Esercizi sulle serie a termini di segno variabile

Esercizi Serie a termini di segno variabile

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In questo articolo, presentiamo 18 esercizi sulle serie numeriche a termini di segno variabile. I problemi sono completamente risolti utilizzando i criteri più famosi, oltre ad alcuni criteri meno noti, così da offrire al lettore una panoramica completa delle tecniche risolutive. La raccolta è indicata per gli studenti dei corsi di Analisi Matematica 1 e per appassionati che desiderano cimentarsi con problemi originali e stimolanti.
Forniamo un sunto della teoria necessaria nei richiami teorici della sezione 1, rimandando a Teoria sulle serie numeriche per ulteriori dettagli e le dimostrazioni dei risultati enunciati.

Segnaliamo anche gli ulteriori esercizi sulle serie numeriche:

Buona lettura!

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Jacopo Garofali

Revisori: Sara Sottile, Matteo Talluri.

Prerequisiti

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In queste note si presuppone la conoscenza di alcuni concetti di base dell’analisi matematica, tra cui i numeri (naturali, interi, reali, complessi), il principio di induzione, il concetto di successione numerica e di limite di una successione. Inoltre, per la comprensione del teorema 6, è necessario che il lettore sia familiare con la nozione di integrale di Riemann di una funzione reale di variabile reale. Infine, in molti esercizi facciamo uso degli sviluppi di Taylor delle funzioni elementari.

Notazioni

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$\mathbb{N}=\{ 0,1, \dots \}$	Insieme dei numeri naturali;
$\mathbb{Z}$	Insieme dei numeri interi relativi;
$\mathbb{R}$	Insieme dei numeri reali;
$\mathbb{C}$	Insieme dei numeri complessi;
$\displaystyle \sum_{n=N}^Ma_n=a_N+a_{N+1}+\dots + a_M$	Somma di un numero finito di termini;
$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n=a_1+a_{2}+\dots$	Serie numerica di termine generale $a_n$ ;
$\displaystyle \prod_{n=N}^{M}a_n=a_N\cdot a_{N+1}\cdot \dots \cdot a_M$	Prodotto di un numero finito di termini;
$\displaystyle \prod_{n=1}^{+ \infty}a_n=a_1\cdot a_2 \cdot \dots$	Prodotto infinito di termine generale $a_n$ ;
$\|x\|$	Modulo di un numero $x \in \mathbb{R}$ (risp. $x \in \mathbb{C}$ );
$\sqrt[n]{x}$	Radice $n$ -esima un numero $x \in \mathbb{R}$ (quando esiste);
$n!$	Fattoriale di un numero $n \in\mathbb{N}$ ;
$n!!$	Doppio fattoriale di un numero $n \in\mathbb{N}$ ;
$e$	Numero di Nepero;
$\ln{x}$	Logaritmo naturale di un numero $x >0$ ;
$\sin{x}$	Seno di un numero $x \in \mathbb{R}$ ;
$\cos{x}$	Coseno di un numero $x \in \mathbb{R}$ ;
$\arctan{x}$	Arcotangente di un numero $x \in \mathbb{R}$ ;
$\lim_{n\rightarrow +\infty}$	Limite di una successione;
$\limsup_{n\rightarrow +\infty}$	Limite superiore di una successione;
$\liminf_{n\rightarrow +\infty}$	Limite inferiore di una successione;
$o(1)$	Simbolo di Landau o-piccolo di 1;
$\sim$	Relazione di asintotica equivalenza.;
$\int_a^b f(x)\,{\rm d}x$	Integrale definito tra $a$ e $b$ di una funzione.

Introduzione

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Le serie generalizzano l’operazione di addizione sui numeri reali nel caso in cui ad essere sommati siano un numero infinito di termini. Data una successione $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ possiamo considerare la successione delle some parziali associata a $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ , denotata con $\left\{ S_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ , definita da

( $\ast$ ) $\begin{equation*} \begin{split} S_n:&=\sum\limits_{k=0}^n a_k \qquad \forall n \in \mathbb{N}, \end{split} \end{equation*}$

cioè la somma dei primi $n$ termini della successione, al variare di $n$ .

Definizione 1 (serie numerica). Se il limite della successione delle somme parziali (*) esiste, si pone

$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n \coloneqq \lim_{n\rightarrow +\infty}S_n \in \mathbb{R} \cup \left\{ \pm \infty \right\}.$

Se tale limite è finito, diciamo che la {serie} associata alla successione $\{ a_n \}$ è convergente, e che converge a tale limite. Se, invece, tale limite è finito o non esiste, diciamo che la serie associata alla successione $\{ a_n \}$ è non convergente.

$\quad$

Nel caso in cui la serie sia non convergente possiamo distinguere tre casi:

$\quad$

Il limite esiste e vale $\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n =+\infty$ ;

Il limite esiste e vale $\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n =-\infty$ ;

Il limite non esiste.

Nel primo caso diciamo che la serie è divergente positivamente, nel secondo caso che è divergente negativamente e nel terzo caso che è indeterminata.

Richiami di teoria

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In questa sezione richiamiamo alcuni risultati fondamentali della teoria delle serie numeriche, necessari per la risoluzione degli esercizi proposti. Per maggiori dettagli si veda Teoria sulle serie numeriche.

Proposizione 1 (condizione necessaria per la convergenza). Sia $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n$ una serie convergente. Allora, il suo termine generale è infinitesimo, i.e. si ha

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n = 0.$

Lemma 1 (convergenza delle serie a termini di segno costante). Le serie a termini di segno definitivamente non negativo (risp. non positivo) possono essere convergenti o divergenti positivamente (risp. negativamente), ma non indeterminate.

