Serie di funzioni – teoria

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Benvenuti nel mondo affascinante delle serie di funzioni!
La dispensa è stata preparata per guidarvi in una presentazione chiara, accessibile e approfondita, del concetto di serie di funzioni e delle sue proprietà.
All’interno troverete:

le nozioni di convergenza puntuale e uniforme di una serie di funzioni, illustrate con esempi volti a esplorarne le relazioni e le proprietà;
i criteri di convergenza per serie di funzioni, con particolare riguardo alla convergenza totale e l’M-test, strumenti dalle importanti applicazioni pratiche;
gli importanti teoremi di convergenza delle serie di funzioni, che permettono il passaggio al limite, la derivazione e l’integrazione per serie;
uno dei punti salienti della dispensa è la funzione di Weierstrass: un esempio classico di funzione continua ovunque, ma derivabile in alcun punto; oltre a costituire un interessante strumento didattico, essa testimonia la bellezza e la complessità della matematica.

Se desideri approfondire questo affascinante argomento, comincia pure la lettura!

Gli esercizi svolti consigliati sul tema sono i seguenti:

Sommario

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Questa dispensa tratta la teoria sulle serie di funzioni: nella prima parte si estende la nozione di convergenza puntuale e uniforme in tale contesto; successivamente introduciamo la nozione di convergenza totale e presentiamo i teoremi di scambio tra somma di una serie e le operazioni di limite, integrazione e derivazione. Infine studiamo la funzione di Weierstrass: una notevole funzione continua che, tuttavia, risulta non derivabile in alcun punto.

Autori e revisori

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Autori: Luigi De Masi

Revisori: Valerio Brunetti, Elisa Bucci, Davide La Manna, Sara Sottile, Matteo Talluri.

Notazioni

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$\mathbb{N}$	insieme dei numeri naturali: $\{0,1,2,\dots\}$ ;
$\mathbb{Z}$	insieme dei numeri interi relativi;
$\mathbb{Q}$	insieme dei numeri razionali;
$\mathbb{R}$	insieme dei numeri reali;
$f'(x)$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)$	derivata della funzione $f$ nel punto $x$ ;
$f_k \xrightarrow{\text{punt.}} f$	convergenza puntuale della successione di funzioni $f_k$ a $f$ ;
$f_k \xrightarrow{\text{unif.}} f$	convergenza uniforme della successione di funzioni $f_k$ a $f$ ;
$\\|f\\|_E$	norma uniforme di $f$ sull’insieme $E$ , ovvero $\sup_{x \in E} \|f(x)\|$ ;
$C^k((a,b))$	insieme delle funzioni $f \colon (a,b) \to \mathbb{R}$ derivabili $k$ volte in $(a,b)$ con derivata $f^{(k)}$ continua.

Introduzione

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Il concetto di serie riveste notevole importanza in molti ambiti teorici e pratici della matematica. Esso consente di dare un significato formale all’estensione dell’operazione di somma al caso di infiniti addendi. L’idea di sommare un numero infinito di termini risale agli albori della civiltà odierna e ha generato numerosi dibattiti e paradossi, come quello di Achille e la Tartaruga, [6, Teoria sulle serie numeriche, esercizio 1]. Tali controversie sono state quindi risolte soltanto con l’introduzione del concetto di serie numerica: data una successione $a_k$ di numeri reali, è lecito calcolare la successione delle somme parziali $S_n \coloneqq \sum_{k=1}^n a_k$ . Tale successione di somme parziali è detta appunto serie di termine generale $a_k$ e si indica col simbolo

(1) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} a_k. \end{equation*}$

Poiché risulta ragionevole supporre che la somma di tutti i termini $a_k$ è quindi il valore a cui “si avvicinano” le somme parziali $S_n$ al crescere di $n$ , la somma della serie $\sum_{k=1}^{+\infty} a_k$ viene quindi definita come il limite, per $n \to +\infty$ , delle somme parziali $S_n$ . Un tema ricorrente in matematica consiste nel provare a generalizzare i concetti in contesti più ampi. Una volta dato un significato alle somme di infiniti numeri reali e studiate le loro proprietà, ci si pone quindi le seguenti domande: si può dare un significato a somme infinite di altri oggetti matematici? Quali proprietà delle somme finite si conservano nel caso di somme infinite?

Questa dispensa si concentra su una di queste generalizzazioni. Precisamente, il suo scopo principale è quello di dare un significato alla somma infinita di funzioni, andando quindi a studiare il concetto naturale di serie di funzioni e le sue proprietà.

Vedremo che, data una successione di funzioni $f_k$ , si definirà il concetto di serie di funzioni in maniera analoga a quanto sopra delineato riguardo le serie numeriche; indagheremo inoltre le proprietà condivise da queste nozioni.

Così come il concetto di serie numerica è profondamente legato a quello di successione, il concetto di serie di funzioni è dunque strettamente legato a quello di successione di funzioni: ai fini della comprensione dei contenuti di questa dispensa è dunque necessario avere una certa familiarità con tale nozione e le sue proprietà. Rimandiamo pertanto il lettore alla dispensa [8, successioni di funzioni – teoria] per una spiegazione approfondita della teoria e a [7, successioni di funzioni – esercizi] per una raccolta completa di esercizi svolti sull’argomento.

Il lavoro è così strutturato.

$\quad$

Nella sezione 1 riportiamo alcuni risultati preliminari sulla teoria delle successioni di funzioni e delle serie numeriche utilizzati nel corso della dispensa.

Nella sezione 2 introduciamo la nozione di convergenza puntuale e uniforme di una serie di funzioni; ne studiamo poi le proprietà principali e delle semplici caratterizzazioni, applicate ad alcuni esempi.

Nella sezione 3 presentiamo alcuni strumenti utili per lo studio della convergenza di una serie di funzioni. Il principale di questi è certamente la nozione di convergenza totale (definizione 3.11) e il fatto che essa implichi la convergenza uniforme della serie, proposizione 3.15.

La sezione 4 riguarda i teoremi di passaggio al limite, ossia i teoremi di scambio tra l’operazione di somma di una serie e quella di limite, di integrazione e derivazione. Essi consentono di studiare le proprietà qualitative e quantitative della somma di una serie di funzioni, illustrate con alcuni esempi.

Nella sezione 5 presentiamo poi la funzione di Weierstrass, un esempio di funzione continua che risulta non derivabile in alcun punto.

Prerequisiti

Introduzione.

In questa sezione richiamiamo le definizioni e i risultati che utilizzeremo nel corso della presente dispensa, limitandoci a enunciarli e rimandando alle opportune dispense per una trattazione approfondita.

I prerequisiti necessari per affrontare lo studio delle serie di funzioni includono:

il concetto di serie numerica e relativa convergenza, insieme ai principali criteri di convergenza ed esempi fondamentali; una risorsa al riguardo è il testo [6, Teoria sulle serie numeriche];
la teoria delle successioni di funzioni, unitamente alle nozioni di convergenza puntuale e uniforme, le loro relazioni e teoremi di passaggio al limite; per un’esposizione approfondita di tali concetti si consiglia la consultazione di [8, successioni di funzioni].

Successioni di funzioni.

In quanto segue, si assume $E \subseteq \mathbb{R}$ .

$\quad$

Definizione 1.1 (convergenza uniforme per successioni di funzioni, [8, definizione 2.1]). Data una successione di funzioni $f_k \colon E \to \mathbb{R}$ e una funzione $f \colon E \to \mathbb{R}$ , diciamo che $f_k$ converge puntualmente a $f$ se per ogni $x \in E$ la successione numerica $\big( f_k(x)\big)_{k \in \mathbb{N}}$ converge a $f(x)$ , cioè se si ha:

(2) $\begin{equation*} \lim_{k\to+\infty} f_k(x) = f(x) \qquad \forall x \in E. \end{equation*}$

Se (2) è verificata per ogni $x \in F$ , dove $F \subseteq E$ , diciamo che $f_k$ converge puntualmente a $f$ in $F$ .

$\quad$

Definizione 1.2 (convergenza uniforme per successioni di funzioni [8, definizione 3.1]). Sia $f_n \colon E \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni e sia $f \colon E \to \mathbb{R}$ ; si dice che $f_n$ converge uniformemente a $f$ se, per ogni $\varepsilon>0$ , esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che

(3) $\begin{equation*} |f_n(x) - f(x))| < \varepsilon \qquad \forall n \geq N, \,\, \forall x \in E. \end{equation*}$

Se (3) è verificata per ogni $x \in F$ , dove $F \subseteq E$ , diciamo che la successione $f_n$ converge uniformemente in $F$ a $f$ .

$\quad$

Vale la seguente caratterizzazione della convergenza uniforme.

Proposizione 1.3 (caratterizzazione della convergenza uniforme, [8, proposizione 3.7]). Sia $f_n \colon E \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni e sia $f \colon E \to \mathbb{R}$ ; allora $f_n$ converge uniformemente a $f$ se e solo se

(4) $\begin{equation*} \lim_{n \to + \infty} \, \sup \big\{ |f_n(x) - f(x)| \colon x \in E \big\} = 0. \end{equation*}$

$\quad$

La convergenza uniforme è (strettamente) più forte della convergenza puntuale e i due limiti, se esistono, coincidono, come implicato dal seguente risultato.

Proposizione 1.4 ([8, proposizione 3.12]). Se una successione di funzioni $f_n \colon E \to \mathbb{R}$ converge uniformemente a una funzione $f \colon E \to \mathbb{R}$ , allora $f_n$ converge puntualmente a $f$ .

In particolare, il limite uniforme di una successione di funzioni, se esiste, coincide con il limite puntuale e quindi esso è unico.

$\quad$

È possibile provare la convergenza puntuale o uniforme di una successione di funzioni senza conoscerne esplicitamente l’espressione del limite. A tal fine, si possono applicare i seguenti criteri di Cauchy, entrambi conseguenze del criterio di Cauchy per successioni numeriche. Come vedremo nel seguito, tali criteri sono notevolmente utili nel caso delle serie di funzioni, in particolare quando non è possibile determinare l’espressione delle somme parziali e del limite; in tali contesti, è necessario stabilire la convergenza prescindendo da tali informazioni.

Proposizione 1.5 (criterio di Cauchy per la convergenza puntuale, [8, proposizione 3.18]). Sia $f_n \colon E \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni. Allora $f_n$ converge puntualmente a una funzione $f \colon E \to \mathbb{R}$ se e solo se, per ogni $x \in E$ e per ogni $\varepsilon>0$ , esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che

(5) $\begin{equation*} |f_n(x) - f_m(x)| < \varepsilon \qquad \forall n,m \geq N. \end{equation*}$

Proposizione 1.6 (criterio di Cauchy per la convergenza uniforme, [8, proposizione 3.20]). Sia $f_n \colon E \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni. Allora $f_n$ converge uniformemente a una funzione $f \colon E \to \mathbb{R}$ se e solo se, per ogni $\varepsilon>0$ , esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che

(6) $\begin{equation*} \sup_{x \in E}|f_n(x) - f_m(x)| \leq \varepsilon \qquad \forall n,m \geq N. \end{equation*}$

$\quad$

La convergenza puntuale non è in generale sufficiente affinché alcuna proprietà di continuità, integrabilità e derivabilità della successione sia preservata al limite; si veda [8, sezione 2.1] per una discussione approfondita e numerosi esempi al riguardo. La convergenza uniforme produce invece risultati di passaggio al limite soddisfacenti, presentati in [8, sezione 3.2], che riportiamo di seguito.

Teorema 1.7 (limite uniforme di funzioni continue, [8, teorema 3.21]). Sia $f_n \colon E \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni continue convergente uniformemente alla funzione $f \colon E \to \mathbb{R}$ . Allora $f$ è una funzione continua.

