alpha >0. \end{equation*}$

Svolgimento.

Notiamo che la serie data è una serie a termini positivi, pertanto possiamo applicare il criterio del rapporto, cf. teorema 4.

Sia $a_n$ il termine generale della serie. Consideriamo il seguente limite:

(38) $\begin{equation*} \begin{aligned} \ell&=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= \lim_{n\to+\infty} \dfrac{(n+1)^{2(n+1)}}{(2n+2)!}\cdot \dfrac{(2n)!}{n^{2n}} \cdot \dfrac{\alpha^{n+1}}{\alpha^n} = \\ &=\lim_{n\to+\infty} \dfrac{(n+1)^{2n}(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)\cancel{(2n)!}}\cdot \dfrac{\cancel{(2n)!}}{n^{2n}}\cdot \alpha=\\ &=\lim_{n\to+\infty} \dfrac{\left(1+\dfrac{1}{n} \right)^{2n} \cdot \cancel{n^2}}{4\cancel{n^2}} \alpha\,(1+o(1))=\dfrac{e^2}{4}\,\alpha. \end{aligned} \end{equation*}$

Poiché

$\ell <1 \quad \iff \quad \alpha<\dfrac{4}{e^2},$

la serie data converge per $0<\alpha<\dfrac{4}{e^2}$ e diverge per $\alpha>\dfrac{4}{e^2}$ per il criterio del rapporto. Se $\alpha =\dfrac{4}{e^2}$ , dal criterio del rapporto non possiamo concludere nulla, quindi dobbiamo studiare il carattere della serie data in un altro modo. In questo caso, la serie diventa

(39) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty} a_n=\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{n^{2n}}{(2n)!}\cdot \left( \dfrac{4}{e^2} \right)^n. \end{equation*}$

Lasciamo al lettore il compito di verificare che, in questo caso, il criterio di Raabe, cf. teorema 7 risulta inconcludente. Per studiare la serie (39) è utile ricordare la stima asintotica del fattoriale nota come approssimazione di Stirling, cf. lemma 9. Sostituendo (8) in (39), otteniamo che per $n\rightarrow+\infty$ si ha:

$\begin{aligned} a_n=& \dfrac{n^{2n}\,4^n}{(2n)!\,e^{2n}} = \dfrac{n^{2n}\, 4^n}{e^{2n}}\cdot \left( \sqrt{4\pi n}\cdot \left(\dfrac{2n}{e} \right)^{2n}\right)^{-1}\left( 1+o\left( 1 \right) \right) =\\ &= \dfrac{\cancel{n^{2n}}\cdot \cancel{4^n}}{\cancel{e^{2n}}}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{4\pi n}}\cdot \dfrac{\cancel{e^{2n}}}{\cancel{4^n} \cdot \cancel{n^{2n}}}\left( 1+o\left( 1 \right) \right)= \dfrac{1}{\sqrt{4\pi n}}\left( 1+o\left( 1 \right) \right) \end{aligned}$

Dunque la serie (39) è asintotica a una serie armonica generalizzata del primo tipo di esponente $\alpha= \dfrac{1}{2}$ , dunque divergente, cf. lemma 7. Per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2, la serie (39) diverge. Si conclude che la serie data converge se e solo se $\alpha \in \left(0,\dfrac{4}{e^2}\right)$ .

Esercizi sul criterio della radice

Esercizio 30 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio della radice:

(40) $\begin{equation*} \sum_{n=0}^{+\infty}3^{n-n^3}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che la serie data è a termini positivi e quindi possiamo applicare il criterio della radice, cf. teorema 5.

Abbiamo

$\lim_{n\to+\infty}3^{\frac{n-n^3}{n}}=\lim_{n\to+\infty}3^{1-n^2}=0<1.$

Concludiamo che la serie converge.

Esercizio 31 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio della radice:

(41) $\begin{equation*} \sum_{n=0}^{+\infty}\left(\dfrac{3n+7}{4n+9}\right)^{n}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che la serie data è a termini positivi e quindi possiamo applicare il criterio della radice, cf. teorema 5.

Abbiamo

$\lim_{n\to+\infty}\dfrac{3n+7}{4n+9}=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{3}{4}\left(1+o\left(1\right)\right)=\dfrac{3}{4}<1.$

Si conclude che la serie converge.

