Esercizio sul teorema di Weierstrass senza l’uso delle derivate – 1
In questo primo articolo della raccolta di esercizi sul teorema di Weierstrass senza l’uso delle derivate studiamo l’applicabilità del teorema per la ricerca dei massimi e minimi di una funzione. Segnaliamo anche il successivo esercizio sul teorema di Weierstrass – 2 per ulteriore materiale sul medesimo tema.
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In tal caso scriviamo e si dice punto di massimo per .
Analogamente, si dice minimo di in se esiste tale che
In tal caso scriviamo e si dice punto di minimo per .
Un punto può non essere di massimo o di minimo assoluto per , ma può esserlo se restringiamo a un intorno di . Ciò produce le seguenti definizioni.
Analogamente, si dice punto di minimo locale per se esiste tale che
Il seguente risultato riassume i principali risultati sulla continuità delle funzioni elementari che vengono utilizzate negli esercizi.
- Ogni funzione polinomiale è una funzione continua.
- La funzione definita da per è continua.
- La funzione definita da per è continua.
- Sia un numero reale. La funzione definita da per è continua.
- Sia un numero reale. La funzione definita da per è continua.
- Sia . La funzione , se è pari, o la funzione , se è dispari, definita da è continua.
- La funzione definita da per è continua.
- La funzione definita da per è continua.
- La funzione definita da per è continua.
Il seguente risultato riassume i risultati sulla continuità delle varie operazioni sulle funzioni continue.
- La somma e il prodotto sono funzioni continue.
- Il quoziente è continuo nell’insieme .
- Siano e funzioni tali che . Se è continua in e è continua in , allora la funzione composta è continua in .
- Siano funzioni continue con . Allora la funzione è continua.
Testo dell’esercizio
Stabilire se il teorema di Weierstrass è applicabile nell’intervallo e, in caso affermativo, calcolare massimo e minimo della funzione.
Svolgimento.
Osserviamo che è strettamente crescente, in quanto inversa della funzione che è strettamente crescente in . Segue che è strettamente crescente, in quanto composizione e somma di funzioni strettamente crescenti. Dunque assumerà minimo e massimo negli estremi dell’intervallo da cui
Figura 1: rappresentazione della funzione dell’esercizio 1.
Osservazione.
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