Teorema 1.8 (scambio di limiti per la convergenza uniforme, [8, teorema 3.22]). Sia $f_n \colon E \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni che converga uniformemente a una funzione $f \colon E \to \mathbb{R}$ e sia $x_0 \in \mathbb{R}$ un punto di accumulazione di $E$ . Se i limiti $\ell_n \coloneqq \lim_{x \rightarrow x_0} f_n(x)$ esistono per ogni $n \in \mathbb{N}$ , allora il limite $\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)$ esiste e vale

(7) $\begin{equation*} \ell \coloneqq \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) %\Big( \lim_{n\to+\infty} f_n(x)\Big) = \lim_{n\to+\infty} \Big( \lim_{x \rightarrow x_0} f_n(x) \Big). \end{equation*}$

Inoltre, se $\ell_n \in \mathbb{R}$ definitivamente, allora anche $\ell \in \mathbb{R}$ .

Teorema 1.9 (passaggio al limite sotto il segno di integrale, [8, teorema 3.30]). Sia $f_n\colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni integrabili secondo Riemann che converga uniformemente a una funzione $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ . Allora $f$ risulta integrabile secondo Riemann e vale

(8) $\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty} \int_{a}^{b} f_n(x)\,\mathrm{d}x = \int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x. \end{equation*}$

$\quad$

Teorema 1.10 (limite uniforme di funzioni derivabili, [8, teorema 3.37]). Sia $f_n \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni derivabili tali che la successione delle derivate prime $f_n'$ converga uniformemente ad una funzione $g \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ ; supponiamo inoltre che esista $x_0 \in [a,b]$ e $y_0 \in \mathbb{R}$ tale che

(9) $\begin{equation*} \lim_{n \to \infty} f_n(x_0) = y_0. \end{equation*}$

Allora esiste una funzione derivabile $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ tale che

$\quad$

$f_n$ converge uniformemente a $f$ ;

$f'(x)=g(x)$ per ogni $x \in [a,b]$ .

Serie numeriche.

Iniziamo col presentare la seguente condizione necessaria alla convergenza di una serie.

Proposizione 1.11 (condizione necessaria alla convergenza, [6, proposizione 1]). Sia $a_k$ una successione reale e supponiamo che la serie $\sum_{k=1}^{+\infty} a_k$ sia convergente. Allora vale

(10) $\begin{equation*} \lim_{k \to +\infty} a_k = 0. \end{equation*}$

$\quad$

Risulta molto importante la nozione di convergenza assoluta di una serie numerica.

Definizione 1.12 (convergenza assoluta, [6, definizione 6]). Sia $a_k$ una successione reale. La serie $\sum_{k=1}^{+\infty} a_k$ si dice assolutamente convergente se e solo se la serie dei valori assoluti $\sum_{k=1}^{+\infty} |a_k|$ è convergente.

$\quad$

La convergenza assoluta di una serie ne implica la convergenza semplice, come afferma il prossimo risultato.

Proposizione 1.13 ([6, proposizione 6]). Sia $a_k$ una successione reale tale che la serie $\sum_{k=1}^{+\infty} a_k$ sia assolutamente convergente. Allora tale serie è convergente e vale

(11) $\begin{equation*} \left |\sum_{k=1}^{+\infty} a_k \right | \leq \sum_{k=1}^{+\infty} |a_k|. \end{equation*}$

$\quad$

Per le serie a segni alterni, sotto ipotesi di monotonia della successione $a_k$ , la condizione necessaria stabilita dalla proposizione 1.11 si può invertire: vale infatti il seguente Criterio di Leibnitz.

Teorema 1.14 (criterio di Leibnitz, [6, teorema 10]). Sia $a_k \geq 0$ una successione di numeri reali definitivamente decrescente. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

$\quad$

$\displaystyle \lim_{k \to +\infty} a_k=0$ ;

la serie numerica $\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^k a_k$ è convergente.

$\quad$

Convergenza puntuale e uniforme

Introduzione.

Come abbiamo anticipato nell’introduzione, il concetto di serie di funzione è una generalizzazione della nozione di serie numerica al contesto in cui gli elementi da sommare siano i termini di una successione di funzioni $f_k$ . Poiché non è ovvio il significato da dare alla somma di tutte le funzioni $f_k$ , un’idea ragionevole è quella di considerare la somma parziale

(12) $\begin{equation*} S_n \coloneqq f_1 + f_2 + \cdots + f_n \end{equation*}$

delle prime $n$ funzioni $f_k$ della successione, e studiare poi il carattere della successione di funzioni $S_n$ ottenuta. Introduciamo quindi la seguente definizione.

Definizione 2.1 (serie di funzioni). Sia $E \subseteq \mathbb{R}$ e sia $f_k \colon E \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni. Per ogni $n \in \mathbb{N}$ la funzione $S_n \colon E \to \mathbb{R}$ definita da

(13) $\begin{equation*} S_n(x) = \sum_{k=1}^n f_k(x) \qquad \forall x \in E \end{equation*}$

è detta somma parziale $n$ -esima delle funzioni $f_k$ . La successione $S_n$ delle somme parziali è detta serie delle funzioni $f_k$ e si indica col simbolo

(14) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x). \end{equation*}$

$\quad$

Esaminiamo alcuni esempi.

Esempio 2.2 (serie geometrica). Sia $f_k \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la successione di funzioni definita da

(15) $\begin{equation*} f_k(x)= x^k \qquad \forall k \in \mathbb{N},\,\, \forall x \in \mathbb{R} \end{equation*}$

e consideriamo quindi la serie di funzioni $\sum_{k=0}^{+\infty} f_k(x)$ . Fissando $x \in \mathbb{R}$ , la successione (numerica) $f_k(x)=x^k$ è quindi una progressione geometrica di ragione $x$ . Grazie alla nota teoria sulle serie geometriche [6, lemma 5], si ha

(16) $\begin{equation*} S_n(x) = \sum_{k=0}^n f_k(x) = \sum_{k=0}^n x^k = \begin{cases} \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x} & \text{se } x \neq 1 \\[8pt] n+1 & \text{se } x =1. \end{cases} \qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Esplicitiamo ora il legame tra successioni e serie di funzioni, in analogia con quello tra successioni e serie numeriche.

Osservazione 2.3 (equivalenza tra successioni e serie di funzioni). La definizione 2.1 afferma che una serie di funzioni è quindi la successione di funzioni $S_n$ delle sue somme parziali.

Viceversa, ogni successione di funzioni $f_n \colon E \to \mathbb{R}$ può essere vista come la serie di funzioni

(17) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \big(f_k(x) - f_{k-1}(x) \big), \qquad \text{dove } f_0 \equiv 0. \end{equation*}$

Infatti, per ogni $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ , la somma parziale $n$ -esima di questa serie soddisfa

(18) $\begin{equation*} \begin{split} S_n(x) &= \sum_{k=1}^{n} \big(f_k(x) - f_{k-1}(x) \big) \\ &= \big( f_n(x) - f_{n-1}(x) \big) + \big(f_{n-1}(x) - f_{n-2}(x) \big) + \cdots + \big(f_1(x) - f_{0}(x) \big) \\ &= f_n(x). %\qquad %\forall n \in \mathbb{N}\setminus \{0\}. \end{split} \end{equation*}$

Quindi la serie di funzioni $\sum_{k=1}^{+\infty} \big(f_k(x) - f_{k-1}(x) \big)$ coincide con la successione di funzioni $f_n$ . Utilizzeremo spesso questa equivalenza tra successioni e serie per “trasportare” dei risultati dalla teoria delle successioni di funzioni a quella delle serie.

Similmente al concetto di serie numerica, è ragionevole definire porre che la somma di una serie di funzioni sia la funzione $S \colon E \to \mathbb{R}$ a cui tende la successione delle somme parziali $S_n$ , per $n \to +\infty$ . Dalla teoria sulle successioni di funzioni [8, definizione 2.1, definizione 3.1], è noto che il limite della successione di funzioni $S_n$ può essere inteso in senso puntuale o uniforme; questa distinzione conduce alle seguenti nozioni di convergenza puntuale e uniforme di una serie di funzioni.

$\quad$

Definizione 2.4 (convergenza puntuale). Dati $E \subseteq \mathbb{R}$ e una successione di funzioni $f_k \colon E \to \mathbb{R}$ , se la successione $S_n = \sum_{k=1}^{n} f_k$ delle somme parziali converge puntualmente a una funzione $S \colon E \to \mathbb{R}$ , ossia se

(19) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} S_n(x) = S(x) \qquad \forall x \in E, \end{equation*}$

si dice che la serie di funzioni $\sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x)$ converge puntualmente a $S$ in $E$ e la funzione $S$ è detta limite puntuale o somma della serie $\sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x).$

Se (19) è verificata per ogni $x \in F$ , dove $F \subset E$ , diciamo che la serie converge puntualmente a $S$ in $F$ .

$\quad$

Definizione 2.5 (convergenza uniforme). Dati $E \subseteq \mathbb{R}$ e una successione di funzioni $f_k \colon E \to \mathbb{R}$ , se la successione $S_n = \sum_{k=1}^{n} f_k$ delle somme parziali converge uniformemente a una funzione $S \colon E \to \mathbb{R}$ , ossia se per ogni $\varepsilon>0$ esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che

(20) $\begin{equation*} |S_n(x) - S(x)|< \varepsilon \qquad \forall n \geq N, \,\,\forall x \in E, \end{equation*}$

si dice che la serie di funzioni $\sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x)$ converge uniformemente a $S$ in $E$ e la funzione $S$ è detta limite uniforme della serie $\sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x)$ .

Se (20) è verificata per ogni $x \in F$ , dove $F \subset E$ , diciamo che la serie converge uniformemente a $S$ in $F$ .

$\quad$

Relazioni tra la convergenza puntuale e uniforme.

Applicando la proposizione 1.4 alla successione di funzioni $S_n$ delle somme parziali, si ottiene che la convergenza uniforme di una serie di funzioni implica quella puntuale e inoltre che gli eventuali limiti coincidono.

Proposizione 2.6. Sia $E \subseteq \mathbb{R}$ e sia $f_k \colon E \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni. Se la serie di funzioni $\sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x)$ converge uniformemente a una funzione $S \colon E \to \mathbb{R}$ , allora vi converge anche puntualmente.

In particolare, il limite uniforme di una serie di funzioni, se esiste, è unico e coincide col limite puntuale.

Esempio 2.7. Sia $f_k \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la successione di funzioni definita da

(21) $\begin{equation*} f_k(x) = \begin{cases} x & \text{se } x \in \left (\dfrac{1}{k+1}, \dfrac{1}{k}\right ] \\[8pt] 0 & \text{altrimenti}. \end{cases} \qquad \forall k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}. \end{equation*}$

Poiché le funzioni $f_k$ sono non nulle su intervalli disgiunti, per le somme parziali si ha

(22) $\begin{equation*} S_n(x) = \sum_{k=1}^n f_k(x) = \begin{cases} x & \text{se } x \in \left (\dfrac{1}{n+1}, 1\right ] \\[8pt] 0 & \text{altrimenti}. \end{cases} \qquad \forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}. \end{equation*}$

Definiamo la funzione $S \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ come

(23) $\begin{equation*} S(x)= \begin{cases} x & \text{se } x \in \left (0, 1\right ] \\[4pt] 0 & \text{altrimenti} \end{cases} \end{equation*}$

e fissiamo $\varepsilon>0$ . Scegliendo $N \in \mathbb{N}$ tale che $\dfrac{1}{N}<\varepsilon$ si ottiene

(24) $\begin{equation*} |S_n(x)-S(x)| = \begin{cases} x & \text{se } x \in \left (0, \dfrac{1}{n+1}\right ] \\[4pt] 0 & \text{altrimenti} \end{cases} \,\, \leq \frac{1}{n+1} < \varepsilon \qquad \forall n \geq N,\,\,\forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Quindi la serie di funzioni $\sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x)$ converge uniformemente alla funzione $f$ e, per la proposizione 2.6, converge a $S$ anche puntualmente.

Risulta naturale porsi la seguente questione.

Domanda 2.8. La proposizione 2.6 si può invertire? Ovvero, data una serie di funzioni convergente puntualmente, è possibile affermare che essa converga anche uniformemente?

La risposta è negativa: in virtù dell’osservazione 2.3, basta considerare una qualunque successione di funzioni convergente puntualmente ma non uniformemente; tali esempi sono stati dettagliatamente studiati nella teoria sulle successioni di funzioni [8, esempio 3.4 e seguenti]. Presentiamo comunque per completezza il seguente esempio, formulato nel contesto specifico delle serie.