Esercizio 32 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio della radice:

$\begin{aligned}\label{Es: S_2^sqrt(n)/2^n} \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n^3 - 5n+2}{\left(3n^{10}+5n+3\right)^2}. \end{aligned}$

Svolgimento.

Applichiamo il criterio della radice, cf. teorema 5:

(42) $\begin{equation*} \begin{aligned} \ell &= \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\sqrt[n]{\frac{n^3 - 5n+2}{\left(3n^{10}+5n+3\right)^2} }=\lim_{n \rightarrow +\infty}\sqrt[n]{ \frac{n^3\left(1+o(1)\right)}{\left(3n^{10}(1+o(1))\right)^2}} =\\ &= \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\sqrt[n]{\frac{n^3}{9n^{20}}\left(1+o(1)\right)} = \lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{9n^{17}}\right)^{\frac{1}{n}}(1+o(1))=\\ &=\lim_{n\to+\infty}\exp\left(\dfrac{1}{n}\ln\left(\dfrac{1}{9n^{17}}\right)\right)(1+o(1))=e^{0}=1.\end{aligned} \end{equation*}$

Osserviamo che è possibile applicare il criterio della radice in quanto la serie è a termini definitivamente positivi. Poiché, però, tale criterio ha riportato come risultato $\ell=1$ , non abbiamo informazione sul carattere della serie.

Per studiare il carattere della serie data conviene, in questo caso, applicare il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2. Da (42) deduciamo che la serie data è asintotica a una serie armonica, cf. lemma 7, di esponente $\alpha=17>1$ , dunque la serie data converge.

Esercizio 33 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio della radice:

$\begin{aligned}\label{} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{3^{n^2}}{(n!)^n}. \end{aligned}$

Svolgimento.

Osserviamo che è possibile applicare il criterio della radice, cf. teorema 5, in quanto la serie è a termini positivi. Applichiamo il criterio:

$\ell=\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{\frac{3^{n^2}}{(n!)^n}}= \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{3^n}{n!}=0<1.$

Si conclude che la serie converge.

Esercizio 34 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio della radice:

$\begin{aligned}\label{} \sum_{n=2}^{+\infty} 3^n\left(\frac{n-2}{n}\right)^{n^2}. \end{aligned}$

Svolgimento.

Osserviamo che è possibile applicare il criterio della radice, cf. teorema 5, in quanto la serie data è a termini positivi. Applichiamo il criterio:

$\ell=\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{3^n\left(\frac{n-2}{n}\right)^{n^2}}= \lim_{n\rightarrow+\infty}3\left( 1-\frac{2}{n} \right)^n=3e^{-2}<1.$

Si conclude che la serie converge.

Esercizio 35 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio della radice:

$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{5^n}\left(\frac{n+2}{n}\right)^{n^2}. \end{aligned}$

Svolgimento.

Osserviamo che è possibile applicare il criterio della radice, cf. teorema 5, in quanto la serie è a termini positivi. Applichiamo il criterio:

$\ell=\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{5^n}\left(\frac{n+2}{n}\right)^{n^2}}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{5}\left(\frac{n+2}{n}\right)^{n}= \frac{1}{5}\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n=\frac{e^2}{5}>1,$

Si conclude che la serie diverge.

Esercizio 36 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio della radice:

$\begin{aligned} \label{43} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)^{n^3}\left(\dfrac{\cos^2 n+\cos n+7}{4\cdot 3^{n}}\right). \end{aligned}$

Svolgimento.

Notiamo che la serie data è a termini positivi, in quanto

$\cos^2 n +\cos n + 7 \geq 0-1+7=6 \qquad \forall n \geq 1,$

dunque possiamo applicare il criterio della radice, cf. teorema 5:

(43) $\begin{equation*} \ell=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)^{n^2}\cdot \dfrac{\left(\cos ^ 2 n +\cos n +7 \right)^{\frac{1}{n}}}{3\cdot 2^{\frac{2}{n}}}=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)^{n^2}\cdot \dfrac{\left(\cos^2 n +\cos n +7 \right)^{\frac{1}{n}}}{3\cdot 2^{\frac{2}{n}}}. \end{equation*}$

Poiché si ha

$6\leq \cos^2 n +\cos n + 7 \leq9\quad \forall n \geq 1,$

abbiamo che

$6^{\frac{1}{n}}\leq \left(\cos^2 n +\cos n + 7 \right)^{\frac{1}{n}} \leq 9^{\frac{1}{n}}\quad \forall n \geq 1.$

Siccome

$\lim_{n\to+\infty}6^{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to+\infty}9^{\frac{1}{n}}=1.$

per il teorema del doppio confronto si ha

(44) $\begin{equation*} \lim_{n\to +\infty}\left(\cos^2 n +\cos n + 7 \right)^{\frac{1}{n}}=1. \end{equation*}$

Sostituendo (44) in (43), si ha

$\ell=\dfrac{e}{3}<1,$

dove è stato utilizzato il fatto che $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}2^{\frac{2}{n}}=1$ e $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)^{n^2}=e$ . Concludiamo che la serie data converge per il criterio della radice.