Lemma 2. Due successioni che differiscono definitivamente di una costante hanno lo stesso carattere.

Corollario 1. Sia $\{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R}$ una successione. Per ogni $p >0$ , le serie

$\sum_{n=0}^{+\infty}a_n \quad \mbox{e} \quad \sum_{n=p}^{+\infty}a_n$

hanno lo stesso carattere.

Corollario 2. Siano $\{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}},\{ b_n \}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R}$ due successioni che coincidono definitivamente. Allora, le serie

$\sum_{n=0}^{+\infty}a_n \quad \mbox{e} \quad \sum_{n=0}^{+\infty}b_n$

hanno lo stesso carattere.

Lemma 3. Sia $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ una serie convergente. Allora, per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$ , la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(\alpha\, a_n)$ converge, e si ha

(1) $\begin{equation*} \sum_{n=0}^{+\infty}(\alpha\, a_n)=\alpha\sum_{n=0}^{+\infty}a_n. \end{equation*}$

Se, invece, la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ diverge, allora $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(\alpha\, a_n)$ diverge per ogni $\alpha \neq 0$ .

Lemma 4. Siano date le serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n$ e $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n$ . Allora,

$\quad$

se entrambe le serie convergono, anche la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(a_n+b_n)$ converge e si ha
$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\left(a_n+b_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n+\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n;$

se entrambe le serie divergono positivamente (risp. negativamente), oppure se una diverge positivamente (risp. negativamente) e l’altra converge, allora la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(a_n+b_n)$ diverge positivamente (risp. negativamente).

Lemma 5 (somma geometrica). Sia $x \in \mathbb{R}$ . Allora, vale che:

$\sum_{k=0}^nx^k=\begin{cases} \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x\phantom{h}}, \mbox{ se } x \neq 1;\\ \\ n+1, \mbox{ se } x = 1. \end{cases}$

Proposizione 2 (carattere serie geometrica]. Sia $x \in \mathbb{R}$ . La serie geometrica di ragione $x$ vale

(2) $\begin{equation*} S\coloneqq \sum_{n=0}^{+\infty}x^n =\begin{cases} \dfrac{1}{1-x}, \qquad & \text{se } x \in (-1,1) ; \\\\ +\infty, \qquad & \text{se } x \in[1,+\infty);\\\\ {\rm indeterminata}, \qquad & \text{se } x \in(-\infty,-1]. \end{cases} \end{equation*}$

Lemma 6 (somma telescopica). Sia $\{ b_n \}\subset \mathbb{R}$ una successione. Allora, vale che

(3) $\begin{equation*} \sum_{k=0}^{n}\left( b_{k+1}-b_k\right) = b_{n+1}-b_0. \end{equation*}$

Proposizione 3 (carattere serie telescopica). Sia $\displaystyle S= \sum_{n=0}^{+\infty}(b_{n+1}-b_n)$ una serie telescopica, allora vale:

(4) $\begin{equation*} S\coloneqq \sum_{n=0}^{+\infty}(b_{n+1}-b_n)= \begin{cases} \left( \lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n \right)-b_0, \qquad & \mbox{se esiste } \lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n; \\\\ {\rm indeterminata}, \qquad & \mbox{altrimenti}. \end{cases} \end{equation*}$

$\quad$

I prossimi risultati forniscono i principali strumenti da utilizzare nello studio della convergenza delle serie numeriche a termini non negativi.

Teorema 1 (criterio del confronto). Siano $\{a_n\},\{b_n\}$ due successioni numeriche tali che definitivamente vale $0\leq a_n\leq b_n$ . Allora, si ha:

$\quad$

$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n < +\infty \implies \sum_{n=0}^{+\infty}a_n < +\infty$

$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n = +\infty \implies \sum_{n=0}^{+\infty}b_n = +\infty$

Teorema 2 (criterio del confronto asintotico). Siano $\{a_n\},\{b_n\}$ due successioni a termini definitivamente positivi e tale che $b_n >0$ definitivamente. Supponiamo che

$\lim_{n\to +\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\ell\in[0,+\infty].$

Si ha che

$\quad$

Se $\ell=0\,$ e $\,\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n<+\infty$ , allora $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n<+\infty$ ;

se $\ell=+\infty\,$ e $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_n=+\infty$ , allora $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n=+\infty$ ;

se $\ell \in(0,+\infty)\,$ , allora $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_n<+\infty$ se e solo se $\,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n<+\infty$ .

Teorema 3 (criterio di condensazione di Cauchy). Sia $\{a_n\}_{n\geq 1}$ una successione a termini positivi e monotona non crescente, ovvero

$a_n\geq a_{n+1}>0 \qquad \forall n \geq 1.$

Allora, le serie

$\sum_{n=1}^{+\infty }a_n \qquad \mbox{e} \qquad \sum_{n=0}^{+\infty }2^na_{2^n}$

hanno lo stesso carattere.

Lemma 7 (serie armonica generalizzata del primo tipo). Sia $\alpha \in \mathbb{R}$ . Allora,

$S_\alpha = \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^\alpha} \quad \begin{cases} \text{converge}, \quad &\text{se}\,\,\alpha>1;\\ \text{diverge}, &\text{se}\,\,\alpha \leq 1. \end{cases}$

Lemma 8 (serie armonica generalizzata del secondo tipo). Siano $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ . Allora,

$S_{\alpha,\beta} = \sum\limits_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n^\alpha(\ln n)^\beta} \quad \begin{cases} {\text{converge}},&\text{se}\,\, \alpha >1\, \lor \, \left( \alpha =1\, \wedge \, \beta >1 \right);\\ +\infty ,&\text{se}\,\,\alpha <1\, \lor \, \left( \alpha =1\, \wedge \, \beta \leq 1 \right). \end{cases}$

Teorema 4 (criterio del rapporto). Sia $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ una serie a termini definitivamente positivi tale che

(5) $\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\ell\in[0,+\infty]. \end{equation*}$

Allora, vale che:

$\quad$

Se $\ell\in [0,1)$ , la serie converge;

Se $\ell\in(1,+\infty]$ , la serie diverge;

Se $\ell=1$ , il criterio è inconcludente.