Esempio 2.9. Sia $f_k \colon (0,1] \to \mathbb{R}$ la successione di funzioni definita da

(25) $\begin{equation*} f_k(x)= \begin{cases} 1 & \text{se } x \in \left ( \dfrac{1}{2^{k+1}},\dfrac{1}{2^{k}} \right ] \\[8pt] 0 & \text{altrimenti} \end{cases} \qquad \forall k \in \mathbb{N} \end{equation*}$

e consideriamo la serie di funzioni $\sum_{k=0}^{+\infty} f_k(x)$ . Poiché gli intervalli su cui le funzioni $f_k$ sono non-nulle sono disgiunti, per la somma parziale $n$ -esima si ha

(26) $\begin{equation*} S_n(x) = \begin{cases} 1 & \text{se } x \in \left ( \dfrac{1}{2^{n+1}},1 \right ] \\[8pt] 0 & \text{altrimenti} \end{cases} \qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Da ciò si evince che $S_n(x)=1$ per ogni $n \in \mathbb{N}$ tale che $2^{-n-1}< x$ . Poiché per ogni $x \in (0,1]$ , ciò è definitivamente vero, la successione $S_n$ delle somme parziali converge puntualmente alla funzione $S \colon (0,1] \to \mathbb{R}$ identicamente pari a $1$ .

La convergenza di $S_n$ a $S$ non è però uniforme in quanto si ha

(27) $\begin{equation*} |S_n(2^{-n-1})-S(2^{-n-1})| = 1 \qquad \forall n \in \mathbb{N}, \end{equation*}$

dunque la condizione della definizione 2.5 non è soddisfatta per $\varepsilon=1$ .

Osserviamo che la convergenza è uniforme in ogni intervallo del tipo $[\delta,1]$ con $\delta \in (0,1)$ . Infatti da (26) si vede che, se $n$ è tale che $2^{-n-1}< \delta$ ossia per ogni $n > 1-\log_2 \delta$ , vale

(28) $\begin{equation*} S_n(x) = 1 = S(x) \qquad \forall x \in [\delta,1]. \end{equation*}$

Dall’esempio appena studiato emerge la seguente questione.

Domanda 2.10. È sempre vero che, se una serie di funzioni converge puntualmente in un intervallo $I$ , esiste un intervallo $J \subseteq I$ in cui essa converge uniformemente?

La risposta a tale domanda è negativa, come mostra il seguente esempio.

Esempio 2.11. Consideriamo la successione di funzioni $f_k \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(29) $\begin{equation*} \begin{gathered} f_0(x) = \begin{cases} 1 & \text{se $x=0$} \\[4pt] 0 & \text{altrimenti}, \end{cases} \qquad \\ f_k(x) = \begin{cases} 1 & \text{se $x=\dfrac{m}{k}$ con $m \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$, coprimo con $k$} \\[8pt] 0 & \text{altrimenti}. \end{cases} \quad \forall k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}. \end{gathered} \end{equation*}$

Dato che ogni numero razionale $x \in \mathbb{Q} \setminus \{0\}$ si scrive in modo unico come frazione $\dfrac{m}{k}$ con $k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ e $m \in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ coprimo con $k$ , si vede che per la somma parziale $n$ -esima $S_n$ si ha

(30) $\begin{equation*} S_n(x) = \begin{cases} 1 & \text{se $x=\dfrac{m}{k}$ con $m \in \mathbb{Z}$, $k \leq n$} \\[8pt] 0 & \text{altrimenti}. \end{cases} \end{equation*}$

Poiché ogni numero razionale si può scrivere come frazione $\dfrac{m}{n}$ e poiché $S_n$ è nulla su ogni numero irrazionale, si evince che la successione delle somme parziali $S_n$ converge puntualmente alla funzione $S \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(31) $\begin{equation*} S(x) = \begin{cases} 1 & \text{se $x\in \mathbb{Q}$} \\[8pt] 0 & \text{se $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$}, \end{cases} \end{equation*}$

che è anche detta funzione di Dirichlet o funzione indicatrice dei razionali.

Osserviamo però che la convergenza non è uniforme in alcun intervallo $[a,b]$ . Infatti, si fissi $[a,b] \subset \mathbb{R}$ e $\varepsilon\leq 1$ . Si osservi che, per (30), ogni $S_n$ assume valore $1$ su un numero finito di punti contenuti in $[a,b]$ , mentre $S$ vale $1$ in infiniti punti di $[a,b]$ , per la densità di $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$ [2, teorema 2]. Quindi per ogni $n \in \mathbb{N}$ esiste $x_n \in [a,b]$ tale che

(32) $\begin{equation*} |S_n(x_n) - S(x_n)|=|0-1|=1 \geq \varepsilon, \end{equation*}$

negando dunque la condizione espressa dalla definizione 2.5. Ne segue che la serie di funzioni non converge uniformemente in $[a,b]$ ; per l’arbitrarietà di $[a,b]$ , la convergenza non è uniforme in alcun intervallo.

Caratterizzazione della convergenza uniforme.

Si può provare la seguente caratterizzazione della convergenza uniforme di una serie di funzioni, immediata applicazione della proposizione 1.3 alla successione delle somme parziali della serie.

Proposizione 2.12. Sia $E \subseteq \mathbb{R}$ e sia $f_k \colon E \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni. La serie di funzioni $\sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x)$ converge uniformemente a una funzione $S \colon E \to \mathbb{R}$ se e solo se

(33) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in E} |S_n(x) - S(x)| = 0. \end{equation*}$

Esempio 2.13 (convergenza della serie geometrica). Studiamo la convergenza puntuale e uniforme della serie di funzioni individuata dalla serie geometrica dell’esempio 2.2, ossia la serie di funzioni definita da

(34) $\begin{equation*} \sum_{k=0}^{+\infty} x^k \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Studiamo preliminarmente la convergenza puntuale della serie. Indicando con $S_n$ la somma parziale $n$ -esima della serie geometrica e studiando il limite per $n \to +\infty$ della successione $S_n$ calcolata in (16), si ottiene

(35) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} S_n(x) = \begin{cases} \text{non esiste} & \text{se $x \in [-\infty,-1]$} \\[5pt] \dfrac{1}{1-x} & \text{se $x \in (-1,1)$} \\[8pt] +\infty & \text{se $x \in [1,+\infty)$}. \end{cases} \end{equation*}$

Dunque la serie di funzioni converge puntualmente solo in $(-1,1)$ e il suo limite puntuale in tale insieme è la funzione $S \colon (-1,1) \to \mathbb{R}$ definita da

(36) $\begin{equation*} S(x)=\dfrac{1}{1-x} \qquad \forall x \in (-1,1). \end{equation*}$

Studiamone ora la convergenza uniforme. In virtù della proposizione 2.6, l’unica funzione a cui la serie può convergere uniformemente è $S$ . Inoltre, sempre per la proposizione 2.6, è sufficiente considerare esclusivamente l’intervallo $(-1,1)$ , in quanto al di fuori di esso la serie non converge neppure puntualmente a $S$ . Affermiamo innanzitutto che la convergenza non è uniforme nell’intero intervallo $(-1,1)$ . Si ha infatti

(37) $\begin{equation*} \begin{split} \sup_{x \in (-1,1)} |S_n(x) - S(x)| &= \sup_{x \in (-1,1)} \left | \frac{1-x^{n+1}}{1-x} - \dfrac{1}{1-x} \right | \\ &= \sup_{x \in (-1,1)} \left | \frac{x^{n+1}}{1-x} \right | \geq \frac{\left (2^{- \frac{1}{n+1}}\right )^{n+1}}{1- 2^{- \frac{1}{n+1}}} \qquad \forall n \in \mathbb{N}, \end{split} \end{equation*}$

dove l’ultima disuguaglianza segue dalla scelta di $x=2^{- \frac{1}{n+1}}$ , che appartiene a $(-1,1)$ . Poiché

(38) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \frac{\left (2^{- \frac{1}{n+1}}\right )^{n+1}}{1- 2^{- \frac{1}{n+1}}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\dfrac{1}{2}}{1- 2^{- \frac{1}{n+1}}} = +\infty, \end{equation*}$

per confronto si ha

(39) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in (-1,1)} |S_n(x) - S(x)| = +\infty \neq 0 \end{equation*}$

e quindi per la proposizione 2.12 la convergenza non è uniforme in $(-1,1)$ .

Mostriamo però che la serie converge uniformemente in ogni intervallo del tipo $[r,r]$ con $r \in [0,1)$ . Infatti, come in (37), si ha

(40) $\begin{equation*} \sup_{x \in [-r,r]} |S_n(x) - S(x)| %= %\sup_{x \in (-1,1)} \left | \frac{1-x^{n+1}}{1-x} - \dfrac{1}{1-x} \right | = \sup_{x \in [-r,r]} \frac{|x^{n+1}|}{|1-x|} \leq \frac{r^{n+1}}{1-r} \qquad \forall n \in \mathbb{N}, \end{equation*}$

dove l’ultima disuguaglianza segue dal fatto che il numeratore è minore o uguale a $r^{n+1}$ e il denominatore è maggiore o uguale a $1-r$ . Poiché in virtù di $r \in [0,1)$ si ha

(41) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \frac{r^{n+1}}{1-r}=0, \end{equation*}$

per il teorema del confronto si ottiene

(42) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in [-r,r]} |S_n(x) - S(x)| = 0 \end{equation*}$

e quindi la convergenza della serie di funzioni è uniforme in $[-r,r]$ .

Strumenti per lo studio della convergenza

Introduzione.

Abbiamo finora esaminato la convergenza puntuale e uniforme di alcune serie di funzioni facendo largo uso dell’espressione esplicita delle somme parziali $S_n$ e/o della somma $S$ della serie. Nei casi in cui tali espressioni esplicite siano disponibili, lo studio della convergenza puntuale e uniforme di una serie di funzioni si riduce allo studio della convergenza di una successione di funzioni, per cui una teoria sufficientemente ricca è stata sviluppata: il lettore può trovarla esposta in [8].

Tuttavia, come avviene nel caso delle serie numeriche, è spesso impossibile ottenere delle formule esplicite per l’espressione delle somme parziali o della somma della serie. Molti dei noti criteri di convergenza per le serie numeriche non necessitano dell’espressione esplicita delle somme parziali della serie e infatti essi risultano utili proprio in virtù di tale caratteristica.

Questa impossibilità di studiare l’espressione esplicita delle somme parziali è il principale motivo per cui in generale lo studio delle serie viene distinto da quello delle successioni e ci porta a considerare il seguente problema.

Domanda 3.1. È possibile sviluppare degli strumenti in grado di permettere lo studio della convergenza puntuale e uniforme di serie di funzioni e che non utilizzino le espressioni delle somme parziali?

Una prima idea consiste nel verificare quali risultati sulla teoria delle serie numeriche “si traducono” nel linguaggio delle serie di funzioni. Cominciamo dunque dalla seguente condizione necessaria, analoga alla proposizione 1.11 per le serie numeriche.

Proposizione 3.2 (condizione necessaria alla convergenza). Sia $E \subseteq \mathbb{R}$ e sia $f_k \colon E \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni. Valgono le seguenti implicazioni:

$\quad$

Se la serie di funzioni $\sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x)$ converge puntualmente, allora la successione di funzioni $f_k$ converge puntualmente alla funzione nulla;

Se la serie di funzioni $\sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x)$ converge uniformemente, allora la successione di funzioni $f_k$ converge uniformemente alla funzione nulla.

$\quad$

Dimostrazione. Dimostriamo separatamente i due punti.

$\quad$

La convergenza puntuale della serie di funzioni $\sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x)$ è equivalente alla convergenza, per ogni $x \in E$ , della serie numerica $\sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x)$ . Per la proposizione 1.11, ciò implica che
(43) $\begin{equation*} \lim_{k \to + \infty} f_k(x)=0 \qquad \forall x \in E, \end{equation*}$

che è appunto la convergenza puntuale di $f_k$ alla funzione identicamente nulla.