Esercizi sul criterio dell’integrale

Esercizio 37 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio dell’integrale:

(45) $\begin{equation*} \sum\limits_{n=2}^{+\infty} \frac{\log n}{n^3}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Sia $a_n$ il termine generale della serie data. Notiamo che la successione $\left\{ a_n \right\}$ è positiva e decrescente, pertanto è possibile applicare il criterio dell’integrale, cf. teorema 6. Studiamo la convergenza del seguente integrale improprio:

$\int_1^{+\infty} \frac{\log x}{x^3} dx.$

Per studiarne la convergenza, ricorriamo al calcolo diretto, procedendo per parti:

$\begin{aligned} \int_1^{+\infty} \frac{\log x}{x^3} dx = \left[ -\frac{1}{2} \frac{\log x}{x^2} \right]_1^{+\infty} + \frac{1}{2} \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^3} dx = \left[ -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^2} \right]_1^{+\infty} = \frac{1}{4}<+\infty. \end{aligned}$

L’integrale converge, dunque per il criterio dell’integrale la serie data converge.

Esercizio 38 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio dell’integrale:

$\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{e^n}{1+e^{2n}}.$

Svolgimento.

Osserviamo che la successione $\dfrac{e^n}{1+e^{2n}}$ è a termini positivi e decrescente. Infatti, per ogni $n \in \mathbb{N}$ si ha:

$\begin{aligned} &\dfrac{e^{n+1}}{1+e^{2n+2}}<\dfrac{e^n}{1+e^{2n}} \quad \iff \quad e\left(1+e^{2n}\right)<1+e^{2n+2}\quad \iff \quad e+e^{2n+1}<1+e^{2n+2} \quad \iff \quad\\ &\iff \quad \left(e-1\right)-e^{2n+1}\cdot \left(e-1\right)<0\quad \iff \quad 1-e^{2n+1}<0\quad \iff \quad e^{2n+1}>1. \end{aligned}$

Possiamo quindi applicare il criterio dell’integrale, cf. teorema 6:

$\int_{0}^{+\infty}\dfrac{e^{x}}{1+e^{2x}}\,{\rm d}x\overset{t=e^x}{=}\int_{1}^{+\infty}\dfrac{1}{1+t^2}\,{\rm d}t=\arctan t \bigg \vert^{+\infty}_1 =\dfrac{\pi}{4}.$

Concludiamo per il criterio dell’integrale che la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{e^{n}}{1+e^{2n}}<+\infty$ .

Esercizio 39 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio dell’integrale:

$\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{1}{n\ln n \ln^\alpha \left(\ln n \right)}\qquad \forall \alpha >0.$

Svolgimento.

Osserviamo che la successione $\left\{ \dfrac{1}{n\ln n \ln^\alpha \left(\ln n \right)} \right\}$ è a termini positivi e monotona decrescente. Possiamo applicare quindi il criterio dell’integrale, cf. teorema 6:

$\int_{2}^{+\infty}\dfrac{1}{x \ln x \ln^\alpha (\ln x)}\,{\rm d}x\overset{t=\ln (\ln x)}{=} \int_{\ln \left( \ln 2 \right)}^{+\infty}\dfrac{1}{ t^\alpha }\,{\rm d}t= \begin{cases} \dfrac{1}{1-\alpha}t^{1-\alpha} \bigg \vert^{+\infty}_2=+\infty , \mbox{ se } \alpha<1;\\ \\ \ln t\bigg \vert^{+\infty}_2=+\infty, \mbox{ se } \alpha=1;\\ \\ \dfrac{1}{1-\alpha}t^{1-\alpha} \bigg \vert^{+\infty}_2<+\infty , \mbox{ se } \alpha>1; \end{cases}$

Concludiamo per il criterio dell’integrale che la serie converge se e solo se $\alpha>1$ .