Teorema 5 (criterio della radice). Sia $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ una serie a termini definitivamente positivi tale che

(6) $\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty }\sqrt[n]{a_{n}}=\ell\in[0,+\infty]. \end{equation*}$

Allora, vale che:

$\quad$

Se $\ell\in [0,1)$ , la serie converge;

Se $\ell\in(1,+\infty]$ , la serie diverge;

Se $\ell=1$ , il criterio è inconcludente.

Teorema 6 (criterio dell’integrale). Sia $\{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}}$ una successione a termini positivi e decrescente e sia $f:[1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione positiva e decrescente tale che $f(n) = a_n$ per ogni $n\in\mathbb{N}$ . Allora, l’integrale improprio $\displaystyle \int\limits_{1}^{+\infty}f(x)\,{\rm d}x$ ha lo stesso carattere della serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ .

Teorema 7 (criterio di Raabe). Sia $\displaystyle \sum_{n =1}^{+\infty} a_n$ una serie a termini definitivamente positivi, e supponiamo che esista

$\ell = \lim_{n \to +\infty} n \bigg( \frac{a_n}{a_{n+1}} -1 \bigg).$

Allora, vale che:

$\quad$

Se $\displaystyle \ell\in(1,+\infty]$ , la serie converge;

Se $\displaystyle\ell \in [-\infty,1)$ , la serie diverge;

Se $\displaystyle \ell=1$ , il criterio è inconcludente.

Teorema 8 (criterio del logaritmo). Sia $\displaystyle \sum_{n =1}^{+\infty} a_n$ una serie a termini definitivamente positivi e supponiamo che esista

$\ell = \lim_{n \to +\infty}\dfrac{\ln a_n}{\ln n }.$

Allora, vale che:

$\quad$

Se $\ell \in [-\infty,-1)$ , la serie converge;

Se $\ell \in (-1,+\infty]$ , la serie diverge;

Se $\ell=-1$ , il criterio è inconcludente.

$\quad$

Per quanto riguarda le serie a termini di segno variabile, abbiamo i seguenti risultati.

Definizione 2 (convergenza assoluta). Sia $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ una successione. Diremo che la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ è assolutamente convergente, oppure converge assolutamente, se

$\sum_{n=0}^{+\infty}\left|a_n\right| < +\infty.$

Proposizione 4 (criterio della convergenza assoluta). Sia $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ una successione. Se la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ converge assolutamente, allora converge semplicemente.

Teorema 9 (criterio di Leibniz). Sia $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R}$ una successione che soddisfa le seguenti proprietà:

$\quad$

$\{a_n\}$ è definitivamente monotona;

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n = 0$ .

Allora, la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n a_n$ è convergente.

Teorema 10 (criterio di Dirichlet). Siano $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}}, \{ b_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ due successioni tale che:

$\quad$

la successione $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ è definitivamente monotona;

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n = 0$ ;

la successione $\{B_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ delle somme parziali di $\left\{ b_n \right\}$ è limitata.

Allora, la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n b_n$ è convergente.

Teorema 11 (criterio di Abel). Siano $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}}, \{ b_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ due successioni tale che

$\quad$

la successione $\{a_n\}$ è definitivamente monotona e limitata.

$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n$ converge;

Allora, la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n b_n$ è convergente.

$\quad$

Infine, ricordiamo la stima asintotica del fattoriale.

Lemma 9 (approssimazione di Stirling). Si ha

(7) $\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{n!}{\left( \dfrac{n}{e}\right)^n\sqrt{2\pi n}}=1, \end{equation*}$

o, equivalentemente,

(8) $\begin{equation*} n! =\sqrt{2\pi n} \left( \dfrac{n}{e}\right)^n(1+o(1)) \qquad \mbox{per } n \rightarrow + \infty. \end{equation*}$

Esercizi

In questa sezione presentiamo vari esercizi svolti.

Esercizi sul criterio della convergenza assoluta

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio della convergenza assoluta:

(9) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{\log n}{n^4}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Ricordiamo che

$\forall x >0 \qquad \log(x)\leq x-1 <x,$

dunque si ha

$|a_n|= \frac{\log n}{n^4}<\frac{n}{n^4}=\frac{1}{n^3}\qquad \forall n \in \mathbb{N}^*,$

per cui la serie converge assolutamente per confronto con la serie armonica generalizzata, cf. lemma 7.

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio della convergenza assoluta:

(10) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n \dfrac{\cos n }{\ln\left(1+n^{n^2}\right)}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Si consideri la serie

(11) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left \vert (-1)^n \dfrac{\cos n}{\ln\left(1+n^{n^2}\right)}\right \vert =\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left \vert \cos n \right \vert }{\ln\left(1+n^{n^2}\right)}\leq \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{\ln\left(1+n^{n^2}\right)}\leq \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2\ln\left(n\right)}. \end{equation*}$

Poiché la serie

$\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2\ln n }$

converge, cf. lemma 8, la serie data converge assolutamente per il criterio del confronto, cf. teorema 1, e dunque anche semplicemente, per il criterio della convergenza assoluta, cf. proposizione 4.