Poiché la serie $\sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x)$ converge uniformemente a una funzione $S \colon E \to \mathbb{R}$ , la successione $S_n$ delle somme parziali converge uniformemente a $S$ . Dunque anche la successione $S_{n-1}$ converge uniformemente a $S$ e pertanto si ha
(44) $\begin{equation*} f_n = (S_n - S_{n-1}) \xrightarrow{\text{unif.}} S - S = 0, \end{equation*}$

dove con la freccia abbiamo indicato la convergenza uniforme.

Esempio 3.3. Consideriamo la serie di funzioni

(45) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \arctan(kx) \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Osserviamo che la serie converge puntualmente soltanto in $x=0$ . Infatti, per $x=0$ il termine generale è nullo e quindi chiaramente la serie converge a $0$ , mentre osserviamo che

(46) $\begin{equation*} \lim_{k \to +\infty} \arctan(kx) = \begin{cases} \dfrac{\pi}{2} & \text{se } x >0 \\[10pt] -\dfrac{\pi}{2} & \text{se } x <0, \end{cases} \end{equation*}$

e quindi il termine generale della serie non converge puntualmente alla funzione nulla. Per la proposizione 3.2, la serie di funzioni non converge puntualmente per $x \neq 0$ .

Esempio 3.4. Consideriamo la serie di funzioni definita da

(47) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \exp\left (-k\left (x-\frac{1}{k}\right )^2\right ) \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Mostriamo che la serie non converge uniformemente. Chiamando $f_k \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la funzione termine generale della serie, si ha infatti

(48) $\begin{equation*} \sup_{x \in \mathbb{R}} |f_k(x)| = \sup_{x \in \mathbb{R}} \exp\left (-k\left (x-\frac{1}{k}\right )^2\right ) = 1 \qquad \forall k \in \mathbb{N}, \end{equation*}$

dove l’ultima uguaglianza segue dal fatto che l’argomento di $\exp$ è non positivo e quindi $f_k$ ha un punto di massimo per $x=\dfrac{1}{k}$ in cui si ha $x-\dfrac{1}{k}=0$ e quindi $f_k \left ( \dfrac{1}{k} \right )=1$ . Da (48) e dalla proposizione 1.3, segue che la successione di funzioni $f_k$ non converge uniformemente alla funzione nulla e quindi la serie di funzioni non converge uniformemente in virtù della proposizione 3.2.

Osservazione 3.5. La proposizione 3.2, essendo una condizione necessaria alla convergenza puntuale e uniforme, non può essere usata per mostrare la convergenza di una serie di funzioni, ma solo per provare che detta serie non converge. Infatti, come per le serie numeriche, la condizione non è anche sufficiente a garantire la convergenza, come mostra il seguente esempio.

Esempio 3.6. Sia data la serie di funzioni definita da

(49) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k} \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

ossia la serie di funzioni determinata dalla successione di funzioni $f_k \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ costanti con $f_k \equiv \dfrac{1}{k}$ per ogni $k \in \mathbb{R}$ . Ovviamente $f_k$ converge puntualmente e uniformemente alla funzione nulla, ma la serie di funzioni non converge neppure puntualmente per nessun $x \in \mathbb{R}$ , poiché essa coincide con la serie armonica, che è divergente [6, lemma 7].

Risulta quindi necessario individuare delle condizioni sufficienti per la convergenza di una serie di funzioni, che non richiedano la conoscenza di formule esplicite per le somme parziali.

Un primo passo in tale direzione consiste nei seguenti criteri di Cauchy, ottenuti dagli analoghi criteri per successioni di funzioni stabiliti dalle proposizioni 1.5 e 1.6.

$\quad$

Proposizione 3.7 (criterio di Cauchy per la convergenza puntuale). Sia $E \subseteq \mathbb{R}$ e sia $f_k \colon E \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

$\quad$

la serie di funzioni $\displaystyle \sum_{k =1}^{+\infty}f(x)$ converge puntualmente in $E$ ;

per ogni $x \in E$ e per ogni $\varepsilon>0$ , esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che
(50) $\begin{equation*} \left | \sum_{k=m+1}^n f_k(x) \right |< \varepsilon \qquad \forall n,m \geq N \text{ tali che } n \geq m. \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. La serie di funzioni $\sum_{k =1}^{+\infty}f(x)$ converge puntualmente se e solo se, per ogni $x \in E$ , la successione $S_n(x)$ delle somme parziali converge puntualmente. Per la proposizione 1.5, ciò avviene se e solo se per ogni $\varepsilon>0$ esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che

$\begin{equation*} |S_n(x)-S_m(x)| = \left | \sum_{k=1}^n f_k(x) - \sum_{k=1}^m f_k(x) \right | = \left | \sum_{k=m+1}^n f_k(x) \right |< \varepsilon \qquad \forall n,m \geq N \text{ tali che } n \geq m. \qedhere \end{equation*}$

Proposizione 3.8. (criterio di Cauchy per la convergenza uniforme). Sia $E \subseteq \mathbb{R}$ e sia $f_k \colon E \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

$\quad$

la serie di funzioni $\displaystyle \sum_{k =1}^{+\infty}f(x)$ converge uniformemente in $E$ ;

per ogni $\varepsilon>0$ , esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che
(51) $\begin{equation*} \sup_{x \in E} \left | \sum_{k=m+1}^n f_k(x) \right |< \varepsilon \qquad \forall n,m \geq N \text{ tali che } n \geq m. \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. La serie di funzioni converge uniformemente se e solo se la successione delle somme parziali $S_n$ converge uniformemente in $E$ . Per la proposizione 1.6, ciò è equivalente al fatto che, per ogni $\varepsilon>0$ , esista $N \in \mathbb{N}$ tale che

(52) $\begin{equation*} \begin{split} \sup_{x \in E} |S_n(x)-S_m(x)| &= \sup_{x \in E}\left | \sum_{k=1}^n f_k(x) - \sum_{k=1}^m f_k(x) \right | \\ &= \sup_{x \in E} \left | \sum_{k=m+1}^n f_k(x) \right |< \varepsilon \\ &\quad \forall n,m \geq N \colon n \geq m, \end{split} \end{equation*}$

ossia la conclusione.

Vediamo come tali criteri permettano di completare lo studio della convergenza della serie di funzioni dell’esempio 3.4.

Esempio 3.9. Riconsideriamo quindi la serie di funzioni definita da

(53) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \exp\left (-k\left (x-\frac{1}{k}\right )^2\right ) \qquad \forall x \in \mathbb{R} \end{equation*}$

dell’esempio 3.4, che abbiamo già mostrato non essere uniformemente convergente in $\mathbb{R}$ . Verifichiamo che essa però converge uniformemente su ogni insieme del tipo $(-\infty,-r) \cup (r,+\infty)$ con $r>0$ , ossia l’insieme $\{x \in \mathbb{R} \colon |x|>r\}$ . Infatti, fissato $r>0$ , osserviamo che la funzione $f_k$ termine generale della serie possiede le seguenti proprietà:

$\quad$

$f_k$ è positiva e crescente in $(-\infty,-r]$ ;

$f_k$ è positiva e, se $\dfrac{1}{k}< r$ , è decrescente in $[r,+\infty)$ ;

$f_k(-r)\leq f_k(r)$ per ogni $k \in \mathbb{N}$ .

Da tali considerazioni segue quindi che, se $k> \dfrac{1}{r}$ , allora $0 \leq f_k(x) \leq f_k(r)$ per ogni $x \in (-\infty,-r) \cup (r,+\infty)$ . Da ciò si ha

(54) $\begin{equation*} \begin{split} \sup_{|x|>r} \left | \sum_{k=m+1}^n f_k(x) \right | &= \sum_{k=m+1}^n f_k(r) \\ &= \sum_{k=m+1}^n \exp\left (-k\left (r-\frac{1}{k}\right )^2\right ) \\ &\leq \sum_{k=m+1}^n \exp\left (- \frac{k r^2}{4}\right ) \qquad \forall n,m \geq \frac{2}{r}, %\text{ con } n\geq m, \end{split} \end{equation*}$

dove la prima uguaglianza segue dalle considerazioni precedenti sul fatto che $f_k$ assume massimo assoluto per $x=r$ e la disuguaglianza segue scegliendo appunto $n,m \geq \dfrac{2}{r}$ per i quali quindi si ha $r - \dfrac{1}{k} \geq \dfrac{r}{2}$ . Poiché la serie numerica

(55) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \exp\left (- \frac{k r^2}{4}\right ) \end{equation*}$

è convergente (lo si può ad esempio vedere col criterio del rapporto, [6, teorema 4]), la successione delle sue somme parziali è di Cauchy e quindi, fissato $\varepsilon>0$ , esiste $N \in \mathbb{N}$ , che può essere scelto tale che $N \geq \dfrac{2}{r}$ in modo da applicare le stime in (54), tale che

(56) $\begin{equation*} \sum_{k=m+1}^n \exp\left (- \frac{k r^2}{4}\right ) < \varepsilon \qquad \forall n,m \geq N. \end{equation*}$

Unendo tale disuguaglianza con (54), si ottiene

(57) $\begin{equation*} \sup_{|x|>r} \left | \sum_{k=m+1}^n f_k(x) \right | < \varepsilon \qquad \forall n,m \geq N, \end{equation*}$

che è la condizione della proposizione 3.8 e quindi implica la convergenza uniforme della serie di funzioni.

La convergenza uniforme appena provata implica la convergenza puntuale della serie di funzioni in $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ . Infatti, se $x_0 \neq 0$ , esiste certamente $r>0$ tale che $|x_0| >r$ . Poiché nell’insieme $\{|x|> r\}$ la convergenza della serie di funzioni è uniforme, per la proposizione 2.6 è anche puntuale. Per l’arbitrarietà di $x_0$ quindi, la serie converge puntualmente in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ .

Rimane da studiare soltanto la convergenza puntuale della serie di funzioni in $x=0$ . Osserviamo che si ha

(58) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} f_k(0) = \sum_{k=1}^{+\infty} \exp \left ( - \frac{1}{k}\right ), \end{equation*}$

che è una serie numerica divergente poiché il suo termine generale tende a $1$ e quindi non è infinitesimo.

M-test e convergenza totale.

Nell’esempio 3.9, abbiamo utilizzato la monotonia delle funzioni $f_k$ per stimare dall’alto il primo membro di (54) con una serie numerica convergente che quindi ha permesso di stabilire la validità della condizione di Cauchy uniforme per le serie. Ciò non è un caso isolato, infatti in generale vale

(59) $\begin{equation*} \sup_{x \in E} \left | \sum_{k=m+1}^n f_k(x) \right | %\leq %\sup_{x \in E} \sum_{k=m+1}^n |f_k(x)| \leq \sum_{k=m+1}^n \sup_{x \in E} |f_k(x)|, \end{equation*}$

come vedremo meglio a breve. Una strategia generale quindi che può essere utilizzata nello studio della convergenza di una serie di funzioni è quella di confrontarla con una serie numerica a termini positivi e convergente che maggiori ogni funzione della serie. Un vantaggio di tale approccio consiste nel ricondursi a studiare una serie numerica, per cui sono utilizzabili i criteri di convergenza noti. Formuliamo dunque la seguente definizione.

$\quad$

Definizione 3.10 ( $M$ -test di Weierstrass). Dato $E \subseteq \mathbb{R}$ e data una successione di funzioni $f_k \colon E \to \mathbb{R}$ , si dice che la serie di funzioni $\sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x)$ soddisfa l’ $M$ -test di Weierstrass se esiste una successione di numeri reali $M_k$ tali che

(60) $\begin{equation*} |f_k(x)| \leq M_k \qquad \forall k \in \mathbb{N},\,\, \forall x \in E \end{equation*}$

e tali che la serie numerica $\sum_{k=1}^{+\infty} M_k$ sia convergente.

$\quad$

Ovviamente, al fine di garantire la convergenza della serie $\sum_{k=1}^{+\infty} M_k$ , la scelta ottimale per la successione $M_k$ è

(61) $\begin{equation*} M_k = \sup_{x \in E} |f_k(x)|, \end{equation*}$

che vengono anche dette norme uniformi o norme infinito di $f_k$ su $E$ e si indicano col simbolo $\|f_k\|_E$ , si veda [8, sezione 4, definizione 4.13]. Introduciamo quindi la seguente definizione.

