Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Per richiami più completi si veda la dispensa richiami di teoria.
Sia
![Rendered by QuickLaTeX.com A \subseteq \mathbb{R}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1977f65b60ff7f8193af26b8e6854e67_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x_0 \in \overline{\mathbb{R}}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-744227df80cd6a8f53555bedf67d6457_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com A](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eff0cb8a66196013088fda03a43ee0b3_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f \colon A \to \mathbb{R}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-083eb428536fa0f27002359b923a248a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \ell \in \overline{\mathbb{R}}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bc259eccd6cc5ea92816d6a733755ab2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \ell](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d564527e33464a94428f007ef5c24911_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-769def825c7d8baf80bba500ff786d4b_l3.png)
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![Rendered by QuickLaTeX.com \ell](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d564527e33464a94428f007ef5c24911_l3.png)
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![Rendered by QuickLaTeX.com x_0](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f085b7362b2d48f4abd9e2dd9798a6d1_l3.png)
(1)
In tal caso si scrive
(2)
Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui ,
,
e
,
,
.
Testo dell’esercizio
![Rendered by QuickLaTeX.com (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-32e12e009d8d089dbc826e478e820a31_l3.png)
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:
Svolgimento .
Occorre verificare che sia valida la condizione al caso 7 della tabella 1 con e
definita da
(3)
Fissiamo dunque e, grazie all’osservazione 1 dei richiami di teoria, possiamo scegliere
. Si ha
(4)
dove l’implicazione è dovuta al ragionamento che segue: poiché
e poiché siamo interessati a determinare un intorno di
, possiamo limitarci a considerare
e perciò si ha
; valendo ovviamente
, si ha dunque
(5)
Dunque, se e
, allora
, giustificando appunto l’implicazione
in (4). Nell’ultima equivalenza in (4) si è invece trascurata la condizione
, che è ridondante in virtù della scelta
. In definitiva, scegliendo
e leggendo le implicazioni in (4) da destra verso sinistra si ottiene
(6)
cioè la tesi.