Esercizi sul criterio di Raabe

Esercizio 40 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio di Raabe:

(46) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n!}{n^n}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Poiché la serie è a termini positivi, è possibile applicare il criterio di Raabe, cf. teorema 7.

Abbiamo:

$\begin{aligned} \lim_{n\to+\infty}n\left(\dfrac{n!}{n^n}\cdot\dfrac{\left(n+1\right)^{n+1}}{\left(n+1\right)!}-1\right)&=\lim_{n\to+\infty}n\left(\dfrac{n!\left(n+1\right)^n\left(n+1\right)}{n^n\left(n+1\right)n!}-1\right)=\lim_{n\to+\infty}n\left(\dfrac{\left(n+1\right)^n}{n^n}-1\right)=\\ &=\lim_{n\to+\infty}n\left(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n-1\right)=+\infty. \end{aligned}$

Si conclude che la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n!}{n^n}$ converge.

Esercizio 41 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio di Raabe:

(47) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{4^n+5^n}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Poiché la serie è a termini positivi, è possibile applicare il criterio di Raabe, cf. teorema 7.

Abbiamo:

$\begin{aligned} \lim_{n\to +\infty}n\left(\dfrac{4^{n+1}+5^{n+1}}{4^n+5^n}-1 \right)&=\lim_{n\to +\infty}n\left(\dfrac{4\cdot 4^{n}+5\cdot5^{n}-4^n-5^n}{4^n+5^n} \right)=\lim_{n\to +\infty}n\left(\dfrac{3\cdot 4^{n}+4\cdot5^{n}}{4^n+5^n}\right)=\\ &=\lim_{n\to+\infty}n\left(\dfrac{4+\dfrac{3\cdot 4^n}{5^n}}{1+\dfrac{4^n}{5^n}}\right)=+\infty. \end{aligned}$

Si conclude che la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{4^n+5^n}$ converge.

Esercizio 42 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio di Raabe⁵:

(48) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(2n-1)!!}{n(2n)!!}. \end{equation*}$

Ricordiamo che si definisce doppio fattoriale di $n\in \mathbb{N}$ la quantità definita per ricorrenza come $n!!\coloneqq n(n-2)!!$ , dove si pone per convenzione $(-1)!!\coloneqq 1$ e $0!!\coloneqq 1$ . ↩

Svolgimento.

Poiché la serie è a termini positivi, è possibile applicare il criterio di Raabe, cf. teorema 7.

Sia $\{ a_n \}$ la successione definita da

$a_n=\dfrac{(2n-1)!!}{n(2n)!!}= \dfrac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \dots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6 \cdot\dots \cdot (2n)\,n}\qquad \forall n\geq 1.$

Si ha

(49) $\begin{equation*} \dfrac{a_n}{a_{n+1}}= \dfrac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \dots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6 \cdot\dots \cdot (2n)\,n} \cdot \dfrac{2\cdot 4\cdot 6 \cdot\dots \cdot (2n+2)\,(n+1)}{1\cdot 3\cdot 5\cdot \dots \cdot (2n+1)}=\dfrac{2(n+1)^2}{n(2n+1)} \qquad \forall n \geq 1, \end{equation*}$

dunque

$\begin{aligned} &\lim_{n\to +\infty}n\left(\dfrac{a_n}{a_{n+1}}-1 \right)=\lim_{n\to +\infty}n\left(\dfrac{2(n+1)^2}{n(2n+1)}-1 \right)=\lim_{n\to +\infty}n\left(\dfrac{3n+2}{n(2n+1)}\right)=\frac 3 2>1. \end{aligned}$

Si conclude che la serie data converge per il criterio di Raabe.

Approfondimento. Osserviamo che l’uguaglianza (49) implica che il criterio del rapporto, cf. teorema 4, in questo caso fallisce. Questa è una dimostrazione del fatto che il criterio di Raabe è più forte del criterio del rapporto.

Esercizio 43 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio di Raabe:

(50) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n!}{n^n}\,\alpha^n\qquad \forall \,\alpha>0. \end{equation*}$

Svolgimento.

Poiché la serie è a termini positivi, è possibile applicare il criterio di Raabe, cf. teorema 7.