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio della convergenza assoluta:

(12) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n^2\sin \left(n\right)}{n^4+7n}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Abbiamo

(13) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left \vert \dfrac{n^2\sin \left(n\right)}{n^4+7n}\right \vert \leq \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{n^2}{n^4+7n}\leq \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}<+ \infty, \end{equation*}$

dove nell’ultima disuguaglianza abbiamo utilizzato i risultati sulla serie armonica generalizzata, cf. lemma 7. Concludiamo che la serie data converge assolutamente per il criterio del confronto, cf. teorema 1, e quindi anche semplicemente per il criterio della convergenza assoluta, cf. proposizione 4.

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio della convergenza assoluta:

(14) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\sin\left(\pi n+\dfrac{1}{n}\right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Si osserva che se $n$ è pari si ha

$\sin\left(\pi n+\dfrac{1}{n}\right)=\sin \left(\dfrac{1}{n}\right),$

mentre se $n$ è dispari, si ha

$\sin\left(\pi n+\dfrac{1}{n}\right)=-\sin \left(\dfrac{1}{n}\right).$

Quindi la serie data può essere riscritta come segue:

(15) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\sin\left( \dfrac{1}{n}\right). \end{equation*}$

Studiamone la convergenza assoluta:

(16) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left \vert (-1)^n\sin\left(\dfrac{1}{n}\right)\right \vert =\sum_{n=1}^{+\infty}\sin\left(\dfrac{1}{n}\right). \end{equation*}$

Per $n\to+\infty$ abbiamo che:

$\sin\left(\dfrac{1}{n}\right)=\dfrac{1}{n}(1+o\left(1\right)),$

dunque la serie (16) diverge per il lemma 7 e il teorema 2. Concludiamo che in questo caso il criterio della convergenza assoluta, cf. proposizione 4, risulta inefficace.

Approfondimento. La serie data, cf. (15), è una serie a segni alterni che converge semplicemente ma non assolutamente. Infatti, poiché la successione definita da

$a_n \coloneqq \sin \left( \frac 1 n \right) \qquad \forall n\in \mathbb{N}$

è definitivamente decrescente, e infinitesima, dal criterio di Leibniz, cf. teorema 9, la serie data risulta convergente.

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio della convergenza assoluta:

(17) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sin(4n^3)}{n(n+1)}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Sia $a_n$ il termine generale della serie data. Osserviamo che termini della serie hanno segno variabile (non necessariamente alterni). Ricordando che $|\sin\alpha|\leq1$ per ogni $\alpha\in\R$ , abbiamo

$|a_n|=\frac{|\sin(4n^3)|}{n(n+1)}\leq\frac{1}{n(n+1)},$

per cui la serie converge assolutamente, ad esempio per confronto con la serie di Mengoli, oppure per confronto asintotico, cf. teorema 2, e quindi converge, cf. proposizione 4.

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio della convergenza assoluta:

(18) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n \sin\left( \ln (n)\right) }{\sqrt{n}+\ln^2\left(n! \right)} . \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\left \vert \dfrac{n \sin\left( \ln (n)\right) }{\sqrt{n}+\ln^2\left(n! \right)}\right \vert \leq \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n }{\ln^2\left(n! \right)}.$

È facile convincersi, ad esempio tramite induzione, che vale³

(19) $\begin{equation*} n! >\left( \dfrac{n}{3} \right)^n \qquad \forall n\in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Dunque, abbiamo

(20) $\begin{equation*} \ln(n!)>\ln\left( \dfrac{n}{3} \right)^n=n\ln\left( \dfrac n 3 \right) \qquad \forall n\in \mathbb{N}, \end{equation*}$

e quindi

$\dfrac{n }{\ln^2\left(n! \right)} \leq \dfrac{n }{n^2\ln^2\left( \dfrac n 3 \right)}=\dfrac{1 }{n\ln^2\left( \dfrac n 3 \right)}\qquad \forall n >3.$

Notiamo che la serie

$\sum_{n=4}^{+\infty} \dfrac{1 }{n\ln^2\left( \dfrac n 3 \right)}$

è convergente, cf. lemma 8, quindi per il criterio del confronto, cf. teorema 1, la serie data converge assolutamente, e dunque anche semplicemente per il criterio della convergenza assoluta, cf. proposizione 4.

Il passo base è ovvio, mentre il passo induttivo segue dal fatto che $\forall n \in \mathbb{N}\quad (1+1/n)^n<3$ . ↩

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio della convergenza assoluta:

(21) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\dfrac{1}{1+n^\alpha}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n \qquad \forall \alpha>0. \end{equation*}$

Svolgimento.

Consideriamo la serie

$\sum_{n=1}^{+\infty}\left \vert (-1)^n\dfrac{1}{1+n^\alpha}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\right \vert =\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{1+n^\alpha}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n,$

e notiamo che, per $n\to+\infty$ , si ha:

$\dfrac{1}{1+n^\alpha}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=\dfrac{e}{n^\alpha}\left(1+o\left(1\right)\right).$

Poiché la serie

$\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{e}{n^\alpha}$

è convergente per $\alpha\in (1,+\infty)$ , la serie data converge assolutamente per $\alpha \in (1,+\infty)$ per il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2, e quindi per tali valori di $\alpha$ converge semplicemente, cf. proposizione 4. Per $\alpha \in (0,1)$ il criterio risulta inefficace.

Approfondimento. La serie data, per $\alpha \in (0,1)$ , è una serie a segni alterni che converge semplicemente ma non assolutamente. Infatti, poiché la successione definita da

$a_n \coloneqq \dfrac{1}{1+n^{\alpha}}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n \qquad \forall n\in \mathbb{N}$

è definitivamente decrescente, e infinitesima, dal criterio di Leibniz, cf. teorema 9, la serie a segni alterni associata risulta convergente.