Definizione 3.11 (convergenza totale). Sia $E \subseteq \mathbb{R}$ e sia $f_k \colon E \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni limitate. Si dice che la serie di funzioni $\sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x)$ converge totalmente in $E$ se la serie numerica

(62) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \sup_{x \in E} |f_k(x)| = \sum_{k=1}^{+\infty} \|f_k\|_{E} \end{equation*}$

è convergente.

$\quad$

Osservazione 3.12. La nozione di convergenza totale consiste in una generalizzazione, al contesto delle serie di funzioni e della convergenza uniforme, della nozione di convergenza assoluta di una serie numerica riportata nella definizione 1.12. Infatti una serie numerica si dice assolutamente convergente se la serie dei suoi moduli è convergente: nella convergenza totale di una serie di funzioni si richiede che la serie degli estremi superiori dei moduli sia convergente.

Come appare dalla discussione precedente, le nozioni di $M$ -test e di serie totalmente convergenti sono strettamente legate. Come è facile intuire, vale infatti la seguente equivalenza.

$\quad$

Proposizione 3.13. Una serie di funzioni $\sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x)$ converge totalmente se e solo se soddisfa l’ $M$ -test di Weierstrass.

$\quad$

Dimostrazione. Se la serie di funzioni $\sum_{k=1}^n f_k(x)$ converge totalmente, la serie numerica $\sum_{k=1}^{+\infty} \|f_k\|_E$ è convergente. Scegliendo $M_k= \|f_k\|_E$ si vede che la serie di funzioni soddisfa l’ $M$ -test.

Viceversa, supponiamo che $\sum_{k=1}^n f_k(x)$ soddisfi l’ $M$ -test; poiché si ha

(63) $\begin{equation*} \|f_k\|_E \leq M_k \qquad \forall k \in \mathbb{N}, \end{equation*}$

per il criterio del confronto la serie $\sum_{k=1}^{+\infty} \|f_k\|_E$ risulta convergente, e quindi la serie di funzioni converge totalmente.

Esempio 3.14. Consideriamo la serie di funzioni definita da

(64) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2}\sin(kx) \arctan\left ( \frac{x}{k} \right ) \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Osserviamo che essa converge totalmente. Infatti vale

(65) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \|f_k\|_{\mathbb{R}} = \sum_{k=1}^{+\infty} \sup_{x \in \mathbb{R}} \left | \frac{1}{k^2}\sin(kx) \arctan\left ( \frac{x}{k} \right ) \right | = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} \sup_{x \in \mathbb{R}}\left | \sin(kx) \right | \left | \arctan\left ( \frac{x}{k} \right ) \right | \leq \frac{\pi}{2} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2}, \end{equation*}$

che è convergente in quanto si tratta di una serie armonica generalizzata di esponente $2$ , si veda [6, lemma 7].

Come anticipato nell’esempio 3.9, l’idea di maggiorare una successione di funzioni con una serie numerica convergente può essere utilizzata come strategia per dimostrarne la convergenza uniforme. Tale procedura è valida in generale e conduce al seguente risultato, che consiste in una generalizzazione del criterio di convergenza assoluta per serie numeriche riportato nella proposizione 1.13. Infatti, come la convergenza assoluta di una serie numerica ne garantisce la convergenza, così la convergenza totale di una serie di funzioni ne implica la convergenza uniforme. Si ha infatti il seguente risultato: si confrontino anche le stime (11) e (66), che costituiscono delle generalizzazioni della disuguaglianza triangolare al caso di somme infinite.

Proposizione 3.15. Sia $\sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x)$ una serie di funzioni totalmente convergente in $E \subseteq \mathbb{R}$ ; allora essa converge uniformemente in $E$ e inoltre vale

(66) $\begin{equation*} \sup_{x \in E} \left |\sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x) \right | \leq \sum_{k=1}^{+\infty} \|f_k\|_E. \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. Mostriamo che la serie di funzioni soddisfa il criterio di Cauchy uniforme fornito dalla proposizione 3.8 e a tal fine fissiamo $\varepsilon>0$ . Poichè la serie di funzioni converge totalmente, la serie

(67) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \|f_k\|_E \end{equation*}$

è convergente. Per definizione di convergenza di una serie numerica esiste quindi $N \in \mathbb{N}$ tale che

(68) $\begin{equation*} \sum_{k=N}^{+\infty} \|f_k\|_E = \left (\sum_{k=1}^{+\infty} \|f_k\|_E \right ) - \left (\sum_{k=1}^{N} \|f_k\|_E \right ) < \varepsilon. \end{equation*}$

Si ha quindi

(69) $\begin{equation*} \sup_{x \in E} \left | \sum_{k=m+1}^n f_k(x) \right | \leq \sup_{x \in E} \sum_{k=m+1}^n |f_k(x)| \leq \sum_{k=m+1}^n \|f_k\|_E \leq \sum_{k=N}^{+\infty} \|f_k\|_E < \varepsilon \qquad \forall n,m \geq N, \end{equation*}$

dove la prima disuguaglianza segue dalla disuguaglianza triangolare, la seconda deriva dal fatto che $|f_k(x)| \leq \|f_k\|_E$ per ogni $x \in E$ e la terza dal fatto che la serie numerica delle norme $\|f_k\|_E$ è a termini positivi. Per la proposizione 3.8 , la serie di funzioni $\sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x)$ converge uniformemente in $E$ .

Rimane solo da provare la stima (66). A tal fine osserviamo che, come in (69), si stima

(70) $\begin{equation*} \sup_{x \in E} \left | \sum_{k=1}^n f_k(x) \right | \leq \sup_{x \in E} \sum_{k=1}^n |f_k(x)| \leq \sum_{k=1}^n \|f_k\|_E \leq \sum_{k=1}^{+\infty} \|f_k\|_E \qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Poiché l’ultimo membro non dipende da $n$ , passando al limite per $n \to +\infty$ al primo membro si ottiene (66).

Esempio 3.16. La serie di funzioni

(71) $\begin{equation*} %\sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x) %= \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2}\sin(kx) \arctan\left ( \frac{x}{k} \right ) \qquad \forall x \in \mathbb{R} \end{equation*}$

dell’esempio 3.14 è uniformemente convergente in $\mathbb{R}$ . Infatti, abbiamo già provato che essa è totalmente convergente; per la proposizione 3.15, dunque, essa è uniformemente convergente.

Risulta a questo punto naturale porsi la seguente domanda.

Domanda 3.17. È valido il viceversa della proposizione 3.15? In altre parole, una serie di funzioni uniformemente convergente converge anche totalmente?

La risposta è negativa, come mostrato dal prossimo esempio.

Esempio 3.18. Sia $f_k \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la successione di funzioni dell’esempio 2.7, ovvero definite da

(72) $\begin{equation*} f_k(x) = \begin{cases} x & \text{se } x \in \left (\dfrac{1}{k+1}, \dfrac{1}{k}\right ] \\[8pt] 0 & \text{altrimenti}. \end{cases} \qquad \forall k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}. \end{equation*}$

Abbiamo verificato nell’esempio 2.7 che la serie $\sum_{k=1}^{+\infty}f_k(x)$ converge uniformemente in $\mathbb{R}$ . Verifichiamo che la serie non converge però totalmente. Infatti da (72) segue

(73) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \|f_k\|_\mathbb{R} = \sum_{k=1}^{+\infty} \sup_{x \in \left (\frac{1}{k+1}, \frac{1}{k}\right ]} x = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k}, \end{equation*}$

che è una serie armonica, divergente per [6, lemma 7].

Riassumiamo schematicamente le relazioni tra le nozioni di convergenza studiate.

$\quad$

Serie a segno alterno.

Come menzionato all’inizio della sezione, una strategia utile per sviluppare criteri di convergenza per serie di funzioni consiste nell’esplorare la possibilità di “tradurre” dei criteri di convergenza per serie numeriche nel contesto delle serie di funzioni. Abbiamo osservato che il criterio di convergenza totale consiste in una generalizzazione del criterio di convergenza assoluta per serie numeriche. Esistono però esempi di serie numeriche convergenti che non convergono assolutamente. Un criterio molto utile che permette di stabilire la convergenza di una serie numerica a segni alterni è il criterio di Leibnitz stabilito dal teorema 1.14. Tale criterio si estende al contesto delle serie di funzioni, come descritto nel seguente risultato.

Teorema 3.19 (criterio di Leibnitz per serie di funzioni). Sia $E \subseteq \mathbb{R}$ e sia $f_k \colon E \to [0,+\infty)$ una successione di funzioni non-negative e decrescenti, ossia tali che $f_{k+1}(x) \leq f_k(x)$ per ogni $k \in \mathbb{N}$ e ogni $x \in E$ . Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

$\quad$

la successione di funzioni $f_k$ converge uniformemente alla funzione nulla;

la serie di funzioni $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k f_k(x)$ converge uniformemente in $E$ .

$\quad$

Dimostrazione. Dimostriamo le due implicazioni.

$\quad$

$1 \Rightarrow 2.$ La dimostrazione è molto simile a quella del teorema 1.14 e l’idea consiste nel provare che la successione $S_n \colon E \to \mathbb{R}$ delle somme parziali soddisfa la proposizione 3.8. A tal fine premettiamo alcune osservazioni. Notiamo che la successione $S_{2n}$ delle somme di indice pari è decrescente, infatti
(74) $\begin{equation*} S_{2(n+1)}(x) = S_{2n}(x) - f_{2n+1}(x)+f_{2n+2}(x) \leq S_{2n}(x) \qquad \forall n \in \mathbb{N},\,\, \forall x \in E, \end{equation*}$

dove la disuguaglianza segue dall’ipotesi di monotonia della successione $f_k$ . Analogamente si vede che la successione $S_{2n+1}$ delle somme di indice dispari è crescente. Inoltre, dal fatto che $f_k \geq 0$ per ogni $k \in \mathbb{N}$ segue che

(75) $\begin{equation*} S_{2n+1}(x) = S_{2n}(x) - f_{2n+1}(x) \leq S_{2n}(x) \qquad \forall n \in \mathbb{N},\,\, \forall x \in E. \end{equation*}$

Da tali considerazioni si vede che le somme parziali sono ordinate come segue:

(76) $\begin{equation*} S_1(x) \leq S_3(x) \leq \dots \leq S_{2n+1} \leq \dots \leq S_{2n+2} \leq S_{2n} \leq \dots S_2(x) \leq S_0(x) \qquad \forall x \in E. \end{equation*}$

Si fissi $\varepsilon>0$ . Poiché la successione $f_k$ converge uniformemente alla funzione nulla, esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che

(77) $\begin{equation*} |f_{N+1}(x)| < \varepsilon \qquad \forall x \in E. \end{equation*}$

Risulta

(78) $\begin{equation*} |S_n(x) - S_m(x)| \overset{76}{\leq} |S_{N+1}(x) - S_N(x)| = |f_{N+1}(x)| \overset{77}{<} \varepsilon \qquad \forall n,m \geq N,\,\,\forall x \in E, \end{equation*}$

Per tali disuguaglianze la serie di funzioni soddisfa le ipotesi della proposizione 3.8 e quindi converge uniformemente in $E$ .

$2 \Rightarrow 1.$ Poiché la serie converge uniformemente, la proposizione 3.2 implica che $f_k$ converge uniformemente alla funzione nulla in $E$ .

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Teoremi di passaggio al limite

Introduzione.

In generale, la convergenza puntuale di una serie di funzioni non è sufficiente a garantire il passaggio al limite delle proprietà di continuità, derivabilità e integrabilità della successione di funzioni termine generale della serie. Ciò si può dedurre dalla discussione approfondita riportata in [8, sezione 2.1] e dall’osservazione 2.3, in virtù della quale ogni successione di funzioni può essere interpretata come serie di funzioni.

Dall’osservazione 2.3 e dai teoremi 1.7, 1.8, 1.9 e 1.10, segue al contrario che, sotto ipotesi di convergenza uniforme, le proprietà di continuità, integrabilità e derivabilità di una serie di funzioni passino al limite. Nonostante tali risultati siano soltanto delle “traduzioni” nel linguaggio delle serie degli analoghi teoremi per successioni di funzioni, li scriviamo esplicitamente in modo da riferirci agevolmente a essi.