Abbiamo:

$\begin{aligned} &\lim_{n\to+\infty}n\left(\dfrac{n!\,\alpha^n}{n^n}\cdot\dfrac{\left(n+1\right)^{n+1}}{\left(n+1\right)!\,\alpha^{n+1}}-1\right)=\lim_{n\to+\infty}n\left(\dfrac{\left(n+1\right)^n}{n^n\,\alpha}-1\right)=\lim_{n\to+\infty}n\left(\dfrac{1}{\alpha}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n-1\right). \end{aligned}$

Risulta chiaro che se $\dfrac{e}{\alpha}-1>0$ il limite diverge positivamente e se $\dfrac{e}{\alpha}-1<0$ il limite diverge negativamente, in particolare se $\alpha=e$ abbiamo una forma indeterminata del tipo $[0\cdot +\infty]$ .

Posto $\alpha=e$ si ha:

$\begin{aligned} \lim_{n\to+\infty}n\left(\dfrac{1}{e}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n-1\right)&=\lim_{n\to+\infty}n\left(\exp\left(n\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)-1\right)-1\right)=\\ &=\lim_{n\to+\infty}n\left(\exp\left(n\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n^2}+o\left(\dfrac{1}{n^2}\right)\right)-1\right)-1\right)=\\ &=\lim_{n\to+\infty}n\left(\exp\left(1-\dfrac{1}{2n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)-1\right)-1\right)=\\ &=\lim_{n\to+\infty}n\left(\exp\left(-\dfrac{1}{2n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)-1\right)=\\ &=\lim_{n\to+\infty}n\left(1-\dfrac{1}{2n}-1+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)=-\dfrac{1}{2}<1. \end{aligned}$

Pertanto, per il criterio di Raabe concludiamo che:

$\quad$

se $\alpha\in \left(0,e\right)$ la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n!}{n^n}\alpha^n$ converge;

se $\alpha\in [e,+\infty)$ la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n!}{n^n}\alpha^n$ diverge.

Approfondimento. Se avessimo svolto l’esercizio proposto con il criterio del rapporto, nel caso $\alpha=e$ il criterio sarebbe risultato inefficace. In tal caso, avremmo potuto utilizzare l’approssimazione di Stirling, cf. lemma 9,

$\lim_{n \rightarrow + \infty}\dfrac{n!}{n^n}e^n=\lim_{n \rightarrow + \infty}\dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{2\pi n}\cdot n^n}{e^n} \right)}{n^n}\cdot e^n=\lim_{n \rightarrow + \infty}\sqrt{2\pi n}=+\infty,$

e concludere che, in questo caso, la serie data non converge.

Esercizi sul criterio del logaritmo

Esercizio 44 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio del logaritmo:

(51) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^n}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Poiché la serie è a termini positivi, si può applicare il criterio del logaritmo, cf. teorema 8.

Consideriamo il seguente limite:

$\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{n^n}\right)}{\ln n}=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{-\ln n^n}{\ln n}=\lim_{n\to +\infty}-n=-\infty.$

Pertanto la serie data è convergente.

Esercizio 45 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio del logaritmo:

(52) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\ln\left(\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)^{\sqrt{n}}\right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Poiché la serie è a termini positivi, si può applicare il criterio del logaritmo, cf. teorema 8.

Consideriamo il seguente limite:

$\begin{aligned} &\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\ln\left(\ln\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)^{\sqrt{n}}\right)}{\ln n}=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\ln\left(\sqrt{n}\ln\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)\right)}{\ln n}=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\ln\left(\sqrt{n}\right)+\ln\left(\ln\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)\right)}{\ln n}=\\ &=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\dfrac{1}{2}\ln\left(n\right)+\ln\left(\dfrac{1}{n^2}+o\left(\dfrac{1}{n^2}\right)\right)}{\ln n}=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\dfrac{1}{2}\ln\left(n\right)+\ln\left(\dfrac{1}{n^2}\right)+\ln\left(1+o\left(1\right)\right)}{\ln n}=\\ &=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\dfrac{1}{2}\ln\left(n\right)-2\ln\left(n\right)+o\left(1\right)}{\ln n}=\lim_{n\to+\infty}\ln\left(n\right)\cdot\dfrac{-\dfrac{3}{2}+o\left(1\right)}{\ln n}=-\dfrac{3}{2}<-1. \end{aligned}$

Pertanto la serie data è convergente.

Esercizio 46 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio del logaritmo:

(53) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty} \left(1-\dfrac{1}{n^3}\right)^{n^\alpha}\qquad \forall \alpha>0. \end{equation*}$

Svolgimento.