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio della convergenza assoluta:

(22) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\dfrac{e^{n\left(\alpha^2 -2\alpha\right)}}{3n} \qquad \forall \alpha>0. \end{equation*}$

Svolgimento.

Consideriamo la serie

$\sum_{n=1}^{+\infty}\left \vert (-1)^n \dfrac{e^{n\left(\alpha^2 -2\alpha\right)}}{3n} \right \vert =\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{e^{n\left(\alpha^2 -2\alpha\right)}}{3n}.$

Poiché abbiamo

$\alpha >0 \; \wedge\; \alpha^2-2\alpha>0 \quad \iff \quad \alpha>2,$

concludiamo che la serie non converge per $\alpha>2$ in quanto il termine generale non è infinitesimo, cf. proposizione 1. Per studiare la convergenza assoluta nel caso $\alpha \in (0,2)$ , osserviamo che

${\dfrac{e^{n\left(\alpha^2 -2\alpha\right)}}{3n}}\leq e^{n(\alpha^2-2\alpha)}=\left( e^{\alpha^2-2\alpha} \right)^n \qquad \forall n \in \mathbb{N}.$

Per $\alpha \in (0,2)$ , la serie

$\sum_{n=1}^{+\infty} \left(e^{\alpha^2-2\alpha} \right)^n$

è geometrica di ragione minore di 1, ed è dunque convergente, cf. proposizione 2. Concludiamo, per il criterio del confronto, cf. teorema 1, che la serie data converge assolutamente per $\alpha\in (0,2)$ , e dunque anche semplicemente per il criterio della convergenza assoluta, cf. proposizione 4. Infine, se $\alpha=0$ o $\alpha=2$ , la serie non converge assolutamente in quanto la serie dei moduli è

$\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{3n},$

dunque è proporzionale a una serie armonica divergente, cf. lemma 7. In questo caso, quindi, il criterio della convergenza assoluta risulta inefficace.

Approfondimento. La serie data, per $\alpha \in (0,1)$ , è una serie a segni alterni che converge semplicemente ma non assolutamente. Infatti, poiché la successione definita da

$a_n \coloneqq \dfrac{1}{1+n^{\alpha}}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n \qquad \forall n\in \mathbb{N}$

è definitivamente decrescente, e infinitesima, dal criterio di Leibniz, cf. teorema 9, la serie a segni alterni associata risulta convergente.

La serie data, per $\alpha=0$ e $\alpha=2$ , diventa

$\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\dfrac{1}{3n},$

e si vede facilmente che essa è convergente per il criterio di Leibniz, cf. teorema 9.

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio della convergenza assoluta:

(23) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(n^2+3\right)\left(\dfrac{\alpha+1}{\alpha-1}\right)^n \qquad \forall \alpha \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Studiamo la convergenza assoluta della serie data, ovvero il carattere della serie

(24) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(n^2+3\right)\left \vert \dfrac{\alpha+1}{\alpha-1} \right \vert^n. \end{equation*}$

Applicando il criterio della radice, cf teorema 5, otteniamo

$\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\left(n^2+3\right)\left \vert \dfrac{\alpha+1}{\alpha-1} \right \vert^n}=\left \vert \dfrac{\alpha+1}{\alpha-1}\right \vert.$

Osserviamo che

$\begin{gathered} \left \vert \dfrac{\alpha+1}{\alpha-1}\right \vert<1 \quad \iff \quad \begin{cases} \dfrac{\alpha +1}{\alpha -1}<1\\\\ \dfrac{\alpha +1}{\alpha -1}>-1 \end{cases} \quad \iff \quad \begin{cases} \dfrac{2}{\alpha -1}<0\\\\ \dfrac{2\alpha}{\alpha -1}>0 \end{cases} \quad \iff \quad \\ \quad \iff \quad \begin{cases} \alpha <1\\ \alpha <0 \quad \vee \quad \alpha >1 \end{cases}\quad \iff \quad \alpha<0. \end{gathered}$

Concludiamo che la serie data converge assolutamente, e dunque semplicemente, cf. proposizione 4, per $\alpha<0$ e non converge per $\alpha>0$ in quanto il termine generale non è infinitesimo, cf. proposizione 1. Per $\alpha=0$ , il criterio della radice risulta inefficace. In questo caso, la serie (24) è la seguente

$\sum_{n=1}^{+\infty}\left(n^2+3\right),$

che diverge positivamente in quanto $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \left(n^2+3\right)=+\infty$ . In conclusione, la serie data converge se e solo se $\alpha \in(-\infty,0)$ .

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Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio della convergenza assoluta:

(25) $\begin{equation*} \sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^n\dfrac{\left(n+1\right)^{\alpha n}}{n^n \ln n} \qquad \forall \alpha\in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Studiamo la convergenza assoluta della serie data, ovvero il carattere della serie

(26) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(n+1\right)^{\alpha n}}{n^n \ln n}. \end{equation*}$

Applicando il criterio della radice, cf teorema 5, otteniamo

$\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\dfrac{\left(n+1\right)^{\alpha n}}{n^n \ln n}}=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\left(n+1\right)^\alpha}{n\ln^{\frac{1}{n}} n}=\lim_{n\to+\infty}n^{\alpha-1}\left(1+o\left(1\right)\right)=\begin{cases} 0, \quad \text{se}\,\,\alpha <1;\\ 1, \quad \text{se}\,\,\alpha =1;\\ +\infty, \quad \text{se}\,\,\alpha >1.\\ \end{cases}$

Pertanto, la serie data converge assolutamente, e dunque anche semplicemente, cf. proposizione 4, per $\alpha<1$ , mentre non converge per $\alpha>1$ in quanto il termine generale non è infinitesimo, cf. proposizione 1. Per $\alpha=1$ il criterio della radice risulta inefficace. In questo caso, la serie (26) è la seguente

$\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{\left(n+1\right)^n}{n^n\ln n}.$

Notiamo che per $n\to+\infty$ , si ha

$\dfrac{\left(n+1\right)^n}{n^n\ln n}=\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n}{\ln n}=\dfrac{e}{\ln n}(1+o\left(1\right)),$

e, inoltre, che definitivamente vale

$\dfrac{e}{\ln n}>\dfrac{1}{n}.$

Pertanto, per il criterio del confronto, cf. teorema 1, e dai risultati sulla serie armonica, cf. lemma 7, concludiamo che la serie data non converge assolutamente per $\alpha=1$ .