Teorema 4.1 (di scambio tra limiti e serie). Sia $E \subseteq \mathbb{R}$ , sia $x_0 \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}$ un punto di accumulazione per $E$ e sia $f_k \colon E \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni tale che la serie di funzioni $\sum_{k=1}^{+\infty}f_k(x)$ converga uniformemente a una funzione $S \colon E \to \mathbb{R}$ . Supponiamo inoltre per ogni $k \in \mathbb{N}$ esista finito il limite

(79) $\begin{equation*} \ell_k \coloneqq \lim_{x \to x_0} f_k(x) \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Allora valgono le seguenti conclusioni:

$\quad$

la serie $\sum_{k=1}^{+\infty} \ell_k$ è convergente a un numero reale $\ell$ ;

Si ha $\displaystyle \lim_{x \to x_0}S(x)=\ell$ .

Sinteticamente si può scrivere

(80) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_0} \left ( \sum_{k=1}^{+\infty}f_k(x) \right ) = \sum_{k=1}^{+\infty} \left ( \lim_{x \to x_0}f_k(x) \right ). \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. Sia $S_n \colon E \to \mathbb{R}$ la successione delle somme parziali della serie di funzioni. Per ipotesi essa converge uniformemente a $S$ e inoltre per ogni $n \in \mathbb{N}$ si ha

(81) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_0} S_n(x) = \sum_{k=1}^n \left ( \lim_{x \to x_0} f_k(x) \right ) = \sum_{k=1}^n \ell_k \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Il teorema 1.8 applicato alla successione di funzioni $S_n$ prova dunque la tesi.

Osservazione 4.2. Il teorema 4.1 si può appunto formulare dicendo che, sotto ipotesi di convergenza uniforme, il limite di una serie di funzioni è pari alla serie dei limiti, ossia che appunto gli operatori di limite e di somma della serie commutano tra loro.

Un corollario immediato del teorema 4.1 è la continuità della somma di una serie di funzioni continue uniformemente convergente.

Teorema 4.3 (continuità della somma di una serie di funzioni). Sia $E \subseteq \mathbb{R}$ e sia $f_k \colon E \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni continue tale che la serie di funzioni $\sum_{k=1}^{+\infty}f_k(x)$ converga uniformemente a una funzione $S \colon E \to \mathbb{R}$ . Allora $S$ è una funzione continua.

$\quad$

La versione per le serie di funzioni del teorema 1.9 è invece la seguente.

Teorema 4.4 (di integrazione per serie). Sia $f_k \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni integrabili secondo Riemann e supponiamo che la serie di funzioni $\sum_{k=1}^{+\infty}f_k(x)$ converga uniformemente a una funzione $S \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ . Allora $S$ è integrabile secondo Riemann e vale

(82) $\begin{equation*} \int_a^b S(x) \,\mathrm{d}x %= %\int_a^b \left (\sum_{k=1}^{+\infty}f_k(x) \right ) \,\mathrm{d}x = \sum_{k=1}^{+\infty} \left ( \int_a^b f_k(x) \mathrm{d}x \right ). \end{equation*}$

$\quad$

Osservazione 4.5. Il teorema 4.4 si può sinteticamente formulare dicendo che, sotto ipotesi di convergenza uniforme l’integrale di una serie di funzioni è pari alla serie degli integrali, ossia vale

(83) $\begin{equation*} \int_a^b \left (\sum_{k=1}^{+\infty}f_k(x) \right ) \,\mathrm{d}x = \sum_{k=1}^{+\infty} \left ( \int_a^b f_k(x) \mathrm{d}x \right ), \end{equation*}$

cioè che gli operatori di integrale di serie commutano tra loro.

Applicando invece il teorema 1.10 alla successione delle somme parziali $S_n$ di una serie di funzioni, si ottiene il seguente teorema di scambio tra serie e derivate.

Teorema 4.6 Sia $f_k \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni derivabili; supponiamo che:

$\quad$

la serie delle derivate $\sum_{k=1}^{+\infty}f_k'(x)$ converga uniformemente a una funzione $G \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ ;

esista $x_0 \in [a,b]$ tale che la serie $\sum_{k=1}^{+\infty}f_k(x_0)$ sia convergente.

Allora la serie di funzioni $\sum_{k=1}^{+\infty}f_k(x)$ converge uniformemente a una funzione derivabile $S \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ e vale $S'=G$ , ossia

(84) $\begin{equation*} \left ( \sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x) \right )' = \sum_{k=1}^{+\infty} f_k'(x) \qquad \forall x \in [a,b]. \end{equation*}$

$\quad$

Osservazione 4.7. La tesi del teorema 4.6 può essere letta come una commutatività tra l’operatore di derivazione e di serie.

Sottolineiamo nuovamente che i teoremi appena presentati non sono più validi se le convergenze uniformi delle serie vengono sostituite con quelle puntuali. Rimandiamo alla discussione in [8, sezione 2.1], ricordando che ognuno dei controesempi ivi riportati può essere scritto come serie di funzioni in virtù dell’osservazione 2.3.

Applicazioni ed esempi.

I teoremi di passaggio al limite sono molto utili e permettono di studiare con profitto numerose serie di funzioni. Cominciamo con un esempio di applicazione alla funzione esponenziale.

Esempio 4.8 (serie esponenziale). Consideriamo la serie di funzioni

(85) $\begin{equation*} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^k}{k!} \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

È noto che la serie converge puntualmente alla funzione $S \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $S(x)=e^x$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ , si veda ad esempio [1, sezione 5.9, proposizione 5.56 e seguenti]. La serie è infatti utilizzabile come definizione della funzione esponenziale. È inoltre noto che tale funzione è derivabile ovunque e che $S'(x)=S(x)$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ . Proviamolo in altro modo, mediante l’utilizzo del teorema di derivazione per serie 4.6.

Consideriamo la serie delle derivate delle funzioni $f_k(x)= \dfrac{x^k}{k!}$ ; si ha

(86) $\begin{equation*} \sum_{k=0}^{+\infty} f_k'(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} k\frac{x^{k-1}}{k!} = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^{k-1}}{(k-1)!} = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^k}{k!} = \sum_{k=0}^{+\infty} f_k(x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Dunque la serie delle derivate è uguale alla serie delle funzioni $f_k$ . Osserviamo poi che la serie delle funzioni $f_k$ (e quindi anche la serie delle $f_k'$ ) converge totalmente (e quindi uniformemente in virtù della proposizione 3.15) in ogni intervallo del tipo $[-R,R]$ con $R>0$ . Infatti per ogni $k \in \mathbb{N}$ si ha

(87) $\begin{equation*} \sup_{x \in [-R,R]}\left | \frac{x^k}{k!}\right | = \sup_{x \in [-R,R]} \frac{|x|^k}{k!} = \frac{R^k}{k!} \qquad \forall k \in \mathbb{N} \end{equation*}$

e la serie

(88) $\begin{equation*} \sum_{k=0}^{+\infty} \ \frac{R^k}{k!} = e^R \end{equation*}$

è appunto convergente per la convergenza puntuale della serie di funzioni a $S$ . Da tali considerazioni segue che la serie delle funzioni $f_k$ soddisfa le ipotesi del teorema 4.6 in $[-R,R]$ , per cui la funzione $S$ è derivabile e, in virtù di (86), vale $S'=S$ .

Presentiamo ora un’applicazione della teoria precedentemente esposta al calcolo della somma di una serie.

Esempio 4.9. Studiamo la convergenza e calcoliamo la somma della serie di funzioni

(89) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^k}{k} \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Osserviamo che essa converge totalmente in ogni intervallo del tipo $[-r,r]$ con $r \in (0,1)$ . Infatti si ha

(90) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \sup_{x \in [-r,r]}\left |\frac{x^k}{k} \right | = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{r^k}{k}, \end{equation*}$

che è convergente ad esempio per il criterio del rapporto, [6, teorema 4].

Osserviamo poi che la serie (89) converge uniformemente in $[-1,0]$ per il teorema 3.19. Infatti

(91) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^k\frac{|x|^k}{k} \qquad \forall x \in [-1,0], \end{equation*}$

e il termine generale $\dfrac{|x|^k}{k}$ è una successione di funzioni non negative e decrescenti rispetto a $k$ . Inoltre tale successione converge uniformemente alla funzione nulla in $[-1,0]$ , infatti si ha

(92) $\begin{equation*} \lim_{k \to + \infty} \sup_{x \in [-1,0]}\frac{|x|^k}{k} = \lim_{k \to + \infty} \frac{1}{k} = 0. \end{equation*}$

Da tali considerazioni, per il teorema 3.19, la serie (89) converge uniformemente in $[-1,0]$ . Unendo tale convergenza uniforme con quella totale negli intervalli $[-r,r]$ con $r \in (0,1)$ , si ottiene che la serie converge uniformemente in ogni intervallo del tipo $[-1,r]$ con $r \in (0,1)$ .

Per la proposizione 2.6 e poiché $r \in (0,1)$ è arbitrario, ciò implica che la serie converge puntualmente in $[-1,1)$ . La serie non converge puntualmente in $x=1$ in quanto in tale punto essa corrisponde alla serie armonica e non converge in nessun punto $x \in (-\infty,-1) \cup (1,+\infty)$ in quanto il termine generale non è infinitesimo.

Calcoliamo ora la somma della serie. A tal fine, consideriamo la serie delle derivate

(93) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{x^k}{k} = \sum_{k=1}^{+\infty} x^{k-1}, \end{equation*}$

che è una serie geometrica, convergente uniformemente in ogni intervallo del tipo $[-r,r]$ con $r \in (0,1)$ , in virtù dell’esempio 2.13. Pertanto, fissando $r \in (0,1)$ , si può applicare il teorema 4.6 di derivazione per serie per ottenere che la somma della serie (89) è una funzione derivabile in $[-r,r]$ e vale

(94) $\begin{equation*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^k}{k} \overset{\text{(thm. 4.6)}}{=} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{x^k}{k} = \sum_{k=1}^{+\infty} x^{k-1} \overset{\text{35}}{=} \frac{1}{1-x} \qquad \forall x \in [-r,r]. \end{equation*}$

Integrando tra $0$ e $x$ tale relazione, per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ottiene

(95) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^k}{k} = \int_0^x \frac{1}{1-t} \mathrm{d}t = -\log(1-x) \qquad \forall x \in [-r,r]. \end{equation*}$

Poiché $r \in (0,1)$ è arbitrario, ciò implica che la serie (89) ha tale somma in $(-1,1)$ .

Nonostante l’espressione $-\log(1-x)$ sia ben definita per $x=-1$ e valga $-\log 2$ , il teorema 4.6 non permette di trarre la conclusione che questo valore sia la somma della serie in tale punto, poiché la serie $\sum_{k=1}^{+\infty} t^{k-1}$ non converge uniformemente in $[-1,0]$ , come visto nell’esempio 2.13. Possiamo però risolvere il problema usando il teorema 4.1: poiché la serie in (89) è uniformemente convergente in $[-1,0]$ si può affermare che

(96) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k} = \sum_{k=1}^{+\infty} \lim_{x \to -1^-} \frac{x^k}{k} \overset{\text{(thm. 4.1)}}{=} \lim_{x \to -1^-} \left (\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^k}{k} \right ) \overset{(94}){=} - \lim_{x \to -1^-} \log(1-x) = -\log 2, \end{equation*}$

ottenendo quindi la somma della serie anche per $x=-1$ .