Poiché la serie è a termini positivi, si può applicare il criterio del logaritmo, cf. teorema 8.

Consideriamo il seguente limite:

$\begin{aligned} &\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\ln\left(1-\dfrac{1}{n^3}\right)^{n^\alpha}}{\ln n}=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n^\alpha\ln\left(1-\dfrac{1}{n^3}\right)}{\ln n}=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{-n^{\alpha-3}\left(1+o\left(1\right)\right)}{\ln n}=\begin{cases} -\infty,&\quad \text{se}\,\,\alpha>3;\\ 0, &\text{se}\,\,\alpha\leq 3. \end{cases} \end{aligned}$

Pertanto la serie (53) è convergente se e solo se $\alpha>3$ .

Esercizio 47 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio del logaritmo:

(54) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{\sqrt[n]{\left(n!\right)^\alpha}}\qquad \forall \alpha>0. \end{equation*}$

Svolgimento.

Poiché la serie è a termini positivi, si può applicare il criterio del logaritmo, cf. teorema 8.

Consideriamo il seguente limite:

$\begin{aligned} &\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{\sqrt[n]{\left(n!\right)^\alpha}}\right)}{\ln n}=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{-\ln\left({\sqrt[n]{\left(n!\right)^\alpha}}\right)}{\ln n}=\\ &=\lim_{n\to+\infty}-\dfrac{\alpha\ln\left(n!\right)}{n\ln n}\overset{\clubsuit}{=}\lim_{n\to+\infty}-\dfrac{\alpha\ln\left(\dfrac{\sqrt{2\pi n}n^n}{e^n}\left(1+o\left(1\right)\right)\right)}{n\ln n}=\\ &=-\alpha\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\ln\sqrt{2\pi}+\dfrac{1}{2}\ln n +n\ln n-n\ln e +\ln\left(1+o\left(1\right)\right)}{n\ln n}=-\alpha, \end{aligned}$

dove in $\clubsuit$ abbiamo utilizzato l’approssimazione di Stirling, cf. lemma 9. Pertanto la serie (54) è convergente per $-\alpha<-1$ , cioè $\alpha>1$ . Per il caso $\alpha=1$ è necessario applicare un altro criterio, perché il criterio del logaritmo non risulta efficace.

Approfondimento. Studiamo il caso $\alpha=1$ con il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2. Utilizzando l’approssimazione di Stirling, cf. lemma 9, otteniamo che per $n \to + \infty$ si ha

$\dfrac{1}{\sqrt[n]{n!}}= \dfrac{e}{n (2\pi n )^{\frac 1 n}}(1+o(1))= \dfrac{e}{n}(1+o(1)),$

dunque la serie data diverge per $\alpha=1$ per i risultati sulla serie armonica, cf. lemma 7.

Riferimenti bibliografici

[1] Andrews G. E., Askey R., Roy R.; Special functions, Encyclopedia of Mathematics and Its Appliications #71, Cambridge University Press 1999.

[2] Apostol, T. M.; Calculus, Volume I: One-Variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra, John Wiley & Sons 1967.

[3] Dedekind R., Essays on the Theory of Numbers: I. Continuity and Irrational Numbers, II. The Nature and Meaning of Numbers (translated by W.W. Beman), Chicago, Open Court Publishing, 1901.

[4] Giusti, E.; Analisi matematica 1, I Programma di matematica fisica elettronica, Bollati Boringhieri 1992.

[5] Havil, J., Gamma: Exploring Euler’s Constant, Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.

[6] Kifowit, Steven J.; Stamps, Terra A. (Spring 2006). “The harmonic series diverges again and again” (PDF). AMATYC Review. American Mathematical Association of Two-Year Colleges. 27 (2): 31–43.

[7] Muresan, M. ; A Concrete Approach to Classical Analysis, CMS Books in Mathematics, Springer 2008.

[8] Problem 12215. proposto da O. Furdui and A. Sintamarian (Romania), American Mathematical Monthly, Vol.127, November 2020.

[9] Rudin, W.; Principles of mathematical analysis, International series in pure and applied mathematics, McGraw-Hill 1976.

[10] Rudin, W.; Real and complex analysis, International series in pure and applied mathematics, McGraw-Hill 1987.

[11] Teismann H., Toward a More Complete List of Completeness Axioms (vol. 120), The American Mathematical Monthly, 2013.

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