Approfondimento. La serie data, per $\alpha=1$ , è una serie a segni alterni che converge semplicemente ma non assolutamente. Infatti, poiché la successione definita da

$a_n \coloneqq \dfrac{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n}{\ln n} \qquad \forall n>1$

è definitivamente decrescente, e infinitesima, dal criterio di Leibniz, cf. teorema 9, la serie a segni alterni associata risulta convergente.

Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio della convergenza assoluta:

(27) $\begin{equation*} \sum_{n=\lfloor 2^{1/\alpha}\rfloor +1}^{+\infty}(-1)^n\left( 2\arctan\left(\dfrac{1}{n^\alpha}\right)+\ln\left(1-\dfrac{2}{n^\alpha}\right)+\dfrac{2}{n^{2\alpha}} \right) \qquad \forall \alpha>0. \end{equation*}$

Svolgimento.

Sviluppando per $n\to+\infty$ il termine

$a_n \coloneqq 2\arctan\left(\dfrac{1}{n^\alpha}\right)+\ln\left(1-\dfrac{2}{n^\alpha}\right)+\dfrac{2}{n^{2\alpha}},$

si ottiene:

$a_n = \dfrac{2}{n^\alpha}-\dfrac{2}{3n^{3\alpha}}-\dfrac{2}{n^\alpha}-\dfrac{4}{2n^{2\alpha}}-\dfrac{8}{3n^{3\alpha}}+\dfrac{2}{n^{2\alpha}}+o\left(\dfrac{1}{n^{3\alpha}}\right) =-\dfrac{10}{3n^{3\alpha}}+o\left(\dfrac{1}{n^{3\alpha}}\right).$

Dunque, la serie associata ad $\{ a_n \}$ è a termini definitivamente negativi, da cui deduciamo che in questo caso la convergenza assoluta è equivalente alla convergenza semplice. Applicando il criterio del confronto asintotico, cf. teorema 2, vediamo che la serie data ha lo stesso carattere della serie

$\sum_{n=1}^{+\infty}-\dfrac{10}{3n^{3\alpha}},$

che risulta essere convergente (negativamente) se e solo se $\alpha\in \left(\dfrac{1}{3},+\infty\right)$ , cf. lemma 7. Pertanto, la serie data converge se e solo se $\alpha \in \left(\dfrac{1}{3},+\infty\right)$ .

Esercizi sui criteri di Leibniz e Dirichlet

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio di Leibniz:

(28) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\log(n+1)}. \end{equation*}$

Svolgimento.

La serie data è a segni alterni, quindi si può applicare il criterio di Leibniz, cf. teorema 9.

Osserviamo che, posto $a_n\coloneqq \dfrac{1}{\log(n+1)}$ , si ha $\lim_{n\rightarrow+\infty}a_n=0$ e anche

$\forall n \geq 1 \quad \log(n+1)<\log(n+2)\implies \frac{1}{\log(n+1)}>\frac{1}{\log(n+2)}\implies a_{n}>a_{n+1}.$

Segue che la successione $\left\{ a_n \right\}$ è decrescente ed infinitesima, e quindi la serie converge per Leibniz.

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio di Leibniz:

(29) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(-1\right)^n\dfrac{n+1}{n^2+1}. \end{equation*}$

Svolgimento.

La serie data è a segni alterni, quindi si può applicare il criterio di Leibniz, cf. teorema 9.

Posto $a_n\coloneqq \dfrac{n+1}{n^2+1}$ , si ha $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}a_n=0$ e

$\begin{aligned} \forall n \geq 1 \qquad a_{n+1}-a_n&=\frac{n+2}{(n+1)^2+1}-\frac{n+1}{n^2+1}=\frac{n+2}{n^2+2n+2}-\frac{n+1}{n^2+1}=\\ &=\frac{n^3+n+2n^2+2-n^3-n^2-2n^2-2n-2n-2}{(n^2+2n+2)(n^2+1)}=\\ &=\frac{-n^2-3n}{(n^2+2n+2)(n^2+1)}<0, \end{aligned}$

per cui la successione $\left\{ a_n \right\}$ è infinitesima e decrescente. Per il criterio di Leibniz, concludiamo che la serie data converge.

Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio di Leibniz:

(30) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(-1\right)^n\dfrac{n^2+4n+8}{n^3+2n^2+7n}. \end{equation*}$

Svolgimento.

La serie data è a segni alterni, quindi si può applicare il criterio di Leibniz, cf. teorema 9.