Osservazione 4.10. La somma della serie (89) negli intervalli del tipo $[-r,r]$ con $r \in (0,1)$ poteva essere calcolata anche mediante il teorema 4.4 di integrazione per serie. Infatti si poteva osservare che ogni termine della serie si può scrivere come

(97) $\begin{equation*} \int_0^x t^{k-1} \,\mathrm{d}t = \frac{x^k}{k} \qquad \forall x \in \mathbb{R},\,\, \forall k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}. \end{equation*}$

Dunque la serie in (89) è la serie degli integrali di una serie geometrica, che sappiamo essere uniformemente convergente in $[-r,r]$ per l’esempio 2.13. Dunque possiamo applicare il teorema 4.4 di integrazione per serie e concludere che per ogni x \in [-r,r] vale

(98) $\begin{equation*} \begin{split} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^k}{k} = \sum_{k=1}^{+\infty} \int_0^x t^{k-1} \,\mathrm{d}t \overset{\text{(thm. 4.4)}}{=} \int_0^x \left ( \sum_{k=1}^{+\infty} t^{k-1} \right ) \,\mathrm{d}t \overset{\text{(35)}}{=} \int_0^x \frac{1}{1-t} \,\mathrm{d}t %= %- \Big[ \log(1-x) \Big]_0^x = - \log(1-x) \end{split} \end{equation*}$

I ragionamenti seguenti sarebbero stati identici, in quanto nemmeno mediante il teorema 4.4 si poteva concludere che la somma della serie fosse pari a $-\log 2$ in $x=-1$ .

Un esercizio riepilogativo.

Riportiamo il seguente esercizio, in cui si utilizzano molte delle tecniche presentate nelle sezioni precedenti. Esso risulta abbastanza complesso a causa della presenza del parametro $\alpha \in (0,+\infty)$ , che porta a dover distinguere vari casi, da studiare con strumenti diversi e adeguati al contesto. Alcuni punti risultano piuttosto impegnativi, dunque invitiamo il lettore a non scoraggiarsi se non dovesse essere in grado di risolverli e a fare riferimento alla soluzione proposta di seguito.

$\quad$

Esercizio 4.11 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Dato $\alpha >0$ , si consideri la serie di funzioni

(99) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^\alpha}{1+k^2x^2} \qquad \forall x \in (0,+\infty). \end{equation*}$

$\quad$

Studiare, al variare del parametro $\alpha \in (0,+\infty)$ , la convergenza puntuale, uniforme e totale della serie di funzioni.

Dimostrare che la somma $S$ della serie è una funzione di classe $C^1((0,+\infty))$ per ogni $\alpha>0$ .

Si calcolino i limiti
(100) $\begin{equation*} \lim_{x \to 0^+} S(x), \qquad \lim_{x \to + \infty} S(x). \end{equation*}$

$\quad$

Nella soluzione utilizzeremo ripetutamente il confronto tra serie e integrali, alla base del criterio dell’integrale per le serie [6, teorema 7]: se $g \colon (0,+\infty) \to \mathbb{R}$ è una funzione positiva e decrescente, allora si ha

(101) $\begin{equation*} \int_1^{+\infty} g(t) \,\mathrm{d}t \leq \sum_{k=1}^{+\infty} g(k) \leq \int_0^{+\infty} g(t) \,\mathrm{d}t. \end{equation*}$

Svolgimento. Chiamiamo $f_k \colon (0,+\infty) \to \mathbb{R}$ le funzioni definite da

(102) $\begin{equation*} f_k(x) = \frac{x^\alpha}{1+k^2x^2} \qquad \forall x \in (0,+\infty). \end{equation*}$

$\quad$

Per studiare la convergenza totale, osserviamo innanzitutto che le funzioni $f_k$ assumono valori non negativi per ogni $\alpha>0$ . Al fine di determinarne l’estremo superiore, calcoliamo

(103) $\begin{equation*} \begin{split} f_k'(x) = \frac{\alpha x^{\alpha-1}(1+k^2x^2) - x^\alpha k^2 2x}{(1+k^2x^2)^2} >0 \iff & \alpha x^{\alpha-1} + x^{\alpha+1} k^2(\alpha-2)>0 \\ \iff & \begin{cases} x \in (0,+\infty) & \text{se } \alpha \geq 2 \\[7pt] 0< x < \dfrac{1}{k} \sqrt{\dfrac{\alpha}{(2-\alpha)}} & \text{se } \alpha \in (0,2).\end{cases} \end{split} \end{equation*}$

Ciò mostra che $f_k$ è crescente per $\alpha\geq 2$ , mentre ha un punto di massimo assoluto in $x_k \coloneqq \dfrac{1}{k} \sqrt{\dfrac{\alpha}{(2-\alpha)}}$ per $\alpha \in (0,2)$ .

Da ciò appare evidente che i casi $\alpha \geq 2$ e $\alpha \in (0,2]$ vanno distinti. In realtà, seppure per $\alpha \in (0,2]$ le funzioni $f_k$ possiedano lo stesso carattere di monotonia, studieremo separatamente i casi $\alpha \in (0,1]$ e $\alpha \in (1,2)$ ; vedremo infatti che la serie converge totalmente in $(0,+\infty)$ per $\alpha \in (1,2)$ , mentre ciò è falso per $\alpha \in (0,1]$ . Per motivi analoghi distingueremo inoltre i casi $\alpha=2$ e $\alpha>2$ .

$\quad$

${\bullet$ $\alpha \in (0,1]$ . Vale

(104) $\begin{equation*} \max_{x \in \mathbb{R}} |f_k(x)| = f_k\left ( x_k \right ) = \dfrac{1}{k^\alpha} \left ( \frac{\alpha}{2-\alpha} \right )^{\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{1}{1+\dfrac{\alpha}{2-\alpha}} \qquad \forall k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}. \end{equation*}$

Confrontando con la serie armonica generalizzata, la serie di funzioni non converge totalmente in $(0,+\infty)$ per $\alpha \in (0,1]$ .

Proviamo che la convergenza non è nemmeno uniforme in nessun intervallo del tipo $(0,r]$ con $r>0$ , utilizzando il criterio di Cauchy fornito dalla proposizione 3.8 e stimando la serie mediante il confronto tra serie e integrali; dato che la funzione che a $t \in (0,+\infty)$ associa $\dfrac{1}{1+t^2x^2}$ è decrescente, si ha

(105) $\begin{equation*} \frac{x^\alpha}{x}\int_m^{n} \frac{x}{1+t^2x^2} \,\mathrm{d}t \leq \sum_{k=m}^{n} \frac{x^\alpha}{1+k^2x^2} %\leq %\frac{x^\alpha}{x} %\int_{m+1}^{n+1} \frac{x}{1+t^2x^2} \,\mathrm{d}t \qquad \forall x \in (0,r], \,\, \forall n,m \in \mathbb{N} \text{ con } n\geq m. \end{equation*}$

Poiché una primitiva della funzione integranda è $\arctan(xt)$ , si ottiene

(106) $\begin{equation*} x^{\alpha-1}\left ( \arctan (nx)- \arctan (mx)\right ) \leq \sum_{k=m}^{n} \frac{x^\alpha}{1+k^2x^2} %\leq %x^{\alpha-1} \frac{\pi}{2} \qquad \forall x \in (0,r], \,\, \forall n,m \in \mathbb{N} \text{ con } n\geq m. \end{equation*}$

Scegliendo $x=\dfrac{1}{m}$ e $n=2m$ nel membro di sinistra (e ciò è lecito in quanto $\dfrac{1}{m}< r$ per $m$ abbastanza grande), si vede che

(107) $\begin{equation*} m^{1-\alpha}\left ( \arctan 2 - \arctan 1\right ) \leq \sup_{x \in (0,r]}\left | \sum_{k=m}^{2m} \frac{x^\alpha}{1+k^2x^2} \right | \qquad \forall m \geq \frac{1}{r}, \end{equation*}$

e quindi, poiché il membro di sinistra è maggiore o uguale a $\arctan 2 - \arctan 1$ , non può esistere alcun $N \in \mathbb{N}$ tale che

(108) $\begin{equation*} \sum_{k=m}^{n} \frac{x^\alpha}{1+k^2x^2} < \arctan 2 - \arctan 1 \qquad \forall x \in (0,r], \,\, \forall n,m \geq N. \end{equation*}$

Per la proposizione 3.8, la serie non converge uniformemente in $(0,r]$ .

D’altra parte, la serie converge totalmente in ogni intervallo del tipo $[r,+\infty)$ con $r>0$ . Infatti si fissi $r>0$ : poiché $x_k \to 0$ , per $k$ abbastanza grande $f_k$ è decrescente in $[r,+\infty)$ e quindi la serie numerica $\sum_{k=0}^{+\infty} \|f_k\|_{[r,+\infty)}$ ha lo stesso carattere della serie

(109) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} f_k(r) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{r^\alpha}{1+k^2 r^2} = r^\alpha \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{1+k^2 r^2} \leq r^{\alpha-2} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2}, \end{equation*}$

che è convergente in quanto si tratta del multiplo di una serie armonica generalizzata di esponente $2>1$ . Ciò mostra che la serie di funzioni converge totalmente in $[r,+\infty)$ e quindi anche uniformemente e puntualmente in tale intervallo. Per l’arbitrarietà di $r>0$ , la serie di funzioni converge puntualmente in $(0,+\infty)$ . Osserviamo che tale argomento è valido per ogni $\alpha \in (0,2)$ .

$\bullet$ $\alpha \in (1,2)$ . Usando (104), si vede che la serie di funzioni converge totalmente in $(0,+\infty)$ , in quanto

(110) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \max_{x \in (0,+\infty)} |f_k(x)| = {\left ( \frac{\alpha}{2-\alpha} \right )^{\frac{\alpha}{2}}} \cdot \frac{1}{1+\frac{\alpha}{2-\alpha}}\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^\alpha}, \end{equation*}$

che è una serie armonica generalizzata di esponente $\alpha>1$ che quindi è convergente. Pertanto la serie di funzioni converge totalmente, e quindi anche uniformemente e puntualmente, in $(0,+\infty)$ .

$\bullet$ $\alpha=2$ . Grazie a (103), ogni funzione $f_k$ è crescente in $(0,+\infty)$ e dunque si ha

(111) $\begin{equation*} \sup_{x \in (0,+\infty)} |f_k(x)| = \lim_{x \to + \infty} f_k(x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^2}{1+k^2x^2} = \frac{1}{k^2} \qquad \forall k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}. \end{equation*}$

Ciò implica che la serie di funzioni converge totalmente in $(0,+\infty)$ , infatti la serie

(112) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \sup_{x \in (0,+\infty)} |f_k(x)| = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} \end{equation*}$

è convergente, come visto al punto precedente. Dunque la serie converge anche uniformemente e puntualmente in $(0,+\infty)$ .

$\bullet$ $\alpha>2$ . Osserviamo innanzitutto che la serie non converge totalmente o uniformemente in $(0,+\infty)$ in quanto ognuna delle funzioni $f_k$ è illimitata per $x \to +\infty$ :

(113) $\begin{equation*} \lim_{x \to + \infty} f_k(x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^\alpha}{1+k^2x^2} \overset{\alpha>2}{=} +\infty \qquad \forall k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}. \end{equation*}$

Mostriamo però che la serie di funzioni converge totalmente in ogni intervallo del tipo $(0,R]$ con $R>0$ . Infatti, fissando $R>0$ , per la monotonia delle $f_k$ si ha

(114) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \sup_{x \in (0,R]} |f_k(x)| = \sum_{k=1}^{+\infty} f_k(R) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{R^\alpha}{1+k^2R^2} \leq R^{\alpha-2} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2}, \end{equation*}$

che è convergente in quanto serie armonica generalizzata di esponente $2$ . Pertanto la serie di funzioni converge totalmente, e quindi uniformemente e puntualmente, in $(0,R]$ . Per l’arbitrarietà di $R>0$ , la serie converge puntualmente in $(0,+\infty)$ .

