Esercizi sul teorema di Weierstrass senza l’uso delle derivate 1

Esercizi sul teorema di Weierstrass senza l'uso delle derivate

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In questa sezione sono richiamati brevemente i principali risultati teorici utilizzati nel corso della dispensa. Per le loro dimostrazioni e per ulteriori approfondimenti si rimanda alle dispense sulle funzioni continue.
 

Definzione 1 – Massimi e minimi assoluti.

Sia f \colon A \subset\mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione. M\in \mathbb{R} si dice \text{massimo} di f in A se esiste x_0\in A tale che

    \[f(x_0)= M \qquad \text{e} \qquad f(x)\le M \quad \forall x \in A.\]

In tal caso scriviamo M = \max_A f e x_0 si dice \textit{punto di massimo} per f.

Analogamente, m\in \mathbb{R} si dice \text{minimo} di f in A se esiste x_0\in A tale che

    \[f(x_0)= m \qquad \text{e} \qquad f(x)\ge m \quad \forall x \in A.\]

In tal caso scriviamo m=\min_A f e x_0 si dice \textit{punto di minimo} per f.

 
Un punto x_0 può non essere di massimo o di minimo assoluto per f, ma può esserlo se restringiamo f a un intorno di x_0. Ciò produce le seguenti definizioni.

Definizione 2 – Massimi e minimi locali.

Sia f\colon A\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R} una funzione. x_0\in A si dice \textit{punto di massimo locale} per f se esiste \delta >0 tale che

    \[f(x) \le f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).\]

Analogamente, x_0\in A si dice \textit{punto di minimo locale} per f se esiste \delta >0 tale che

    \[f(x) \ge f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).\]

 

Teorema di Weierstrass. 

Siano a, b \in \mathbb{R}, con a \leq b e sia f\colon [a,b] \to \mathbb{R} una funzione continua. Allora f ammette massimo e minimo assoluti in [a,b], ovvero esistono x_m, \, x_M \in [a,b] tali che

    \[ f(x_m)\leq f(x) \leq f(x_M) \qquad \forall x \in [a,b] . \]

 
Il seguente risultato riassume i principali risultati sulla continuità delle funzioni elementari che vengono utilizzate negli esercizi.

Proposizione 1.

Valgono le seguenti proprietà:
\bullet Ogni funzione polinomiale P \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} è una funzione continua.
\bullet La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \sin x per x \in \mathbb{R} è continua.
\bullet La funzione f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \cos x per x \in \mathbb{R} è continua.
\bullet Sia a > 0 un numero reale. La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = a^x per x \in \mathbb{R} è continua.
\bullet Sia a >0 un numero reale. La funzione f \colon (0,+\infty)\to \mathbb{R} definita da f(x) = \log_a (x) per x \in (0,+\infty) è continua.
\bullet Sia n \in \mathbb{N}. La funzione f\colon [0,+\infty]\to [0,+\infty], se n è pari, o la funzione f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}, se n è dispari, definita da f(x)=\sqrt[n]{x} è continua.
\bullet La funzione f \colon[-1,1]\to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] definita da f(x) = \arcsin x per x \in [-1,1] è continua.
\bullet La funzione f \colon[-1,1]\to \left[0,\pi\right] definita da f(x) = \arccos x per x \in [-1,1] è continua.
\bullet La funzione f \colon \mathbb{R} \to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] definita da f(x)=\arctan x per x \in \mathbb{R} è continua.

 
Il seguente risultato riassume i risultati sulla continuità delle varie operazioni sulle funzioni continue.

Proposizione 2.

Sia A \subseteq \mathbb{R}, e siano f,g \colon A \to \mathbb{R} due funzioni continue. Allora
\bullet La somma f + g e il prodotto f\cdot g sono funzioni continue.
\bullet Il quoziente \frac{f}{g} è continuo nell’insieme A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\}.
\bullet Siano f\colon A \to \mathbb{R} e g\colon B \to \mathbb{R} funzioni tali che f(A) \subseteq B. Se f è continua in x_0\in A e g è continua in y_0 \coloneqq f(x_0)\in B, allora la funzione composta g \circ f è continua in x_0.
\bullet Siano f,g \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} funzioni continue con f>0. Allora la funzione f^g è continua.

 

Testi degli esercizi

Esercizio 1   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Sia f\colon  [-4, 1] \to \mathbb{R} definita da

    \[f(x) = \arctan(x+\pi)+2x \quad  \forall x \in [-4,1].\]

Stabilire se il teorema di Weierstrass è applicabile nell’intervallo \left[-4,1\right] e, in caso affermativo, calcolare massimo e minimo della funzione.

 
Svolgimento.
Osserviamo che f, di cui riportiamo il grafico in figura 1, è una funzione continua in [-4,1], in quanto somma e composizione di funzioni continue, per le proposizioni 1 e 2. Inoltre l’intervallo [-4,1] è chiuso e limitato, pertanto sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Weierstrass ed f ammette massimo e minimo assoluto nell’intervallo \left[-4,1\right].

Osserviamo che \arctan è strettamente crescente, in quanto inversa della funzione \tan che è strettamente crescente in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]. Segue che f è strettamente crescente, in quanto composizione e somma di funzioni strettamente crescenti. Dunque f assumerà minimo e massimo negli estremi dell’intervallo [-4,1] da cui

    \[\min_{[-4,1]} f = f(-4)=-8+\arctan(-4+\pi) \quad \text{e} \quad \max_{[-4,1]}f = f(1)=\arctan(1+\pi)+2.\]

Osservazione: l’esistenza del massimo e minimo di f è deducibile anche dalla monotonia della funzione, senza l’uso del teorema di Weierstrass.
 

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Figura 1: rappresentazione della funzione dell’esercizio 1.