Posto $a_n\coloneqq \dfrac{n^2+4n+8}{n^3+2n^2+7n}$ , si ha che

$\lim_{n\to +\infty}a_n= \lim_{n\to +\infty} \dfrac{n^2+4n+8}{n^3+2n^2+7n}=\lim_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n}(1+o(1))=0.$

Consideriamo la funzione $f: \mathbb{R}\setminus \{0\} \to \mathbb{R},\; f(x)=\dfrac{x^2+4x+8}{x^3+2x^2+7x}$ , cosicché

$f(n)=a_n \qquad \forall n \in \mathbb{N}^*,$

e osserviamo che

$f^\prime(x)=-\dfrac{x^4+8x^3+25x^2+32x+56}{x^2\left(x^2+2x+7\right)^2}=-\dfrac{1}{x^2}(1+o(1))<0\qquad \text{per}\,\, x\to+\infty.$

Quindi, $\{ a_n \}$ è definitivamente decrescente, e per il criterio di Leibniz concludiamo che la serie data converge.

Esercizio 15 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio di Leibniz:

(31) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(-1\right)^n\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{n\ln n }. \end{equation*}$

Svolgimento.

La serie data è a segni alterni, quindi si può applicare il criterio di Leibniz, cf. teorema 9.

Si osserva che

$\lim_{n\to +\infty} \left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{n\ln n }=\lim_{n\to +\infty} \left(\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{-n }\right)^{-\ln n }=\lim_{n\to +\infty} \left(e(1+o(1))\right)^{-\ln n }=0.$

Consideriamo la funzione $f:(1,+\infty) \to \mathbb{R},\; f(x)=\left(1-\dfrac{1}{x}\right)^{x\ln x }$ e osserviamo che

$\begin{aligned} f^\prime(x)&=\left(1-\dfrac{1}{x}\right)^{x \ln x} \left[\left(\ln x+1\right) \ln\left(1-\dfrac{1}{x}\right) + \dfrac{\ln x}{x-1}\right]=\\ &=\left(1-\dfrac{1}{x}\right)^{x \ln x}\left[\left(\ln x+1\right) \left(-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2x^2}+o\left(\dfrac{1}{x^2}\right)\right)+ \dfrac{\ln x}{x}\left(1+\dfrac{1}{x}+o\left(\dfrac{1}{x}\right)\right)\right]=\\ &=\left(1-\dfrac{1}{x}\right)^{x \ln x}\left(-\dfrac{1}{x}+o\left(\dfrac{1}{x}\right)\right) <0\quad \text{per}\,\, x\to+\infty. \end{aligned}$

Quindi, si ha definitivamente $a_{n+1}\leq a_n$ , e per il criterio di Leibniz possiamo concludere che la serie data converge.

Esercizio 16 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio di Leibniz:

(32) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(-1\right)^nn^{\alpha n}\sin\left(\dfrac{1}{n!}\right)\qquad \forall \alpha\in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Svolgimento.

La serie data è a segni alterni, quindi per il criterio di Leibniz, cf. teorema 9. , dobbiamo determinare i valori di $\alpha \in \mathbb{R}$ per cui la successione $\{a_n\}$ , definita da

$a_n \coloneqq n^{\alpha n}\sin\left(\dfrac{1}{n!}\right)\qquad \forall n \in \mathbb{N},$

sia infinitesima e definitivamente monotona decrescente. Consideriamo il seguente limite:

$\begin{aligned} \ell= \lim_{n\to+\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}&=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\left(n+1\right)^{\alpha\left(n+1\right)}\sin\left(\dfrac{1}{\left(n+1\right)!}\right)}{n^{\alpha n}\sin\left(\dfrac{1}{n!}\right)}=\\ &=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n^{\alpha (n+1)}\left(1+\dfrac 1 n\right)^{\alpha (n+1) }\dfrac{1}{\left(n+1\right)!}\left(1+o\left(1\right)\right)} {n^{\alpha n}\dfrac{1}{n!}\left(1+o\left(1\right)\right)}=\\ &=\lim_{n\to+\infty}{n^{\alpha -1}\left(1+\dfrac 1 n\right)^{\alpha (n+1) }}\left(1+o\left(1\right)\right) =\begin{cases} 0, \quad &\text{se}\,\, \alpha <1;\\ e, &\text{se}\,\, \alpha=1;\\ +\infty, &\text{se}\,\, \alpha>1. \end{cases} \end{aligned}$

Ricordiamo che, poiché la successione $\left\{ a_n \right\}$ è a termini positivi, si ha che

$\ell <1 \quad \implies \lim_{n \rightarrow + \infty} a_n=0 \quad \wedge \quad \left\{ a_n \right\} \; \mbox{definitivamente decrescente}$

Pertanto, se $\alpha <1$ la successione $\{a_n\}$ è definitivamente monotona decrescente e infinitesima e, quindi, per il criterio di Leibniz, la serie data converge. Analogamente, si vede che se $\ell>1$ (ovvero per $\alpha \geq1$ ), la successione $\{ a_n \}$ è definitivamente monotona crescente e illimitata, dunque la serie data non converge.

Esercizio 17 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio di Dirichlet:

(33) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sin(n)}{n} . \end{equation*}$

Svolgimento.

Questa serie può essere scritta come $\sum_{n=1}^{+\infty}a_nb_n$ dove

$a_n = \dfrac{1}{n}, \quad b_n = \sin(n)\qquad \forall n \geq 1.$

Per provare la convergenza, basta provare che le due successioni soddisfano le ipotesi del criterio di Dirichlet, cf. teorema 10. La successione $\{a_n\}$ è a termini positivi, decrescente e infinitesima. Inoltre, la successione $\displaystyle\left\{ \sum_{k=1}^{n}b_k \right\}$ è limitata. Infatti, moltiplicando la successione delle somme parziali