Dal punto precedente, la somma $S(x)$ della serie è ben definita in ogni $x \in (0,+\infty)$ .
Per studiare la derivabilità di $S$ e la continuità della derivata, studiamo la convergenza della serie delle derivate. Mostriamo innanzitutto che, fissati $0 < r < R$ , la serie di funzioni delle derivate $f_k'$ è totalmente convergente in $[r,R]$ , infatti, tenendo presente l’espressione delle derivate in (103), vale

(115) $\begin{equation*} \begin{split} \sum_{k=1}^{+\infty} \sup_{[r,R]}|f_k'(x)| %\overset{\eqref{eq:derivate_ex}}&{\leq} & \leq \sum_{k=1}^{+\infty} \left ( \sup_{[r,R]} \frac{\alpha x^{\alpha-1}}{1+k^2x^2} + \sup_{[r,R]} \frac{2x^{\alpha+1}k^2 }{(1+k^2x^2)^2} \right ) \\ & \leq \alpha \left ( \sup_{[r,R]} x^{\alpha-1} \right )\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2 r^2} + 2 \left ( \sup_{[r,R]}x^{\alpha+1} \right ) \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k^2}{k^4r^4} \\ & \leq \frac{1}{r^2} \left ( \alpha \sup_{[r,R]} x^{\alpha-1} + 2 \frac{\sup_{[r,R]}x^{\alpha+1}}{r^2} \right ) \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2}, \end{split} \end{equation*}$

che è convergente in quanto si tratta di una serie armonica generalizzata di esponente $2$ . Il teorema 4.6 prova quindi che $S$ è una funzione derivabile in $[r,R]$ e vale

(116) $\begin{equation*} S'(x)= \sum_{k=1}^{+\infty} f_k'(x) \qquad \forall x \in [r,R]. \end{equation*}$

Inoltre, poiché ognuna delle $f_k'$ è una funzione continua, anche $S'$ è continua in $[r,R]$ in virtù della convergenza totale della serie $\sum_{k=1}^{+\infty} f_k'(x)$ in tale intervallo e del teorema 4.3. Ciò mostra che $S \in C^1([r,R])$ , cioè che $S'$ è continua in $[r,R]$ . Per l’arbitrarietà di $r, R$ , $S'$ è continua in $(0,+\infty)$ , mostrando che $S \in C^1((0,+\infty))$ .

Poiché la somma è ben definita in per ogni , studiamo separatamente i due limiti richiesti.
$\quad$

La funzione di Weierstrass

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In questa sezione presentiamo la funzione di Weierstrass, denotata con $W \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ : una funzione definita come somma di una serie di funzioni ciascuna delle quali è infinitamente derivabile. Nonostante la serie che la definisca converga totalmente garantendo la continuità di $W$ per il teorema 4.3, mostreremo che essa non è derivabile in alcun punto.

$\quad$

Definizione 5.1 (funzione di Weierstrass). La funzione $W \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(124) $\begin{equation*} W(x) %= %\sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\sin(8^k\pi x)}{2^k} \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

è detta funzione di Weierstrass.

$\quad$

Per prima cosa occorre chiedersi se $W$ sia ben definita, ossia se la serie di funzioni che definisce $W$ è convergente almeno puntualmente. In realtà vale il seguente più forte risultato.

$\quad$

Proposizione 5.2. La serie di funzioni (124) che definisce $W$ è totalmente convergente in $\mathbb{R}$ . In particolare, $W$ è una funzione uniformemente continua.

$\quad$

Dimostrazione. Proviamo innanzitutto la serie è totalmente convergente in $\mathbb{R}$ . Si ha

(125) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \sup_{x \in \mathbb{R}}\left | \frac{\sin(8^{k}\pi x)}{2^k} \right | = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{2^k} = 1. \end{equation*}$

Ognuna delle funzioni $f_k(x)=\dfrac{\sin(8^{k}\pi x)}{2^k}$ è continua e dunque, per il teorema 4.3, la funzione $W$ è continua. Inoltre, ognuna delle $f_k$ è periodica di periodo $1$ , e dunque tale è $W$ . Per il teorema di Heine-Cantor [4], $W$ è uniformemente continua in $[0,1]$ e, per la periodicità, è uniformemente continua in $\mathbb{R}$ .

Osserviamo che ognuna delle funzioni $f_k(x)=\dfrac{\sin(8^{k}\pi x)}{2^k}$ che definisce la serie di funzioni in (124) è derivabile infinite volte in $\mathbb{R}$ , ma osserveremo a breve che la serie delle derivate

(126) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} f_k'(x) = \pi \sum_{k=1}^{+\infty} 8^k \frac{\cos(8^k \pi x)}{2^k} = \pi \sum_{k=1}^{+\infty} 4^k \cos(8^k \pi x) \end{equation*}$

non converge uniformemente in alcun intervallo; ciò impedisce l’applicazione del teorema 4.6 per studiare la derivabilità di $W$ .

Per mostrare che la serie delle derivate non converge uniformemente in alcun intervallo, fissiamo un intervallo $[a,b] \subset \mathbb{R}$ e osserviamo che ognuna delle funzioni $f_k$ è periodica di periodo $2 \cdot 8^{-k}$ . Dunque, se $2 \cdot 8^{-k} < b-a$ , esiste $x_k \in [a,b]$ tale che $\cos(8^{k}\pi x_k)=1$ , quindi

(127) $\begin{equation*} f_k'(x_k) = 8^{k} \frac{\cos(8^{k}\pi x_k)}{2^k} = 4^k \qquad \forall k \in \mathbb{N} \colon 8^{k} > \frac{2}{b-a}. \end{equation*}$

Quindi la successione $f_k'$ non converge uniformemente in $[a,b]$ alla funzione nulla e, per la proposizione 3.2, la serie $\sum_{k=1}^{+\infty} f_k'(x)$ non converge uniformemente in $[a,b]$ .

Il fatto che il teorema 4.6 non sia applicabile non implica che $W$ non sia derivabile, in quanto esso stabilisce soltanto una condizione sufficiente alla derivabilità della somma di una serie di funzioni. Tuttavia la funzione $W$ non è derivabile in alcun punto, come stabilito dal seguente risultato.

Proposizione 5.3. La funzione $W$ definita in (124) non è derivabile in nessun punto $x_0 \in \mathbb{R}$ .

$\quad$

Prima di dimostrare questa proposizione, riportiamo un’osservazione che è una semplice applicazione delle proprietà delle funzioni seno e coseno.

Osservazione 5.4. Per ogni $x_0 \in \mathbb{R}$ , si ha

(128) $\begin{equation*} \left | \sin x_0 - \sin\left (x_0+\frac{\pi}{2}\right ) \right | \geq 1 \qquad \text{oppure} \qquad \left | \sin x_0 - \sin\left (x_0-\frac{\pi}{2}\right ) \right | \geq 1. \end{equation*}$

Infatti, per fissare le idee supponiamo $x_0 \in \left [ 0, \dfrac{\pi}{2}\right ]$ . Allora, per il teorema fondamentale del calcolo integrale [9 , teorema 5.2], si ha

(129) $\begin{equation*} \sin x_0 - \sin\left (x_0-\frac{\pi}{2}\right ) = \int_{x_0-\frac{\pi}{2}}^{x_0} \cos t \,\mathrm{d}t = \int_{x_0-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos t \,\mathrm{d}t + \int_{0}^{x_0} \cos t \,\mathrm{d}t \geq \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos t \,\mathrm{d}t %= %\sin \left ( \frac{\pi}{2} \right ) - \sin 0 = 1, \end{equation*}$

dove la disuguaglianza segue dal fatto che $\cos t$ ha un massimo per $t=0$ .

Dimostrazione della proposizione 5.3. Fissiamo $x_0 \in \mathbb{R}$ . Mostreremo che esiste una successione $x_k \to x_0$ tale che

(130) $\begin{equation*} \lim_{k \to +\infty} \left |\frac{W(x_k)-W(x_0)}{x_k-x_0} \right |=+\infty. \end{equation*}$

Ciò, in virtù del teorema ponte [5], implicherà che $W$ non è derivabile in $x_0$ . Per l’osservazione 5.4, per ogni $k \in \mathbb{N}\setminus \{0\}$ esiste $x_k$ con le seguenti proprietà

(131) $\begin{equation*} |x_k-x_0|= \frac{1}{2 \cdot 8^k}, \qquad |\sin(8^{k}\pi x_k) - \sin(8^{k}\pi x_0)|\geq 1. \end{equation*}$

Ciò definisce quindi una successione $x_k$ che, per la prima uguaglianza, soddisfa $x_k \to x_0$ . Calcoliamo il rapporto incrementale di $W$ in tale punto:

(132) $\begin{equation*} \begin{split} \frac{W(x_k)-W(x_0)}{x_k-x_0} = & \frac{f_k(x_k)-f_k(x_0)}{x_k-x_0} + \sum_{\substack{j=1}}^{k-1} \frac{f_j(x_k)-f_j(x_0)}{x_k-x_0} + \sum_{\substack{j=k+1}}^{+\infty} \frac{f_j(x_k)-f_j(x_0)}{x_k-x_0}. \end{split} \end{equation*}$

Stimiamo ora i tre termini all’ultimo membro.

$\quad$

Vale

(133) $\begin{equation*} \frac{|f_k(x_k)-f_k(x_0)|}{|x_k-x_0|} \overset{131}{\geq} \frac{2 \cdot 8^{k}}{2^k} = 2 \cdot 4^k \qquad \forall k \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Per la prima sommatoria in (132) si osservi invece che ciascuna funzione $f_j$ soddisfa
(134) $\begin{equation*} |f_j'(x)| = \pi 4^j |\cos(8^j\pi x)| \leq 4^j \pi \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

dunque, applicando il teorema di Lagrange all’intervallo di estremi $x_0$ e $x_k$ , esiste $z_j$ in tale intervallo tale che

(135) $\begin{equation*} \left | \frac{f_j(x_k)-f_j(x_0)}{x_k-x_0} \right | = |f_j'(z_j)| \leq 4^j \pi. \end{equation*}$

Pertanto si ha

(136) $\begin{equation*} \left | \sum_{\substack{j=1}}^{k-1} \frac{f_j(x_k)-f_j(x_0)}{x_k-x_0}\right | \leq \sum_{\substack{j=1}}^{k-1} \left |\frac{f_j(x_k)-f_j(x_0)}{x_k-x_0}\right | \leq \pi \sum_{\substack{j=1}}^{k-1} 4^j \overset{16}{=} \pi \frac{4^k-1}{3} - \pi \end{equation*}$

Poiché ognuna delle funzioni $f_j$ è periodica di periodo $2 \cdot 8^{-j}$ , la quantità
(137) $\begin{equation*} |x_0-x_k| = \frac{1}{2\cdot 8^k} = \frac{8^{j-k}}{4} (2 \cdot 8^{-j}) \end{equation*}$

è un multiplo intero del periodo se $j>k$ e dunque,

(138) $\begin{equation*} f_j(x_k)-f_j(x_0) = 0 \qquad \forall j >k, \end{equation*}$

pertanto l’ultima serie in (132) è nulla.

Inserendo le informazioni date da (133), (136) e (138) in (132) e utilizzando la disuguaglianza triangolare, si ottiene

(139) $\begin{equation*} \begin{split} \left | \frac{W(x_k)-W(x_0)}{x_k-x_0} \right | \geq & \left |\frac{f_k(x_k)-f_k(x_0)}{x_k-x_0} \right | - \left | \sum_{\substack{j=1}}^{k-1} \frac{f_j(x_k)-f_j(x_0)}{x_k-x_0} \right | \\ \geq & 2 \cdot 4^k - \pi \left ( \frac{4^k-1}{3} - 1\right ) \\ \geq & 4^k \left (2 - \frac{\pi}{3}\right ). \end{split} \end{equation*}$

Poiché $2 - \dfrac{\pi}{3}>0$ , si ha quindi

(140) $\begin{equation*} \lim_{k \to +\infty} \left | \frac{W(x_k)-W(x_0)}{x_k-x_0} \right | \geq \lim_{k \to +\infty} 4^k \left (2 - \frac{\pi}{3}\right ) = +\infty. \end{equation*}$

Concludiamo cioè che $W$ non sia derivabile in $x_0$ .

Riferimenti bibliografici

[1] Acerbi, E. & Buttazzo, G., Primo corso di Analisi Matematica, Pitagora Editrice.

[2] Qui Si Risolve, densità dei numeri razionali nei numeri reali.

[3] Qui Si Risolve, funzioni elementari – volume 1.

[4] Qui Si Risolve, il teorema di Heine-Cantor.

[5] Qui Si Risolve, il teorema ponte.

[6] Qui Si Risolve, Teoria sulle serie numeriche.

[7] Qui Si Risolve, successioni di funzioni – esercizi.

[8] Qui Si Risolve, successioni di funzioni – teoria.

[9] Qui Si Risolve, teorema fondamentale del calcolo integrale.

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