$B_n \coloneqq \sum_{k=0}^{n}b_k = \sum_{k=0}^n \sin(k),$

per $2\sin\left(\dfrac{1}{2}\right),$ si ha che $\forall \, n \in \mathbb{N}$

(34) $\begin{equation*} 2\sin\left(\frac{1}{2}\right)B_n = \sum_{k=0}^{n}\left(2\sin\left(\frac{1}{2}\right)\sin(k)\right) \overset{\clubsuit}{=} \sum_{k=0}^{n}\left(\cos\left(k-\frac{1}{2}\right)-\cos\left(k+\frac{1}{2}\right)\right) \overset{\diamondsuit}{=} \cos\left(-\frac{1}{2}\right)-\cos\left(n+\frac{1}{2}\right), \end{equation*}$

dove, in $\clubsuit$ si è usata la formula, detta di prostaferesi,

$\dfrac{1}{2}\left(\cos\left(x-y\right)-\cos\left(x+y\right)\right)=\sin x \sin y\qquad \forall \, x,y\in\mathbb{R},$

mentre in $\diamondsuit$ si è usato il fatto che la somma è telescopica, cf. proposizione 3. Pertanto, per la disuguaglianza triangolare, abbiamo:

$\begin{aligned} \left|B_n\right| =\left|\frac{\cos\left(-\dfrac{1}{2}\right)-\cos\left(n+\dfrac{1}{2}\right)}{2\sin\left(\dfrac{1}{2}\right)}\right| \leq \frac{2}{2\sin\left(\dfrac{1}{2}\right)} = \dfrac{1}{\sin\left(\dfrac{1}{2}\right)}. \end{aligned}$

Pertanto, la serie data soddisfa le ipotesi del criterio di Dirichlet, e quindi converge.

Esercizio 18 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare il carattere della seguente serie applicando il criterio di Dirichlet:

(35) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}a_n \cos n \end{equation*}$

dove $\{a_n\}$ è una successione monotona e infinitesima.

Svolgimento.

La successione $\{a_n\}$ è infinitesima e monotona per ipotesi, mentre la successione $\left\{ B_n \right\}$ delle somme parziali di $\displaystyle \left\{ \cos k\right\}$ , definita da

$B_n\coloneqq \sum_{k=1}^{n}\cos k \qquad \forall n \geq 1$

è limitata. Per dimostrare questo fatto, utilizziamo strumenti di analisi complessa, come l’identità di Eulero:

(36) $\begin{equation*} \forall \, x \in \mathbb{R} \qquad e^{ix}=\cos x + i \sin x, \end{equation*}$

dove abbiamo denotato con $i$ un’unità immaginaria⁴. Per approfondimenti, rimandiamo alla lettura di [2, pag. 366]. Notiamo che

(37) $\begin{equation*} \begin{aligned} 1+B_n= \sum_{k=0}^{n}\cos k & = \frac 1 2 \sum_{k=0}^{n} \left( e^{ik}+ e^{-ik}\right)= \frac 1 2 \sum_{k=0}^{n}(e^i)^k + \frac 1 2 \sum_{k=0}^{n} (e^{-i})^{k}= \\ &\overset{\clubsuit}{=} \frac 1 2\left( \dfrac{1-e^{i(n+1)}}{1-e^i} + \dfrac{1-e^{-i(n+1)}}{1-e^{-i}} \right), \end{aligned} \end{equation*}$

dove in $\clubsuit$ abbiamo utilizzato il lemma 5, che si vede facilmente essere valido per ogni $x \in \mathbb{C}$ . Segue da (37) che la successione $\{ B_n \}$ è limitata. Infatti, per la versione complessa della disuguaglianza triangolare, si ha

(38) $\begin{equation*} |B_n| = \left\vert \frac 1 2\left( \dfrac{1-e^{i(n+1)}}{1-e^i} + \dfrac{1-e^{-i(n+1)}}{1-e^{-i}} \right) -1 \right\vert \leq \frac 1 2\left( \dfrac{2}{|1-e^i|} + \dfrac{2}{|1-e^{-i}|} \right) + 1 \qquad \forall\, n \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Quindi la serie data converge per il criterio di Dirichlet, cf. teorema 10. Analogamente, le serie della forma $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_k \sin k$ dove $\{a_n\}$ è monotona e infinitesima, sono convergenti.

Un’unità immaginaria è una scelta di una radice quadrata di $-1$ , cioè di un numero non reale $i$ tale che $i^2=-1$ . ↩

Riferimenti bibliografici

[1] Andrews G. E., Askey R., Roy R.; Special functions, Encyclopedia of Mathematics and Its Appliications #71, Cambridge University Press 1999.

[2] Apostol, T. M.; Calculus, Volume I: One-Variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra, John Wiley & Sons 1967.

[3] Dedekind R., Essays on the Theory of Numbers: I. Continuity and Irrational Numbers, II. The Nature and Meaning of Numbers (translated by W.W. Beman), Chicago, Open Court Publishing, 1901.

[4] Giusti, E.; Analisi matematica 1, I Programma di matematica fisica elettronica, Bollati Boringhieri 1992.

[5] Havil, J., Gamma: Exploring Euler’s Constant, Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.

[6] Kifowit, Steven J.; Stamps, Terra A. (Spring 2006). “The harmonic series diverges again and again” (PDF). AMATYC Review. American Mathematical Association of Two-Year Colleges. 27 (2): 31–43.

[7] Muresan, M. ; A Concrete Approach to Classical Analysis, CMS Books in Mathematics, Springer 2008.

[8] Problem 12215. proposto da O. Furdui and A. Sintamarian (Romania), American Mathematical Monthly, Vol.127, November 2020.

[9] Rudin, W.; Principles of mathematical analysis, International series in pure and applied mathematics, McGraw-Hill 1976.

[10] Rudin, W.; Real and complex analysis, International series in pure and applied mathematics, McGraw-Hill 1987.

[11] Teismann H., Toward a More Complete List of Completeness Axioms (vol. 120), The American Mathematical Monthly, 2013.

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